Differentialrechnung lernen: Online-Quizze und Übungen für die 11. Klasse

Question 1

Was ist die geometrische Bedeutung des Grenzwerts lim_(x->a) f(x)? Erläutern Sie anhand eines Beispiels.

Accepted Answer

Die y-Koordinate des Punktes auf dem Graphen von f, dem sich der Graph von beiden Seiten nähert, wenn x gegen a geht.

Answer

Die x-Koordinate des Punktes auf dem Graphen von f, dem sich der Graph nähert, wenn x gegen a geht.

Answer

Die Steigung der Tangente an den Graphen von f im Punkt (a,f(a)).

Answer

Der Grenzwert lim_(x->a) f(x) existiert immer.

Question 2

Berechnen Sie die Ableitung von f(x) = x³ + 2x² - 5x + 1 und erklären Sie, was das Ergebnis über die Steigung der Tangente an den Graphen von f(x) aussagt.

Accepted Answer

f'(x) = 3x² + 4x - 5

Answer

f'(x) = x² + 2x - 5

Answer

f'(x) = 3x + 4

Answer

f'(x) = 1

Question 3

Berechnen Sie die Ableitung von f(x) = (x² + 1) * (x - 2) mit der Produktregel.

Accepted Answer

(2x - 1) * (x - 2) + (x² + 1)

Answer

(2x + 1) * (x + 2)

Answer

(x² - 1) * (x - 4)

Answer

(2x - 2) * (x - 1)

Question 4

Berechne die Ableitung von f(x) = sin(x² + 1) mit der Kettenregel.

Accepted Answer

f'(x) = 2x * cos(x² + 1)

Answer

f'(x) = cos(x² + 1)

Answer

f'(x) = sin(x² + 1) * 2x

Question 5

Welches Diagramm in einem Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm zeigt die Änderungsrate der zurückgelegten Strecke bei einer gleichförmigen Bewegung?

Accepted Answer

Gerade mit konstanter positiver Steigung

Answer

Gerade mit konstanter negativer Steigung

Answer

Parabel

Answer

Kreis

Question 6

Ermitteln Sie den Grenzwert von $$lim_{x	o2} rac{x^2 - 4}{x - 2}$$ und erläutern Sie Ihre Vorgehensweise.

Accepted Answer

Der Grenzwert beträgt 0, da sich Zähler und Nenner für x gegen 2 aufheben.

Answer

Der Grenzwert beträgt 2, da sowohl Zähler als auch Nenner für x gegen 2 gegen 2 gehen.

Answer

Der Grenzwert ist nicht definiert, da der Nenner für x gegen 2 gleich 0 wird.

Question 7

Was ist ein Grenzwert und welche Bedeutung hat er in der Differentialrechnung?

Accepted Answer

Der Grenzwert ist der Wert, dem sich der Funktionswert annähert, wenn sich die Variable der betrachteten Stelle beliebig stark annähert.

Answer

Der Grenzwert ist der Wert, den die Funktion an einer bestimmten Stelle annimmt.

Answer

Der Grenzwert gibt die Steigung der Funktion an einer bestimmten Stelle an.

Answer

Der Grenzwert ist das Integral der Funktion über einen bestimmten Bereich.

Question 8

Was gibt die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion f(x) = x² - 2x + 1 im Punkt P(1,0) an?

Accepted Answer

Die Richtung, in die sich der Graph an diesem Punkt bewegt

Answer

Die Geschwindigkeit, mit der sich der Graph an diesem Punkt bewegt

Answer

Den Funktionswert an diesem Punkt

Answer

Die Krümmung des Graphen an diesem Punkt

Question 9

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f(x) = sin(x) + cos(x) unter Verwendung der Definition der Ableitung.

Accepted Answer

cos(x) + sin(x)

Answer

cos(x) - sin(x)

Answer

sin(x) - cos(x)

Answer

-sin(x) - cos(x)

Question 10

Beweisen Sie anhand der Grenzwertbestimmung, dass die Funktion f(x) = |x| für alle x-Werte stetig ist.

