Lineare Gleichungssysteme: Interaktive Übungen und Quizze

Question 1

Was ist die Anzahl der Zeilen eines linearen Gleichungssystems?

Accepted Answer

Zeilenanzahl

Answer

Freiheitsgrad

Answer

Rang

Answer

Unbekannte

Question 2

Welche Aussage gilt für ein inhomogenes lineares Gleichungssystem?

Accepted Answer

Es hat unendlich viele Lösungen.

Answer

Es hat keine Lösung.

Answer

Es hat genau eine Lösung.

Answer

Es ist immer mit dem Gauß-Algorithmus lösbar.

Question 3

Was gibt die Matrixnorm einer symmetrischen Matrix an?

Accepted Answer

Größten Betrag der Eigenwerte

Answer

Summe der Beträge der Eigenwerte

Answer

Produkt der Eigenwerte

Answer

Determinante der Inversen

Question 4

Wie lautet die Dimension des Lösungsraums eines homogenen linearen Gleichungssystems mit n Unbekannten?

Accepted Answer

n - Rang

Answer

n

Answer

Rang

Answer

n + Rang

Question 5

Welche Aussage beschreibt die Gauß-Elimination am zutreffendsten?

Accepted Answer

Fügt eine Matrix durch Zeilenoperationen in eine Diagonalgestalt um.

Answer

Ermittelt alle Lösungen eines linearen Gleichungssystems durch Rückwärtseinsetzen.

Answer

Berechnet die Determinante einer Matrix.

Answer

Invertiert eine Matrix.

Question 6

Welche Aussage über homogene lineare Gleichungssysteme ist richtig?

Accepted Answer

Sie haben stets unendlich viele Lösungen.

Answer

Sie haben stets eine eindeutige Lösung.

Answer

Sie können keine Lösungen haben.

Answer

Sie haben stets genau eine Lösung.

Question 7

Welche Eigenschaft ist charakteristisch für ein lineares Gleichungssystem?

Accepted Answer

Die Unbekannten werden nicht quadriert oder kubiert.

Answer

Die Summe der Koeffizienten jeder Gleichung ist gleich.

Answer

Die Koeffizienten sind alle positiv.

Answer

Die Matrix der Koeffizienten ist immer diagonalisierbar.

Question 8

Welches Merkmal trifft auf den Gauß-Algorithmus zu?

Accepted Answer

Direktes Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme

Answer

Iteratives Verfahren für lineare Gleichungssysteme

Answer

Nur anwendbar auf quadratische Gleichungssysteme

Answer

Liefert immer eine eindeutige Lösung für lineare Gleichungssysteme

Question 9

Welches der folgenden Lösungsverfahren ist besonders gut für große und spärliche lineare Gleichungssysteme geeignet?

Accepted Answer

Jacobi-Iterationsverfahren

Answer

Gauß-Algorithmus

Answer

LU-Zerlegung

Answer

QR-Zerlegung

Question 10

Erläutern Sie die Vor- und Nachteile des Gauß-Algorithmus im Vergleich zu Iterationsverfahren bei der Lösung linearer Gleichungssysteme.

Accepted Answer

Iterationsverfahren sind besonders effizient für große und schwach besetzte Systeme.

Answer

Der Gauß-Algorithmus ist immer die schnellste Methode.

Answer

Iterationsverfahren sind immer stabiler als der Gauß-Algorithmus.

Answer

Der Gauß-Algorithmus liefert immer exakte Lösungen, während Iterationsverfahren nur Näherungslösungen liefern.

Question 11

Welches der folgenden Verfahren wird **nicht** zur Lösung linearer Gleichungssysteme verwendet?

Accepted Answer

Potenzmethode

Answer

Gauß-Algorithmus

Answer

Jacobi-Iterationsverfahren

Answer

LU-Zerlegung

Question 12

Welches der folgenden Kriterien ist für die Konvergenz des Jacobi-Iterationsverfahrens **ausschlaggebend**?

Accepted Answer

Diagonaldominanz der Matrix

Answer

Symmetrie der Matrix

Answer

Positive Definitheit der Matrix

Answer

Rang der Matrix

Question 13

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt ein **homogenes** lineares Gleichungssystem?

Accepted Answer

Ax = 0

Answer

Ax = b

Answer

A⁻¹x = b

Answer

det(A) = 0

Question 14

Nennen Sie ein konkretes Beispiel für die Anwendung linearer Gleichungssysteme in der Wirtschaftsinformatik, das sich auf Optimierung bezieht.

