Grenzwerte und Stetigkeit: Online-Quiz für Wirtschaftsingenieure

Question 1

Beweisen Sie: Ist die Funktion $f(x)$ an der Stelle $x_0$ stetig, so ist auch die Funktion $g(x) = f(x) + c$ an der Stelle $x_0$ stetig.

Accepted Answer

Angenommen, $f(x)$ ist an $x_0$ stetig. Dann existiert eine positive Zahl $δ$ sodass für alle $x$ mit $0 < |x - x_0| < δ$ gilt: $|f(x) - f(x_0)| < ε$. Da $g(x) = f(x) + c$ gilt, haben wir für alle $x$ mit $0 < |x - x_0| < δ$:

Answer

Die Aussage ist falsch, da die Stetigkeit von $f(x)$ nicht impliziert, dass $g(x)$ stetig ist.

Answer

Die Aussage ist richtig, aber nur wenn $c = 0$ ist.

Answer

Die Aussage kann nicht bewiesen werden, da sie falsch ist.

Question 2

Definiere die Stetigkeit einer Funktion f(x) an einem Punkt a gemäß der Epsilon-Delta-Definition.

Accepted Answer

Für jedes beliebige ε > 0 existiert ein δ > 0, sodass |f(x) - f(a)| < ε, wenn |x - a| < δ.

Answer

Für jedes beliebige ε > 0 existiert ein δ > 0, sodass |x - a| < ε, wenn |f(x) - f(a)| < δ.

Answer

Für jedes beliebige δ > 0 existiert ein ε > 0, sodass |f(x) - f(a)| < ε, wenn |x - a| < δ.

Answer

Für jedes beliebige ε > 0 existiert ein δ > 0, sodass |f(a) - f(x)| < ε, wenn |a - x| < δ.

Question 3

Welche der folgenden Aussagen beschreibt korrekt, was der Grenzwert einer Funktion f(x) an der Stelle x = a ist?

Accepted Answer

Der Grenzwert ist der Wert, dem sich die Funktionswerte beliebig nahekommen, wenn x sich beliebig nahe an a annähert.

Answer

Der Grenzwert ist der Funktionswert an der Stelle x = a.

Answer

Der Grenzwert ist der Wert, den die Funktion genau für x = a annimmt.

Answer

Der Grenzwert ist der Wert, gegen den die Funktion monoton zunimmt oder abnimmt.

Question 4

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 0 nicht stetig?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sin(x)

Question 5

Welcher Grenzwertsatz ermöglicht es, den Grenzwert eines Quotienten aus zwei Funktionen zu berechnen?

Accepted Answer

Satz von L'Hospital

Answer

Cauchy-Dirichletscher Satz

Answer

Satz über die Summenregel

Answer

Satz über die Produktregel

Question 6

Welche der folgenden Funktionen hat einen Sprung an der Stelle x = 1?

Accepted Answer

f(x) = |x - 1|

Answer

f(x) = x

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 7

Welche der folgenden Aussagen über die Stetigkeit einer Funktion ist falsch?

Accepted Answer

Eine stetige Funktion ist an jeder Stelle differenzierbar.

Answer

Eine stetige Funktion hat an jeder Stelle einen Grenzwert.

Answer

Eine Funktion mit einem Sprung ist nicht stetig.

Answer

Eine Funktion mit einer Nullstelle ist stetig.

Question 8

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 0 stetig, aber nicht differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sin(x)

Question 9

Welche der folgenden Aussagen über Grenzwerte von zusammengesetzten Funktionen ist korrekt?

Accepted Answer

Der Grenzwert einer zusammengesetzten Funktion ist gleich dem Produkt der Grenzwerte der einzelnen Funktionen.

Answer

Der Grenzwert einer zusammengesetzten Funktion ist gleich dem Quotienten der Grenzwerte der einzelnen Funktionen.

Answer

Der Grenzwert einer zusammengesetzten Funktion ist gleich der Summe der Grenzwerte der einzelnen Funktionen.

Answer

Der Grenzwert einer zusammengesetzten Funktion ist immer gleich 0.

