Zufallsvariablen in der Stochastik: Definition, Verteilungen und Anwendungen

Question 1

Welche der folgenden Aussagen ist falsch?

Accepted Answer

Die Verteilungsfunktion der Summe unabhängiger Zufallsvariablen ist die Summe der Verteilungsfunktionen.

Answer

Der Erwartungswert der Summe unabhängiger Zufallsvariablen entspricht der Summe der Erwartungswerte.

Answer

Die Varianz der Summe unabhängiger Zufallsvariablen entspricht der Summe der Varianzen.

Answer

Die Summe unabhängiger Zufallsvariablen ist ebenfalls eine Zufallsvariable.

Question 2

Welche Verteilung ist eine stetige Verteilung?

Accepted Answer

Normalverteilung

Answer

Binomialverteilung

Answer

Poissonverteilung

Answer

Hypergeometrische Verteilung

Question 3

Was unterscheidet die empirische von der theoretischen Verteilungsfunktion?

Accepted Answer

Die empirische Funktion beruht auf beobachteten Daten, die theoretische auf einem Modell.

Answer

Die empirische Funktion ist immer stetig, die theoretische kann auch diskret sein.

Answer

Die theoretische Funktion ist stets präziser als die empirische.

Answer

Es besteht kein Unterschied zwischen beiden Verteilungsfunktionen.

Question 4

Welche Verteilung ist eine symmetrische Verteilung?

Accepted Answer

Normalverteilung

Answer

Binomialverteilung

Answer

Poissonverteilung

Answer

Hypergeometrische Verteilung

Question 5

Berechnen Sie den Erwartungswert der Zufallsvariablen X, die die Augenzahl beim Würfeln angibt.

Accepted Answer

3,5

Answer

2

Answer

4

Answer

5

Question 6

Welche der folgenden Zufallsvariablen ist binomialverteilt?

Accepted Answer

Anzahl der Erfolge in n unabhängigen Bernoulli-Experimenten.

Answer

Wartezeit bis zum ersten Erfolg in einer Folge unabhängiger Bernoulli-Experimente.

Answer

Zeitspanne zwischen zwei aufeinanderfolgenden Erfolgen in einer Folge unabhängiger Bernoulli-Experimente.

Answer

Anzahl der Defekte in einem Los von n Produkten.

Question 7

Welche der folgenden Zufallsvariablen ist t-verteilt?

Accepted Answer

Standardisierte Stichprobenmittel aus einer Normalverteilung.

Answer

Anzahl der Erfolge in n unabhängigen Bernoulli-Experimenten.

Answer

Wartezeit bis zum ersten Erfolg in einer Folge unabhängiger Bernoulli-Experimente.

Answer

Zeitspanne zwischen zwei aufeinanderfolgenden Erfolgen in einer Folge unabhängiger Bernoulli-Experimente.

Question 8

Welche der folgenden Zufallsvariablen ist F-verteilt?

Accepted Answer

Verhältnis zweier unabhängiger Chi-Quadrat-verteilter Zufallsvariablen.

Answer

Standardisierte Stichprobenmittel aus einer Normalverteilung.

Answer

Anzahl der Erfolge in n unabhängigen Bernoulli-Experimenten.

Answer

Wartezeit bis zum ersten Erfolg in einer Folge unabhängiger Bernoulli-Experimente.

Question 9

Welche der folgenden Aussagen definiert eine Zufallsvariable korrekt?

Accepted Answer

Eine Zuordnung, die jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine numerische Größe zuweist.

Answer

Ein Ereignis, das in einem Zufallsexperiment eintreten kann.

Answer

Die Menge der möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments.

Answer

Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Menge der möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments.

Question 10

Welche der folgenden Verteilungsfunktionen ist für eine stetige Zufallsvariable geeignet?

Accepted Answer

F(x) = P(X ≤ x)

Answer

F(x) = P(X = x)

Answer

F(x) = P(X > x)

Answer

F(x) = P(X < x)

Question 11

Wie berechnet man den Erwartungswert einer Zufallsvariablen X mit der Verteilungsfunktion F(x)?

