Trigonometrie lernen: Online-Quizze und Übungen für die 11. Klasse der Fachoberschule

Question 1

Beweisen Sie die trigonometrische Identität: sin²x + cos²x = 1.

Accepted Answer

Verwenden Sie die Definitionen von Sinus und Kosinus (Gegenkathete/Hypothenuse bzw. Ankathete/Hypothenuse) und wenden Sie den Satz des Pythagoras an.

Answer

Verwenden Sie die Additionstheoreme für Sinus und Kosinus.

Answer

Verwenden Sie die Doppelwinkelformeln für Sinus und Kosinus.

Answer

Verwenden Sie die Differenzformeln für Sinus und Kosinus.

Question 2

Nenne drei Möglichkeiten, wie trigonometrische Funktionen in der Musik eingesetzt werden können.

Accepted Answer

Analyse der Frequenz von Schallwellen

Accepted Answer

Analyse der Amplitude von Schallwellen

Accepted Answer

Bestimmung der Tonhöhe von Noten

Answer

Messung der Lautstärke von Musik

Question 3

Was sind trigonometrische Umkehrfunktionen und wie werden sie bei der Lösung von Gleichungen eingesetzt?

Accepted Answer

Trigonometrische Umkehrfunktionen 'kehren' die trigonometrischen Funktionen um, sodass zum Beispiel arcsin(sin(x)) = x.

Answer

Trigonometrische Umkehrfunktionen können nur für Gleichungen mit dem Sinus verwendet werden.

Answer

Trigonometrische Umkehrfunktionen haben immer nur einen Wert.

Question 4

Welche trigonometrischen Funktionen sind gerade und welche ungerade? Erkläre, wie du diese Eigenschaften nutzt, um trigonometrische Gleichungen zu lösen.

Accepted Answer

Sinus und Kosinus sind gerade Funktionen, Tangens und Kotangens sind ungerade Funktionen.

Answer

Alle trigonometrischen Funktionen sind gerade Funktionen.

Answer

Sinus und Tangens sind gerade Funktionen, Kosinus und Kotangens sind ungerade Funktionen.

Answer

Trigonometrische Paritätsbeziehungen können nicht zum Lösen trigonometrischer Gleichungen verwendet werden.

Question 5

Welche Arten von trigonometrischen Gleichungen gibt es und wie können sie gelöst werden? Nenne jeweils ein Beispiel.

Accepted Answer

Sinusgleichungen: sin(x) = 0,5

Accepted Answer

Kosinusgleichungen: cos(x) = -0,7

Accepted Answer

Tangensgleichungen: tan(x) = 2

Answer

Trigonometrische Gleichungen können nicht gelöst werden.

Question 6

Wie können trigonometrische Funktionen genutzt werden, um den Winkel zwischen zwei Geraden zu berechnen, wenn ihre Steigungen bekannt sind?

Accepted Answer

Steigungen berechnen und arctan-Funktion anwenden

Answer

Steigungen multiplizieren und Kosinussatz verwenden

Answer

Steigungen addieren und durch zwei teilen

Answer

Abstand zwischen Geraden bestimmen und Satz des Pythagoras anwenden

Question 7

Frage: Erläutern Sie, wie man trigonometrische Funktionen verwendet, um den Winkel zwischen zwei Geraden zu berechnen, die durch ihre Steigungen m1 und m2 gegeben sind.

Accepted Answer

Antwort: arctan(|m1-m2|/(1+m1*m2))

Answer

Antwort: sin(|m1-m2|/(1+m1*m2))

Answer

Antwort: cos(|m1-m2|/(1+m1*m2))

Question 8

Welche Kulturen haben die Entwicklung der Trigonometrie maßgeblich beeinflusst?

Accepted Answer

Babylonier, Griechen, Araber

Answer

Ägypter, Römer, Chinesen

Answer

Inder, Perser, Maya

Question 9

Frage: Zeigen Sie algebraisch, dass für jeden Winkel $alpha$ die folgende Gleichung gilt: $sin^2(alpha) + cos^2(alpha) = 1$

Accepted Answer

Antwort A: Verwenden Sie den Einheitskreis mit Radius $r$ und die Definitionen von Sinus und Kosinus: $sin(alpha) = y/r$ und $cos(alpha) = x/r$. Quadrieren Sie beide Gleichungen und addieren Sie sie.

Answer

Antwort B: Verwenden Sie die Formel $sin^2(alpha) = 1 - cos^2(alpha)$.

Answer

Antwort C: Verwenden Sie die Formel $sin(alpha) + cos(alpha) = 1$.

