Lineare Algebra lernen: Vektoren, Matrizen und Gleichungssysteme verstehen

Question 1

Berechne die Determinante der Matrix **A** = **[{{2, -1}, {3, 2}}]**.

Accepted Answer

4

Answer

-1

Answer

0

Answer

8

Question 2

Sind die Vektoren u = (1, 2, 3) und v = (2, -1, 1) orthogonal? Wenn ja, finde einen Vektor w, der orthogonal zu u und v ist.

Accepted Answer

Ja, u und v sind orthogonal. w = (1, 1, -1) ist orthogonal zu u und v.

Answer

Ja, u und v sind orthogonal. w = (-1, 1, -1) ist orthogonal zu u und v.

Answer

Nein, u und v sind nicht orthogonal.

Question 3

Sind die Vektoren u = (1, 2, 3), v = (2, 4, 6) und w = (3, 6, 9) linear unabhängig?

Accepted Answer

Ja, die Vektoren sind linear unabhängig.

Answer

Nein, die Vektoren sind linear abhängig, da sie auf einer Geraden liegen.

Answer

Nein, die Vektoren sind linear abhängig, da sie paarweise orthogonal sind.

Question 4

Wie berechnet man eine Unterdeterminante einer Matrix?

Accepted Answer

Die Unterdeterminante ist die Determinante der Teilmatrix, die entsteht, wenn man die Zeile und Spalte des Elements löscht, für das die Unterdeterminante berechnet wird.

Answer

Die Unterdeterminante einer Matrix ist immer gleich der Determinante der Matrix.

Answer

Die Unterdeterminante einer Matrix ist die Summe der Determinanten aller Teilmatrizen, die durch Löschen einer Zeile oder Spalte entstehen.

Answer

Die Unterdeterminante einer Matrix kann nur für quadratische Matrizen berechnet werden.

Question 5

Welche Eigenwerte von λ machen die Matrix A diagonalisierbar?
A = egin{pmatrix} 1 & 2  2 & 5 end{pmatrix}

Accepted Answer

λ = 1, λ = 4

Answer

λ = 0, λ = 3

Answer

λ = 2, λ = 5

Answer

A ist für keinen Wert von λ diagonalisierbar

Question 6

Überprüfen Sie, ob die Funktion f(x) = x³ - 2x² + 3x - 1 im Intervall [0, 1] integrierbar ist. Falls ja, berechnen Sie das bestimmte Integral im Intervall [0, 1].

Accepted Answer

Das bestimmte Integral beträgt 1/4.

Answer

Die Funktion ist nicht integrierbar.

Answer

Das bestimmte Integral ist 0.

Answer

Das bestimmte Integral beträgt 1.

Question 7

Bestimmen Sie die Summe der ersten **n** positiven ungeraden Zahlen. Erläutern Sie Ihre Vorgehensweise.

Accepted Answer

n * (n + 2)

Answer

n²

Answer

n * (n - 1)

Question 8

Sind Vektoren linear unabhängig, wenn sie keine Vielfachen voneinander sind?

Accepted Answer

Ja

Answer

Nein

Answer

Manchmal

Question 9

Überprüfe, ob die Menge aller Vektoren (a, b, c) mit a - b + 2c = 0 einen Vektorraum bildet. Begründe deine Antwort.

Accepted Answer

Ja, denn die Menge ist abgeschlossen unter Addition und Skalarmultiplikation.

Answer

Nein, denn die Menge ist linear abhängig.

Answer

Nein, denn die Menge ist nicht abgeschlossen unter Skalarmultiplikation.

Answer

Ja, denn die Menge ist leer.

Question 10

Wie lässt sich die Bedeutung der Linearen Algebra in verschiedenen Bereichen am treffendsten beschreiben?

Accepted Answer

Die Lineare Algebra ist ein wichtiges Werkzeug zur Modellierung und Lösung realer Probleme.

Answer

Die Lineare Algebra ist nur für die theoretische Mathematik von Bedeutung.

Answer

Die Lineare Algebra dient lediglich der Lösung linearer Gleichungssysteme.

Answer

Die Lineare Algebra findet ausschließlich in der Physik Anwendung.

Question 11

Was ist Matrixmultiplikation und wie funktioniert sie? Veranschauliche deine Antwort mit einem Beispiel.

