Interpolation und Approximation: Online-Quiz für Wirtschaftsingenieure

Question 1

Gegeben sind die Stützstellen (x0, y0), (x1, y1) und (x2, y2). Welches Polynom 2. Grades interpoliert diese Stützstellen?

Accepted Answer

P(x) = y0 + (y1 - y0)/(x1 - x0) * (x - x0) + (y2 - y1)/(x2 - x1) * (x - x1)

Answer

P(x) = y0 + (y1 - y0)/(x1 - x0) * (x - x1) + (y2 - y0)/(x2 - x0) * (x - x0)

Answer

P(x) = y0 + (y1 - y0)/(x1 - x2) * (x - x2) + (y2 - y1)/(x2 - x1) * (x - x1)

Answer

P(x) = y0 + (y1 - y0)/(x1 - x0) * (x - x2) + (y2 - y0)/(x2 - x0) * (x - x2)

Question 2

Welche Aussage beschreibt den Zweck der Approximation am besten?

Accepted Answer

Komplexe Funktionen zu vereinfachen.

Answer

Eine perfekte Anpassung an die Daten zu liefern.

Answer

Zukünftige Werte vorherzusagen.

Answer

Immer genauer zu sein als Interpolation.

Question 3

Welche Interpolationsmethode ist am einfachsten und wird am häufigsten verwendet?

Accepted Answer

Polynominterpolation

Answer

Spline-Interpolation

Answer

Lagrange-Interpolation

Answer

Hermite-Interpolation

Question 4

Welche Eigenschaft unterscheidet Spline-Funktionen von Polynomen?

Accepted Answer

Stetige Ableitung

Answer

Glatte Kurven

Answer

Höhere Genauigkeit

Answer

Weniger Rechenaufwand

Question 5

Welche Spline-Ordnung entspricht der einer kubischen Spline-Funktion?

Accepted Answer

3

Answer

1

Answer

2

Answer

4

Question 6

Welche Methode wird verwendet, um die Stetigkeit der ersten Ableitung einer Spline-Funktion sicherzustellen?

Accepted Answer

Natürlicher Spline

Answer

Clamping

Answer

Periodischer Spline

Answer

Freier Rand

Question 7

Welche Funktion erfüllen Stützstellen bei der Interpolation?

Accepted Answer

Sie definieren die Werte der interpolierenden Funktion.

Answer

Sie bestimmen den Grad des Interpolationspolynoms.

Answer

Sie liefern Informationen über die Genauigkeit der Approximation.

Question 8

Welche Interpolationsformel berechnet das eindeutige Polynom ersten Grades p(x) = ax + b, das die beiden Datenpunkte (x₁, y₁) und (x₂, y₂) interpoliert?

Accepted Answer

p(x) = y₁ + (y₂ - y₁) * (x - x₁) / (x₂ - x₁)

Answer

p(x) = y₁ * x₂ + y₂ * x₁ / (x₁ + x₂)

Answer

p(x) = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) * (x - y₁) + y₁

Answer

p(x) = y₁ * (x - x₂) + y₂ * (x - x₁)

Question 9

Welche Aussage zu Splines ist nicht korrekt?

Accepted Answer

Splines sind immer die optimale Interpolationsmethode für alle Datensätze.

Answer

Splines sind stückweise Polynomsegmente, deren Werte und erste Ableitungen an den Verbindungsstellen stetig sind.

Answer

Kubische Splines weisen an ihren Verbindungsstellen Stetigkeit bis zur zweiten Ableitung auf.

Answer

Spline-Interpolation kann auch für ungleichmäßig verteilte Datenpunkte eingesetzt werden.

Question 10

Welche der folgenden Funktionen kann nicht als Kernfunktion bei der Kernelregression verwendet werden?

Accepted Answer

Polynomkern dritten Grades

Answer

Gaußsche Glockenkurve

Answer

Epanechnikov-Kern

Answer

Linearer Kern

Question 11

Welche Approximationsmethode eignet sich am besten, um die Funktion f(x) = exp(x) im Intervall [0, 1] zu approximieren?

Accepted Answer

Taylor-Approximation

Answer

Polynominterpolation

Answer

Lineare Regression

Answer

Kernelregression

Question 12

Welche Aussage trifft am besten auf die Lagrangesche Interpolation zu?

Accepted Answer

Verwendet lokale Basisfunktionen für die Konstruktion des Interpolations-Polynoms.

Answer

Erfordert äquidistante Stützstellen.

Answer

Verwendet globale Basisfunktionen für die Konstruktion des Interpolations-Polynoms.

Question 13

Welcher Spline-Typ zeichnet sich durch stetige erste und zweite Ableitungen aus?

Accepted Answer

Kubischer Spline

Answer

Hermitescher Spline

Answer

Linearer Spline

Answer

Natürlicher Spline

Question 14

Was ist der Hauptzweck der linearen Regression?