Accepted Answer

∫ x dF(x)

Answer

∫ F(x) dx

Answer

∫ (x - E(X))² dF(x)

Answer

σ² ⋅ E(X)

Question 12

Welche der folgenden Zufallsvariablen folgt einer Binomialverteilung?

Accepted Answer

Anzahl der Erfolge in unabhängigen Versuchen mit konstanter Erfolgswahrscheinlichkeit.

Answer

Zeit bis zum ersten Erfolg in unabhängigen Versuchen mit konstanter Erfolgswahrscheinlichkeit.

Answer

Anzahl der Erfolge in unabhängigen Versuchen mit variierenden Erfolgswahrscheinlichkeiten.

Answer

Dauer eines zufälligen Ereignisses.

Question 13

Was beschreibt die bedingte Wahrscheinlichkeit P(X | Y)?

Accepted Answer

Wahrscheinlichkeit, dass X eintritt, wenn Y bereits eingetreten ist.

Answer

Unabhängig von der Wahrscheinlichkeit von Y.

Answer

Immer größer als die Wahrscheinlichkeit von X.

Answer

Immer kleiner als die Wahrscheinlichkeit von Y.

Question 14

Was ist das Ziel einer Monte-Carlo-Simulation?

Accepted Answer

Numerische Problemlösung durch Simulation.

Answer

Vorhersage zukünftiger Ereignisse.

Answer

Optimierung von Entscheidungsmodellen.

Answer

Datenanalyse.

Question 15

Welche Eigenschaft trifft auf die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen zu?

Accepted Answer

Sie steigt monoton an

Answer

Sie fällt monoton ab

Answer

Sie ist konstant

Answer

Sie ist nicht eindeutig bestimmt

Question 16

Wie berechnet man den Erwartungswert einer Zufallsvariablen?

Accepted Answer

Indem man alle möglichen Werte mit ihren Wahrscheinlichkeiten summiert

Answer

Indem man die Verteilungsfunktion integriert

Answer

Indem man die Verteilungsfunktion differenziert

Answer

Indem man die Summe aller möglichen Werte durch ihre Anzahl dividiert

Question 17

Was ist die Varianz einer Zufallsvariablen?

Accepted Answer

Ein Maß für die Streuung ihrer möglichen Werte

Answer

Ein Maß für ihr arithmetisches Mittel

Answer

Ein Maß für die Wahrscheinlichkeit des Auftretens eines bestimmten Werts

Answer

Ein Maß für die Steigung der Verteilungsfunktion

Question 18

Welche Verteilung hat eine Zufallsvariable, die die Anzahl der Erfolge in n unabhängigen Bernoulli-Experimenten zählt?

Accepted Answer

Binomialverteilung

Answer

Normalverteilung

Answer

Poissonverteilung

Answer

Gleichverteilung

Question 19

Eine Zufallsvariable ist eine Funktion, die jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine reelle Zahl zuordnet.

Accepted Answer

Ja, diese Aussage ist korrekt.

Answer

Nein, diese Aussage ist falsch.

Question 20

Welche der folgenden Verteilungsfunktionen beschreibt eine binomialverteilte Zufallsvariable?

Accepted Answer

P(X = k) = (n über k) * p^k * (1-p)^(n-k)

Answer

P(X = k) = λ^k * e^(-λ) / k!

Answer

P(X ≤ x) = 1 - e^(-λx)

Answer

P(X = x) = (1/σ√(2π)) * e^(-(x-μ)²/(2σ²))

Question 21

Wie hoch ist der Erwartungswert der Zufallsvariable X mit der Verteilungsfunktion P(X = k) = k/10 für k = 1, 2, 3, 4, 5?

Accepted Answer

2,5

Answer

1

Answer

3

Answer

4

Question 22

Welche Aussage zur Varianz einer Zufallsvariable ist nicht korrekt?

Accepted Answer

Die Varianz einer Zufallsvariable kann größer als ihr Erwartungswert sein.

Answer

Die Varianz ist ein Maß für die Streuung der Zufallsvariable.

Answer

Die Varianz einer konstanten Zufallsvariable ist gleich Null.

Answer

Die Varianz einer Zufallsvariable ist immer positiv oder Null.

Question 23

Welche Verteilungsfunktion beschreibt eine gleichverteilte Zufallsvariable auf dem Intervall [0, 1]?