Accepted Answer

Die Matrixmultiplikation ist eine Operation, bei der zwei Matrizen miteinander kombiniert werden, um eine neue Matrix zu erzeugen.

Answer

Die Matrixmultiplikation ist eine Operation, bei der eine Matrix mit einem Vektor kombiniert wird.

Answer

Die Matrixmultiplikation ist eine Operation, bei der eine Matrix mit einer Zahl kombiniert wird.

Answer

Die Matrixmultiplikation ist nicht möglich.

Question 12

Überprüft, ob die Menge aller Matrizen der Form $ egin{pmatrix}a & b  c & dend{pmatrix}$ mit $a + b = c + d$ einen Untervektorraum des Vektorraums aller $2 	imes 2$-Matrizen bildet.

Accepted Answer

Ja, denn die Menge ist abgeschlossen unter Addition und Skalarmultiplikation.

Answer

Nein, denn die Menge ist nicht abgeschlossen unter Skalarmultiplikation.

Answer

Nein, denn die Menge enthält die Nullmatrix nicht.

Question 13

Frage: Gegeben sei der Vektorraum V aller 2x2-Matrizen über R. Definieren Sie die Abbildung f: V → V durch f(A) = A². Ist f eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

f ist linear, da sie sowohl die Additivität als auch die Homogenität erfüllt.

Answer

f ist nicht linear, da sie nicht die Additivität erfüllt.

Answer

f ist nicht linear, da sie nicht die Homogenität erfüllt.

Answer

Die Frage kann nicht beantwortet werden, da die Größe der Matrizen nicht angegeben ist.

Question 14

Welche Determinante hat die Matrix B = [[1, 2], [3, 5]]?

Accepted Answer

7

Answer

-1

Answer

1

Answer

-7

Question 15

Welcher der folgenden Sätze ist eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 1

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = sin(x)

Question 16

Was beschreibt die Determinante einer Matrix?

Accepted Answer

Die Größe und Ausrichtung des von den Zeilenvektoren aufgespannten Parallelepipeds

Answer

Den Wert 0, wenn es sich um eine Dreiecksmatrix handelt

Answer

Die Determinante der inversen Matrix

Question 17

Welche Aussage über Matrizen ist nicht korrekt?

Accepted Answer

Die Inverse einer Matrix existiert immer.

Answer

Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung von Zahlen.

Answer

Die Determinante einer Matrix ist eine Zahl, die ihre Größe angibt.

Answer

Die Summe zweier Matrizen ist immer eine Matrix.

Question 18

Welcher der folgenden Ausdrücke repräsentiert einen Vektor?

Accepted Answer

(2, 3)

Answer

x²

Answer

sin(x)

Answer

2x + 3

Question 19

Welche der folgenden Matrizen entspricht der Einheitsmatrix?

Accepted Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[0, 1], [1, 0]]

Answer

[[1, 1], [1, 1]]

Answer

[[2, 0], [0, 2]]

Question 20

Welche der folgenden Aussagen beschreibt korrekt das lineare Gleichungssystem x + y = 3, 2x - y = 1?

Accepted Answer

Es besitzt eine eindeutige Lösung.

Answer

Es besitzt unendlich viele Lösungen.

Answer

Es besitzt keine Lösung.

Answer

Es besitzt zwei verschiedene Lösungen.

Question 21

Welche Aussage beschreibt korrekt die Spur einer Matrix?

Accepted Answer

Sie entspricht der Summe der Diagonalelemente.

Answer

Sie entspricht dem Produkt der Eigenwerte.

Answer

Sie entspricht der Determinante der Matrix.

Answer

Sie entspricht dem Rang der Matrix.

Question 22

Welcher der folgenden Vektoren ist linear abhängig von den Vektoren (1, 2) und (3, 4)?

Accepted Answer

(3, 6)

Answer

(2, 4)

Answer

(6, 10)

Answer

(8, 12)

Question 23

Welche der folgenden Aussagen über die Matrix A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 end{pmatrix} ist richtig?

Accepted Answer

A ist invertierbar.

Answer

A ist singulär.

Answer

A ist symmetrisch.

Answer

A ist diagonalisierbar.

Question 24

Welche der folgenden Aussagen über lineare Gleichungssysteme ist richtig?