Accepted Answer

Optimierung von Produktionsplänen

Answer

Simulation von Warteschlangensystemen

Answer

Vorhersage von Börsenkursen

Question 15

Welche Matrix ist eine Einheitsmatrix?

Accepted Answer

[[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]

Answer

[[0, 1, 0], [1, 0, 0], [0, 0, 1]]

Answer

[[1, 0, 0], [0, -1, 0], [0, 0, 1]]

Answer

[[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]

Question 16

Welche Aussage über die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems ist falsch?

Accepted Answer

Ein System mit n Variablen und n Gleichungen hat immer eine eindeutige Lösung.

Answer

Sie ist entweder leer, ein- oder unendlich-dimensional.

Answer

Ein homogenes System hat immer die triviale Lösung.

Answer

Ein inhomogenes System kann keine Lösung haben.

Question 17

Welche Gleichung beschreibt ein homogenes lineares Gleichungssystem?

Accepted Answer

2x + 3y = 0

Answer

x + y = 2

Answer

3x - y = 5

Answer

x - 2y = 3

Question 18

Welche Bedingung muss für die Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems erfüllt sein?

Accepted Answer

Der Rang der Koeffizientenmatrix ist gleich dem Rang der erweiterten Matrix.

Answer

Der Rang der Koeffizientenmatrix ist größer als der Rang der erweiterten Matrix.

Answer

Der Rang der Koeffizientenmatrix ist kleiner als der Rang der erweiterten Matrix.

Answer

Die Koeffizientenmatrix ist regulär.

Question 19

Wie hilft die Fehlerabschätzung bei Iterationsverfahren bei der Einschätzung der benötigten Anzahl an Iterationen?

Accepted Answer

Sie zeigt an, wie nahe die aktuelle Annäherung an der exakten Lösung liegt.

Answer

Sie legt die maximal erforderliche Anzahl an Iterationen fest.

Answer

Sie legt die minimal erforderliche Anzahl an Iterationen fest.

Answer

Sie legt die Schrittweite der Iterationen fest.

Question 20

Welches der folgenden Verfahren ist ein iteratives Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme?

Accepted Answer

Jacobi-Verfahren

Accepted Answer

Seidel-Verfahren

Answer

Gauß-Algorithmus

Answer

LU-Zerlegung

Question 21

Welches Lösungsverfahren eignet sich besonders für lineare Gleichungssysteme mit diagonaldominanten Matrizen?

Accepted Answer

Iterationsverfahren (z. B. Jacobi-Verfahren)

Answer

Gauß-Algorithmus

Answer

LU-Zerlegung

Answer

Cholesky-Zerlegung

Question 22

Welches Verfahren eignet sich am besten, um ein großes und dünn besetztes lineares Gleichungssystem zu lösen?

Accepted Answer

Iterationsverfahren

Answer

Gauß-Algorithmus

Answer

LU-Zerlegung

Question 23

Welche Eigenschaft haben Gleichungssysteme, die unendlich viele Lösungen besitzen?

Accepted Answer

Ihre Koeffizientenmatrix hat einen Rang, der kleiner ist als die Anzahl der Variablen.

Answer

Ihre erweiterte Koeffizientenmatrix ist invertierbar.

Answer

Ihre rechte Seite ist der Nullvektor.

Answer

Ihre Koeffizientenmatrix ist quadratisch.

Question 24

Was ist der geometrische Ort der Lösungen einer homogenen linearen Gleichung?

Accepted Answer

Ein Unterraum, der durch den Ursprung verläuft.

Answer

Eine Ebene, die nicht durch den Ursprung verläuft.

Answer

Ein Punkt im Raum.

Answer

Eine Gerade, die nicht durch den Ursprung verläuft.

Question 25

Für welche Arten von Matrizen sind iterative Verfahren in der Regel effizienter als direkte Verfahren?

Accepted Answer

Große und dünn besetzte Matrizen

Answer

Kleine und dünn besetzte Matrizen

Answer

Kleine und dicht besetzte Matrizen

Answer

Große und dicht besetzte Matrizen

Question 26

Was ist das Ziel einer QR-Zerlegung einer Matrix?

Accepted Answer

Sie ermöglicht es, lineare Gleichungssysteme mit einer oberen Dreiecksmatrix zu lösen.

