Eigenwerte und Eigenvektoren: Online-Quiz für die 12. Klasse Fachoberschule

Question 1

Welche Aussage zu Eigenwerten ist korrekt?

Accepted Answer

Eigenwerte sind Skalare.

Answer

Eigenwerte beschreiben den Grad der linearen Abhängigkeit von Eigenvektoren.

Question 2

Welche Aussage zum Spektralsatz ist richtig?

Accepted Answer

Jede symmetrische Matrix ist diagonalisierbar.

Answer

Jede Matrix mit komplexen Eigenwerten ist diagonalisierbar.

Answer

Jede Matrix mit reellen Eigenwerten ist diagonalisierbar.

Answer

Jede diagonale Matrix ist diagonalisierbar.

Question 3

Was besagt der Spektralsatz?

Accepted Answer

Jede symmetrische Matrix kann in eine Diagonalmatrix umgewandelt werden, wobei die Eigenwerte auf der Diagonalen stehen.

Answer

Jede Matrix ist invertierbar.

Answer

Jede Matrix hat mindestens einen Eigenwert ungleich Null.

Answer

Jede Matrix hat einen Eigenvektor.

Question 4

Welche Aussage über Matrizen mit komplexen Eigenwerten ist korrekt?

Accepted Answer

Sie haben immer paarweise konjugiert komplexe Eigenwerte.

Answer

Sie sind immer diagonalisierbar.

Answer

Sie sind immer symmetrisch.

Answer

Sie sind immer invertierbar.

Question 5

Wie viele Eigenwerte hat eine n x n Matrix?

Accepted Answer

n

Answer

n^2

Answer

n-1

Answer

n+1

Question 6

Beschreibe den Eigenraum, der zum Eigenvektor einer gegebenen Matrix gehört.

Accepted Answer

Eine Gerade durch den Ursprung, parallel zum Eigenvektor

Answer

Eine Ebene durch den Ursprung, die den Eigenvektor enthält

Answer

Ein Vektor, der parallel zum Eigenvektor ist

Answer

Ein Punkt auf dem Eigenvektor

Question 7

Bestimmen Sie einen Eigenvektor zum Eigenwert λ = 1 der Matrix B = [[1, 2], [2, 1]]

Accepted Answer

[[1],     [-1]]

Answer

[[1],      1 ]

Answer

[[1, 0]]

Answer

[[0, 1]]

Question 8

Welche der folgenden Matrizen ist nicht diagonalisierbar?

Accepted Answer

[[1, 0], [1, 1]]

Answer

[[1, 2], [2, 1]]

Answer

[[1, 2], [0, 1]]

Answer

[[1, 0], [0, 2]]

Question 9

Wie lautet die charakteristische Gleichung einer Matrix A?

Accepted Answer

det(A - λI) = 0

Answer

det(A + λI) = 0

Answer

tr(A - λI) = 0

Answer

tr(A + λI) = 0

Question 10

Welche der folgenden Matrizen besitzt keine Eigenvektoren?

Accepted Answer

B = [[0, 1], [0, 0]]

Answer

A = [[1, 0], [0, 1]]

Answer

C = [[1, 0], [0, -1]]

Answer

D = [[1, 1], [1, 1]]

Question 11

Wie lautet die algebraische Vielfachheit eines Eigenwerts?

Accepted Answer

Die Anzahl der Male, die der Eigenwert in der charakteristischen Gleichung vorkommt.

Answer

Die Anzahl der Eigenvektoren, die zu diesem Eigenwert gehören.

Answer

Die Dimension des Eigenraums.

Answer

Die Summe der Eigenvektoren, die zu diesem Eigenwert gehören.

Question 12

Was ist die geometrische Vielfachheit eines Eigenwerts?

Accepted Answer

Die Dimension des Eigenraums.

Answer

Die Anzahl der Eigenvektoren, die zu diesem Eigenwert gehören.

Answer

Die Anzahl der Male, die der Eigenwert in der charakteristischen Gleichung vorkommt.

