Numerische Mathematik lernen: Interaktive Quizze und Übungen

Question 1

Welche der folgenden Methoden wird zur numerischen Integration verwendet?

Accepted Answer

Trapezregel

Answer

Regula Falsi

Answer

Sekantenverfahren

Answer

Fixpunktiteration

Question 2

Was versteht man unter dem absoluten Fehler bei der numerischen Differentiation?

Accepted Answer

Der Unterschied zwischen dem wahren und dem numerisch berechneten Wert der Ableitung.

Answer

Der relative Fehler multipliziert mit dem wahren Wert der Ableitung.

Answer

Die Differenz zwischen dem numerisch berechneten und dem wahren Wert der Funktion.

Answer

Der Fehler, der durch die Rundung des numerisch berechneten Werts entsteht.

Question 3

Welche Bedingung muss für die Konvergenz des Fixpunktiterationsverfahrens erfüllt sein?

Accepted Answer

Der Betrag der Ableitung der Funktion an der Fixpunktstelle muss kleiner als 1 sein.

Answer

Die Ableitung der Funktion an der Fixpunktstelle muss größer als 1 sein.

Answer

Die Funktion muss an der Fixpunktstelle stetig sein.

Answer

Die Funktion muss an der Fixpunktstelle differenzierbar sein.

Question 4

Was ist das Hauptziel der Fehlerrechnung?

Accepted Answer

Die Abschätzung der Genauigkeit numerischer Lösungen.

Answer

Die Verbesserung der numerischen Stabilität von Algorithmen.

Answer

Die Reduzierung der Rechenzeit für numerische Probleme.

Answer

Die Visualisierung numerischer Lösungen.

Question 5

Was versteht man unter einem numerisch stabilen Verfahren?

Accepted Answer

Ein Verfahren, das kleine Änderungen in den Eingabedaten in kleine Änderungen in den Ausgabewerten umwandelt.

Answer

Ein Verfahren, das immer die exakte Lösung liefert.

Answer

Ein Verfahren, das schnell konvergiert.

Answer

Ein Verfahren, das einfach zu implementieren ist.

Question 6

Welche Aussage zur Taylor-Reihe ist korrekt?

Accepted Answer

Sie ist eine unendliche Reihe, die eine Funktion lokal um einen Punkt approximiert.

Answer

Sie ist eine endliche Reihe, die eine Funktion global approximiert.

Answer

Sie ist eine Polynomreihe, die eine Funktion genau darstellt.

Answer

Sie ist eine trigonometrische Reihe, die eine Funktion periodisch approximiert.

Question 7

Bei der numerischen Differentiation wird die Ableitung einer Funktion durch einen Grenzwert angenähert. Welche Größe wird in diesem Grenzwert verwendet?

Accepted Answer

Differenzenquotient

Answer

Differentialquotient

Answer

Integral

Answer

Ableitungsregel

Question 8

Welche der folgenden Funktionen hat bei Integration mit der Trapezregel einen Fehler in der Größenordnung O(h³)?

Accepted Answer

x³

Answer

e^x

Answer

sin(x)

Answer

ln(x)

Question 9

Welches der folgenden numerischen Verfahren löst lineare Gleichungssysteme?

Accepted Answer

Gauß-Seidel-Verfahren

Answer

Newton-Verfahren

Answer

Bisection-Verfahren

Answer

Monte-Carlo-Simulation

Question 10

Mit welchem Verfahren wird die Ableitung einer Funktion an einem bestimmten Punkt numerisch bestimmt?

Accepted Answer

Differenzenverfahren

Answer

Fehlerrechnung

Answer

Numerische Integration

Question 11

Welche Aussage zur numerischen Stabilität ist korrekt?

Accepted Answer

Ein numerisches Verfahren ist stabil, wenn es kleine Änderungen in den Eingabedaten nicht wesentlich verstärkt.

Answer

Ein numerisches Verfahren ist stabil, wenn es für alle Eingabedaten konvergiert.

Question 12

Welche Aussage zur Fehlerfortpflanzung ist korrekt?

Accepted Answer

Der absolute Fehler des Ergebnisses kann sowohl größer als auch kleiner sein als die Summe der absoluten Fehler der Eingabedaten.