Answer

Sie ermöglicht es, den Rang einer Matrix zu bestimmen.

Answer

Sie ermöglicht es, die Determinante einer Matrix zu berechnen.

Question 27

Was gibt der Rang einer Matrix an?

Accepted Answer

Die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen oder Spalten.

Answer

Die Anzahl der Spalten der Matrix.

Answer

Die Anzahl der Zeilen der Matrix.

Question 28

Welches Verfahren ist für die numerische Lösung großer und dünn besetzter linearer Gleichungssysteme am besten geeignet?

Accepted Answer

Konjugierte Gradientenmethode

Answer

LU-Zerlegung

Answer

Gaußsche Elimination

Answer

QR-Zerlegung

Question 29

Welche Matrixform hat ein lineares Gleichungssystem mit n Unbekannten?

Accepted Answer

A * x = b

Answer

x * b = A

Answer

x * A = b

Answer

A * b = x

Question 30

Welche Aussage über die Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems ist zutreffend?

Accepted Answer

Sie enthält stets die triviale Lösung x = 0.

Answer

Sie enthält immer mindestens eine nicht-triviale Lösung.

Answer

Sie enthält höchstens eine nicht-triviale Lösung.

Answer

Sie enthält genau eine nicht-triviale Lösung.

Question 31

Mit welcher Methode lässt sich die Lösungsmenge inhomogener linearer Gleichungssysteme bestimmen?

Accepted Answer

Gauß-Algorithmus

Answer

Gauß-Seidel-Verfahren

Answer

Jacobi-Verfahren

Answer

Cholesky-Zerlegung

Question 32

Wann ist ein lineares Gleichungssystem überbestimmt?

Accepted Answer

Wenn die Anzahl der Gleichungen die Anzahl der Unbekannten übersteigt.

Answer

Wenn die Anzahl der Gleichungen mit der Anzahl der Unbekannten übereinstimmt.

Answer

Wenn die Anzahl der Gleichungen geringer ist als die Anzahl der Unbekannten.

Answer

Wenn die Matrix A invertierbar ist.

Question 33

Welche Technik eignet sich am besten, um lineare Gleichungssysteme mit dünn besetzten Matrizen zu lösen?

Accepted Answer

Sparse-Matrix-Techniken

Answer

Gauß-Seidel-Verfahren

Answer

Jacobi-Verfahren

Answer

Gauß-Algorithmus

Question 34

Welche Aussage zur Anzahl der Lösungen eines linearen Gleichungssystems ist korrekt?

Accepted Answer

Das System kann eindeutig lösbar sein, unendlich viele Lösungen haben oder keine Lösung besitzen.

Answer

Das System ist immer eindeutig lösbar.

Answer

Das System hat immer unendlich viele Lösungen.

Question 35

Welche Aussage zum Gauß-Algorithmus ist korrekt?

Accepted Answer

Fügt der Matrix schrittweise Nullen hinzu und transformiert sie in Zeilenstufenform

Answer

Berechnet die Lösung direkt ohne Umformungen

Answer

Erfordert eine quadratische Matrix

Question 36

Welche Aussage zum Jacobi-Verfahren trifft zu?

Accepted Answer

Berechnet neue Iterationen durch Schätzung auf Basis vorheriger Werte

Answer

Liefert sofort die exakte Lösung

Answer

Setzt eine invertierbare Matrix voraus

Question 37

Wie berechnet sich die Konditionszahl einer Matrix?

Accepted Answer

Verhältnis von größtem zu kleinstem Eigenwert

Answer

Spur der Matrix

Answer

Quadratwurzel der Determinante

Answer

Anzahl der Nullen in der Matrix

Question 38

Welche Anwendung von linearen Gleichungssystemen ist für die Wirtschaftsinformatik relevant?

Accepted Answer

Modellieren von Optimierungsproblemen

Answer

Simulieren von Zufallsvariablen

Answer

Berechnen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Answer

Lösen von Integralgleichungen

Question 39

Welche Aussage zu diagonaldominanten Matrizen ist zutreffend?

Accepted Answer

Absolutwert jedes Diagonalelements ist größer als die Summe der Absolutwerte aller anderen Elemente in der Zeile

Answer

Alle Diagonalelemente sind gleich

Answer

Alle Diagonalelemente sind positiv

Question 40

Welche Matrixart ist immer invertierbar?

