Folgen und Reihen: Interaktive Übungen und Quizze für die Fachoberschule

Question 1

Überprüfen Sie, ob die Reihe (sum_{n=1}^{infty} rac{(-1)^n}{n}) konvergent ist. Begründen Sie Ihre Antwort.

Accepted Answer

Konvergent, da (lim_{n	oinfty} rac{(-1)^n}{n} = 0).

Answer

Konvergent, da (sum_{n=1}^{infty} rac{(-1)^n}{n} = 1).

Answer

Divergent, da (lim_{n	oinfty} rac{(-1)^n}{n} 
eq 0).

Answer

Divergent, da (sum_{n=1}^{infty} rac{(-1)^n}{n} 	o infty).

Question 2

Überprüfe, ob die Reihe (sum_{n=1}^{infty} rac{n^2 + 1}{n^3 + 2}) konvergiert. Begründe deine Antwort mit dem Quotientenkriterium.

Accepted Answer

Die Reihe konvergiert.

Answer

Die Reihe divergiert.

Question 3

Beschreibe das Verfahren zur Bildung der Taylor-Reihe einer Funktion f(x) um den Punkt x = a.

Accepted Answer

Ableiten von f(x) bis zur n-ten Ableitung. Auswerten der Ableitungen an der Stelle x = a.

Answer

Berechnen des Integrals von f(x) über das Intervall [a, x]. Auswerten des Integrals an den Intervallgrenzen.

Answer

Lösen der Differentialgleichung f'(x) = f(x) mit der Anfangsbedingung f(a) = f_a.

Answer

Ermitteln der Fourier-Transformierten von f(x). Rücktransformation der Fourier-Transformierten.

Question 4

Beweisen Sie die Konvergenz der Reihe (sum_{n=1}^{infty} rac{1}{n^2}) mit Hilfe des Cauchy-Folge-Kriteriums.

Accepted Answer

Für jedes (varepsilon > 0) existiert ein (N), sodass für alle (n > m > N) gilt: (|a_{n+1} + a_{n+2} + cdots + a_m| < varepsilon).

Answer

Die Reihe ist konvergent, denn (lim_{n	oinfty} rac{1}{n^2} = 0).

Answer

Die Reihe ist konvergent, denn (sum_{n=1}^{infty} rac{1}{n^2} = rac{pi^2}{6}).

Answer

Die Reihe ist konvergent, denn sie ist alternierend mit monoton fallenden Termen.

Question 5

Untersuchen Sie die Konvergenz der Reihe $$sum_{n=1}^{infty} rac{3^n}{n!} $$ mit dem Quotientenkriterium.

Accepted Answer

Konvergent, denn $$lim_{n	oinfty} rac{a_{n+1}}{a_n} = lim_{n	oinfty} rac{3^{n+1}}{(n+1)!} cdot rac{n!}{3^n} = lim_{n	oinfty} rac{3}{n+1} = 0 < 1$$

Answer

Divergent, denn $$lim_{n	oinfty} rac{a_{n+1}}{a_n} = lim_{n	oinfty} rac{3^{n+1}}{(n+1)!} cdot rac{n!}{3^n} = lim_{n	oinfty} rac{3}{n+1} = infty > 1$$

Answer

Konvergent, denn $$lim_{n	oinfty} a_n = lim_{n	oinfty} rac{3^n}{n!} = 0$$

Answer

Divergent, denn $$lim_{n	oinfty} a_n = lim_{n	oinfty} rac{3^n}{n!} = infty$$

Question 6

Überprüfen Sie, ob die Reihe $$sum_{n=1}^{infty} rac{sqrt{n} + 1}{n^2 - 2n + 1}$$ konvergent oder divergent ist. Begründen Sie Ihre Antwort mit dem Wurzelkriterium.

Accepted Answer

Die Reihe ist divergent nach dem Wurzelkriterium.

Answer

Die Reihe ist konvergent nach dem Majorantenkriterium.

Answer

Die Reihe ist konvergent nach dem Quotientenkriterium.