Answer

Der relative Fehler des Ergebnisses ist immer gleich der Summe der relativen Fehler der Eingabedaten.

Question 13

Welche der folgenden Funktionen hat die höchste Konvergenzordnung für die numerische Integration?

Accepted Answer

Gauss-Legendre-Quadratur

Answer

Trapezregel

Answer

Simpsonregel

Answer

Monte-Carlo-Integration

Question 14

Welche der folgenden Anwendungen der numerischen Mathematik ist in der Praxis nicht relevant?

Accepted Answer

Übersetzung von Sprachen

Answer

Lösung von Differentialgleichungen

Answer

Modellierung von physikalischen Phänomenen

Answer

Finanzmathematik

Question 15

Welche der folgenden Methoden zur numerischen Integration ist für Funktionen mit vielen Oszillationen am genauesten?

Accepted Answer

Gauß-Legendre-Quadratur

Answer

Trapezregel

Answer

Simpsonregel

Answer

Monte-Carlo-Integration

Question 16

Welche der folgenden Eigenschaften trifft auf die Konvergenzordnung eines iterativen Verfahrens zu?

Accepted Answer

Sie gibt an, wie schnell das Verfahren gegen die Lösung konvergiert.

Answer

Sie gibt die Anzahl der Iterationsschritte an, die benötigt werden, bis das Verfahren konvergiert.

Answer

Sie gibt den maximalen Fehler an, der bei der Konvergenz auftreten kann.

Answer

Sie gibt den minimalen Fehler an, der bei der Konvergenz auftreten kann.

Question 17

Welche der folgenden Aussagen zur Gauß-Elimination ist korrekt?

Accepted Answer

Sie ist ein Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme.

Answer

Sie ist ein iteratives Verfahren.

Answer

Sie liefert immer eine exakte Lösung.

Answer

Sie kann nur verwendet werden, wenn die Koeffizientenmatrix eine Dreiecksmatrix ist.

Question 18

Welche der folgenden Eigenschaften trifft auf eine Konditionszahl zu?

Accepted Answer

Sie gibt die Stabilität eines Gleichungssystems an.

Answer

Sie gibt die Genauigkeit einer Lösung an.

Answer

Sie gibt die Konvergenzgeschwindigkeit eines iterativen Verfahrens an.

Answer

Sie gibt den relativen Fehler einer Lösung an.

Question 19

Welche numerische Integrationsmethode verwendet eine quadratische Interpolationsfunktion, um das Integral zu approximieren?

Accepted Answer

Simpsonsche Regel

Answer

Trapezregel

Answer

Rechteckregel

Answer

Monte-Carlo-Methode

Question 20

Welches iterative Verfahren wird zur Lösung linearer Gleichungssysteme eingesetzt?

Accepted Answer

Gauß-Seidel-Verfahren

Answer

Bisektionsverfahren

Answer

Regula-Falsi-Verfahren

Answer

Newton-Verfahren

Question 21

Welches Konvergenzkriterium überprüft, ob der relative Fehler unter einem vorgegebenen Toleranzwert liegt?

Accepted Answer

Relatives Konvergenzkriterium

Answer

Absolutes Konvergenzkriterium

Answer

Cauchy-Konvergenzkriterium

Answer

d'Alembert-Konvergenzkriterium

Question 22

Welche Aussage zur numerischen Differentiation ist richtig?

Accepted Answer

Die zentrale Differenzenquotientenformel liefert eine Approximation der ersten Ableitung.

Answer

Die zentrale Differenzenquotientenformel liefert eine Approximation der zweiten Ableitung.

Answer

Die vorwärtsgerichtete Differenzenquotientenformel liefert eine exakte Approximation der Ableitung.

Answer

Die numerische Differentiation ist immer ungenauer als die analytische Differentiation.

Question 23

Welche Abschätzung ist **nicht** zur Berechnung des Fehlers einer numerischen Approximation geeignet?

Accepted Answer

Abschätzung über den Mittelwert der Funktion

Answer

Abschätzung über die Ableitung

Answer

Abschätzung über den Mittelwertsatz der Integralrechnung

Answer

Abschätzung über Taylorreihen

Question 24

Welche Aussage beschreibt die numerische Integration am treffendsten?