Question 10

Ermitteln Sie den Grenzwert von f(x) = (x-2)² - 1 für x gegen 2.

Accepted Answer

0

Answer

1

Answer

-1

Answer

3

Question 11

Für welchen Wert von x existiert der Grenzwert von g(x) = 1/(x-3) nicht?

Accepted Answer

3

Answer

1

Answer

2

Answer

4

Question 12

Welcher Grenzwertsatz kann verwendet werden, um den Grenzwert von h(x) = |x-1| für x gegen 1 zu berechnen?

Accepted Answer

Grenzwertsatz für Betragsfunktionen

Answer

Grenzwertsatz für Wurzelfunktionen

Answer

Grenzwertsatz für rationale Funktionen

Answer

Grenzwertsatz für Exponentialfunktionen

Question 13

Eine Funktion f(x) ist an der Stelle x = 0 stetig, wenn:

Accepted Answer

lim x→0 f(x) existiert und ist gleich f(0)

Answer

lim x→0 f(x) = 0

Answer

f(x) ist an der Stelle x = 0 differenzierbar

Answer

f(0) = 0

Question 14

Welche Aussage ist richtig für die Funktion f(x) = 1/(x-2)?

Accepted Answer

Sie ist an keiner Stelle stetig.

Answer

Sie ist stetig auf ihrem Definitionsbereich.

Answer

Sie ist stetig an der Stelle x = 2.

Answer

Sie ist nur an der Stelle x = 0 stetig.

Question 15

Sei f(x) eine Funktion mit folgender Eigenschaft: Für jedes ε > 0 existiert ein δ > 0, sodass für alle x mit |x-a| < δ gilt |f(x)-L| < ε. Welche Aussage lässt sich daraus folgern?

Accepted Answer

f(x) ist an der Stelle x = a stetig.

Answer

f(x) ist an der Stelle x = a nicht stetig.

Answer

f(x) ist auf dem gesamten Definitionsbereich stetig.

Answer

Nichts lässt sich daraus folgern.

Question 16

Welche Aussage ist richtig für die Funktion f(x) = x²?

Accepted Answer

Sie ist an allen Stellen differenzierbar und stetig.

Answer

Sie ist nur an den Stellen x = 0 und x = 1 differenzierbar und stetig.

Answer

Sie ist nur an der Stelle x = 0 differenzierbar und stetig.

Answer

Sie ist an keiner Stelle differenzierbar und stetig.

Question 17

An welchen Stellen ist die Funktion f(x) = |x-1| nicht stetig differenzierbar?

Accepted Answer

x = 1

Answer

x = 0

Answer

x = -1

Answer

Überall

Question 18

Welche Aussage ist falsch für Grenzwerte?

Accepted Answer

Sie können nur für reelle Zahlen existieren.

Answer

Sie können unendlich sein.

Answer

Sie können einen bestimmten Wert annehmen.

Answer

Sie können nicht existieren.

Question 19

Welche praktische Anwendung haben Grenzwerte und Stetigkeit bei der Untersuchung des Verhaltens einer Funktion im Unendlichen?

Accepted Answer

Ermittlung horizontaler Asymptoten

Answer

Bestimmung von Extremwerten

Answer

Berechnung von Flächeninhalten

Question 20

Welche der folgenden Aussagen definiert am besten den Grenzwert einer Funktion f(x)?

Accepted Answer

Wenn x sich einem bestimmten Wert a nähert, nähert sich f(x) einem bestimmten Wert L.

Answer

Der Grenzwert ist der Wert der Funktion an einer bestimmten Stelle.

Question 21

Welche der folgenden Aussagen über die erste Ableitung einer Funktion ist falsch?

Accepted Answer

Die erste Ableitung einer Funktion gibt immer den Grenzwert der Funktion an.

Answer

Die erste Ableitung einer Funktion ist gleich der Änderungsrate der Funktion.

Answer

Die erste Ableitung einer Funktion gibt die Steigung der Tangente an einem bestimmten Punkt an.

Question 22

Welche der folgenden Funktionen hat eine konstante zweite Ableitung?

