Lineare Gleichungssysteme: Online-Quiz für Wirtschaftsingenieure

Question 1

Welches Verfahren garantiert eine eindeutige Lösung für lösbare lineare Gleichungssysteme?

Accepted Answer

Gauß-Jordan-Verfahren

Answer

Jacobi-Verfahren

Answer

Seidel-Verfahren

Answer

Gauß-Seidel-Verfahren

Question 2

Die Rangstufe einer Matrix ist:

Accepted Answer

Gleich der maximalen Anzahl linear unabhängiger Zeilen oder Spalten der Matrix.

Answer

Gleich der Anzahl der Zeilen der Matrix.

Answer

Gleich der Anzahl der Spalten der Matrix.

Answer

Gleich der Anzahl der nicht-Null-Zeilen oder -Spalten der Matrix.

Question 3

Als Diagonalmatrix bezeichnet man eine Matrix, in der:

Accepted Answer

Alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonale Null sind.

Answer

Alle Elemente oberhalb der Hauptdiagonale Null sind.

Answer

Alle Elemente rechts von der Hauptdiagonale Null sind.

Answer

Alle Elemente links von der Hauptdiagonale Null sind.

Question 4

Damit ein lineares Gleichungssystem lösbar ist, muss folgende Bedingung erfüllt sein:

Accepted Answer

Der Rang der Matrix der Koeffizienten ist gleich dem Rang der erweiterten Matrix.

Answer

Der Rang der Matrix der Koeffizienten ist größer als der Rang der erweiterten Matrix.

Answer

Der Rang der Matrix der Koeffizienten ist kleiner als der Rang der erweiterten Matrix.

Answer

Der Rang der Matrix der Koeffizienten ist gleich der Anzahl der Variablen.

Question 5

Welches Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme ist ein direktes Verfahren?

Accepted Answer

Gauß-Elimination

Answer

Gauß-Seidel-Verfahren

Answer

Jacobi-Verfahren

Answer

QR-Zerlegung

Question 6

Welche Aussage über lineare Gleichungssysteme ist korrekt?

Accepted Answer

Alle Antworten sind korrekt.

Answer

Ein lineares Gleichungssystem kann höchstens eine eindeutige Lösung haben.

Answer

Ein lineares Gleichungssystem kann mehrere Lösungen haben.

Answer

Ein lineares Gleichungssystem kann keine Lösung haben.

Question 7

Was ist ein linear unabhängiges Gleichungssystem?

Accepted Answer

Ein Gleichungssystem, bei dem keine Gleichung eine Linearkombination der anderen ist.

Answer

Ein Gleichungssystem, bei dem alle Gleichungen eine Linearkombination der ersten Gleichung sind.

Answer

Ein Gleichungssystem, bei dem alle Gleichungen die gleiche Lösung haben.

Answer

Ein Gleichungssystem, bei dem die Anzahl der Gleichungen größer ist als die Anzahl der Unbekannten.

Question 8

Was ist der Rang einer Matrix?

Accepted Answer

Die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen oder Spalten einer Matrix.

Answer

Die Anzahl der Zeilen oder Spalten einer Matrix.

Answer

Die Summe der Elemente einer Matrix.

Answer

Die Determinante einer Matrix.

Question 9

Welche der folgenden Aussagen über lineare Gleichungssysteme ist falsch?

Accepted Answer

Ein lineares Gleichungssystem hat immer eine eindeutige Lösung.

Answer

Ein lineares Gleichungssystem kann mehrere Lösungen haben.

Answer

Ein lineares Gleichungssystem kann keine Lösung haben.

Answer

Die Anzahl der Lösungen eines linearen Gleichungssystems ist gleich der Anzahl der Unbekannten.

Question 10

Berechne die Determinante der Matrix $$A=egin{pmatrix} a & b  c & d end{pmatrix}$$.

Accepted Answer

ad - bc

Answer

a - c

Answer

a + c

Answer

(a - c)(b + d)

Question 11

Welches der folgenden Verfahren ist ein **direktes** Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme?