Answer

Die Summe der Eigenvektoren, die zu diesem Eigenwert gehören.

Question 13

Was ist ein Eigenvektor einer Matrix?

Accepted Answer

Ein Vektor, der beim Multiplizieren mit der Matrix ein Vielfaches seiner selbst ergibt.

Answer

Ein Vektor, der orthogonal zu anderen Eigenvektoren derselben Matrix ist.

Answer

Ein Vektor, der durch eine Linearkombination der Spaltenvektoren der Matrix entsteht.

Answer

Ein Vektor, dessen Länge nach Multiplikation mit der Matrix erhalten bleibt.

Question 14

Welche der folgenden Aussagen trifft auf den Spektralsatz nicht zu?

Accepted Answer

Der Spektralsatz gilt nur für quadratische Matrizen.

Answer

Jede symmetrische Matrix ist diagonalisierbar.

Answer

Die Eigenwerte einer symmetrischen Matrix sind reell.

Answer

Die Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix sind orthogonal.

Question 15

Welche Anwendung hat die Diagonalisierung von Matrizen?

Accepted Answer

Alle genannten Anwendungen.

Answer

Lösen von linearen Differentialgleichungssystemen.

Answer

Berechnen von Potenzen einer Matrix.

Answer

Bestimmen der Inversen einer Matrix.

Question 16

Was besagt der Spektralsatz?

Accepted Answer

Symmetrische Matrizen besitzen reelle Eigenwerte und sind diagonalisierbar

Answer

Alle Matrizen besitzen reelle Eigenwerte und sind diagonalisierbar

Answer

Nur Matrizen mit reellen Einträgen besitzen Eigenwerte

Answer

Nur Matrizen mit komplexen Einträgen besitzen Eigenwerte

Question 17

Berechne die Eigenwerte der Matrix A = [[2, 1], [-1, 2]]

Accepted Answer

1, 3

Answer

2, 1

Answer

-1, 3

Answer

1, -3

Question 18

Welche Aussage über den Spektralsatz ist falsch?

Accepted Answer

Der Spektralsatz gilt für alle quadratischen Matrizen.

Answer

Die Eigenwerte einer symmetrischen Matrix sind reell.

Answer

Die Eigenräume einer symmetrischen Matrix sind orthogonal.

Answer

Der Spektralsatz kann zur Lösung von Differentialgleichungen verwendet werden.

Question 19

Welche der folgenden Aussagen charakterisiert Eigenwerte?

Accepted Answer

Nullstellen des charakteristischen Polynoms

Answer

Immer reelle Zahlen

Answer

Immer positive Werte

Answer

Entsprechen den Diagonalelementen der Matrix

Question 20

Wie wird der Eigenwert einer Matrix berechnet?

Accepted Answer

Lösung der charakteristischen Gleichung

Answer

Berechnung der Determinante der Matrix

Answer

Berechnung der Spur der Matrix

Answer

Multiplikation der Matrix mit einer Orthogonalmatrix

Question 21

Was besagt der Spektralsatz für symmetrische Matrizen?

Accepted Answer

Alle Aussagen treffen zu.

Answer

Jede symmetrische Matrix kann diagonalisiert werden.

Answer

Die Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix sind orthogonal zueinander.

Answer

Die Eigenwerte einer symmetrischen Matrix sind alle reell.

Question 22

Welche der folgenden Aussagen zu Eigenwerten ist richtig?

Accepted Answer

Eigenwerte sind charakteristische Zahlen, die das Verhalten einer Matrix beschreiben.

Answer

Eigenwerte sind Vektoren, die senkrecht zu den Eigenvektoren stehen.

Answer

Eigenwerte können nur positive Zahlen sein.

Question 23

Welche der folgenden Matrizen hat den Eigenwert 3?

Accepted Answer

[[3, 1], [-1, 2]]

Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[3, -2], [1, 0]]

Question 24

Welcher der folgenden Vektoren ist ein Eigenvektor der Matrix [[1, 2], [-1, 1]] zum Eigenwert 2?

