Lineare Abbildungen: Interaktive Quizfragen für Wirtschaftsinformatik-Studierende

Question 1

Welche der folgenden Aussagen beschreibt korrekt eine lineare Abbildung f: V → W?

Accepted Answer

Alle Aussagen treffen zu

Answer

f(0_V) = 0_W

Answer

f(v_1 + v_2) = f(v_1) + f(v_2)

Answer

f(av) = a·f(v) für alle a ∈ K

Question 2

Welche der folgenden Aussagen über die Eigenwerte einer linearen Abbildung ist falsch?

Accepted Answer

Eigenwerte sind immer reell

Answer

Eigenwerte sind Lösungen der charakteristischen Gleichung

Answer

Die Anzahl der Eigenwerte ist gleich der Dimension des Vektorraums

Answer

Eigenwerte können komplex sein

Question 3

Welche der folgenden Aussagen über den Kern einer linearen Abbildung ist nicht korrekt?

Accepted Answer

Er ist stets trivial, wenn die Abbildung invertierbar ist.

Answer

Er ist der Lösungsraum des homogenen Gleichungssystems Ax = 0.

Answer

Er ist ein Untervektorraum des Definitionsbereichs.

Answer

Er ist unabhängig von der Wahl der Basis für den Definitionsbereich.

Question 4

Eine lineare Abbildung erhält:

Accepted Answer

beides, Skalarmultiplikation und Vektoraddition.

Answer

die Skalarmultiplikation.

Answer

die Vektoraddition.

Answer

keines von beiden.

Question 5

Welche Aussage über Determinanten ist korrekt?

Accepted Answer

Sie gibt das Volumen des vom Spaltenraum aufgespannten Parallelepipeds an.

Answer

Sie gibt die Anzahl der Eigenwerte einer Matrix an.

Answer

Sie gibt die Spur einer Matrix an.

Answer

Sie gibt den Rang einer Matrix an.

Question 6

Welcher Satz ist äquivalent zur Aussage "f ist eine lineare Abbildung"?

Accepted Answer

f(x + y) = f(x) + f(y).

Answer

Die Matrixdarstellung von f ist eine Einheitsmatrix.

Answer

Der Graph von f ist eine Gerade.

Answer

f(0) = 0.

Question 7

Welche der folgenden Matrizen ist nicht invertierbar?

Accepted Answer

[[1, 0], [0, 0]]

Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[1, 2], [3, 6]]

Answer

[[2, 1], [1, 2]]

Question 8

Welche Aussage über Eigenwerte ist korrekt?

Accepted Answer

Sie sind Lösungen der charakteristischen Gleichung.

Answer

Sie sind die Eckpunkte des Bildes des Einheitskreises.

Answer

Sie sind die Diagonalwerte der Matrixdarstellung.

Answer

Sie sind die Spurenelemente der Matrixdarstellung.

Question 9

Welche lineare Abbildung ist eine Drehung um den Winkel α?

Accepted Answer

f(x, y) = (cos(α)x - sin(α)y, sin(α)x + cos(α)y)

Answer

f(x, y) = (-cos(α)x + sin(α)y, -sin(α)x - cos(α)y)

Answer

f(x, y) = (sin(α)x + cos(α)y, -cos(α)x + sin(α)y)

Answer

f(x, y) = (-sin(α)x - cos(α)y, cos(α)x + sin(α)y)

Question 10

Welcher der folgenden Begriffe beschreibt den Rang einer linearen Abbildung?

Accepted Answer

Die maximale Anzahl linear unabhängiger Spalten in der Matrix, die die lineare Abbildung darstellt.

Answer

Die Anzahl der Zeilen in der Matrix, die die lineare Abbildung darstellt.

Question 11

Welche der folgenden Bedingungen reicht aus, damit eine lineare Abbildung eine Inverse besitzt?

Accepted Answer

Die lineare Abbildung ist bijektiv.

Answer

Die lineare Abbildung hat vollen Rang.

Answer

Die lineare Abbildung ist surjektiv.

Answer

Die lineare Abbildung ist injektiv.