Accepted Answer

Für jeden beliebigen x-Wert gilt lim_(x->a) f(x) = f(a), daher ist f(x) stetig.

Answer

f(x) ist bei x = 0 nicht definiert, daher ist f(x) nicht stetig.

Answer

f(x) besitzt an allen Stellen eine Ableitung, daher ist f(x) stetig.

Answer

Der Graph von f(x) ist eine V-förmige Kurve, daher ist f(x) nicht stetig.

Question 11

Was beschreibt die Grenzkostenfunktion K'(x) am besten?

Accepted Answer

Die zusätzlichen Kosten für die Produktion einer weiteren Einheit

Answer

Eine konstante Größe

Answer

Die Steigung der Gesamtkostenfunktion

Question 12

Beschreiben Sie, wie die Steigung der Tangente an einem Punkt die lokale Linearität des Graphen einer Funktion in der Nähe dieses Punktes charakterisiert.

Accepted Answer

Die Tangentensteigung stellt die momentane Änderungsrate der Funktion an dem gegebenen Punkt dar.

Answer

Die Tangentensteigung ist an allen Punkten des Funktionsgraphen gleich.

Answer

Die Tangentensteigung bestimmt die Krümmung des Funktionsgraphen an dem gegebenen Punkt.

Answer

Die Tangentensteigung ist eine konstante Größe für eine gegebene Funktion.

Question 13

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = x³ - 2x² + 1.

Accepted Answer

f'(x) = 3x² - 4x

Answer

f'(x) = 3x² - 2

Answer

f'(x) = x³ - 4x + 1

Answer

f'(x) = x³ - 2x

Question 14

Welche Funktion besitzt die höchste Ableitung an der Stelle x = 0?

Accepted Answer

f(x) = x⁵

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = x³

Answer

f(x) = x⁴

Question 15

Gib die Stammfunktion der Funktion f(x) = 1 / x an.

Accepted Answer

ln(x) + C

Answer

x + C

Answer

1 / ln(x) + C

Answer

C / x

Question 16

Bestimme die Ableitung der Funktion f(x) = |x|.

Accepted Answer

f'(x) = x / |x|

Answer

f'(x) = 1

Answer

f'(x) = -1

Answer

f'(x) ist nicht definiert

Question 17

Welche Funktion besitzt eine konstante Ableitung?

Accepted Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = x³

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = |x|

Question 18

Ermittle die Ableitung der Funktion (f(x) = arcsin(2x)) mithilfe der Kettenregel.

Accepted Answer

(f'(x) = rac{1}{2sqrt{1-4x^2}})

Answer

(f'(x) = rac{1}{4sqrt{1-4x^2}})

Answer

(f'(x) = rac{2}{1-4x^2})

Answer

(f'(x) = rac{2}{sqrt{1-4x^2}})

Question 19

Überprüfen Sie, ob die Funktion f(x) = (x-2)² - 1 an der Stelle x = 2 stetig ist. Begründen Sie Ihre Antwort.

Accepted Answer

Stetig, da Grenzwert, Funktionswert und Definitionsbereich bei x = 2 übereinstimmen.

Answer

Stetig, da die Funktion bei x = 2 definiert ist.

Answer

Stetig, da der Funktionswert bei x = 2 gleich -1 ist.

Answer

Nicht stetig, da die Ableitung bei x = 2 nicht existiert.

Question 20

Welche Aussage beschreibt die Funktion der Ableitung bei der Modellierung des radioaktiven Zerfalls?

Accepted Answer

Die Ableitung zeigt die momentane Zerfallsrate zum Zeitpunkt t an.

Answer

Die Ableitung gibt die Halbwertszeit des Zerfalls an.

Answer

Die Ableitung ist konstant und unabhängig von der Zerfallszeit.