Accepted Answer

Jedes lineare Gleichungssystem mit mehr Variablen als Gleichungen hat unendlich viele Lösungen.

Answer

Jedes lineare Gleichungssystem hat mindestens eine Lösung.

Answer

Jedes lineare Gleichungssystem hat höchstens eine Lösung.

Answer

Jedes lineare Gleichungssystem mit mehr Gleichungen als Variablen hat keine Lösung.

Question 25

Wie lautet die allgemeine Form einer Matrix?

Accepted Answer

[a b; c d]

Answer

[a b]

Answer

[a b c]

Answer

[a b; c d; e f]

Question 26

Was ist die geometrische Interpretation eines Vektors?

Accepted Answer

Eine Strecke

Answer

Ein Kreis

Answer

Eine Gerade

Answer

Ein Rechteck

Question 27

Welche der folgenden Matrizen ist eine Einheitsmatrix?

Accepted Answer

[1 0; 0 1]

Answer

[2 0; 0 2]

Answer

[1 1; 1 1]

Answer

[0 1; 1 0]

Question 28

Welche der folgenden Transformationen ist eine lineare Transformation? Eine lineare Transformation ist eine Funktion, die die Vektoraddition und die skalare Multiplikation erhält.

Accepted Answer

f(x) = mx + b

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = 1/x

Question 29

Bestimmen Sie die Ableitung der Vektorfunktion r(t) = (t, t², t³) und interpretieren Sie sie als Tangentenvektor zur Kurve, die durch r(t) beschrieben wird.

Accepted Answer

r'(t) = (1, 2t, 3t²)

Answer

r'(t) = (t, t, t)

Answer

r'(t) = (1, 2, 3)

Answer

r'(t) = (2, 4t, 6t²)

Question 30

Welche der folgenden Matrizen ist eine Einheitsmatrix? Eine Einheitsmatrix ist eine quadratische Matrix, in der alle Diagonalelemente gleich 1 und alle anderen Elemente gleich 0 sind.

Accepted Answer

$egin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 end{pmatrix}$

Answer

$egin{pmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 end{pmatrix}$

Answer

$egin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 end{pmatrix}$

Answer

$egin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 end{pmatrix}$

Question 31

Welche der folgenden Gleichungen stellt ein lineares Gleichungssystem dar? Ein lineares Gleichungssystem ist eine Menge von Gleichungen, die lineare Kombinationen von Variablen darstellen.

Accepted Answer

$2x + 3y = 6$

Answer

$x^2 + y^2 = 1$

Answer

$sin(x) + cos(y) = 1$

Answer

$e^x = y$

Question 32

Nenne eine Anwendung der Linearen Algebra in der Computergrafik.

Accepted Answer

Transformation von Objekten

Answer

Berechnung von Determinanten

Answer

Lösen linearer Gleichungssysteme

Answer

Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren

Question 33

Welche der folgenden Matrizen ist die Einheitsmatrix?

Accepted Answer

E = [[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]

Answer

B = [[1, 0, 1], [0, 1, 0], [1, 0, 1]]

Answer

A = [[0, 1, 0], [1, 0, 0], [0, 0, 1]]

Answer

C = [[0, 0, 1], [0, 1, 0], [1, 0, 0]]

Question 34

Welches der folgenden Gleichungssysteme hat keine Lösung?

Accepted Answer

Gleichungssystem 1: x + y = 0, x - y = 2

Answer

Gleichungssystem 2: x - 2y = 1, 2x + 4y = 3

Answer

Gleichungssystem 3: 3x + 2y = 6, x - y = 1

Answer

Gleichungssystem 4: 5x - 3y = 7, 2x + 6y = 12

Question 35

Welche der folgenden Abbildungen ist eine lineare Transformation?

Accepted Answer

f(x, y) = (x + y, 2x - y)

Answer

h(x, y) = (e^x, sin(y))

Answer

g(x, y) = (x^2, y^3)

Answer

i(x, y) = (|x|, |y|)

Question 36

Welcher Vektor ist ein Eigenvektor der Matrix A = [[2, 1], [-1, 2]] mit dem zugehörigen Eigenwert λ = 1?

Accepted Answer

v = (1, -1)

Answer

w = (1, 1)

Answer

x = (2, 1)

Answer

y = (-1, 2)

Question 37

Welche der folgenden Aussagen über den Rang einer Matrix ist korrekt?