Accepted Answer

[1, 1]

Answer

[1, 0]

Answer

[0, 1]

Answer

[2, 1]

Question 25

Welcher der folgenden Sätze über den Spektralsatz ist richtig?

Accepted Answer

Jede symmetrische Matrix kann in eine Orthogonalmatrix und eine Diagonalmatrix zerlegt werden.

Answer

Jede Diagonalmatrix kann in eine Orthogonalmatrix und eine symmetrische Matrix zerlegt werden.

Answer

Jede Matrix kann in eine Orthogonalmatrix und eine Diagonalmatrix zerlegt werden.

Question 26

Welche der folgenden Aussagen beschreibt Eigenwerte einer Matrix korrekt?

Accepted Answer

Sie sind charakteristische Zahlen, die das Verhalten der Matrix beschreiben.

Answer

Sie sind immer positiv.

Answer

Sie sind immer reell.

Answer

Sie sind immer ganze Zahlen.

Question 27

Der Spektralsatz besagt, dass jede symmetrische Matrix ...

Accepted Answer

... orthogonal diagonalisierbar ist.

Answer

... nur positive Eigenwerte hat.

Answer

... invertierbar ist.

Answer

... nur einen Eigenwert hat.

Question 28

Bestimme einen Eigenvektor zum Eigenwert λ = 2 der Matrix A = [[1, 2], [2, 1]].

Accepted Answer

[(1), (1)]

Answer

[(-1), (1)]

Answer

[(1), (-2)]

Answer

[(2), (-1)]

Question 29

Welche Bedingung muss eine orthonormale Basis erfüllen?

Accepted Answer

Die Vektoren sind paarweise orthogonal und haben die Länge 1.

Answer

Die Vektoren sind alle gleich lang.

Answer

Die Vektoren sind linear abhängig.

Answer

Die Vektoren haben alle die gleiche Richtung.

Question 30

Welche Aussage über die Inverse einer diagonalisierbaren Matrix ist korrekt?

Accepted Answer

Sie ist ebenfalls diagonalisierbar.

Answer

Sie ist immer symmetrisch.

Answer

Sie existiert nur, wenn alle Eigenwerte positiv sind.

Answer

Sie ist nicht diagonalisierbar.

Question 31

Welche Aussage über Eigenräume ist richtig?

Accepted Answer

Jeder Eigenraum ist ein Unterraum des Vektorraums.

Answer

Eigenräume sind immer eindimensional.

Answer

Verschiedene Eigenräume sind immer orthogonal zueinander.

Answer

Eigenräume sind nur für invertierbare Matrizen definiert.

Question 32

Welche der folgenden Matrizen besitzt den Eigenwert λ = 2 mit zugehörigem Eigenvektor v = (1, 1)?

Accepted Answer

A = [[2, 1], [-1, 2]]

Answer

A = [[1, -1], [2, 2]]

Answer

A = [[1, 2], [1, 3]]

Question 33

Welche Aussage beschreibt die geometrische Bedeutung eines Eigenvektors?

Accepted Answer

Eigenvektoren geben die Richtungen an, in denen eine lineare Transformation eine Linienstreckung bewirkt.

Answer

Eigenvektoren geben die Punkte an, die durch eine lineare Transformation fixiert werden.

Answer

Eigenvektoren geben die Skalierungsfaktoren für eine lineare Transformation an.

Question 34

Was ist der Spektralsatz für eine reelle symmetrische Matrix?

Accepted Answer

Die Matrix ist diagonalisierbar mit reellen Eigenwerten und orthogonalen Eigenvektoren.

Answer

Die Matrix ist diagonalisierbar mit komplexen Eigenwerten und nicht-orthogonalen Eigenvektoren.

Answer

Die Matrix ist nicht diagonalisierbar.

Question 35

Welche Aussage über den Eigenwert 0 ist korrekt?

Accepted Answer

Der Eigenwert 0 ist nur möglich, wenn die Matrix singulär ist.

Answer

Der Eigenwert 0 ist nur möglich, wenn die Matrix invertierbar ist.