Answer

Die Reihe ist konvergent nach dem Cauchy-Kriterium.

Question 7

Überprüfen Sie mit Hilfe des Integraltests, ob die Reihe $$sum_{n=1}^{∞} rac{1}{sqrt{n^2 + 1}}$$ konvergiert oder divergiert.

Accepted Answer

Konvergiert, da das Integral $$∫_1^∞ rac{1}{sqrt{x^2 + 1}} dx$$ konvergiert.

Answer

Divergiert, da das Integral $$∫_1^∞ rac{1}{sqrt{x^2 + 1}} dx$$ divergiert.

Answer

Konvergiert, da die Reihe alternierend ist.

Question 8

Erläutern Sie den Begriff des Häufungspunktes einer Folge und geben Sie ein Beispiel für eine Folge, die mehrere Häufungspunkte besitzt.

Accepted Answer

Ein Häufungspunkt einer Folge ist ein Wert, der in jeder Umgebung des Punktes unendlich viele Folgenglieder enthält.

Answer

Ein Häufungspunkt einer Folge ist ein Wert, gegen den die Folge konvergiert.

Answer

Ein Häufungspunkt einer Folge ist ein Wert, der sich in der Folge unendlich oft wiederholt.

Answer

Eine Folge kann keinen Häufungspunkt haben.

Question 9

Welche der folgenden Aussagen ist sowohl eine notwendige als auch eine hinreichende Bedingung für die Konvergenz einer Folge $lbrace a_n brace$?

Accepted Answer

Die Folge ist eine Cauchy-Folge.

Answer

Die Folge ist beschränkt und monoton.

Answer

Die Folge besitzt einen Häufungspunkt.

Question 10

Was versteht man unter einer oszillierenden Folge? Nennen Sie ein Beispiel für eine oszillierende Folge, die nicht konvergiert.

Accepted Answer

Eine Folge, die zwischen zwei Werten hin und her wechselt.

Answer

Eine Folge, die immer größer wird.

Answer

Eine Folge, die immer kleiner wird.

Answer

Eine Folge, die gegen einen Grenzwert konvergiert.

Question 11

Überprüfe mit Hilfe des Wurzeltests, ob die Reihe $$sum_{n=1}^{infty} rac{1}{(n^2 + 1)^{1/3}}$$ konvergiert oder divergiert.

Accepted Answer

Die Reihe konvergiert.

Answer

Die Reihe divergiert.

Answer

Der Wurzeltest kann hier nicht angewendet werden.

Question 12

Ermitteln Sie den Grenzwert der Folge $$left(rac{n^2 - 2n + 1}{n^2 + 3n - 4}ight)$$ für $n ightarrow infty$.

Accepted Answer

Der Grenzwert der Folge ist $1$.

Answer

Die Folge divergiert gegen $infty$.

Answer

Der Grenzwert der Folge ist $0$.

Answer

Der Grenzwert der Folge ist $rac{1}{3}$.

Question 13

Wie kann das Cauchy-Folge-Kriterium eingesetzt werden, um die Konvergenz einer unendlichen Reihe nachzuweisen?

Accepted Answer

Durch den Nachweis, dass die Partialsummen der Reihe eine Cauchy-Folge bilden.

Answer

Durch den Nachweis, dass die Summe der Folgenglieder der Reihe endlich ist.

Answer

Durch den Nachweis, dass der Grenzwert der Folgenglieder der Reihe existiert.

Question 14

Bestimmen Sie mithilfe des Quotientenkriteriums, ob die Reihe $$sum_{n=1}^{infty} rac{n^3 + 2n^2 - 1}{2n^4 + 5n^3 - 3n^2 + 1}$$ konvergiert oder divergiert.

Accepted Answer

Die Reihe konvergiert gegen 0.

Answer

Die Reihe divergiert gegen $$infty$$.

Answer

Die Reihe divergiert gegen $-1$.

Answer

Man kann anhand des Quotientenkriteriums keine Aussage über die Konvergenz oder Divergenz der Reihe treffen.