Accepted Answer

Der Rang einer Matrix ist die Anzahl linear unabhängiger Zeilen oder Spalten, die die Matrix besitzt.

Answer

Der Rang einer Matrix ist die Anzahl der Spalten der Matrix.

Answer

Der Rang einer Matrix ist die Anzahl der Zeilen der Matrix.

Question 38

Welche der folgenden Aussagen über den Nullraum einer Matrix ist korrekt?

Accepted Answer

Der Nullraum einer Matrix ist die Menge aller Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden.

Answer

Der Nullraum einer Matrix ist die Menge aller Vektoren, die linear abhängig sind.

Answer

Der Nullraum einer Matrix ist die Menge aller Vektoren, die auf den Einheitsvektor abgebildet werden.

Question 39

Welche der folgenden Aussagen über Vektoren ist zutreffend?

Accepted Answer

Sie sind geordnete Tupel von Zahlen.

Answer

Sie sind immer linear unabhängig.

Answer

Sie haben immer eine Länge von 1.

Answer

Sie können nur in zwei Dimensionen dargestellt werden.

Question 40

Welche der folgenden Matrizen ist eine Einheitsmatrix?

Accepted Answer

Eine quadratische Matrix, deren Diagonalelemente gleich 1 und alle anderen Elemente gleich 0 sind.

Answer

Eine Matrix, deren Zeilen- und Spaltenvektoren alle die Länge 1 haben.

Answer

Eine Matrix, deren Determinante gleich 1 ist.

Question 41

Welche der folgenden Operationen ist bei Matrizen nicht möglich?

Accepted Answer

Addition zweier Matrizen unterschiedlicher Größe.

Answer

Berechnung der Determinante einer quadratischen Matrix.

Answer

Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar.

Answer

Transposition einer Matrix.

Question 42

Welche der folgenden Aussagen über lineare Gleichungssysteme ist falsch?

Accepted Answer

Ein lineares Gleichungssystem hat immer eine eindeutige Lösung.

Answer

Ein lineares Gleichungssystem kann unendlich viele Lösungen haben.

Answer

Ein lineares Gleichungssystem kann keine Lösung haben.

Question 43

Mit welcher Methode werden typischerweise lineare Gleichungssysteme mit drei oder mehr Variablen gelöst?

Accepted Answer

Gaußsches Eliminationsverfahren

Answer

Determinantenverfahren

Answer

Einsetzungsverfahren

Answer

Substitutionsverfahren

Question 44

Was bedeutet es, wenn die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems leer ist?

Accepted Answer

Das Gleichungssystem hat keine Lösung.

Answer

Das Gleichungssystem ist nicht linear.

Answer

Das Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen.

Answer

Das Gleichungssystem hat eine eindeutige Lösung.

Question 45

Was versteht man unter dem Rang einer Matrix?

Accepted Answer

Die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen oder Spalten in einer Matrix

Answer

Die Anzahl der Zeilen und Spalten in einer Matrix

Answer

Das Produkt aus der Anzahl der Zeilen und Spalten in einer Matrix

Question 46

In welchem Bereich der Computergrafik werden Transformationsmatrizen eingesetzt?

Accepted Answer

Zur Darstellung von Transformationen von Objekten in 3D-Szenen

Answer

Zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in Algorithmen für künstliche Intelligenz

Answer

Zur Modellierung physikalischer Systeme in Computerspielen

Answer

Zur Lösung von Gleichungssystemen beim Rendern

Question 47

Welche der folgenden Eigenschaften von Vektoren ist korrekt?

Accepted Answer

Vektoren können addiert und subtrahiert werden und ergeben Vektoren

Answer

Vektoren haben keine Richtung

Answer

Vektoren stehen immer senkrecht aufeinander

Answer

Vektoren können nur mit Zahlen multipliziert werden

Question 48

Welche der folgenden Matrizen ist eine Einheitsmatrix?

Accepted Answer

[1 0;
0 1]

Answer

[0 1;
1 0]

Answer

[1 2;
3 4]

Question 49

Welche Eigenschaft von linearen Transformationen ist korrekt?