Accepted Answer

P(X ≤ x) = x für x ∈ [0, 1]

Answer

P(X = x) = 1/2 für x ∈ [0, 1]

Answer

P(X ≤ x) = 1 für x ∈ [0, 1]

Answer

P(X = x) = 0 für x ∈ [0, 1]

Question 24

Berechne die Wahrscheinlichkeit P(X ≤ 1) für die Zufallsvariable X mit der Verteilungsfunktion P(X ≤ x) = 1 - e^(-x) für x ≥ 0.

Accepted Answer

0,6321

Answer

0

Answer

0,5

Answer

1

Question 25

Welche Aussage zur Unabhängigkeit von Zufallsvariablen ist korrekt?

Accepted Answer

Zwei Zufallsvariablen sind unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit des Eintretens einer Zufallsvariablen nicht vom Eintreten der anderen Zufallsvariablen beeinflusst wird.

Answer

Zwei Zufallsvariablen sind unabhängig, wenn ihre Verteilungsfunktionen voneinander abhängen.

Answer

Zwei Zufallsvariablen sind unabhängig, wenn ihr Erwartungswert voneinander abhängt.

Answer

Zwei Zufallsvariablen sind unabhängig, wenn ihre Varianzen gleich sind.

Question 26

Welche Aussage zur Verteilungsfunktion F(x) einer Zufallsvariable ist korrekt?

Accepted Answer

Alle genannten Aussagen sind korrekt.

Answer

Sie ist monoton wachsend.

Answer

Sie ist im Intervall der möglichen Werte stetig.

Answer

Sie nimmt Werte zwischen 0 und 1 an.

Question 27

Eine Zufallsvariable X ist gleichverteilt auf dem Intervall [0, 1]. Berechne ihre Varianz.

Accepted Answer

1/2

Answer

0

Answer

1/4

Answer

1/6

Question 28

Welche Aussage zum Median einer Zufallsvariablen ist korrekt?

Accepted Answer

Er teilt die Werte der Zufallsvariablen in zwei gleich große Hälften.

Answer

Er ist die Summe aller Werte der Zufallsvariablen.

Answer

Er ist der Wert, der am häufigsten auftritt.

Answer

Er ist der Erwartungswert der Zufallsvariablen.

Question 29

Welche der folgenden Zufallsvariablen ist stetig?

Accepted Answer

Temperatur in einem Raum

Answer

Anzahl der Unfälle pro Tag

Answer

Größe eines Schuhs

Answer

Anzahl der Geschwister

Question 30

Unabhängigkeit zweier Zufallsvariablen bedeutet, dass:

Accepted Answer

Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses wird nicht durch das Eintreten des anderen Ereignisses beeinflusst.

Answer

Die Erwartungswerte der beiden Zufallsvariablen sind gleich.

Answer

Die beiden Zufallsvariablen haben dieselbe Verteilung.

Answer

Keine der genannten Aussagen trifft zu.

Question 31

Eine Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit n = 10 und p = 0,4. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass X den Wert 5 annimmt.

Accepted Answer

0,1073

Answer

0,2555

Answer

0,3750

Answer

0,4394

Question 32

Die Kovarianz von zwei Zufallsvariablen X und Y ist negativ. Welcher der folgenden Schlüsse ist korrekt?

Accepted Answer

X und Y sind negativ korreliert

Answer

X und Y sind positiv korreliert

Answer

Die Korrelation zwischen X und Y ist 0

Answer

Die Korrelation zwischen X und Y ist 1

Question 33

Welche der folgenden Umformungen einer Zufallsvariablen ist nicht zulässig?

Accepted Answer

X^2 (für X ≥ 0)

Answer

X + Y

Answer

X - Y

Answer

X · Y

Question 34

Die Zufallsvariablen X und Y sind unabhängig. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl X als auch Y größer als 1 sind.