Accepted Answer

f(x) = x^2 + 2x + 1

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sin(x)

Question 23

Welche der folgenden Funktionen hat einen Wendepunkt bei x = 0?

Accepted Answer

f(x) = x^3 - 3x

Answer

f(x) = -x^3 - 3x

Answer

f(x) = x^3 + 3x

Answer

f(x) = -x^3 + 3x

Question 24

Welche der folgenden Aussagen über die Taylor-Reihe einer Funktion ist korrekt?

Accepted Answer

Die Taylor-Reihe einer Funktion ist eine Potenzreihe, die die Funktion um einen bestimmten Punkt lokal approximiert.

Answer

Die Taylor-Reihe einer Funktion konvergiert immer zur Funktion.

Question 25

Welcher der folgenden Ausdrücke definiert den Grenzwert der Funktion f(x) an der Stelle x = a?

Accepted Answer

lim$$x \to a$$ f(x)

Answer

lim$$f(x) \to a$$

Answer

lim$$x \to f(a)$$

Question 26

Welche Aussage über die Stetigkeit einer Funktion f(x) am Punkt x = a ist korrekt?

Accepted Answer

f(a) existiert und lim$$x \to a$$ f(x) = f(a)

Answer

f(a) ist unendlich und lim$$x \to a$$ f(x) = f(a)

Answer

f(a) ist unendlich und lim$$x \to a$$ f(x) ≠ f(a)

Answer

f(a) existiert und lim$$x \to a$$ f(x) ≠ f(a)

Question 27

Berechnen Sie den Grenzwert von lim$$x \to 2$$ (x^2 - 4)

Accepted Answer

0

Answer

2

Answer

-2

Question 28

Welche Aussage über den Grenzwert einer Funktion **f(x)** an einer Stelle **c** ist richtig?

Accepted Answer

Der Grenzwert existiert, wenn die Grenzwerte von links und rechts an **c** übereinstimmen.

Answer

Der Grenzwert existiert, wenn der Funktionswert an **c** existiert.

Answer

Der Grenzwert existiert, wenn die Funktion an **c** differenzierbar ist.

Question 29

Welche Aussage über die Stetigkeit einer Funktion ist richtig?

Accepted Answer

Eine stetige Funktion hat an keiner Stelle einen Sprung oder ein Loch in ihrem Graphen.

Answer

Eine stetige Funktion ist integrierbar.

Answer

Eine stetige Funktion ist differenzierbar.

Question 30

Welche der folgenden Aussagen beschreibt am besten die formale Definition des Grenzwertes einer Funktion f(x) für x gegen a?

Accepted Answer

Für jede beliebig kleine positive Zahl ε existiert eine positive Zahl δ, sodass für alle x mit 0 < |x - a| < δ gilt |f(x) - L| < ε.

Answer

Der Grenzwert von f(x) für x gegen a ist der Wert, dem sich f(x) annähert, wenn x sich a beliebig stark nähert.

Question 31

Welche Eigenschaft von Grenzwerten besagt, dass der Grenzwert der Summe zweier Funktionen gleich der Summe der Grenzwerte der einzelnen Funktionen ist?

Accepted Answer

Summenregel für Grenzwerte

Answer

Quotientenregel für Grenzwerte

Answer

Produktregel für Grenzwerte

Answer

Potenzregel für Grenzwerte

Question 32

Welche Funktion weist an der Stelle x = 2 eine hebbare Definitionslücke auf?

Accepted Answer

f(x) = (x - 2) / (x^2 - 4)

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = sin(x)

Question 33

Welche Bedingung muss eine Funktion f(x) an der Stelle x = a erfüllen, um dort differenzierbar zu sein?

Accepted Answer

lim (h->0) [f(a + h) - f(a)] / h existiert.

Answer

f(x) ist an der Stelle x = a stetig.

Answer

f(x) ist an der Stelle x = a beschränkt.

Answer

f(x) ist an der Stelle x = a integrierbar.

Question 34

Kann eine Funktion an einer Stelle einen Grenzwert haben, aber nicht differenzierbar sein?

Accepted Answer

Ja

Answer

Nein

Answer

Nur wenn die Funktion stetig ist.