Accepted Answer

Die Bestimmung des Flächeninhalts unter einer Kurve mithilfe numerischer Methoden

Answer

Die Bestimmung der Ableitung einer Funktion

Answer

Die Lösung von Gleichungssystemen

Answer

Die Bestimmung von Grenzwerten

Question 25

Welcher Fehlertyp tritt bei der numerischen Differentiation auf?

Accepted Answer

Diskretisierungsfehler

Answer

Abrundungsfehler

Answer

Konvergenzfehler

Answer

Überlauf-Fehler

Question 26

Welches Verfahren wird zur schrittweisen Annäherung an einen Fixpunkt eingesetzt?

Accepted Answer

Iteration

Answer

Bisection-Methode

Answer

Sekantenmethode

Answer

Newton-Verfahren

Question 27

Welche Fehlerabschätzung gilt für die Trapezregel?

Accepted Answer

|E| <= (b-a)^3 * |f''(c)| / 12 * n^2

Answer

|E| <= (b-a)^5 * |f''''(c)| / 144 * n^4

Answer

|E| <= (b-a) * |f'(c)| / n^2

Answer

|E| <= (b-a) * |f''(c)| / 2 * n^2

Question 28

Welche der folgenden Funktionen ist nicht differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x^3

Answer

f(x) = cos(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 29

Welche Konvergenzordnung hat das Newton-Verfahren?

Accepted Answer

Quadratisch

Answer

Linear

Answer

Kubisch

Answer

Exponentiell

Question 30

Was ist Numerische Mathematik?

Accepted Answer

Der Bereich der Mathematik, der sich mit numerischen Verfahren zur Lösung mathematischer Probleme befasst

Answer

Die Untersuchung mathematischer Strukturen und Beziehungen

Answer

Die Anwendung von Mathematik in verschiedenen Fachgebieten

Answer

Die Geschichte der Mathematik

Question 31

Welche iterierte Methode eignet sich zur Lösung der Gleichung x^2 - 5 = 0? Diese Methode liefert bei jedem Schritt eine bessere Annäherung an die Lösung.

Accepted Answer

Newton-Raphson-Methode

Answer

Bisektionsmethode

Answer

Regula-Falsi-Methode

Answer

Sekantenmethode

Question 32

Die zentrale Differenzenmethode wird zur numerischen Differentiation verwendet. Wie lautet die Formel zur Annäherung der Ableitung einer Funktion f(x) an einem Punkt x_i?

Accepted Answer

(f(x_{i+1}) - f(x_{i-1})) / (2h)

Answer

(f(x_{i+1}) - f(x_i)) / h

Answer

(f(x_i) - f(x_{i-1})) / (2h)

Answer

(f(x_i) - f(x_{i+1})) / h

Question 33

Bei der numerischen Integration kann der Fehler der Approximation abgeschätzt werden. Welche Aussage über die Fehlerabschätzung ist korrekt?

Accepted Answer

Sie kann durch Richardson-Extrapolation verbessert werden.

Answer

Sie ist unabhängig von der Schrittweite h.

Answer

Sie ist immer eine Untergrenze für den tatsächlichen Fehler.

Answer

Sie gilt nur für lineare Funktionen.

Question 34

Welche der folgenden Methoden ist nicht für die numerische Lösung partieller Differentialgleichungen geeignet?

Accepted Answer

Zufallszahlenmethode

Answer

Finite-Elemente-Methode

Answer

Finite-Differenzen-Methode

Answer

Spektralmethode

Question 35

Welche der folgenden Aussagen definiert den **absoluten Fehler** korrekt?

Accepted Answer

Die Differenz zwischen dem exakten und dem Näherungswert.

Answer

Der Quotient aus dem absoluten Fehler und dem Näherungswert.

Answer

Das Produkt aus dem relativen Fehler und 100.

Answer

Der absolute Fehler ist immer gleich dem Näherungswert.

Question 36

Welche Eigenschaft ist für die Stabilität von Iterationsverfahren entscheidend?

Accepted Answer

Kleine Störungen der Anfangswerte führen zu kleinen Änderungen der Ergebnisse.

Answer

Kleine Störungen der Anfangswerte führen zu großen Änderungen der Ergebnisse.

Answer

Die Stabilität hängt nicht von den Anfangswerten ab.

Answer

Keine der oben genannten Aussagen ist korrekt.