Accepted Answer

P(X > 1) · P(Y > 1)

Answer

P(X > 1) + P(Y > 1) - P(X > 1) · P(Y > 1)

Answer

P(X > 1) - P(Y > 1)

Answer

P(X > 1) + P(Y > 1)

Question 35

Der Stichprobenmittelwert einer Stichprobe vom Umfang n aus einer Normalverteilung mit bekannter Varianz σ² ist eine Zufallsvariable, die:

Accepted Answer

selbst normalverteilt ist mit dem Erwartungswert μ und der Varianz σ²/n

Answer

selbst normalverteilt ist mit dem Erwartungswert μ und der Varianz σ²

Answer

nicht normalverteilt ist

Answer

binomischverteilt ist

Question 36

Was bedeutet der Begriff "Zufallsvariable"?

Accepted Answer

Eine Funktion, die jedem Ergebnis eines Zufallsexperiments eine eindeutige reelle Zahl zuordnet

Answer

Eine Größe, die sich zufällig verändert

Answer

Ein Ereignis, dessen Eintreten ungewiss ist

Question 37

Welche der folgenden Verteilungen ist eine stetige Zufallsverteilung?

Accepted Answer

Normalverteilung

Answer

Binomialverteilung

Answer

Poissonverteilung

Answer

Hypergeometrische Verteilung

Question 38

Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses?

Accepted Answer

Wahrscheinlichkeit = Anzahl der günstigen Ergebnisse / Anzahl aller möglichen Ergebnisse

Answer

Wahrscheinlichkeit = Summe der Wahrscheinlichkeiten aller günstigen Ergebnisse

Answer

Wahrscheinlichkeit = 1 / Anzahl aller möglichen Ergebnisse

Answer

Wahrscheinlichkeit = Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses

Question 39

Welche der folgenden Eigenschaften beschreibt eine Binomialverteilung?

Accepted Answer

Diskrete Verteilung, Anzahl der Versuche und Erfolgswahrscheinlichkeit sind fest

Answer

Rechtschiefe Verteilung, Modus < Mittelwert

Answer

Symmetrische Verteilung, Mittelwert = Median = Modus

Answer

Stetige Verteilung, Mittelwert und Standardabweichung sind konstant

Question 40

Was ist der Erwartungswert einer Zufallsvariablen?

Accepted Answer

Der gewichtete Mittelwert der möglichen Werte der Zufallsvariablen

Answer

Der wahrscheinlichste Wert der Zufallsvariablen

Answer

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Werte

Question 41

Welche der folgenden Größen ist keine Kenngröße einer Zufallsverteilung?

Accepted Answer

Häufigkeit

Answer

Standardabweichung

Answer

Erwartungswert

Answer

Varianz

Question 42

Welche der folgenden Verteilungen wird verwendet, um die Wartezeit auf einen Bus zu modellieren?

Accepted Answer

Exponentialverteilung

Answer

Normalverteilung

Answer

Poissonverteilung

Answer

Binomialverteilung

Question 43

Was ist eine Zufallsvariable?

Accepted Answer

Eine Zufallsvariable ist eine Größe, deren Wert zufällig variiert.

Answer

Eine Zufallsvariable kann nur Werte zwischen 0 und 1 annehmen.

Answer

Eine Zufallsvariable ist immer eine feste Zahl.

Question 44

Welche der folgenden ist KEINE diskrete Zufallsvariable?

Accepted Answer

Die Körpergröße eines zufällig ausgewählten Schülers.

Answer

Die Anzahl der Autos, die in einer Stunde an einer bestimmten Stelle vorbeifahren.

Answer

Die Anzahl der defekten Glühbirnen in einer Schachtel mit 10 Glühbirnen.

Answer

Die Anzahl der Würfel, die beim dreimaligen Würfeln eine Sechs zeigen.

Question 45

Wie berechnet man den Erwartungswert E(X) einer diskreten Zufallsvariablen X?

Accepted Answer

E(X) = Σ(x * P(X = x))

Answer

E(X) = Σ(P(X = x))

Answer

E(X) = Σ(x) / P(X = x)

Answer

E(X) = Σ(x) * P(X = x)

Question 46

Eine Zufallsvariable X hat den Erwartungswert E(X) = 5. Was bedeutet das?

Accepted Answer

Der Erwartungswert ist der Mittelwert, den man bei einer großen Anzahl von Wiederholungen des Zufallsexperiments erwarten würde.

Answer

Der Erwartungswert ist der wahrscheinlichste Wert von X.