Question 12

Welche Matrix repräsentiert die lineare Abbildung f(x) = 2x - 1?

Accepted Answer

[2 -1]

Answer

[-1 2]

Answer

[2 1]

Answer

[1 2]

Question 13

Welche Aussage beschreibt korrekt eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

Sie bildet Linearkombinationen von Vektoren ab.

Answer

Sie ist nicht umkehrbar.

Answer

Sie verändert die Dimension des Vektorraums.

Answer

Sie erhält Winkel zwischen Vektoren.

Question 14

Bestimmen Sie den Kern der linearen Abbildung f: R³ → R², f(x, y, z) = (x - y + 2z, 2x + y - z).

Accepted Answer

{(x, y, z) | x = y - 2z}

Answer

{(x, y, z) | y = x + 2z}

Answer

{(x, y, z) | z = x - 2y}

Answer

{(x, y, z) | 2x + y - z = 0}

Question 15

Welche Aussage trifft NICHT auf lineare Abbildungen zu?

Accepted Answer

Jede lineare Abbildung ist eine Injektion.

Answer

Lineare Abbildungen erhalten Linearkombinationen.

Answer

Der Kern einer linearen Abbildung ist ein Untervektorraum des Definitionsbereiches.

Answer

Das Bild einer linearen Abbildung ist ein Untervektorraum des Zielraumes.

Question 16

Welche Eigenschaft trifft auf den Kern einer linearen Abbildung zu?

Accepted Answer

Der Kern ist ein Untervektorraum des Definitionsbereiches.

Answer

Der Kern ist stets gleich dem Bild der Abbildung.

Answer

Der Kern ist stets ein eindimensionaler Untervektorraum.

Question 17

Welche Aussage über die Determinante einer linearen Abbildung ist richtig?

Accepted Answer

Die Determinante entspricht dem Volumen des Bildes der Abbildung.

Answer

Die Determinante ist stets positiv.

Answer

Die Determinante ist gleich dem Rang der Abbildung.

Question 18

Welche der angegebenen Abbildungen ist linear?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 1

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = |x|

Question 19

Berechnen Sie den Rang der linearen Abbildung f(x, y) = ax + by.

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

3

Answer

2

Question 20

Berechnen Sie die Determinante der linearen Abbildung f(x, y) = [[a, b], [c, d]]

Accepted Answer

ad - bc

Answer

ab - cd

Answer

ac - bd

Answer

bc - ad

Question 21

Welche Aussage ist richtig?

Accepted Answer

Eine lineare Abbildung ist invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich Null ist.

Answer

Eine lineare Abbildung ist invertierbar, wenn ihr Rang gleich Null ist.

Answer

Eine lineare Abbildung ist invertierbar, wenn ihre Matrix symmetrisch ist.

Question 22

Welche Abbildung ist eine lineare Isometrie?

Accepted Answer

f(x) = -x

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = |x|

Question 23

Welche Abbildung ist linear?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 1

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = |x|

Question 24

Welche Eigenschaft ist charakteristisch für eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

f(x + y) = f(x) + f(y)

Answer

f(x) ist differenzierbar

Answer

f(x * y) = f(x) * f(y)

Answer

f(0) = 0

Question 25

Welcher Rang einer linearen Abbildung beschreibt die Dimension des Bildraums?

Accepted Answer

Spaltenrang

Answer

Zeilenrang

Answer

Keiner der genannten

Answer

Determinantenrang

Question 26

Welche Eigenschaft unterscheidet eine invertierbare lineare Abbildung von einer nicht invertierbaren?

Accepted Answer

Ihre Determinante ist ungleich null.

Answer

Ihr Bildraum hat die gleiche Dimension wie ihr Definitionsbereich.

Answer

Ihr Rang ist maximal.

Answer

Ihre Matrixdarstellung ist diagonalisierbar.

Question 27

Welche Art von Abbildung ist eine Diagonalabbildung?

Accepted Answer

Lineare Abbildung

Answer

Affine Transformation

Answer

Quadratische Abbildung

Answer

Projektion

Question 28

Sei f: R² → R² eine lineare Abbildung mit f(1,0) = (2,1) und f(0,1) = (-1,3). Was ist f(2,3)?