Answer

Antwort D: Die Gleichung gilt nur für Winkel $alpha$ im ersten Quadranten.

Question 10

Erläutern Sie die Vorzeichen von Sinus, Kosinus und Tangens in den vier Quadranten des Einheitskreises.

Accepted Answer

Sinus: positiv im 1. und 2. Quadranten, Kosinus: positiv im 1. und 4. Quadranten, Tangens: positiv im 1. und 3. Quadranten

Answer

Sinus: negativ im 1. und 2. Quadranten, Kosinus: negativ im 1. und 4. Quadranten, Tangens: positiv im 2. und 3. Quadranten

Answer

Sinus: positiv in allen Quadranten, Kosinus: negativ in allen Quadranten, Tangens: positiv im 1. und 2. Quadranten

Answer

Sinus und Kosinus: negativ im 2. und 3. Quadranten, Tangens: positiv im 3. und 4. Quadranten

Question 11

Welche der folgenden Aussagen über den Sinus ist korrekt?

Accepted Answer

Der Sinus ist eine ungerade Funktion, die auf dem Einheitskreis oberhalb der x-Achse verläuft.

Answer

Der Sinus ist eine gerade Funktion, die auf dem Einheitskreis unterhalb der x-Achse verläuft.

Answer

Der Sinus ist eine periodische Funktion mit der Periode π.

Answer

Der Sinus ist eine periodische Funktion mit der Periode 2π.

Question 12

Welcher Punkt auf dem Einheitskreis hat die Koordinaten (cos(π/3), sin(π/3))?

Accepted Answer

Der Punkt mit diesen Koordinaten liegt im ersten Quadranten, da Sinus und Kosinus beide positive Werte haben.

Answer

Der Punkt mit diesen Koordinaten liegt im zweiten Quadranten, da Kosinus negativ und Sinus positiv ist.

Answer

Der Punkt mit diesen Koordinaten liegt im dritten Quadranten, da Sinus und Kosinus beide negative Werte haben.

Answer

Der Punkt mit diesen Koordinaten liegt im vierten Quadranten, da Kosinus positiv und Sinus negativ ist.

Question 13

Welche der folgenden Gleichungen entspricht der Additionstheoreme für den Sinus?

Accepted Answer

sin(α + β) = sin(α)cos(β) + cos(α)sin(β), da dies die Formel für die Addition von Sinuswinkeln ist.

Answer

sin(α + β) = sin(α)cos(β) - cos(α)sin(β), da dies die Formel für die Subtraktion von Sinuswinkeln ist.

Answer

cos(α + β) = cos(α)cos(β) + sin(α)sin(β), da dies die Formel für die Addition von Kosinuswinkeln ist.

Answer

cos(α + β) = cos(α)cos(β) - sin(α)sin(β), da dies die Formel für die Subtraktion von Kosinuswinkeln ist.

Question 14

Welche der folgenden Funktionen ist die Umkehrfunktion des Sinus?

Accepted Answer

Arcsin, da sie die Funktion ist, die den Sinus eines Winkels auf den Winkel selbst abbildet.

Answer

Arccos, da sie die Funktion ist, die den Kosinus eines Winkels auf den Winkel selbst abbildet.

Answer

Arctan, da sie die Funktion ist, die den Tangens eines Winkels auf den Winkel selbst abbildet.

Answer

Arccot, da sie die Funktion ist, die den Kotangens eines Winkels auf den Winkel selbst abbildet.

Question 15

Welche Rolle spielen trigonometrische Funktionen in der Architektur, insbesondere bei der Berechnung von Dachneigungen und der Gestaltung von Gebäuden?

Accepted Answer

Trigonometrische Funktionen werden sowohl zur Berechnung von Dachneigungen als auch zur Gestaltung von Gebäuden verwendet.

Answer

Trigonometrische Funktionen sind in der Architektur nicht relevant.

Answer

Trigonometrische Funktionen werden nur zur Berechnung von Dachneigungen verwendet.

Answer

Trigonometrische Funktionen werden nur zur Gestaltung von Gebäuden verwendet.

Question 16

In einem rechtwinkligen Dreieck beträgt die Länge der Gegenkathete a und die Länge der Ankathete b. Welcher Ausdruck gibt den Kosinus des Winkels α an der Gegenkathete an?

Accepted Answer

a/b

Answer

b/a

Answer

a^2 + b^2

Answer

a - b

Question 17

Berechne den Kosinus des Winkels π/3:

Accepted Answer

√3/2

Answer

0

Answer

1/2

Answer

1

Question 18

In einem rechtwinkligen Dreieck hat die Gegenkathete die Länge a und die Hypotenuse die Länge c. Welcher Ausdruck gibt den Tangens des Winkels gegenüber der Gegenkathete an?