Accepted Answer

Anpassung einer Geraden an Datenpunkte zur Darstellung ihrer Beziehung.

Answer

Vorhersage zukünftiger Werte basierend auf historischen Daten.

Answer

Clustering eines Datensatzes in homogene Gruppen.

Question 15

Welche Methode verwendet die Methode der kleinsten Quadrate, um die beste Anpassung zu ermitteln?

Accepted Answer

Minimierung der Summe der quadrierten Abstände zwischen Datenpunkten und Anpassungskurve.

Answer

Minimierung der Summe der absoluten Abstände zwischen Datenpunkten und Anpassungskurve.

Answer

Maximierung der Summe der Abstände zwischen Datenpunkten und Anpassungskurve.

Question 16

Welche Aussage beschreibt die Bedeutung der Korrelationskoeffizienten am besten?

Accepted Answer

Sie messen die Stärke und Richtung der linearen Beziehung zwischen zwei Variablen.

Answer

Sie bestimmen die Anzahl der Datenpunkte, die auf die Anpassungskurve passen.

Answer

Sie geben die Wahrscheinlichkeit an, dass zwei Ereignisse gleichzeitig auftreten.

Question 17

Was ist der Hauptunterschied zwischen Interpolation und Approximation?

Accepted Answer

Interpolation liefert exakte Werte an den Stützstellen, während Approximation Schätzungen liefert.

Answer

Interpolation verwendet Polynome, während Approximation Spline-Funktionen verwendet.

Question 18

Welche Aussage trifft am besten auf kubische Splines zu?

Accepted Answer

Sie liefern stetige erste und zweite Ableitungen an den Knoten.

Answer

Sie erfordern äquidistante Stützstellen.

Answer

Sie können für Funktionen mit Singularitäten verwendet werden.

Question 19

Welche Methode kann verwendet werden, um die Güte einer Approximation zu bewerten?

Accepted Answer

Mittlerer quadratischer Fehler

Answer

Standardabweichung

Answer

Korrelationskoeffizient

Question 20

Welche Aussage beschreibt die Hauptanwendung von Interpolationsmethoden am besten?

Accepted Answer

Erstellung von Funktionen aus diskreten Daten.

Answer

Integration von Funktionen.

Answer

Lösen von Differentialgleichungen.

Answer

Differenzierung von Funktionen.

Question 21

Wie lautet die allgemeine Form des Aitken-Neville-Algorithmus zur Interpolation?

Accepted Answer

P(x) = P[x_i-1, x_i, ..., x_j-1, x_j](x) = (x-x_{j-1})P[x_i, ..., x_j-1](x) + (x-x_j)P[x_i-1, ..., x_j](x)

Answer

P(x) = P[x_{i-1}, x_i](x) + (x-x_i)P[x_i, x_{i+1}](x)

Answer

P(x) = P[x_0, x_1, ..., x_n](x) = sum_{i=0}^n a_i x^i

Question 22

Was ist die grundlegende Idee der Kreuzvalidierung?

Accepted Answer

Ein Verfahren zur Schätzung der Generalisierungsleistung eines Modells durch Aufteilung der Daten in mehrere Teilmengen.

Answer

Eine Technik zur Reduzierung der Überanpassung bei der Modellerstellung.

Answer

Ein Verfahren zur Auswahl der optimalen Stützstellen für die Interpolation.

Question 23

Was ist der Zweck der normierten B-Spline-Basis?

Accepted Answer

Vereinfachung der Berechnung und Sicherstellung der Einheitssumme.

Answer

Reduzierung der Rechenkosten bei der Spline-Evaluation.

Answer

Erhöhung der Genauigkeit der Interpolation.

Answer

Verbesserung der Stabilität der Spline-Approximation.

Question 24

Welche Eigenschaft ist für Bézier-Kurven charakteristisch?

Accepted Answer

Die Kurve liegt vollständig innerhalb der konvexen Hülle ihrer Kontrollpunkte.

Answer

Die Kurve hat eine konstante Krümmung.

Answer

Die Kurve hat keine Wendepunkte.

Answer

Die Kurve ist immer symmetrisch zur x-Achse.

Question 25

Welche Eigenschaft besitzen Spline-Funktionen?

Accepted Answer

Sie sind stückweise polynomial, stetig in der ersten Ableitung und erfüllen Randbedingungen.

Answer

Sie haben keine Ableitung an den Knotenpunkten.

Answer

Sie sind nur auf einem einzigen Intervall definiert.

Question 26

Welche Methode eignet sich am besten zur Interpolation von äquidistanten Datenpunkten, wenn die Steigungen an den Stützstellen gegeben sind?