Answer

Der Eigenwert 0 ist immer ein einfacher Eigenwert.

Question 36

Was ist die geometrische Interpretation der Eigenvektoren einer Transformationsmatrix?

Accepted Answer

Sie geben die Richtungen an, in denen die Transformation eine Skalierung bewirkt.

Answer

Sie geben die Punkte an, die durch die Transformation fixiert werden.

Answer

Sie geben die Rotationswinkel für die Transformation an.

Question 37

Welche Aussage über die Matrix C = \begin{pmatrix} 3 & 2 \ -2 & 3 \end{pmatrix} ist richtig?

Accepted Answer

C ist diagonalisierbar.

Answer

C hat nur einen Eigenwert.

Answer

C ist nicht diagonalisierbar.

Question 38

Bestimmen Sie den Spektralradius der Matrix D = \begin{pmatrix} 0.5 & 0.2 \ 0.3 & 0.7 \end{pmatrix}.

Accepted Answer

0.9

Answer

1.2

Answer

0.5

Question 39

Welche Aussage über die Eigenwerte einer Matrix ist immer richtig?

Accepted Answer

Die Summe der Eigenwerte ist gleich der Spur der Matrix.

Answer

Die Anzahl der Eigenwerte ist gleich der Determinante der Matrix.

Answer

Das Produkt der Eigenwerte ist gleich der Determinante der Matrix.

Question 40

Welche Aussage über die Eigenwerte einer Matrix ist immer richtig?

Accepted Answer

Eigenwerte einer Matrix können komplex sein.

Answer

Eigenwerte einer Matrix sind immer positiv.

Answer

Die Anzahl der Eigenwerte einer Matrix ist immer ungerade.

Question 41

Welche der folgenden Aussagen über Eigenvektoren ist FALSCH?

Accepted Answer

Eigenvektoren linear unabhängiger Matrizen können linear abhängig sein.

Answer

Eigenvektoren bleiben unter linearen Transformationen in derselben Richtung.

Answer

Eigenvektoren können Nullvektoren sein.

Answer

Eigenvektoren können komplex sein.

Question 42

Identifiziere den Eigenvektor zum Eigenwert λ = 3 der Matrix [[2, 1], [1, 2]]

Accepted Answer

[1, 1]

Answer

[0, 1]

Answer

[1, 2]

Answer

[2, 1]

Question 43

Welche Bedingung muss für die Diagonalisierbarkeit einer Matrix erfüllt sein?

Accepted Answer

Die Matrix muss eine vollständige Menge linear unabhängiger Eigenvektoren besitzen.

Answer

Die Matrix muss symmetrisch sein.

Answer

Die Matrix muss invertierbar sein.

Question 44

Diagonalisiere die Matrix A = [[1, 2], [2, 1]] in die Form A = TDT⁻¹. Berechne die Diagonalmatrix D und die Transformationsmatrix T.

Accepted Answer

D = [[3, 0], [0, -1]], T = [[1, 1], [1, -1]]

Answer

D = [[2, 0], [0, 2]], T = [[1, 1], [1, 1]]

Answer

D = [[1, 0], [0, 1]], T = [[1, 0], [0, 1]]

Answer

D = [[2, 0], [0, -1]], T = [[1, 0], [0, 1]]

Question 45

Welche Aussage zum Spektralsatz ist korrekt?

Accepted Answer

Jede symmetrische Matrix ist diagonalisierbar.

Answer

Jede diagonalisierbare Matrix ist symmetrisch.

Answer

Der Spektralsatz gilt nur für reelle Matrizen.

Question 46

Welche der folgenden Anwendungen nutzt Eigenwerte und Eigenvektoren?

Accepted Answer

Bestimmung der Hauptkomponenten einer Datenmatrix.

Answer

Analyse von Schwingungssystemen.

Answer

Lösung linearer Gleichungssysteme.

Answer

Berechnung der Determinante einer Matrix.