Accepted Answer

Gauß-Jordan-Elimination

Answer

Jacobi-Iteration

Answer

Seidel-Iteration

Answer

Gauss-Seidel-Iteration

Question 12

Welcher der folgenden numerischen Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme eignet sich am besten für große, **dünn besetzte** Matrizen?

Accepted Answer

CG-Iteration

Answer

Gauß-Jordan-Elimination

Answer

Jacobi-Iteration

Answer

Seidel-Iteration

Question 13

Welches der folgenden Gleichungssysteme ist nicht lösbar? (Lineare Gleichungssysteme)

Accepted Answer

x + y = 1, x + y = 2

Answer

x - y = 1, x + y = 3

Answer

x + y = 1, 2x + 2y = 4

Answer

2x + y = 1, 3x + y = 2

Question 14

Welche der folgenden Aussagen ist richtig? (Lineare Gleichungssysteme)

Accepted Answer

Die Summe der Lösungsvektoren linear unabhängiger Gleichungssysteme ist ein Lösungsvektor des Gesamtsystems.

Answer

Die Lösungsmenge eines Gleichungssystems ist immer endlich.

Question 15

Welche Anwendung finden lineare Gleichungssysteme in der Praxis? (Lineare Gleichungssysteme)

Accepted Answer

Modellierung von Angebot und Nachfrage

Answer

Teilchenphysik

Answer

Quantenmechanik

Answer

Atomphysik

Question 16

Welche der folgenden Methoden ist ein iteratives Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme? (Lineare Gleichungssysteme)

Accepted Answer

Jacobi-Iteration

Answer

Gauß-Jordan-Elimination

Answer

Cholesky-Zerlegung

Answer

LU-Zerlegung

Question 17

Welche Eigenschaft muss eine Matrix erfüllen, damit die Gauß-Jordan-Elimination anwendbar ist? (Lineare Gleichungssysteme)

Accepted Answer

Regulär

Answer

Positiv definit

Answer

Symmetrisch

Answer

Diagonalisierbar

Question 18

Welcher Satz garantiert die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung eines linearen Gleichungssystems? (Lineare Gleichungssysteme)

Accepted Answer

Satz von Cramer

Answer

Satz von Sylvester

Answer

Satz von Binet-Cauchy

Answer

Satz von Gauß

Question 19

Welches Lösungsverfahren ist besonders gut geeignet für große, dünn besetzte lineare Gleichungssysteme?

Accepted Answer

Iterative Verfahren

Answer

LU-Zerlegung

Answer

QR-Zerlegung

Answer

Gauß-Jordan-Elimination

Question 20

Welche Eigenschaft beschreibt ein lineares Gleichungssystem, das genau eine Lösung besitzt?

Accepted Answer

Regulär

Answer

Überbestimmt

Answer

Unterbestimmt

Answer

Singulär

Question 21

Welches Verfahren wird typischerweise zur Lösung überbestimmter linearer Gleichungssysteme verwendet?

Accepted Answer

Methode der kleinsten Quadrate

Answer

Gauß-Jordan-Elimination

Answer

LU-Zerlegung

Answer

Iterationsverfahren

Question 22

Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit ein lineares Gleichungssystem genau eine Lösung hat?

Accepted Answer

Die Koeffizientenmatrix hat vollen Rang.

Answer

Die Anzahl der Gleichungen ist größer als die Anzahl der Unbekannten.

Answer

Das System ist homogen.

Answer

Die rechte Seite enthält nur Nullen.

Question 23

Welche Aussage über das Cramersche Regelverfahren ist richtig?

Accepted Answer

Es eignet sich am besten für kleine Systeme mit bis zu 3 Unbekannten.

Answer

Es ist effizienter als andere Lösungsverfahren für große Systeme.

Answer

Es ist immer numerisch stabil.

Question 24

Welches der folgenden Verfahren ist KEIN direktes Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme?

Accepted Answer

Gauss-Seidel-Verfahren

Answer

Cholesky-Zerlegung

Answer

LU-Zerlegung

Answer

Gauß-Elimination

Question 25

Ein lineares Gleichungssystem mit n Gleichungen und m Unbekannten besitzt genau eine Lösung, wenn...