Answer

Die Ableitung gibt den Zeitpunkt an, an dem der Zerfall vollständig abgeschlossen ist.

Question 21

Welche der folgenden Funktionen ist die Ableitung von (f(x) = e^{sin(x)})?

Accepted Answer

(e^{sin(x)} cdot cos(x))

Answer

(e^{sin(x)} cdot sin(x))

Answer

(cos(x) cdot e^{sin(x)})

Answer

(sin(x) cdot e^{cos(x)})

Question 22

Berechne den Grenzwert von lim x->0 (sin(x) / x).

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

∞

Answer

nicht existent

Question 23

Welche der folgenden Aussagen zur Taylorreihe ist korrekt?

Accepted Answer

Die Taylorreihe einer Funktion kann nur für x-Werte konvergieren, die in einem bestimmten Intervall um den Entwicklungspunkt liegen.

Answer

Die Taylorreihe einer Funktion kann für alle x-Werte konvergieren.

Answer

Die Taylorreihe einer Funktion ist stets ein Polynom.

Answer

Die Taylorreihe einer Funktion gibt immer den exakten Wert der Funktion an.

Question 24

Welche der folgenden Funktionen ist an keiner Stelle differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x²

Question 25

Bestimme den Grenzwert von f(x) = (x² - 1) / (x - 1) für x gegen 1.

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

2

Answer

unendlich

Question 26

Welche der folgenden Funktionen hat eine horizontale Tangente im Punkt x = 2?

Accepted Answer

f(x) = x² - 4x + 4

Answer

f(x) = x³ - 3x² + 2x

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 27

Welche Aussage zur zweiten Ableitung ist korrekt?

Accepted Answer

Die zweite Ableitung gibt die Krümmung des Funktionsgraphen an.

Answer

Die zweite Ableitung einer Funktion ist immer positiv.

Answer

Die zweite Ableitung einer Polynomfunktion ist immer ein Polynom gleichen Grades.

Answer

Die zweite Ableitung einer Funktion, die konkav nach unten gekrümmt ist, ist positiv.

Question 28

Welche Aussage über Grenzwerte trifft nicht zu?

Accepted Answer

Der Grenzwert einer Wurzelfunktion kann negativ sein.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion wird durch den Limes bestimmt.

Answer

Ein Grenzwert kann auch unendlich sein.

Answer

Ein Grenzwert existiert, wenn die Funktion an diesem Punkt stetig ist.

Question 29

Welche Funktion ist an der Stelle x = 0 nicht differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x³

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 30

Die Funktion f(x) = x⁴ - 2x² + 1 besitzt:

Accepted Answer

Zwei Minima und ein Maximum

Answer

Ein Minimum und ein Maximum

Answer

Ein Minimum und zwei Maxima

Answer

Keinen Extrempunkt

Question 31

Der Flächeninhalt unter der Kurve f(x) = 2x + 1 im Intervall [0, 3] beträgt:

Accepted Answer

6

Answer

2

Answer

4

Answer

8

Question 32

Bestimmen Sie die Ableitung der folgenden Funktion f(x) = x³:

Accepted Answer

3x²

Answer

x²

Answer

2x

Answer

x

Question 33

Ermitteln Sie den Grenzwert lim(x->∞) (1/x):

Accepted Answer

0

Answer

1

Answer

Nicht existent

Answer

∞

Question 34

Welche Aussage über die Ableitung der Funktion f(x) = e^x ist korrekt?

Accepted Answer

f'(x) = e^x

Answer

f'(x) = e^(-x)

Answer

f'(x) = x*e^x

Answer

f'(x) = -e^x

Question 35

Welche der folgenden Aussagen beschreibt am besten den Gegenstand der Differentialrechnung?

Accepted Answer

Die Differentialrechnung beschäftigt sich mit der Untersuchung der Änderungsraten von Funktionen.