Answer

Nur wenn die Funktion integrierbar ist.

Question 35

Welche Eigenschaft von Grenzwerten ermöglicht es, den Grenzwert von f(g(x)) zu bestimmen, indem man zuerst den Grenzwert von g(x) für x gegen a und dann den Grenzwert von f(x) für x gegen diesen Grenzwert berechnet?

Accepted Answer

Kompositionssatz für Grenzwerte

Answer

Produktregel für Grenzwerte

Answer

Summenregel für Grenzwerte

Answer

Quotientenregel für Grenzwerte

Question 36

Wie verhält sich der Grenzwert der Funktion f(x) = x³ + 2x² - 5 für x gegen unendlich?

Accepted Answer

Der Grenzwert ist unendlich (∞).

Answer

Der Grenzwert ist 1.

Answer

Der Grenzwert ist minus unendlich (-∞).

Answer

Der Grenzwert ist 0.

Question 37

Welchen Wert hat der Grenzwert der Funktion f(x) = (x² - 1)/(x - 1) für x gegen 1?

Accepted Answer

2

Answer

0

Answer

1

Answer

-2

Question 38

Ist die Funktion f(x) = cos(x) - sin(x) an allen Stellen stetig?

Accepted Answer

Ja, die Funktion ist an allen Stellen stetig.

Answer

Nein, die Funktion ist nicht an allen Stellen stetig.

Answer

Nur an irrationalen Stellen.

Answer

Nur an rationalen Stellen.

Question 39

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 0 unstetig?

Accepted Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = x

Answer

f(x) = e^x

Question 40

Ist die Funktion f(x) = |x-2| an der Stelle x = 2 differenzierbar?

Accepted Answer

Nein, die Funktion ist an der Stelle x = 2 nicht differenzierbar.

Answer

Ja, die Funktion ist an der Stelle x = 2 differenzierbar.

Answer

Nur rechtsseitig differenzierbar.

Answer

Nur linksseitig differenzierbar.

Question 41

Welche der folgenden Aussagen ist FALSCH bezüglich des Grenzwerts einer Funktion?

Accepted Answer

Der Grenzwert einer Funktion existiert immer, auch wenn die Funktion an der Stelle nicht definiert ist.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion kann einen endlichen Wert, einen unendlichen Wert oder gar nicht existieren.

Question 42

Berechnen Sie den Grenzwert der Funktion f(x) = (x^2 - 4) / (x - 2) für x gegen 2.

Accepted Answer

4

Answer

Unendlich

Answer

2

Answer

0

Question 43

Wann ist eine Funktion an der Stelle x = a stetig?

Accepted Answer

Eine Funktion ist stetig an der Stelle x = a, wenn der Grenzwert der Funktion an der Stelle x = a existiert, die Funktion an der Stelle x = a definiert ist und der Grenzwert der Funktion an der Stelle x = a gleich dem Funktionswert an der Stelle x = a ist.

Answer

Eine Funktion ist stetig an der Stelle x = a, wenn die Funktion an der Stelle x = a definiert ist.

Question 44

Welche der folgenden Funktionen ist NICHT stetig an der Stelle x = 0?

Accepted Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = e^x

Question 45

Welcher der folgenden Grenzwertsätze gilt NICHT?

Accepted Answer

Der Grenzwert der Summe von zwei Funktionen ist gleich der Summe der Grenzwerte der einzelnen Funktionen, auch wenn die Grenzwerte der einzelnen Funktionen nicht existieren.

Answer

Der Grenzwert des Produkts von zwei Funktionen ist gleich dem Produkt der Grenzwerte der einzelnen Funktionen.

Question 46

Die Funktion f(x) = |x| ist an der Stelle x = 0...

Accepted Answer

stetig, aber nicht differenzierbar

Answer

nicht stetig

Answer

stetig und differenzierbar

Question 47

Welcher Ausdruck gibt den Grenzwert einer rationalen Funktion für x → ∞ korrekt wieder?

Accepted Answer

Der Quotient der führenden Koeffizienten von Zähler und Nenner.

Answer

Der Quotient der konstanten Terme von Zähler und Nenner.