Question 37

Welche der folgenden Aussagen über numerische Integration ist falsch?

Accepted Answer

Rundungsfehler werden nicht berücksichtigt.

Answer

Diskretisierungsfehler resultieren aus der Aufteilung des Integrationsintervalls in kleinere Teilintervalle.

Answer

Integrationsfehler entstehen durch die Wahl der Integrationsmethode.

Answer

Abschneidefehler entstehen durch den Ersatz der Integrationsgrenzen.

Question 38

Welches iterative Verfahren zur Nullstellenbestimmung erfordert die Berechnung der zweiten Ableitung?

Accepted Answer

Newton-Verfahren

Answer

Regula-Falsi-Verfahren

Answer

Sekantenverfahren

Answer

Bisektionsverfahren

Question 39

Welche der folgenden Aussagen über numerische Differentiation ist korrekt?

Accepted Answer

Die Genauigkeit der numerischen Differentiation nimmt mit zunehmender Schrittweite ab.

Answer

Die numerische Differentiation ist nur für Funktionen anwendbar, die analytisch differenzierbar sind.

Answer

Die numerische Differentiation ist immer genauer als die analytische Differentiation.

Question 40

Welche Aussage über numerische Mathematik ist zutreffend?

Accepted Answer

Numerische Mathematik liefert näherungsweise Lösungen für Probleme, die analytisch nicht exakt lösbar sind.

Answer

Numerische Mathematik ist weniger genau als analytische Mathematik.

Question 41

Welche Methode zur numerischen Integration verwendet eine parabolische Interpolationsformel?

Accepted Answer

Simpsonsche Regel

Answer

Trapezregel

Answer

Mittelpunktsregel

Answer

Gauß-Quadratur

Question 42

Welcher Begriff beschreibt den Prozess der Ersetzung einer komplexen Funktion durch eine einfachere Funktion?

Accepted Answer

Approximation

Answer

Iteration

Answer

Differentiation

Answer

Integration

Question 43

Welche Aussage beschreibt korrekt die numerische Integration?

Accepted Answer

Sie liefert Näherungswerte für Integrale.

Answer

Sie ist stets exakter als die analytische Integration.

Answer

Sie ist ausschließlich auf bestimmte Integrale anwendbar.

Answer

Sie liefert stets exakte Werte für Integrale.

Question 44

Welche Methode wird zur numerischen Differentiation eingesetzt?

Accepted Answer

Finite Differenzen

Answer

Trapezregel

Answer

Simpson-Regel

Question 45

Welche Fehlerkategorie entsteht, wenn der tatsächliche Wert eines Integrals durch einen Näherungswert ersetzt wird?

Accepted Answer

Approximationsfehler

Answer

Rundungsfehler

Answer

Abbruchfehler

Answer

Diskretisierungsfehler

Question 46

Welche Methode dient zur numerischen Lösung von Differentialgleichungen?

Accepted Answer

Runge-Kutta-Verfahren

Answer

Sekantenverfahren

Answer

Newton-Raphson-Verfahren

Answer

Bisectionsverfahren

Question 47

Was besagt die numerische Stabilität eines Algorithmus?

Accepted Answer

Er bewirkt bei kleinen Störungen nur geringe Ergebnisänderungen.

Answer

Er ist unabhängig von der Rechengenauigkeit.

Answer

Er liefert stets das exakte Ergebnis.

Question 48

Was besagt die Kondition einer Matrix?

Accepted Answer

Sie ist ein Maß für die numerische Stabilität des Systems.

Answer

Sie ist stets positiv.

Answer

Sie ist unabhängig von der Anordnung der Zeilen und Spalten.

Question 49

Welches Verfahren zur Bestimmung von Eigenwerten einer Matrix basiert auf einem iterativen Ansatz?

Accepted Answer

Potenzmethode

Answer

Singulärwertzerlegung

Answer

QR-Algorithmus

Answer

Eigenwertzerlegung

Question 50

Welche Methode ermöglicht die Berechnung des Integrals einer Funktion über ein unregelmäßiges Gebiet?