Answer

Die Differentialrechnung ist ausschließlich für die Untersuchung von Polynomfunktionen zuständig.

Answer

Die Differentialrechnung findet nur in der Physik Anwendung.

Question 36

Bestimmen Sie den Grenzwert der Funktion (x^2 - 1) / (x - 1) für x → 1.

Accepted Answer

2

Answer

-1

Answer

1

Answer

0

Question 37

Welche der folgenden Funktionen ist nicht differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x^3

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sin(x)

Question 38

Berechnen Sie die Ableitung der Funktion f(x) = x^3 - 3x^2 + 1.

Accepted Answer

f'(x) = 3x^2 - 6x

Answer

f'(x) = 3x^2 + 6x

Answer

f'(x) = x^3 - 6x

Answer

f'(x) = x^2 - 6x

Question 39

Welche Aussage über die Funktion f(x) = cos(3x) trifft zu?

Accepted Answer

Die erste Ableitung ist f'(x) = -3sin(3x).

Answer

Die Funktion hat keine Extremwerte.

Answer

Die Funktion ist nicht periodisch.

Answer

Die zweite Ableitung ist f''(x) = 3cos(3x).

Question 40

Bestimmen Sie die Stammfunktion der Funktion f(x) = 3x + 2.

Accepted Answer

F(x) = (3/2)x^2 + 2x + C

Answer

F(x) = 3x + C

Answer

F(x) = x^2 + C

Answer

F(x) = (3/2)x^2 + C

Question 41

Welche der folgenden Integrationsregeln ist korrekt?

Accepted Answer

∫(f(x) + g(x))dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx

Answer

∫(f(x) * g(x))dx = ∫f(x)dx * ∫g(x)dx

Answer

∫(1 / f(x))dx = 1 / ∫f(x)dx

Question 42

Bestimme die Ableitung der Funktion f(x) = x³ + 2x².

Accepted Answer

3x² + 4x

Answer

x² + 4x

Answer

x³ + 4x²

Answer

3x² - 4x

Question 43

Welche Funktion ist die Stammfunktion von f(x) = e^x?

Accepted Answer

e^x + C

Answer

x * e^x + C

Answer

e^x / x + C

Answer

e^-x + C

Question 44

Welche Anwendung der Differentialrechnung findet in der Physik Verwendung?

Accepted Answer

Berechnung der Geschwindigkeit eines Objekts

Answer

Modellierung des Wachstums einer Population

Answer

Lösung linearer Gleichungssysteme

Answer

Berechnung der Fläche eines Dreiecks

Question 45

Welche Aussage über die Differentialrechnung ist zutreffend?

Accepted Answer

Sie ermöglicht die Untersuchung der Änderungsrate von Funktionen.

Answer

Sie beschäftigt sich ausschließlich mit linearen Funktionen.

Answer

Sie wurde nur von Isaac Newton entwickelt.

Question 46

Welche der folgenden Funktionen ist eine implizite Funktion?

Accepted Answer

x² + y² = 1

Answer

g(x) = e^x

Answer

h(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x²

Question 47

Mit welcher Technik der Differentialrechnung lässt sich die Krümmung einer Kurve bestimmen?

Accepted Answer

Ableitung der zweiten Ordnung

Answer

Integration

Answer

Partielle Ableitung

Answer

L'Hôpital-Regel

Question 48

Welche Aussage beschreibt korrekt die Ableitung einer Funktion f(x)?

Accepted Answer

Sie stellt die Änderungsrate der Funktion dar.

Answer

Sie ist lediglich für lineare Funktionen erklärt.

Answer

Sie liefert den Funktionswert an einer beliebigen Stelle.

Answer

Sie kann nur für Funktionen mit positiver Steigung bestimmt werden.

Question 49

Welche Funktion besitzt die Ableitung f'(x) = 2x?