Answer

Die Summe der führenden Koeffizienten von Zähler und Nenner.

Answer

Immer 0.

Question 48

Die Funktion f(x) = 1 / (x - 1) hat eine vertikale Asymptote bei...

Accepted Answer

x = 1

Answer

x = 0

Answer

Es gibt keine vertikale Asymptote.

Answer

x = -1

Question 49

Welche Aussage über den Grenzwert einer Exponentialfunktion ist **falsch**?

Accepted Answer

Der Grenzwert einer Exponentialfunktion für x → ∞ ist immer 0.

Answer

Der Grenzwert einer Exponentialfunktion für x → ∞ ist immer ∞, wenn die Basis der Exponentialfunktion größer als 1 ist.

Answer

Der Grenzwert einer Exponentialfunktion für x → -∞ ist immer 0, wenn die Basis der Exponentialfunktion größer als 1 ist.

Question 50

Für welche Werte von x ist die Funktion f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1) stetig?

Accepted Answer

Für alle x ≠ 1.

Answer

Für alle x.

Answer

Die Funktion ist nicht stetig.

Question 51

Welche Aussage über den Grenzwert einer Funktion ist **falsch**?

Accepted Answer

Der Grenzwert einer Funktion existiert immer, unabhängig von der Stelle, an der er berechnet wird.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion kann unendlich sein.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion kann eine reelle Zahl sein.

Question 52

Bestimmen Sie den Grenzwert der Funktion f(x) = (x^2 - 4) / (x - 2) für x → 2.

Accepted Answer

4

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Answer

∞

Answer

2

Question 53

Welche der folgenden Funktionen ist **nicht** stetig an der Stelle x = 1?

Accepted Answer

f(x) = 1 / (x - 1)

Answer

f(x) = x^2 + 1

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = |x - 1|

Question 54

Die Funktion f(x) = x^3 ist an der Stelle x = 2...

Accepted Answer

stetig und differenzierbar.

Answer

differenzierbar, aber nicht stetig.

Answer

nicht stetig.

Answer

nicht differenzierbar.

Question 55

Welcher Grenzwertsatz kann verwendet werden, um den Grenzwert von f(x) = (x^2 + 1) / (x - 1) für x → ∞ zu bestimmen?

Accepted Answer

Satz von L'Hospital

Answer

Satz über das Produkt von Grenzwerten

Answer

Satz über die Summe von Grenzwerten

Answer

Satz über die Quotienten von Grenzwerten

Question 56

Die Funktion f(x) = |x| ist an der Stelle x = 0...

Accepted Answer

stetig, aber nicht differenzierbar.

Answer

nicht stetig.

Answer

stetig und differenzierbar.

Answer

differenzierbar.

Question 57

Welcher der folgenden Grenzwerte ist **unendlich**?

Accepted Answer

lim_(x→0) 1/x

Answer

lim_(x→2) (x^2 - 4) / (x - 2)

Answer

lim_(x→1) (x - 1)^2

Answer

lim_(x→∞) x^2

Question 58

Gegeben ist die Funktion f(x) = {x^2, x < 1; 2x, x ≥ 1}. Ist die Funktion an der Stelle x = 1 stetig?

Accepted Answer

Nein, die Funktion ist an der Stelle x = 1 nicht stetig.

Answer

Die Funktion ist an der Stelle x = 1 differenzierbar.

Answer

Ja, die Funktion ist an der Stelle x = 1 stetig.

Question 59

Die Funktion f(x) = sin(x) ist an allen Stellen...

Accepted Answer

stetig und differenzierbar.

Answer

stetig, aber nicht differenzierbar.

Answer

nicht stetig.

Answer

nicht differenzierbar.

Question 60

Welche der folgenden Aussagen über den Satz von L'Hospital ist **richtig**?

Accepted Answer

Der Satz von L'Hospital kann verwendet werden, um Grenzwerte von Funktionen zu berechnen, die die Form 0/0 oder ∞/∞ annehmen.

Answer

Der Satz von L'Hospital kann nur für Funktionen angewendet werden, die stetig sind.