Accepted Answer

n = m und der Rang der Koeffizientenmatrix gleich n ist.

Answer

n > m und der Rang der Koeffizientenmatrix gleich m ist.

Answer

n < m und der Rang der Koeffizientenmatrix gleich n ist.

Question 26

Welches Verfahren ist besonders geeignet, um ein großes, dünn besetztes lineares Gleichungssystem zu lösen?

Accepted Answer

Iterative Verfahren, wie z.B. das Gauss-Seidel-Verfahren

Answer

Gauß-Elimination

Answer

LU-Zerlegung

Question 27

Die Matrix A ist invertierbar, wenn...

Accepted Answer

die Determinante von A ungleich Null ist.

Answer

die Determinante von A gleich Null ist.

Answer

A eine Diagonalmatrix ist.

Answer

A eine quadratische Matrix ist.

Question 28

Ein lineares Gleichungssystem der Form Ax = b mit einer oberen Dreiecksmatrix A kann effizient gelöst werden mit...

Accepted Answer

Rückwärtseinsetzen

Answer

Jacobi-Verfahren

Answer

Gauß-Elimination

Answer

Vorwärtseinsetzen

Question 29

Welche Aussage zum Jacobi-Verfahren ist FALSCH?

Accepted Answer

Das Verfahren konvergiert immer, unabhängig von der Wahl des Startvektors.

Answer

Das Verfahren ist einfach zu implementieren.

Answer

Das Verfahren ist gut geeignet für dünn besetzte Matrizen.

Question 30

Welches der folgenden Gleichungssysteme hat unendlich viele Lösungen?

Accepted Answer

x + y = 2; 2x + 2y = 4

Answer

x + 2y = 4; x - y = 2

Answer

x + y = 2; 2x + y = 4

Answer

x + y = 2; x - y = 0

Question 31

Wie wird die Konvergenzgeschwindigkeit eines iterativen Verfahrens zur Lösung linearer Gleichungssysteme gemessen?

Accepted Answer

Spektralradius der Iterationsmatrix

Answer

Determinante der Koeffizientenmatrix

Answer

Anzahl der Unbekannten

Answer

Rang der Koeffizientenmatrix

Question 32

Welchen Vorteil bietet die LU-Zerlegung im Vergleich zur Gauß-Elimination bei der Lösung linearer Gleichungssysteme?

Accepted Answer

Die LU-Zerlegung kann für verschiedene rechte Seiten b verwendet werden, ohne die Zerlegung neu berechnen zu müssen.

Answer

Die LU-Zerlegung ist numerisch stabiler.

Question 33

Welche Methode zur Lösung linearer Gleichungssysteme verwendet die Umformung der Koeffizientenmatrix in eine obere Dreiecksmatrix?

Accepted Answer

Gauß-Elimination

Answer

Jacobi-Iteration

Answer

Gauss-Seidel-Iteration

Answer

LU-Zerlegung

Question 34

Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit ein lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist?

Accepted Answer

Die Determinante der Koeffizientenmatrix ist ungleich Null.

Answer

Die Koeffizientenmatrix muss invertierbar sein.

Answer

Die Anzahl der Gleichungen muss gleich der Anzahl der Unbekannten sein.

Question 35

Welche Aussage über die Jacobi-Iteration zur Lösung linearer Gleichungssysteme trifft zu?

Accepted Answer

Sie ist eine iterative Methode, die die Unbekannten schrittweise approximiert.

Answer

Sie erfordert die Invertierung der Koeffizientenmatrix.

Answer

Sie ist eine direkte Methode, die die exakte Lösung in einem Schritt berechnet.

Question 36

Welches Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme ist besonders effizient bei großen, dünn besetzten Matrizen?

Accepted Answer

LU-Zerlegung

Answer

Gauß-Elimination

Answer

Gauss-Seidel-Iteration

Answer

Jacobi-Iteration

Question 37

Ein Unternehmen stellt zwei Produkte A und B her. Produkt A benötigt 3 Stunden Maschinenzeit und 2 Stunden Arbeitszeit pro Einheit. Produkt B benötigt 2 Stunden Maschinenzeit und 4 Stunden Arbeitszeit pro Einheit. Insgesamt stehen 18 Stunden Maschinenzeit und 16 Stunden Arbeitszeit zur Verfügung. Wie viele Einheiten von Produkt A und B können maximal produziert werden?