Accepted Answer

Hermite-Interpolation

Answer

Lagrange-Interpolation

Answer

Newton-Interpolation

Question 27

Welcher Fehlertyp tritt auf, wenn die Daten durch ein Polynom mit zu hohem Grad interpoliert werden?

Accepted Answer

Runge-Phänomen

Answer

Aliasing-Fehler

Answer

Rundungsfehler

Answer

Approximationsfehler

Question 28

Welches Verfahren wird verwendet, um eine kubische Spline-Funktion zu konstruieren?

Accepted Answer

Lösen eines Systems linearer Gleichungen

Answer

Differenzenverfahren

Answer

Numerische Integration

Answer

Finite-Elemente-Methode

Question 29

Welche Eigenschaft besitzen B-Splines?

Accepted Answer

Sie haben lokale Träger und sind stückweise polynomial.

Answer

Sie haben unendlichen Grad.

Answer

Sie sind immer kubisch.

Question 30

Welcher Algorithmus wird verwendet, um die Koeffizienten der Lagrange-Interpolationspolynome effizient zu berechnen?

Accepted Answer

Lagrange-Schema

Answer

Horner-Schema

Answer

Newton-Schema

Answer

Gaussian-Elimination

Question 31

Welche Aussage zur Lagrange-Interpolation trifft zu?

Accepted Answer

Der Lagrange-Interpolationspolynom interpoliert die gegebenen Datenpunkte exakt.

Answer

Die Taylor-Reihe bestimmt den Lagrange-Interpolationspolynom.

Answer

Die Lagrange-Interpolation gilt nur für gleichverteilte Datenpunkte.

Question 32

Welcher Spline-Typ gewährleistet C²-Stetigkeit?

Accepted Answer

Kubischer Spline

Answer

Quadratischer Spline

Answer

Linearer Spline

Question 33

Was ist das Ziel der Aitken-Neville-Interpolation?

Accepted Answer

Interpolation von unregelmäßig verteilten Datenpunkten

Answer

Numerische Integration

Answer

Approximation mit rationalen Funktionen

Answer

Lösen gewöhnlicher Differentialgleichungen

Question 34

Wie ermittelt man die Koeffizienten in der Lagrange-Interpolation?

Accepted Answer

Durch Lösen eines linearen Gleichungssystems

Answer

Durch Integrieren der Funktionswerte

Answer

Durch Differenzieren der Funktionswerte

Answer

Mittels der Methode der kleinsten Quadrate

Question 35

Welcher Nachteil entsteht durch eine hohe Anzahl von Stützstellen in der Spline-Interpolation?

Accepted Answer

Instabilität und Oszillationen im Ergebnis

Answer

Geringerer Rechenaufwand

Answer

Kein Nachteil

Answer

Erhöhte Genauigkeit

Question 36

Welche Aussage zur kubischen Spline-Interpolation ist falsch?

Accepted Answer

Sie bewahrt die Monotonie der interpolierten Funktion.

Answer

Ihre Koeffizienten ergeben sich aus einer Matrixgleichung.

Answer

Sie ist C²-stetig.

Question 37

Nach welchem Kriterium wird der optimale Knotenabstand bei der Spline-Interpolation gewählt?

Accepted Answer

Minimierung des Fehlers zwischen Funktion und Interpolationspolynom

Answer

Gleichmäßige Verteilung der Stützstellen

Answer

Maximierung der Anzahl der Stützstellen

Question 38

Worin besteht der Unterschied zwischen einer rationalen Funktion und einem Spline?

Accepted Answer

Ein Spline ist eine stückweise Polynomfunktion, eine rationale Funktion der Quotient zweier Polynome.

Answer

Ein Spline enthält nur lineare Terme, eine rationale Funktion lineare und nichtlineare Terme.

Question 39

Welche Interpolationsmethode eignet sich am besten für unregelmäßig verteilte Datenpunkte mit stark schwankenden Funktionswerten?

Accepted Answer

Kernel-Glättung

Answer

Kubische Spline-Interpolation

Answer

Lineare Regression

Answer

Lagrange-Interpolation

Question 40

Welchen Vorteil bietet die stückweise lineare Interpolation?

Accepted Answer

Einfache Berechnung und schnelle Implementierung

Answer

C²-Stetigkeit

Answer

Hohe Genauigkeit

Answer

Stabilität bei großen Datenmengen

Question 41

Welche Aussage über die Lagrange-Interpolation ist korrekt?

Accepted Answer

Die Lagrange-Interpolation erzeugt ein eindeutiges Polynom, das durch alle gegebenen Datenpunkte verläuft.

Answer

Die Lagrange-Interpolation ist nur für äquidistante Datenpunkte geeignet.

Answer

Die Lagrange-Interpolation liefert immer ein Polynom niedrigsten Grades.

Answer

Die Lagrange-Interpolation minimiert den Interpolationsfehler.