Question 15

Gegeben sei eine reelle Zahl $x_0$. Beweisen Sie, dass die Folge $a_n$ mit $a_n = sqrt[n]{x_0}$ konvergiert und ihr Grenzwert $x_0$ ist.

Accepted Answer

Die Folge konvergiert gegen $x_0$.

Answer

Die Folge konvergiert gegen 0.

Answer

Die Folge ist nicht konvergent.

Answer

Die Folge konvergiert gegen 1.

Question 16

Gegeben sei eine Folge $a_n$, die gegen $a$ konvergiert. Beweise, dass dann auch die Folge $b_n = (-1)^n cdot a_n$ gegen $-a$ konvergiert.

Accepted Answer

Richtig, die Folge $b_n$ konvergiert gegen $-a$.

Answer

Falsch, die Folge $b_n$ divergiert.

Answer

Falsch, die Folge $b_n$ konvergiert gegen $0$.

Answer

Falsch, die Folge $b_n$ konvergiert gegen $a$.

Question 17

Welche der folgenden Aussagen trifft auf die Folge (a_n) = n² + 3 zu?

Accepted Answer

Die Folge konvergiert gegen unendlich.

Answer

Die Folge divergiert gegen unendlich.

Answer

Die Folge konvergiert gegen 3.

Answer

Die Folge divergiert gegen 0.

Question 18

Konvergiert die Reihe Σ(n=1 bis ∞) 1/n?

Accepted Answer

Nein, laut p-Test.

Answer

Ja, laut p-Test.

Answer

Ja, laut Quotientenkriterium.

Answer

Nein, laut Quotientenkriterium.

Question 19

Welche der folgenden Folgen ist eine geometrische Folge?

Accepted Answer

(a_n) = 3^n

Answer

(a_n) = 2n + 1

Answer

(a_n) = n!

Answer

(a_n) = sin(n)

Question 20

Welche der folgenden Reihen ist eine alternierende harmonische Reihe?

Accepted Answer

Σ(n=1 bis ∞) (-1)^n 1/n

Answer

Σ(n=1 bis ∞) 1/n

Answer

Σ(n=1 bis ∞) n^2

Answer

Σ(n=1 bis ∞) sin(n)

Question 21

Welche der folgenden Reihen ist eine Teleskopreihe?

Accepted Answer

Σ(n=1 bis ∞) (1/n - 1/(n+1))

Answer

Σ(n=1 bis ∞) n^2

Answer

Σ(n=1 bis ∞) e^n

Answer

Σ(n=1 bis ∞) sin(n)

Question 22

Welche der folgenden Reihen ist eine Taylorreihe?

Accepted Answer

Σ(n=0 bis ∞) x^n / n!

Answer

Σ(n=1 bis ∞) 1/n

Answer

Σ(n=1 bis ∞) n^2

Answer

Σ(n=1 bis ∞) sin(n)

Question 23

Welche Aussage über den Grenzwert einer Folge ist korrekt?

Accepted Answer

Der Grenzwert einer konvergenten Folge ist eindeutig bestimmt.

Answer

Der Grenzwert einer Folge kann existieren, auch wenn die Folge nicht konvergent ist.

Answer

Der Grenzwert einer Folge ist immer eine rationale Zahl.

Answer

Der Grenzwert einer Folge kann nur eine endliche Zahl sein.

Question 24

Welche der folgenden Reihen divergiert?

Accepted Answer

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... (harmonische Reihe)

Answer

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... (geometrische Reihe)

Answer

1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ... (alternierende Reihe)

Answer

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... (geometrische Reihe)

Question 25

Berechne den Grenzwert der Folge (n^2 + 1) / (n + 1) für n gegen unendlich:

Accepted Answer

1

Answer

e

Answer

unendlich

Answer

existiert nicht

Question 26

Welche der folgenden Reihen konvergiert auf eine rationale Zahl?

Accepted Answer

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...

Answer

1 + 2 + 3 + 4 + ...