Accepted Answer

4 Einheiten von A und 2 Einheiten von B

Answer

6 Einheiten von A und 1 Einheit von B

Answer

5 Einheiten von A und 1 Einheit von B

Answer

3 Einheiten von A und 3 Einheiten von B

Question 38

Welche Aussage über die Konvergenz der Jacobi-Iteration ist korrekt?

Accepted Answer

Die Konvergenz ist abhängig von der Spektralnorm der Iterationsmatrix.

Answer

Die Jacobi-Iteration konvergiert immer, unabhängig von der Anfangslösung.

Answer

Die Konvergenz ist unabhängig von der Wahl der Anfangslösung.

Question 39

Welche Aussage über die LU-Zerlegung ist korrekt?

Accepted Answer

Die LU-Zerlegung stellt die Koeffizientenmatrix als Produkt einer unteren und einer oberen Dreiecksmatrix dar.

Answer

Die LU-Zerlegung ist eine iterative Methode zur Lösung linearer Gleichungssysteme.

Question 40

Welche Aussage über die Gauss-Seidel-Iteration ist korrekt?

Accepted Answer

Sie nutzt die bereits berechneten Werte der Unbekannten in der aktuellen Iteration.

Answer

Sie ist immer schneller konvergent als die Jacobi-Iteration.

Answer

Sie benötigt keine Anfangslösung.

Question 41

Welche Aussage über die Determinante einer Matrix ist korrekt?

Accepted Answer

Die Determinante ist gleich Null, wenn die Matrix singulär ist.

Answer

Die Determinante einer Matrix ist immer positiv.

Answer

Die Determinante einer Matrix gibt die Anzahl der Zeilen an.

Question 42

Welche Aussage über ein homogenes lineares Gleichungssystem ist korrekt?

Accepted Answer

Es hat immer mindestens eine Lösung, nämlich die triviale Lösung.

Answer

Es hat immer unendlich viele Lösungen.

Answer

Es hat keine Lösung.

Question 43

Welches der folgenden Verfahren ist KEIN direktes Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme?

Accepted Answer

Jacobi-Verfahren

Answer

LU-Zerlegung

Answer

Gauss-Jordan-Elimination

Answer

Gauß-Elimination

Question 44

Ein lineares Gleichungssystem mit n Gleichungen und n Unbekannten hat immer genau eine Lösung, wenn...

Accepted Answer

die Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich Null ist.

Answer

die Koeffizientenmatrix eine obere Dreiecksmatrix ist.

Answer

die Koeffizientenmatrix eine Diagonalmatrix ist.

Question 45

Welche der folgenden Aussagen über das Gauß-Jordan-Verfahren ist RICHTIG?

Accepted Answer

Es transformiert die Koeffizientenmatrix in eine Einheitsmatrix.

Answer

Es ist nur für quadratische Gleichungssysteme anwendbar.

Answer

Es berechnet die Inverse der Koeffizientenmatrix.

Question 46

Ein lineares Gleichungssystem mit mehr Gleichungen als Unbekannten hat...

Accepted Answer

entweder keine Lösung oder unendlich viele Lösungen.

Answer

immer keine Lösung.

Answer

immer genau eine Lösung.

Question 47

Die LU-Zerlegung einer Matrix A ermöglicht es...

Accepted Answer

lineare Gleichungssysteme der Form Ax = b effizient zu lösen.

Answer

die Determinante der Matrix A zu berechnen.

Answer

die Inverse der Matrix A zu finden.

Question 48

Welches Verfahren wird typischerweise für die Lösung großer, dünn besetzter linearer Gleichungssysteme verwendet?

Accepted Answer

Iterative Verfahren wie das Jacobi-Verfahren.

Answer

Die LU-Zerlegung.

Answer

Die Inverse-Matrix-Methode.

Answer

Direkte Verfahren wie die Gauß-Elimination.

Question 49

Ein lineares Gleichungssystem mit n Gleichungen und m Unbekannten (n < m) ist...