Accepted Answer

f(x) = x² + C

Answer

f(x) = x³ + C

Answer

f(x) = sin(x) + C

Answer

f(x) = e^x + C

Question 50

Welche Ableitung ist richtig?

Accepted Answer

d/dx (sin(x)) = cos(x)

Answer

d/dx (sin(x)) = (1 / x) * cos(x)

Answer

d/dx (sin(x)) = x * cos(x)

Answer

d/dx (sin(x)) = -sin(x)

Question 51

Welche Aussage über die zweite Ableitung einer Funktion f(x) ist korrekt?

Accepted Answer

Sie repräsentiert die Änderungsrate der ersten Ableitung.

Answer

Sie ist ausschließlich für Polynomfunktionen erklärt.

Answer

Sie liefert den Funktionswert an einer beliebigen Stelle.

Question 52

Welche Aussage beschreibt korrekt den Gegenstandsbereich der Differentialrechnung?

Accepted Answer

Grenzwerte und Ableitungen von Funktionen

Answer

Ermittlung von Extrempunkten von Funktionen

Answer

Lösen linearer Gleichungssysteme

Answer

Flächenberechnung unter Kurven

Question 53

Welche Funktion ist an der Stelle x = 0 nicht differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = eˣ

Answer

f(x) = x³

Answer

f(x) = sin(x)

Question 54

Berechne die Ableitung von g(x) = ln(x) + x².

Accepted Answer

(1/x) + 2x

Answer

1/x

Answer

x²/ln(x)

Answer

x + ln(x)

Question 55

Welche Aussage zur Ableitung einer Funktion ist zutreffend?

Accepted Answer

Sie gibt die momentane Änderungsrate an.

Answer

Sie hat keine Anwendung in der Physik.

Answer

Sie ist nur für lineare Funktionen definiert.

Answer

Sie ist immer positiv.

Question 56

Welche Funktion weist einen Wendepunkt auf?

Accepted Answer

f(x) = x³ - 3x

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = eˣ

Question 57

Welche Differentialgleichung stellt eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung dar?

Accepted Answer

y' - 2y = x

Answer

y'y = x

Answer

y'' - y' + y = x

Answer

y'' + y = x

Question 58

Bestimme den Grenzwert lim(x->0) (sin(x) / x).

Accepted Answer

0

Answer

lim(x->-∞) (x³ / x² + 1)

Answer

lim(x->2) (x² - 4 / x - 2)

Answer

lim(x->∞) (e^x / x²)

Question 59

Welche der folgenden Funktionen ist nicht für alle x differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = ln(x)

Answer

f(x) = x³

Question 60

Ermitteln Sie die Ableitung der Funktion f(x) = x³ - 2x² + 1.

Accepted Answer

f'(x) = 3x² - 4x

Answer

f'(x) = 3x² + 4x

Answer

f'(x) = x² - 4x

Answer

f'(x) = x³ - 4x² + 1

Question 61

Berechne die Ableitung der Funktion g(x) = sin(x) + cos(x).

Accepted Answer

cos(x) - sin(x)

Answer

cos(x) + sin(x)

Answer

-sin(x) - cos(x)

Question 62

Berechne die Grenzwert von lim (x->unendlich) (x^2 - 3x + 2) / (2x^2 + 5x - 1).

Accepted Answer

1 / 2

Answer

Unendlich

Answer

0

Answer

-1 / 2

Question 63

Berechne die Ableitung der Funktion g(x) = |x - 2|.

Accepted Answer

1 für x > 2, -1 für x < 2

Answer

-1 für x > 2, 1 für x < 2

Answer

1 für x > 2, 0 für x < 2

Answer

0 für alle x

Question 64

Was gibt die erste Ableitung einer Funktion an?

Accepted Answer

Die Steigung der Tangente an einem Punkt des Funktionsgraphen

Answer

Den y-Achsenabschnitt des Funktionsgraphen

Answer

Die Fläche unter dem Funktionsgraphen