Answer

1 - 1 + 1 - 1 + ...

Answer

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...

Question 27

Welche der folgenden Aussagen über die Taylor-Reihe ist korrekt?

Accepted Answer

Eine Näherung einer Funktion um einen bestimmten Punkt

Answer

Nur für Polynomfunktionen anwendbar

Answer

Konvergiert immer zur Funktion

Answer

Eine endliche Reihe

Question 28

Welche der folgenden Aussagen über Cauchy-Folgen ist zutreffend?

Accepted Answer

Konvergent

Answer

Endliche Anzahl von Termen

Answer

Nur reelle Zahlen als Terme

Answer

Monoton

Question 29

Welche der folgenden Reihen ist eine alternierende Reihe?

Accepted Answer

1 - 1 + 1 - 1 + ...

Answer

1 + 1 + 1 + 1 + ...

Answer

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...

Answer

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...

Question 30

Um zu zeigen, dass die Reihe ∑(n=1 bis ∞) (1 / (n²+1)) konvergent ist, verwenden Sie den Integraltest. Wie lautet der erste Schritt?

Accepted Answer

Integrieren Sie f(x) = 1 / (x²+1) von 1 bis ∞ und zeigen Sie, dass das Integral konvergiert.

Answer

Berechnen Sie die Grenzwerte von f(n) und (n²+1)/n für n gegen ∞.

Answer

Zeigen Sie, dass die Folge (1 / (n²+1)) monoton fallend ist.

Answer

Wenden Sie das Quotientenkriterium an.

Question 31

Ermitteln Sie die Taylor-Reihe zweiter Ordnung für die Funktion (f(x) = e^x) mit dem Entwicklungspunkt (x = 0).

Accepted Answer

(1 + x + rac{x^2}{2})

Answer

(x + x^2 + rac{x^3}{3})

Answer

(1 + 2x + x^2)

Answer

(e^x - x + rac{x^2}{2})

Question 32

Überprüfe die Konvergenz der Reihe ∑(n=1 bis ∞) ((-1)^(n-1) * n / (n²+2)) mit dem alternierenden Reihen-Test.

Accepted Answer

Die Reihe konvergiert, da die Terme alternieren und der Grenzwert des Absolutbetrags des n-ten Terms gegen 0 geht.

Answer

Die Reihe divergiert, da der Grenzwert des n-ten Terms nicht gegen 0 geht.

Answer

Die Reihe konvergiert, da die Terme alternieren.

Answer

Die Reihe divergiert, da die Terme nicht monoton sind.

Question 33

Überprüfen Sie, ob die Reihe ∑(n=1 bis ∞) (sin(1/n)) konvergiert oder divergiert.

Accepted Answer

Divergent, da sin(1/n) für n gegen unendlich oszilliert

Answer

Konvergent

Answer

Konvergent nach dem Majorantenkriterium

Answer

Konvergent nach dem Quotientenkriterium

Question 34

Sei $a_n= rac{(-1)^n}{n^2 + 1}$. Untersuche das Konvergenzverhalten des Produkts $prod_{n=1}^infty a_n$.

Accepted Answer

Divergent

Answer

Konvergent

Question 35

Bestimmen Sie die Taylor-Reihe dritter Ordnung für die Funktion f(x) = ln(x) um den Punkt x = 1 und untersuchen Sie deren Konvergenzradius.

Accepted Answer

ln(1) + (x - 1) - (x - 1)²/2 + (x - 1)³/3, Konvergenzradius: 2

Answer

ln(1) + (x - 1) + (x - 1)²/2 - (x - 1)³/3, Konvergenzradius: 1

Answer

ln(1) + (x - 1) - (x - 1)²/2 + (x - 1)³/4, Konvergenzradius: 3

Answer

ln(1) + (x - 1) + (x - 1)²/2 + (x - 1)³/3, Konvergenzradius: 1

Question 36

Nennen Sie drei zentrale mathematische Sätze aus der Theorie der Folgen und Reihen und erläutern Sie kurz deren Bedeutung.