Accepted Answer

Lineare Transformationen erhalten die Vektoraddition und die skalare Multiplikation

Answer

Lineare Transformationen sind immer invertierbar

Answer

Lineare Transformationen können die Dimension des Vektorraums verändern

Question 50

Welches Verfahren eignet sich zur Lösung linearer Gleichungssysteme?

Accepted Answer

Gauß-Jordan-Elimination

Answer

Potenzreihenentwicklung

Answer

Multiplikation mit Quaternionen

Answer

Monte-Carlo-Simulation

Question 51

Welche Aussage über Vektoren ist zutreffend?

Accepted Answer

Ein Vektor wird durch seine Größe und Richtung charakterisiert.

Answer

Ein Vektor ist eine skalare Größe.

Answer

Ein Vektor ist eine Funktion.

Question 52

Welche Eigenschaft zeichnet eine Einheitsmatrix aus?

Accepted Answer

Alle Elemente auf der Hauptdiagonalen sind Eins, alle anderen Elemente sind Null.

Answer

Alle Elemente sind gleich Eins.

Question 53

Was ist der Rang einer Matrix?

Accepted Answer

Anzahl der linear unabhängigen Zeilen oder Spalten

Answer

Wert der Determinante der Matrix

Answer

Anzahl der Elemente der Matrix

Question 54

Welche Eigenschaft kennzeichnet eine symmetrische Matrix?

Accepted Answer

Elemente oberhalb der Hauptdiagonalen entsprechen den Elementen unterhalb der Hauptdiagonalen.

Answer

Alle Elemente der Matrix sind gleich.

Question 55

Wann sind Vektoren linear abhängig?

Accepted Answer

Ein Vektor lässt sich als Linearkombination der anderen Vektoren darstellen.

Answer

Alle Vektoren stehen senkrecht aufeinander.

Answer

Alle Vektoren haben dieselbe Länge.

Question 56

Wie lautet die Definition eines Eigenvektors?

Accepted Answer

Vektor, der beim Multiplizieren mit einer Matrix ein Vielfaches seiner selbst ergibt: Ax = λx

Answer

Determinante der Matrix

Question 57

Welche der folgenden Anwendungen der Linearen Algebra trifft auf die Informatik zu?

Accepted Answer

Computergrafik

Answer

Buchhaltung

Answer

Musiktheorie

Answer

Astronomie

Question 58

Gegeben sind die Vektoren a = (2, 1) und b = (-1, 3). Was ist das Ergebnis von 2a - b?

Accepted Answer

(5, -1)

Answer

(1, 5)

Answer

(1, -1)

Answer

(3, 1)

Question 59

Welche der folgenden Matrizen ist die Inverse der Matrix A = [[2, 1], [4, 3]]?

Accepted Answer

[[3/2, -1/2], [-2, 1]]

Answer

[[2, -1], [-4, 3]]

Answer

[[3, -1], [-4, 2]]

Answer

[[1/2, -1/2], [2, 1]]

Question 60

Was ist die Determinante der Matrix B = [[1, 2], [3, 4]]?

Accepted Answer

-2

Answer

10

Answer

-10

Answer

2

Question 61

Welche der folgenden Aussagen ist **wahr** bezüglich eines homogenen linearen Gleichungssystems?

Accepted Answer

Ein homogenes System hat immer mindestens eine Lösung, die die triviale Lösung ist.

Answer

Ein homogenes System hat immer unendlich viele Lösungen.

Answer

Ein homogenes System hat niemals eine Lösung.

Question 62

Welche der folgenden Bedingungen muss erfüllt sein, damit ein lineares Gleichungssystem eine eindeutige Lösung hat?

Accepted Answer

Die Anzahl der Gleichungen muss gleich der Anzahl der Variablen sein, und der Rang der Koeffizientenmatrix muss gleich der Anzahl der Variablen sein.

Answer

Die Anzahl der Gleichungen muss größer sein als die Anzahl der Variablen.

Question 63

Welcher der folgenden Vektoren ist linear unabhängig zur Menge {(1, 1), (2, 3)}?

Accepted Answer

(3, 2)

Answer

(4, 6)

Answer

(1, 2)

Answer

(2, 1)

Question 64

Berechnen Sie die Determinante der Matrix A = [[2, 1], [3, 4]]

Accepted Answer

5

Answer

8

Answer

10

Answer

2