Question 47

Gegeben ist die Matrix A = [[1, 2], [2, 1]] und der Vektor v = [1, 1]. Berechne Av.

Accepted Answer

[3, 3]

Answer

[4, 4]

Answer

[1, 1]

Answer

[2, 2]

Question 48

Welche Gleichung beschreibt die Eigenwertgleichung?

Accepted Answer

Av = λv

Answer

A - v = λv

Answer

A + v = λ

Answer

Av = v + λ

Question 49

Welche Aussage über die Eigenwerte einer Matrix ist korrekt?

Accepted Answer

Die Eigenwerte einer Matrix sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms.

Answer

Die Eigenwerte einer Matrix sind die Diagonalelemente der Matrix.

Answer

Die Eigenwerte einer Matrix sind die Elemente der ersten Zeile der Matrix.

Question 50

Welche der folgenden Aussagen über Eigenvektoren ist FALSCH?

Accepted Answer

Eigenvektoren müssen immer linear unabhängig sein.

Answer

Eigenvektoren werden bei der linearen Transformation durch die zugehörige Matrix nur skaliert.

Answer

Eigenvektoren können Nullvektoren sein.

Answer

Eigenvektoren bleiben bei der linearen Transformation durch die zugehörige Matrix in dieselbe Richtung.

Question 51

Welche der folgenden Matrizen ist diagonalisierbar?

Accepted Answer

[[2, 1], [0, 2]]

Answer

[[0, 1], [1, 0]]

Answer

[[1, 1], [1, 1]]

Answer

[[1, 0], [1, 1]]

Question 52

Gegeben ist die Matrix A = [[1, 2], [2, 1]].  Bestimmen Sie den Eigenwert von A, der dem Eigenvektor [1, 1] entspricht.

Accepted Answer

3

Answer

2

Answer

4

Answer

1

Question 53

Welche Aussage über den Spektralsatz ist FALSCH?

Accepted Answer

Der Spektralsatz gilt nur für symmetrische Matrizen.

Answer

Der Spektralsatz besagt, dass eine symmetrische Matrix diagonalisierbar ist.

Answer

Der Spektralsatz garantiert, dass die Eigenwerte einer symmetrischen Matrix reell sind.

Question 54

Eine Matrix A hat den Eigenwert λ = 3 mit algebraischer Vielfachheit 2. Wie viele linear unabhängige Eigenvektoren zu λ = 3 gibt es mindestens?

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

2

Question 55

Welche der folgenden Aussagen über die Determinante einer Matrix ist IMMER korrekt?

Accepted Answer

Die Determinante einer Matrix ist das Produkt ihrer Eigenwerte.

Answer

Die Determinante einer Matrix ist die Summe ihrer Eigenwerte.

Answer

Die Determinante einer Matrix ist gleich dem größten Eigenwert.

Question 56

Gegeben ist die Matrix A = [[2, 1], [1, 2]]. Bestimmen Sie die Eigenwerte von A.

Accepted Answer

λ = 1, λ = 3

Answer

λ = 0, λ = 4

Answer

λ = 1, λ = 2

Answer

λ = 2, λ = 2

Question 57

Welche der folgenden Matrizen hat KEINEN Eigenwert?

Accepted Answer

[[1, 1], [-1, -1]]

Answer

[[2, 0], [0, 2]]

Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[0, 1], [1, 0]]

Question 58

Welche der folgenden Anwendungen nutzt Eigenwerte und Eigenvektoren?

Accepted Answer

Stabilitätsanalyse von Systemen

Answer

Graphische Darstellung von Funktionen

Answer

Lösung von linearen Gleichungssystemen

Answer

Berechnung von Mittelwerten

Question 59

Wie lautet die charakteristische Gleichung der Matrix A = [[a, b], [c, d]]?

Accepted Answer

λ² - (a + d)λ + (ad - bc) = 0

Answer

λ² + (a + d)λ - (ad - bc) = 0

Answer

λ² - (a + d)λ - (ad - bc) = 0

Answer

λ² + (a + d)λ + (ad - bc) = 0