Accepted Answer

Cauchy-Folge, Majorantenkriterium, Wurzelkriterium

Answer

Grenzwertsatz, Mittelwertsatz, Stetigkeitssatz

Answer

Satz von Pythagoras, Satz von Thales, Satz des Archimedes

Answer

Induktionsprinzip, Binomialtheorem, Taylorsatz

Question 37

Welche der folgenden Folgen ist eine Nullfolge?

Accepted Answer

(a_n), definiert als a_n = 1/(2^n)

Answer

(a_n), definiert als a_n = n²

Answer

(a_n), definiert als a_n = n

Question 38

Welche Anwendung von Reihen wird in der Physik genutzt?

Accepted Answer

Taylorreihen zur Approximation von Funktionen

Answer

Ableiten von Funktionen

Answer

Lösen von Gleichungssystemen

Answer

Berechnen von Integralen

Question 39

Welche der folgenden Folgen ist eine arithmetische Folge?

Accepted Answer

(a_n), definiert als a_n = 3n + 2

Answer

(a_n), definiert als a_n = n² + 1

Answer

(a_n), definiert als a_n = 2^n

Question 40

Welche der folgenden Folgen ist eine geometrische Folge?

Accepted Answer

(a_n), definiert als a_n = 2^n

Answer

(a_n), definiert als a_n = sin(n)

Answer

(a_n), definiert als a_n = n² + 1

Answer

(a_n), definiert als a_n = 3n + 2

Question 41

Welche der folgenden Reihen ist eine alternierende Reihe?

Accepted Answer

∑(n=1 bis ∞) (-1)^n / n

Answer

∑(n=1 bis ∞) n² + 1

Answer

∑(n=1 bis ∞) 2^n

Answer

∑(n=1 bis ∞) sin(n)

Question 42

Welche der folgenden Aussagen zur Definition einer Folge ist korrekt?

Accepted Answer

Eine Folge ist eine Abbildung der natürlichen Zahlenmenge in eine beliebige Menge.

Answer

Eine Folge ist lediglich eine Menge von Zahlen in bestimmter Anordnung.

Answer

Eine Folge ist eine Abbildung einer beliebigen Menge in die Menge der natürlichen Zahlen.

Question 43

Ermittle den Grenzwert der Folge $$a_n = rac{n^2 - 1}{n^2 + 1}$$.

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

2

Answer

unendlich

Question 44

Welche der folgenden Reihen konvergiert?

Accepted Answer

$$ sum rac{1}{n^2} $$

Answer

$$ sum rac{1}{n} $$

Answer

$$ sum rac{n}{2} $$

Answer

$$ sum n^2 $$

Question 45

Berechne die Summe der unendlichen geometrischen Reihe $$ sum_{n=1}^infty rac{1}{2^n}$$.

Accepted Answer

2

Answer

0

Answer

1

Answer

unendlich

Question 46

Bestimme den Grenzwert der Folge $$b_n = rac{2n^3 - 3n^2 + 1}{n^3 + 2n}$$.

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

3

Answer

unendlich

Question 47

Welche der folgenden Reihen ist eine alternierende Reihe?

Accepted Answer

$$ sum_{n=1}^infty (-1)^n rac{1}{n} $$

Answer

$$ sum_{n=1}^infty rac{n}{2} $$

Answer

$$ sum_{n=1}^infty n^2 $$

Answer

$$ sum_{n=1}^infty rac{1}{n} $$

Question 48

Berechne den Grenzwert der Folge (a_n), wobei a_n = (1 + 1/n)ⁿ.

Accepted Answer

e

Answer

1

Answer

n

Answer

0

Question 49

Bestimme, ob die Reihe Σ (n = 1 bis unendlich) (1 / n²) konvergiert oder divergiert.

Accepted Answer

Konvergiert

Answer

Bedingt konvergiert

Answer

Divergiert

Question 50

Welche Aussage zu der geometrischen Reihe Σ (n = 1 bis unendlich) (0,5)ⁿ ist richtig?