Accepted Answer

a/c

Answer

c/a

Answer

c/b

Answer

a/b

Question 19

Welche Aussage über die trigonometrischen Funktionen ist falsch?

Accepted Answer

Der Wertebereich von Tangens umfasst alle reellen Zahlen.

Answer

Sinus und Kosinus sind periodische Funktionen.

Answer

Tangens ist eine ungerade Funktion.

Answer

Der Wertebereich von Sinus und Kosinus ist [-1, 1].

Question 20

Wie können trigonometrische Funktionen mithilfe von Reihenentwicklungen angenähert werden?

Accepted Answer

Taylor-Reihen

Answer

Fourier-Reihen

Answer

Laurent-Reihen

Answer

Binomialreihen

Question 21

Welche Formel beschreibt die Beziehung zwischen Sinus und Kosinus?

Accepted Answer

sin²α + cos²α = 1

Answer

cscα = secα

Answer

cotα = tanα

Answer

cosα = sinα

Question 22

Welche trigonometrische Funktion repräsentiert die Steigung einer Linie in einem rechtwinkligen Dreieck?

Accepted Answer

Tangens

Answer

Kosinus

Answer

Kotangens

Answer

Sinus

Question 23

Wie lautet die Bezeichnung für die Umkehrfunktion des Sinus?

Accepted Answer

Arcussinus

Answer

Kotangens

Answer

Kosinus

Answer

Tangens

Question 24

Berechne den Kosinus des Winkels α, wenn tan(α) = 1/√3 beträgt.

Accepted Answer

√3/2

Answer

1

Answer

1/2

Answer

√2/2

Question 25

Welche Aussage ist falsch?

Accepted Answer

Die Tangensfunktion ist im Punkt x = π/2 definiert.

Answer

Die Sinusfunktion ist eine ungerade Funktion.

Answer

Die Kosinusfunktion hat eine Periode von 2π.

Question 26

Welche geometrische Figur entsteht, wenn die Punkte (0,0), (1,0) und (0,1) um den Ursprung um 45° gedreht werden?

Accepted Answer

Ein gleichseitiges Dreieck

Answer

Ein Rechteck

Answer

Ein Kreis

Answer

Ein Quadrat

Question 27

Berechne die Höhe eines Baumes, wenn der Schatten, den er wirft, 10 m lang ist und die Sonne einen Elevationswinkel von 30° hat.

Accepted Answer

5√3 m

Answer

5 m

Answer

10 m

Answer

10√3 m

Question 28

Welche Funktionsgleichung beschreibt den Kosinus?

Accepted Answer

f(x) = cos(x)

Answer

f(x) = cot(x)

Answer

f(x) = tan(x)

Answer

f(x) = sin(x)

Question 29

Welche Eigenschaft trifft auf den Tangens im Ursprung zu?

Accepted Answer

Nicht definiert

Answer

Periodisch mit Periode π

Answer

Gerade Funktion

Answer

Nimmt nur positive Werte an

Question 30

In einem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck beträgt die Länge der Hypotenuse 10 cm. Wie lang ist eine der Katheten?

Accepted Answer

5√2 cm

Answer

10 cm

Answer

5 cm

Answer

10√2 cm

Question 31

Welcher Ausdruck ist gleichwertig zu tan(x) * cot(x)?

Accepted Answer

1

Answer

sin(x)

Answer

cos(x)

Answer

0

Question 32

Welcher Punkt auf dem Einheitskreis entspricht dem Winkel 3π?

Accepted Answer

(-1, 0)

Answer

(1, 0)

Answer

(0, 1)

Question 33

Welche trigonometrische Funktion kann zur Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren verwendet werden?

Accepted Answer

Kosinus

Answer

Sinus

Answer

Tangens

Answer

Kotangens

Question 34

Welche der folgenden Aussagen über den Tangens ist richtig?

Accepted Answer

Es handelt sich um die Gegenkathete geteilt durch die Ankathete.

Answer

Es handelt sich um die Hypotenuse geteilt durch die Gegenkathete.

Answer

Es handelt sich um die Ankathete geteilt durch die Hypotenuse.

Question 35

Welcher Winkel hat einen Sinus von 1?

Accepted Answer

90°

Answer

30°

Answer

45°

Question 36

Welche der folgenden Formeln ist eine trigonometrische Identität, die für alle Winkel θ gilt?

Accepted Answer

sin²θ + cos²θ = 1

Answer

csc θ = sec θ

Answer

tan θ = cot θ

Answer

sin θ = cos θ

Question 37

Welche der folgenden Aussagen beschreibt korrekt den Graphen der Tangensfunktion?