Accepted Answer

unterbestimmt.

Answer

überbestimmt.

Answer

quadratisch.

Answer

homogen.

Question 50

Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit das Jacobi-Verfahren konvergiert?

Accepted Answer

Die Diagonalelemente der Koeffizientenmatrix müssen betragsmäßig größer sein als die Summe der anderen Elemente in der jeweiligen Zeile.

Answer

Die Koeffizientenmatrix muss symmetrisch sein.

Question 51

Ein homogenes lineares Gleichungssystem hat immer...

Accepted Answer

mindestens die triviale Lösung x = 0.

Answer

keine Lösung.

Answer

genau eine Lösung.

Answer

unendlich viele Lösungen.

Question 52

Die Anwendung linearer Gleichungssysteme findet man in...

Accepted Answer

allen genannten Bereichen.

Answer

der Produktionsoptimierung.

Answer

der Finanzmathematik.

Question 53

Ein lineares Gleichungssystem besteht aus drei Gleichungen mit drei Unbekannten. Wie viele Lösungen kann dieses System maximal haben?

Accepted Answer

Eine eindeutige Lösung

Answer

Keine Lösung

Answer

Zwei eindeutige Lösungen

Answer

Unendlich viele Lösungen

Question 54

Welche Methode zur Lösung linearer Gleichungssysteme ist für dünnbesetzte Matrizen besonders geeignet?

Accepted Answer

Gauß-Seidel-Iteration

Answer

Jacobi-Iteration

Answer

LU-Zerlegung

Answer

Gauß-Elimination

Question 55

Gegeben ist das Gleichungssystem: 
 x + 2y = 5 
 -3x + y = -1 
 Welche Lösungsmethode ist geeignet?

Accepted Answer

Substitutionsverfahren

Answer

Iterationsverfahren

Answer

Additionsverfahren

Answer

Einsetzungsverfahren

Question 56

Welche Aussage beschreibt einen Zeilenelementarvorgang?

Accepted Answer

Multiplikation einer Zeile mit einem von Null verschiedenen Faktor

Answer

Vertauschung zweier Zeilen

Answer

Addition einer Zeile zu einer anderen Zeile

Question 57

Gegeben ist die Matrix A = [[2, 1], [-1, 3]]. Welche der folgenden Matrizen ist die Inverse von A?

Accepted Answer

[[-3, -1], [1, 2]]

Answer

[[2, -1], [-1, 3]]

Answer

[[1, 2], [3, -1]]

Answer

[[3, 1], [-1, 2]]

Question 58

Welche der folgenden Aussagen über homogene lineare Gleichungssysteme ist richtig?

Accepted Answer

Sie haben immer die triviale Lösung x = 0

Answer

Sie haben immer eine eindeutige Lösung

Answer

Sie haben keine Lösungen

Answer

Sie haben immer unendlich viele Lösungen

Question 59

Gegeben ist das Gleichungssystem: 
 x + y + z = 6 
 2x - y + z = 4 
 -x + 2y - z = -3 
 Welche Determinante gehört zu diesem System?

Accepted Answer

-11

Answer

1

Answer

0

Answer

11

Question 60

Welche Methode ist zur Lösung eines überbestimmten linearen Gleichungssystems geeignet?

Accepted Answer

Methode der kleinsten Quadrate

Answer

Gauß-Elimination

Answer

Gauß-Seidel-Iteration

Answer

Jacobi-Iteration

Question 61

Gegeben ist die Matrix A = [[1, 2], [3, 4]]. Welche Aussage über den Rang von A ist richtig?

Accepted Answer

Der Rang von A ist 2

Answer

Der Rang von A ist 0

Answer

Der Rang von A ist 1

Answer

Der Rang von A kann nicht bestimmt werden

Question 62

Welche der folgenden Aussagen beschreibt eine Anwendung linearer Gleichungssysteme in der Wirtschaft?

Accepted Answer

Modellierung von Input-Output-Tabellen

Answer

Berechnung von Wahrscheinlichkeiten

Answer

Optimierung von Portfolios

Answer

Analyse von Zeitreihen