Accepted Answer

(1,11)

Answer

(3,4)

Answer

(4,3)

Question 29

Eine lineare Abbildung f: R³ → R² hat den Rang 2. Welches der folgenden Aussagen über den Kern von f ist korrekt?

Accepted Answer

Der Kern von f ist eindimensional.

Answer

Der Kern von f enthält nur den Nullvektor.

Answer

Der Kern von f ist zweidimensional.

Answer

Der Kern von f ist leer.

Question 30

Berechnen Sie die Determinante der Matrix A = [[2 1], [4 2]]

Accepted Answer

0

Answer

8

Answer

2

Answer

1

Question 31

Welche der folgenden Aussagen ist äquivalent zur Aussage, dass eine quadratische Matrix A invertierbar ist?

Accepted Answer

det(A) ≠ 0

Answer

det(A) = 0

Answer

A ist eine Diagonalmatrix.

Answer

A ist die Einheitsmatrix.

Question 32

Gegeben sei die lineare Abbildung f: R² → R² mit f(x,y) = (2x-y, x+3y). Welche der folgenden Matrizen repräsentiert f bezüglich der Standardbasis?

Accepted Answer

[2 -1]
[1  3]

Answer

[2  1]
[-1 3]

Answer

[1  3]
[2 -1]

Answer

[-1 2]
[ 3 1]

Question 33

Sei A eine 3x3 Matrix mit det(A) = -2. Berechnen Sie det(2A)

Accepted Answer

-16

Answer

8

Answer

-8

Answer

-4

Question 34

Welche der folgenden Aussagen ist eine Eigenschaft linearer Abbildungen?

Accepted Answer

Erhaltung der Vektoraddition und der Skalarmultiplikation

Answer

Injektivität

Answer

Surjektivität

Question 35

Welche der folgenden Matrizen repräsentiert eine lineare Abbildung vom R² zum R³?

Accepted Answer

[[1, 2], [3, 4], [5, 6]]

Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[1, 2, 3], [4, 5, 6]]

Answer

[[1, 2], [3, 4]]

Question 36

Welcher der folgenden Ränge einer Matrix ist nicht möglich für eine lineare Abbildung vom R³ zum R²?

Accepted Answer

3

Answer

1

Answer

2

Answer

0

Question 37

Welche der folgenden linearen Abbildungen ist invertierbar?

Accepted Answer

f(x) = 2x

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = 1/x

Question 38

Welche der folgenden Aussagen über lineare Abbildungen ist korrekt?

Accepted Answer

Die Komposition linearer Abbildungen ist immer noch eine lineare Abbildung.

Answer

Lineare Abbildungen sind immer surjektiv.

Answer

Lineare Abbildungen sind immer injektiv.

Question 39

Welche der folgenden Matrizen repräsentiert eine orthogonale Abbildung?

Accepted Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]

Answer

[[0, 1], [1, 0]]

Answer

[[1, 2], [3, 4]]

Question 40

Welche der folgenden Aussagen über den Rang einer linearen Abbildung ist korrekt?

Accepted Answer

Er ist gleich der Anzahl der linear unabhängigen Zeilen (oder Spalten) ihrer Matrixdarstellung.

Answer

Er ist gleich der Dimension des Bildraums.

Answer

Er ist gleich der Anzahl der Nullzeilen (oder -spalten) ihrer Matrixdarstellung.

Question 41

Welche der folgenden Abbildungen ist nicht linear?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x³

Answer

f(x) = 2x + 1

Answer

f(x) = eˣ

Question 42

Welche der folgenden Matrizen ist die Adjungierte der Matrix [[1, 2], [3, 4]]?

Accepted Answer

[[4, -2], [-3, 1]]

Answer

[[4, -3], [-2, 1]]

Answer

[[1, -2], [-3, 4]]

Answer

[[1, -3], [-2, 4]]

Question 43

Welche der folgenden Aussagen über den Kern einer linearen Abbildung ist korrekt?