Accepted Answer

Die Tangensfunktion nimmt im ersten und dritten Quadranten positive Werte an.

Answer

Die Tangensfunktion nimmt im ersten und zweiten Quadranten positive Werte an.

Answer

Die Tangensfunktion nimmt im zweiten und vierten Quadranten positive Werte an.

Question 38

Berechnen Sie den Flächeninhalt eines Kreissektors mit einem Radius von 5 cm und einem Zentriwinkel von 60 Grad.

Accepted Answer

12,5π cm²

Answer

50π cm²

Answer

6,25π cm²

Answer

25π cm²

Question 39

Nennen Sie eine Anwendung der Trigonometrie in der Physik.

Accepted Answer

Berechnung des Winkels einer schiefen Ebene

Answer

Berechnung der Ladung einer Batterie

Answer

Berechnung der Geschwindigkeit eines Objekts

Question 40

Welche trigonometrische Funktion verläuft im Einheitskreis durch den Punkt (-1, 0)?

Accepted Answer

Kosinus

Answer

Kosekans

Answer

Kotangens

Answer

Tangens

Question 41

Welche der folgenden Integrale ist gleich dem Bogenmaß des Winkels x?

Accepted Answer

∫(1/√(1 - x²)) dx

Answer

∫(x²/√(1 - x²)) dx

Answer

∫(x/√(1 - x²)) dx

Answer

∫(x³/√(1 - x²)) dx

Question 42

Ein rechtwinkliges Dreieck hat eine Hypotenuse von 10 cm Länge und einen Winkel von 30°. Wie lang ist die gegenüberliegende Kathete?

Accepted Answer

5 cm

Answer

10 cm

Answer

8,66 cm

Answer

7,07 cm

Question 43

Welche Gleichung beschreibt den Zusammenhang zwischen Sinus und Kosinus eines Winkels α?

Accepted Answer

sin²(α) + cos²(α) = 1

Answer

sin(α) = cos(α)

Answer

sin(α) = cos(α) + 1

Answer

sin(α) = 1/cos(α)

Question 44

Welche der folgenden Funktionen hat eine Periode von 2π?

Accepted Answer

sin(x)

Answer

cos(2x)

Answer

tan(x)

Answer

sin(x/2)

Question 45

Ein Pendel schwingt mit einer Amplitude von 5 cm und einer Periode von 2 Sekunden. Welche Gleichung beschreibt die Auslenkung (y) des Pendels in Abhängigkeit von der Zeit (t) in Sekunden?

Accepted Answer

y = 5 sin(πt)

Answer

y = 5 cos(πt)

Answer

y = 5 sin(2πt)

Answer

y = 5 cos(2πt)

Question 46

Ein Winkel im Einheitskreis hat einen Kosinus-Wert von -0,8. In welchem Quadranten liegt dieser Winkel?

Accepted Answer

II. Quadrant

Answer

III. Quadrant

Answer

IV. Quadrant

Answer

I. Quadrant

Question 47

Welche Aussage über den Tangens eines Winkels ist richtig?

Accepted Answer

Der Tangens ist das Verhältnis von Sinus zu Kosinus.

Answer

Der Tangens ist der Kehrwert des Sinus.

Answer

Der Tangens ist die Länge der gegenüberliegenden Kathete.

Answer

Der Tangens ist das Verhältnis von Kosinus zu Sinus.

Question 48

Welche Gleichung liefert alle Lösungen der Gleichung sin(α) = 1/2?

Accepted Answer

α = 30° + k * 360° oder α = 150° + k * 360°

Answer

α = 30° + k * 180°

Answer

α = 60° + k * 360°

Answer

α = 60° + k * 180°

Question 49

Welche Funktion hat den gleichen Graphen wie die Funktion f(x) = cos(x)?

Accepted Answer

g(x) = sin(x + π/2)

Answer

j(x) = cos(x + π/2)

Answer

h(x) = sin(x - π/2)

Answer

k(x) = cos(x - π/2)

Question 50

Ein Flugzeug steigt mit einem Winkel von 10° zur Horizontalen an. Welche Höhe erreicht das Flugzeug nach 5 km Flugstrecke?

Accepted Answer

872 m

Answer

2905 m

Answer

500 m

Answer

1736 m

Question 51

Ein Kreis mit Radius 5 cm hat einen Sektor mit einem Mittelpunktswinkel von 60°. Wie groß ist der Flächeninhalt dieses Sektors?

Accepted Answer

13,09 cm²

Answer

25 cm²

Answer

6,54 cm²

Answer

31,42 cm²