Question 42

Was ist der Hauptvorteil von Spline-Funktionen gegenüber der Polynominterpolation?

Accepted Answer

Spline-Funktionen können komplexe Kurvenverläufe besser abbilden, ohne zu starken Oszillationen zu neigen.

Answer

Spline-Funktionen liefern immer eine exakte Interpolation.

Answer

Spline-Funktionen benötigen weniger Datenpunkte zur Interpolation.

Answer

Spline-Funktionen sind einfacher zu berechnen als Polynome.

Question 43

Welchen Grad haben kubische Splines?

Accepted Answer

3

Answer

4

Answer

2

Answer

1

Question 44

Was ist der Zweck der Approximation?

Accepted Answer

Eine Funktion durch eine andere, einfachere Funktion zu ersetzen.

Answer

Eine Funktion exakt durch alle gegebenen Datenpunkte zu legen.

Answer

Die Stetigkeit einer Funktion zu gewährleisten.

Answer

Den Interpolationsfehler zu minimieren.

Question 45

Die Methode der kleinsten Quadrate wird verwendet, um...

Accepted Answer

eine Funktion an Datenpunkte anzupassen, indem die Summe der quadratischen Abweichungen minimiert wird.

Answer

den Interpolationsfehler zu minimieren.

Answer

Spline-Funktionen zu berechnen.

Answer

eine Funktion exakt durch alle gegebenen Datenpunkte zu legen.

Question 46

Welcher der folgenden Approximationsansätze verwendet eine Linearkombination von Basisfunktionen?

Accepted Answer

Fourier-Approximation

Answer

Newton-Interpolation

Answer

Spline-Interpolation

Answer

Polynominterpolation

Question 47

Was ist ein Vorteil der Approximation mit stückweise linearen Funktionen?

Accepted Answer

Sie sind einfach zu implementieren und numerisch stabil.

Answer

Sie sind für alle Arten von Daten geeignet.

Answer

Sie liefern immer die bestmögliche Approximation.

Answer

Sie sind besonders effizient für hohe Datenmengen.

Question 48

Was beschreibt das Runge-Phänomen?

Accepted Answer

Starke Oszillationen, die bei der Polynominterpolation mit hohem Grad an den Rändern des Interpolationsintervalls auftreten können.

Answer

Die Schwierigkeit, Randbedingungen für Spline-Funktionen zu finden.

Answer

Die numerische Instabilität der Spline-Interpolation.

Answer

Die Unfähigkeit der Fourier-Approximation, periodische Funktionen darzustellen.

Question 49

Welche der folgenden Aussagen beschreibt eine Spline-Funktion korrekt?

Accepted Answer

Eine stückweise Polynomfunktion mit stetigen Ableitungen bis zu einer bestimmten Ordnung.

Answer

Eine lineare Funktion mit ganzzahligen Koeffizienten.

Answer

Eine harmonische Funktion, die der Laplace-Gleichung genügt.

Question 50

Welche Approximationsmethode verwendet gewichtete Mittelwerte?

Accepted Answer

Lineare Regression

Answer

Spline-Interpolation

Answer

Finite-Differenzen-Verfahren

Answer

Polynominterpolation

Question 51

Wie wird der Fehlerterm der Taylor-Approximation bezeichnet?

Accepted Answer

Restglied der Taylor-Reihe

Answer

Anzahl der Terme in der Approximation

Answer

Differenz zwischen exakter Funktion und Approximation

Answer

Höchste Ableitung der Funktion

Question 52

Welche Aussage zur Padé-Approximation ist korrekt?

Accepted Answer

Rationale Approximation einer analytischen Funktion

Answer

Immer genauer als die Taylor-Approximation

Answer

Anwendbar nur für ganze Funktionen

Question 53

Welcher Vorteil ergibt sich aus der Tschebyschow-Interpolation im Vergleich zur Interpolation mit äquidistanten Stützstellen?

Accepted Answer

Reduktion des Runge-Phänomens

Answer

Erhöhte Genauigkeit der Approximation

Answer

Weniger erforderliche Stützstellen

Answer

Einfachere Implementierung

Question 54

Welche Approximationsmethode verwendet eine gewichtete Summe von Exponentialfunktionen?

Accepted Answer

Fourier-Approximation

Answer

Polynominterpolation

Answer

Spline-Interpolation

Answer

Finite-Elemente-Methode

Question 55

Was ist das Ziel der numerischen Quadratur?

Accepted Answer

Berechnung von Integralen mittels Approximationsverfahren

Answer

Ableitung von Funktionen

Answer

Interpolation von Daten

Question 56

Welche numerische Quadraturmethode verwendet eine gewichtete Summe von Funktionswerten?

Accepted Answer

Gauß-Quadratur

Answer

Simpsonsche Regel

Answer

Monte-Carlo-Integration

Answer

Trapezregel