Question 47

Wie berechnet man die Varianz Var(X) einer diskreten Zufallsvariablen X?

Accepted Answer

Var(X) = Σ((x - E(X))^2 * P(X = x))

Answer

Var(X) = Σ((x - E(X)) * P(X = x))

Answer

Var(X) = Σ((x - E(X))^2)

Answer

Var(X) = Σ(x^2 * P(X = x))

Question 48

Welche Aussage zur Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen ist FALSCH?

Accepted Answer

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung beschreibt die Reihenfolge, in der die Werte einer Zufallsvariablen auftreten.

Answer

Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten in einer Wahrscheinlichkeitsverteilung muss 1 betragen.

Question 49

Welche der folgenden Aussagen zur Zufallsvariablen X ist korrekt?

Accepted Answer

X ist eine Funktion, die jedem Element des Ergebnisraums eine reelle Zahl zuordnet.

Answer

X ist die Anzahl der möglichen Ausgänge in einem Experiment.

Answer

X ist eine Variable, die zufällig variiert.

Question 50

Welche der folgenden Verteilungen ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung?

Accepted Answer

f(x) ist nichtnegativ für alle x.

Answer

Die Summe von f(x) über alle x ist 1.

Answer

Die Summe von f(x) über alle x ist 0.

Answer

f(x) ist für alle x größer als 0.

Question 51

Welche der folgenden Aussagen zum Erwartungswert einer Zufallsvariablen X ist korrekt?

Accepted Answer

Der Erwartungswert ist der gewichtete Mittelwert aller möglichen Werte von X.

Answer

Der Erwartungswert ist die Summe aller möglichen Werte von X.

Answer

Der Erwartungswert ist der häufigste Wert von X.

Question 52

Welche der folgenden Aussagen zur Varianz einer Zufallsvariablen X ist korrekt?

Accepted Answer

Die Varianz ist ein Maß für die Streuung der Verteilung von X.

Answer

Die Varianz ist die Summe der quadrierten Abweichungen von X vom Erwartungswert.

Answer

Die Varianz ist der Erwartungswert der quadrierten Abweichungen von X vom Erwartungswert.

Question 53

Welche der folgenden Zufallsvariablen ist binomialverteilt?

Accepted Answer

X ist die Anzahl der Erfolge in n unabhängigen Versuchen mit konstanter Erfolgswahrscheinlichkeit p.

Answer

X ist die Summe der ersten n Primzahlen.

Answer

X ist die Zeit bis zum ersten Erfolg in einer Folge unabhängiger Versuche mit konstanter Erfolgswahrscheinlichkeit p.

Question 54

Welche der folgenden Zufallsvariablen ist normalverteilt?

Accepted Answer

X ist eine Summe von n unabhängigen, identisch verteilten Zufallsvariablen mit endlichem Erwartungswert und endlicher Varianz.

Answer

X ist die Anzahl der Erfolge in n unabhängigen Versuchen mit konstanter Erfolgswahrscheinlichkeit p.

Question 55

Welche der folgenden Aussagen zur t-Verteilung ist korrekt?

Accepted Answer

Die t-Verteilung ist eine symmetrische Verteilung.

Answer

Die t-Verteilung ist eine linksseitig beschränkte Verteilung.

Answer

Die t-Verteilung ist eine unimodale Verteilung.

Answer

Die t-Verteilung ist eine rechtsseitig beschränkte Verteilung.

Question 56

Welche der folgenden Aussagen zur Chi-Quadrat-Verteilung ist korrekt?

Accepted Answer

Die Chi-Quadrat-Verteilung ist eine rechtsseitig beschränkte Verteilung.

Answer

Die Chi-Quadrat-Verteilung ist eine linksseitig beschränkte Verteilung.

Answer

Die Chi-Quadrat-Verteilung ist eine symmetrische Verteilung.

Question 57

Welche der folgenden Aussagen zur F-Verteilung ist korrekt?

Accepted Answer

Die F-Verteilung ist eine rechtsseitig beschränkte Verteilung.

Answer

Die F-Verteilung ist eine linksseitig beschränkte Verteilung.

Answer

Die F-Verteilung ist eine symmetrische Verteilung.