Accepted Answer

Reguläre Matrix

Answer

Quadratische Matrix

Answer

Diagonalmatrix

Answer

Symmetrische Matrix

Question 41

Welcher geometrische Zusammenhang besteht zwischen linearen Gleichungssystemen und Hyperebenen?

Accepted Answer

Jede Lösung des Systems ist ein Punkt auf der Hyperebene

Answer

Die Hyperebene ist der Graph des Systems

Answer

Das System definiert die Dimension der Hyperebene

Question 42

Was beschreibt das Cramer'sche Verfahren?

Accepted Answer

Berechnung der Lösung jeder Variablen als Quotient zweier Determinanten

Answer

Approximative Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme

Answer

Direkte Lösung invertierbarer Gleichungssysteme

Question 43

Welches Verfahren eignet sich zur Lösung eines linearen Gleichungssystems mit drei Unbekannten, das keine eindeutige Lösung besitzt?

Accepted Answer

Iterationsverfahren (z.B. Gauß-Seidel-Verfahren)

Answer

Cramer-Regel

Answer

Gauß-Algorithmus

Answer

LU-Zerlegung

Question 44

Welche Aussage zur Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems mit zwei Unbekannten ist korrekt?

Accepted Answer

Die Lösungsmenge kann eine leere Menge, eine eindimensionale Teilmenge (Gerade) oder eine zweidimensionale Teilmenge (Ebene) im Definitionsbereich sein.

Answer

Die Lösungsmenge ist immer genau eine Gerade

Question 45

Welche Matrixoperation wird im Gauß-Algorithmus verwendet, um eine obere Dreiecksmatrix zu erzeugen?

Accepted Answer

Zeilenoperationen (Elementarmatrizen)

Answer

Spaltenaustausch

Answer

Zeilenaddition

Answer

Multiplikation mit einer Inversen Matrix

Question 46

Welche Eigenschaft einer Matrix A garantiert die eindeutige Lösbarkeit des Gleichungssystems Ax = b, wenn der Definitionsbereich der Vektoren x und b der gesamte Vektorraum ist?

Accepted Answer

Reguläre Matrix (invertierbar)

Answer

Symmetrische Matrix

Answer

Quadratische Matrix

Question 47

Welche der folgenden Anwendungen ist ein Beispiel für ein lineares Gleichungssystem, das in der Praxis häufig vorkommt?

Accepted Answer

Berechnung der stationären Wahrscheinlichkeiten eines Markov-Prozesses

Answer

Berechnung von Integralwerten

Answer

Ableitung einer Funktion

Question 48

Welche der folgenden Aussagen über die Lösung eines linearen Gleichungssystems Ax = b ist korrekt, wobei A eine invertierbare Matrix ist?

Accepted Answer

Die Lösung x ist eindeutig und kann als x = A^(-1)b berechnet werden.

Answer

Die Lösung x ist nicht eindeutig und es gibt unendlich viele mögliche Lösungen.

Answer

Die Lösung x existiert möglicherweise nicht.

Question 49

Welches der folgenden Verfahren kann verwendet werden, um ein lineares Gleichungssystem mit einer dünnbesetzten Koeffizientenmatrix effizient zu lösen?

Accepted Answer

Sparse-Matrix-Techniken (z.B. Compressed Sparse Row-Format)

Answer

LU-Zerlegung

Answer

QR-Zerlegung

Answer

Gauß-Algorithmus

Question 50

Welches Verfahren ermöglicht es, ein lineares Gleichungssystem effizient zu lösen?

Accepted Answer

Gauß-Algorithmus

Answer

Biсекtionsverfahren

Answer

Regula-Falsi-Verfahren

Answer

Newtonsches Verfahren

Question 51

Ein lineares Gleichungssystem ist gegeben durch die Matrixgleichung Ax = b. Welcher Vektor stellt die Lösung des Systems dar?

Accepted Answer

x = A^(-1)b

Answer

x = b - A^(-1)

Answer

x = A^(-1) - b

Answer

x = bA^(-1)

Question 52

Welches Iterationsverfahren wird zur Lösung eines linearen Gleichungssystems eingesetzt?

Accepted Answer

Jacobi-Verfahren

Answer

Gauß-Verfahren

Answer

Sekantenverfahren

Question 53

Welches Kriterium ist für die Konsistenz eines linearen Gleichungssystems notwendig?