Accepted Answer

Konvergiert gegen 1

Answer

Konvergiert gegen 0,5

Answer

Divergiert

Answer

Konvergiert gegen 2

Question 51

Welche der folgenden Folgen ist eine arithmetische Folge?

Accepted Answer

a_n = 2n + 1

Answer

an = n2

Answer

a_n = sin(n)

Answer

a_n = 1 / n

Question 52

Welche Aussage zu der harmonischen Reihe Σ (n = 1 bis unendlich) 1 / n ist korrekt?

Accepted Answer

Divergiert

Answer

Konvergiert gegen e

Answer

Konvergiert gegen 1

Question 53

Welche der folgenden Reihen ist eine alternierende Reihe?

Accepted Answer

Σ (n = 1 bis unendlich) (-1)ⁿ / n

Answer

Σ (n = 1 bis unendlich) 2ⁿ

Answer

Σ (n = 1 bis unendlich) n

Answer

Σ (n = 1 bis unendlich) 1 / n²

Question 54

Berechne den Grenzwert des Ausdruckes (1 + 1 / n)ⁿ für n gegen unendlich.

Accepted Answer

e

Answer

0

Answer

1

Question 55

Welche der folgenden Folgen ist eine geometrische Folge?

Accepted Answer

an = 3n

Answer

an = n2

Answer

a_n = sin(n)

Answer

a_n = 1 / n

Question 56

Welche der folgenden Folgen ist eine geometrische Folge?

Accepted Answer

$a_n = 2cdot 3^n$

Answer

$a_n = \frac{1}{n+1}$

Answer

$a_n = n^2 + 1$

Answer

$a_n = (-1)^n$

Question 57

Welche der folgenden Reihen ist eine alternierende Reihe?

Accepted Answer

$sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} cdot \frac{1}{n}$

Answer

$sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2+1}$

Answer

$sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n+1}$

Answer

$sum_{n=1}^{\infty} 2^n$

Question 58

Welche der folgenden Reihen ist eine harmonische Reihe?

Accepted Answer

$sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$

Answer

$sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}$

Answer

$sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n+1}$

Answer

$sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$

Question 59

Welche Aussage über die Reihe $sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$ ist richtig?

Accepted Answer

Die Reihe divergiert.

Answer

Die Reihe ist alternierend.

Answer

Die Reihe konvergiert bedingt.

Answer

Die Reihe konvergiert absolut.

Question 60

Welche der folgenden Aussagen über die geometrische Reihe $sum_{n=1}^{\infty} a^n$ mit $|a|<1$ ist richtig?

Accepted Answer

Die Reihe konvergiert gegen $\frac{1}{1-a}$.

Answer

Die Reihe konvergiert gegen $a$.

Answer

Die Reihe konvergiert gegen unendlich.

Answer

Die Reihe divergiert.

Question 61

Welche der folgenden Reihen ist konvergent?

Accepted Answer

Σ[n=1 bis ∞] (1 / n²)

Answer

Σ[n=1 bis ∞] 1 / n

Answer

Σ[n=1 bis ∞] n

Answer

Σ[n=1 bis ∞] n²

Question 62

Welche der folgenden Folgen divergiert?

Accepted Answer

(a_n) = (-1)^n * n

Answer

(a_n) = 1 / n

Answer

(a_n) = n / (n+1)

Answer

(a_n) = sin(n)

Question 63

Berechne die Summe der unendlichen geometrischen Reihe 1 + x + x² + x³ + ... für |x| < 1.

Accepted Answer

1 / (1 - x)

Answer

x² / (1 - x)

Answer

x / (1 - x)

Answer

(1 - x) / x

Question 64

Welche der folgenden Reihen ist eine alternierende harmonische Reihe?

Accepted Answer

Σ[n=1 bis ∞] (-1)^n / n

Answer

Σ[n=1 bis ∞] (-1)^n * n

Answer

Σ[n=1 bis ∞] (-1)^n / n²

Answer

Σ[n=1 bis ∞] 1 / n