Accepted Answer

Monte-Carlo-Integration

Answer

Gauß-Quadratur

Answer

Simpson-Regel

Answer

Trapezregel

Question 51

Die Kondition einer Matrix misst:

Accepted Answer

Die Empfindlichkeit der Lösung eines linearen Gleichungssystems gegenüber Änderungen der Eingabedaten

Answer

Die Größe der Matrix

Question 52

Numerische Stabilität beschreibt:

Accepted Answer

Die Fähigkeit eines numerischen Verfahrens, numerische Fehler zu kontrollieren

Answer

Die Genauigkeit eines numerischen Verfahrens

Answer

Die Konvergenzgeschwindigkeit eines numerischen Verfahrens

Question 53

Welcher Fehler tritt bei der numerischen Integration auf und wird durch eine begrenzte Anzahl von Rechenoperationen verursacht?

Accepted Answer

Abrundungsfehler

Answer

Syntaxfehler

Answer

Logikfehler

Answer

Laufzeitfehler

Question 54

Welche Methode wird zur numerischen Differentiation verwendet, bei der Ableitungen durch Differenzenquotienten angenähert werden?

Accepted Answer

Finite Differenzen

Answer

Newton-Raphson

Answer

Gauß-Seidel

Answer

Bisektion

Question 55

Bei welchem Iterationsverfahren wird eine Folge von Näherungswerten berechnet, die gegen die Lösung einer Gleichung konvergieren und einen Fixpunkt der Iterationsfunktion suchen?

Accepted Answer

Fixpunktiteration

Answer

Sekantenverfahren

Answer

Bisektion

Answer

Regula Falsi

Question 56

Welches Kriterium gibt die maximale Abweichung zwischen einer numerischen Lösung und dem exakten Wert an?

Accepted Answer

Fehlerabschätzung

Answer

Konvergenzkriterium

Answer

Stabilitätskriterium

Answer

Konsistenzkriterium

Question 57

Welche Methode löst nichtlineare Gleichungen iterativ, indem sie eine Gerade durch zwei Funktionswerte legt?

Accepted Answer

Regula Falsi

Answer

Jacobi-Iteration

Answer

LU-Zerlegung

Answer

Gauß-Elimination

Question 58

Was ist bei der numerischen Integration der Abstand zwischen zwei benachbarten Stützstellen?

Accepted Answer

Schrittweite

Answer

Ableitung der Funktion

Answer

Integral der Funktion

Answer

Fehlerabschätzung

Question 59

Welche Eigenschaft muss eine Iterationsfunktion erfüllen, damit das Iterationsverfahren gegen die Lösung konvergiert?

Accepted Answer

Kontrahierend

Answer

Monoton steigend

Answer

Periodisch

Answer

Monoton fallend

Question 60

Welches numerische Verfahren löst Systeme linearer Gleichungen durch Umformungen und Vorwärtseinsetzen?

Accepted Answer

Gauß-Elimination

Answer

Sekantenverfahren

Answer

Regula Falsi

Answer

Bisektion

Question 61

Was versteht man unter dem absoluten Fehler einer Approximation?

Accepted Answer

Die Differenz zwischen dem exakten Wert und dem Näherungswert.

Answer

Der Quotient aus dem exakten Wert und dem Näherungswert.

Answer

Die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Näherungswerten.

Question 62

Die Funktion f(x) = x^3 - 2x + 1 soll im Intervall [0, 2] numerisch integriert werden. Welches Verfahren liefert bei gleicher Anzahl von Teilintervallen die genaueste Näherung?

Accepted Answer

Simpson-Regel

Answer

Rechteckregel

Answer

Trapezregel

Answer

Mittelpunktsregel

Question 63

Welches der folgenden Verfahren dient zur Approximation der Nullstelle einer Funktion?

Accepted Answer

Newton-Verfahren

Answer

Simpson-Regel

Answer

Euler-Verfahren

Answer

Gauß-Elimination

Question 64

Die Ableitung der Funktion f(x) = sin(x) an der Stelle x = π/2 soll numerisch bestimmt werden. Welche der folgenden Formeln liefert die genaueste Näherung, wenn h die Schrittweite ist?

Accepted Answer

(f(π/2 + h) - f(π/2 - h)) / (2h)

Answer

(f(π/2) - f(π/2 - h)) / h

Answer

(f(π/2 + h) - f(π/2)) / h

Answer

(f(π/2 + 2h) - f(π/2)) / (2h)