Accepted Answer

Der Rang der Koeffizientenmatrix ist gleich dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix

Answer

Der Rang der Koeffizientenmatrix ist kleiner als der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix

Answer

Der Rang der Koeffizientenmatrix ist größer als der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix

Question 54

Welche Aussage trifft auf ein inhomogenes lineares Gleichungssystem zu?

Accepted Answer

Es kann keine oder eine Lösung besitzen

Answer

Es besitzt immer unendlich viele Lösungen

Answer

Es besitzt immer eine eindeutige Lösung

Answer

Es besitzt immer eine Lösung

Question 55

Welche Aussage über die Lösung eines linearen Gleichungssystems ist korrekt?

Accepted Answer

Die Lösung ist eindeutig, wenn das System konsistent und bestimmt ist

Answer

Die Lösung ist eindeutig, wenn das System inhomogen ist

Answer

Die Lösung ist eindeutig, wenn das System konsistent ist

Question 56

Welche der folgenden Aussagen über lineare Gleichungssysteme ist falsch?

Accepted Answer

Jedes lineare Gleichungssystem besitzt eine eindeutig bestimmte Lösung

Answer

Lineare Gleichungssysteme können inhomogen oder homogen sein

Answer

Die Lösung eines linearen Gleichungssystems kann durch Matrizenoperationen gefunden werden

Question 57

Welches Verfahren ist am besten geeignet, um ein lineares Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten zu lösen, wenn die Koeffizientenmatrix eine dominante Diagonale aufweist?

Accepted Answer

Das Gauß-Seidel-Verfahren

Answer

Die Inverse-Matrix-Methode

Answer

Das Gauß-Jordan-Verfahren

Answer

Die Cramersche Regel

Question 58

Ein lineares Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten hat die Form Ax = b, wobei A die Koeffizientenmatrix, x der Vektor der Unbekannten und b der Vektor der konstanten Terme ist. Was bedeutet es, wenn die Determinante von A gleich Null ist?

Accepted Answer

Das Gleichungssystem hat entweder unendlich viele Lösungen oder keine Lösung.

Answer

Das Gleichungssystem hat genau eine Lösung.

Answer

Das Gleichungssystem ist nicht linear.

Question 59

Welche der folgenden Aussagen über den Gauß-Algorithmus ist FALSCH?

Accepted Answer

Der Gauß-Algorithmus kann nur zur Lösung von linearen Gleichungssystemen mit quadratischen Koeffizientenmatrizen verwendet werden.

Answer

Der Gauß-Algorithmus transformiert das Gleichungssystem in eine obere Dreiecksmatrix.

Question 60

Gegeben ist das lineare Gleichungssystem: 2x + 3y = 7, 4x - 5y = 1. Was ist die Lösung für x und y?

Accepted Answer

x = 2, y = 1

Answer

Das Gleichungssystem hat keine Lösung.

Answer

x = -1, y = 3

Answer

x = 1, y = 2

Question 61

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Anwendung von linearen Gleichungssystemen in der Wirtschaftsinformatik NICHT korrekt?

Accepted Answer

Lineare Gleichungssysteme werden verwendet, um komplexe Algorithmen für die Gesichtserkennung zu entwickeln.

Answer

Lineare Gleichungssysteme werden verwendet, um Optimierungsprobleme in der Logistik zu lösen.

Question 62

Welches Verfahren ist am besten geeignet, um ein lineares Gleichungssystem mit 5 Gleichungen und 5 Unbekannten zu lösen, wenn die Matrix A der Koeffizienten nicht singulär ist?

Accepted Answer

Die Inverse-Matrix-Methode

Answer

Das Gauß-Seidel-Verfahren

Answer

Die Cramersche Regel

Answer

Das Jacobi-Verfahren

Question 63

Was ist die Bedingung für die Konvergenz des Jacobi-Verfahrens?

Accepted Answer

Die Diagonalelemente der Koeffizientenmatrix müssen betragsmäßig größer sein als die Summe der Beträge der anderen Elemente in der jeweiligen Zeile.

Answer

Die Koeffizientenmatrix muss symmetrisch sein.

Question 64

Welche der folgenden Aussagen über die Cramersche Regel ist RICHTIG?

Accepted Answer

Die Cramersche Regel kann nur zur Lösung von linearen Gleichungssystemen mit einer quadratischen Koeffizientenmatrix verwendet werden, deren Determinante ungleich Null ist.

Answer

Die Cramersche Regel ist ein sehr effizientes Verfahren zur Lösung von linearen Gleichungssystemen mit vielen Unbekannten.