Accepted Answer

Er ist der Raum aller Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden.

Answer

Er ist der Raum aller Vektoren, die auf einen von Null verschiedenen Vektor abgebildet werden.

Answer

Er ist ein Unterraum des Bildraums.

Question 44

Welche der folgenden Eigenschaften ist NICHT charakteristisch für eine lineare Abbildung f: V → W?

Accepted Answer

f(u + v) = f(u) + f(v) + c, wobei c ein Vektor in W ist.

Answer

f(λu) = λf(u) für alle λ ∈ ℝ und u ∈ V.

Answer

f(u + v) = f(u) + f(v) für alle u, v ∈ V.

Question 45

Gegeben sei die lineare Abbildung f: ℝ² → ℝ² mit der Matrixdarstellung A = [[1, 2], [3, 4]]. Was ist das Bild des Vektors v = [1, -1] unter f?

Accepted Answer

[-1, -1]

Answer

[1, 3]

Answer

[4, 1]

Question 46

Welche der folgenden Aussagen über den Rang einer linearen Abbildung f: V → W ist FALSCH?

Accepted Answer

Der Rang von f ist gleich der Dimension des Bildraums von f.

Answer

Der Rang von f ist kleiner oder gleich der Dimension von V.

Answer

Der Rang von f ist kleiner oder gleich der Dimension von W.

Question 47

Welche der folgenden Aussagen über die Determinante einer linearen Abbildung f: ℝⁿ → ℝⁿ ist WAHR?

Accepted Answer

Die Determinante von f ist ungleich Null, wenn und nur wenn f bijektiv ist.

Answer

Die Determinante von f ist immer positiv.

Answer

Die Determinante von f ist gleich der Anzahl der Eigenwerte von f.

Question 48

Gegeben sei die lineare Abbildung f: ℝ³ → ℝ³ mit der Matrixdarstellung A = [[1, 2, 3], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]. Was ist die Determinante von f?

Accepted Answer

1

Answer

-1

Answer

0

Answer

3

Question 49

Welche der folgenden Aussagen über den Kern einer linearen Abbildung f: V → W ist WAHR?

Accepted Answer

Der Kern von f ist ein Untervektorraum von V.

Answer

Der Kern von f ist immer ein Nullvektorraum.

Answer

Der Kern von f ist gleich dem Bildraum von f.

Answer

Der Kern von f ist ein Untervektorraum von W.

Question 50

Welche der folgenden Aussagen über die Eigenwerte einer linearen Abbildung f: V → V ist FALSCH?

Accepted Answer

Ein Eigenwert von f ist immer eine reelle Zahl.

Answer

Der Eigenraum zu einem Eigenwert von f ist ein Untervektorraum von V.

Answer

Ein Eigenvektor von f ist ein Vektor, der unter f nur skaliert wird.

Answer

Die Anzahl der Eigenwerte von f ist kleiner oder gleich der Dimension von V.

Question 51

Gegeben sei die lineare Abbildung f: ℝ² → ℝ² mit der Matrixdarstellung A = [[2, 1], [1, 2]]. Welche der folgenden Vektoren ist ein Eigenvektor von f?

Accepted Answer

[1, 1]

Answer

[1, -1]

Answer

[0, 1]

Answer

[1, 0]

Question 52

Was ist die geometrische Interpretation der linearen Abbildung f: ℝ² → ℝ² mit der Matrixdarstellung A = [[0, -1], [1, 0]]?

Accepted Answer

Drehung um 90 Grad im Uhrzeigersinn um den Ursprung.

Answer

Spiegelung an der y-Achse.

Answer

Streckung um den Faktor 2 in x-Richtung.

Question 53

Welche der folgenden Aussagen über die Zusammensetzung linearer Abbildungen ist WAHR?

Accepted Answer

Die Zusammensetzung zweier linearer Abbildungen ist wieder eine lineare Abbildung.

Answer

Die Zusammensetzung zweier linearer Abbildungen ist immer bijektiv.

Answer

Die Zusammensetzung zweier linearer Abbildungen ist immer kommutativ.