Grenzwerte und Stetigkeit: Online-Quiz für Wirtschaftsinformatik-Studierende

Question 1

Welche der folgenden Grenzwertdefinitionen ist äquivalent zur Epsilon-Delta-Definition?

Accepted Answer

Cauchy-Folge

Answer

Satz über den Grenzwert einer Summe

Question 2

Welcher Grenzwertsatz beschreibt, dass der Grenzwert einer Summe gleich der Summe der Grenzwerte ist?

Accepted Answer

Satz über den Grenzwert einer Summe

Answer

Satz über den Grenzwert einer Quotientenfunktion

Question 3

Wann ist eine Funktion bei x = a differenzierbar?

Accepted Answer

Wenn ihre Ableitung an x = a existiert

Question 4

Welche Aussage über monotone Funktionen ist falsch?

Accepted Answer

Stetig differenzierbare Funktionen sind monoton.

Answer

Monoton wachsende Funktionen haben eine positive Steigung.

Question 5

Welcher Differentialoperator entspricht der Ableitung zweiter Ordnung?

Accepted Answer

D^2

Question 6

Welcher Satz besagt, dass eine stetige Funktion auf einem kompakten Intervall ein Maximum und ein Minimum annimmt?

Accepted Answer

Satz von Heine-Cantor

Question 7

Welche Aussage über die Taylor-Entwicklung ist falsch?

Accepted Answer

Die Taylor-Entwicklung ist für jede Funktion gültig.

Answer

Die Koeffizienten der Taylor-Entwicklung werden durch Ableitungen berechnet.

Question 8

Welche der folgenden Aussagen über eine Funktion f(x) ist falsch, wenn der Grenzwert von f(x) für x gegen a existiert?

Accepted Answer

Die Ableitung von f(x) existiert an der Stelle a

Answer

f(x) ist an der Stelle a definiert

Answer

f(a) ist gleich dem Grenzwert

Answer

Die Funktion ist an der Stelle a stetig

Question 9

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 2 unstetig?

Accepted Answer

f(x) = 1 / (x - 2)

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = |x - 2|

Answer

f(x) = sin(x)

Question 10

Welcher der folgenden Grenzwertsätze kann angewendet werden, um den Grenzwert von f(x) = (x - 2) / (x^2 - 4) für x gegen 2 zu bestimmen?

Accepted Answer

Grenzwertsatz für Quotienten

Answer

Grenzwertsatz für Polynome

Answer

Grenzwertsatz für Wurzelfunktionen

Answer

Keiner der angegebenen Grenzwertsätze

Question 11

Welcher der folgenden Grenzwerte ist gleich lim(x->0) (x^2 - 1) / (x - 1)?

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

2

Answer

-1

Question 12

Bestimme den Grenzwert von f(x) = (sin(x) - x) / (x^2 - 1) für x gegen 0.

Accepted Answer

0

Answer

1

Answer

Unendlich

Question 13

Welcher der folgenden Grenzwertsätze gilt für die Summe zweier Funktionen?

Accepted Answer

Grenzwertsatz für Summen

Answer

Grenzwertsatz für Konstanten

Answer

Grenzwertsatz für Produkte

Answer

Grenzwertsatz für Quotienten

Question 14

Welcher der folgenden Grenzwerte ist gleich dem Integral von f(x) = x^2 von 0 bis 1?

Accepted Answer

1/2

Answer

0

Answer

1

Answer

unendlich

Question 15

Welche der folgenden Eigenschaften einer Funktion garantiert ihre Stetigkeit?

Accepted Answer

Sie ist differenzierbar.

Answer

Sie ist integrierbar.

Answer

Sie ist monoton.

Answer

Sie ist abschnittsweise linear.

Question 16

Welche der folgenden Aussagen über den Grenzwert einer Funktion an Unendlichkeit ist richtig?

Accepted Answer

Er beschreibt das Verhalten der Funktion für sehr große Werte des Arguments in positiver oder negativer Richtung.

Answer

Er existiert, wenn die Funktion für alle Argumentwerte größer als eine bestimmte Zahl definiert ist.

Answer

Er kann unendlich sein, aber nicht undefiniert.

Answer

Er ist immer gleich dem Funktionswert an der Unendlichkeit.

Question 17

Welche der folgenden Funktionen hat an der Stelle x = 0 eine Polstelle?

Accepted Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sin(x)

Question 18

Wie lässt sich die momentane Geschwindigkeit eines Objekts mithilfe von Grenzwerten bestimmen?

Accepted Answer

Als Steigung der Tangente an die Bewegungskurve am aktuellen Punkt

Answer

Als Abstand zum Ursprung

Answer

Als Fläche unter der Geschwindigkeits-Zeit-Kurve

Question 19

Ein Grenzwert beschreibt:

Accepted Answer

Den Wert, dem sich eine Funktion nähert, wenn das Argument einen bestimmten Wert annimmt.

Answer

Einen Wert, den eine Funktion immer annimmt.

Question 20

Welcher Grenzwertsatz eignet sich zur Berechnung des Grenzwertes von (x-2)² für x gegen 2?

Accepted Answer

Grenzwertsatz für Potenzen

Answer

Grenzwertsatz für Wurzelfunktionen

Answer

Grenzwertsatz für Quotienten

Answer

Epsilon-Delta-Definition des Grenzwertes

Question 21

Was bedeutet Stetigkeit einer Funktion an einem Punkt?

Accepted Answer

Der Grenzwert der Funktion an diesem Punkt existiert und ist gleich dem Funktionswert.

Answer

Die Funktion hat an diesem Punkt einen Maximalwert.

Question 22

Wie nennt man eine Funktion, die an keinem Punkt stetig ist?

Accepted Answer

Unstetige Funktion

Answer

Stetige Funktion

Answer

Beschränkte Funktion

Answer

Partiell stetige Funktion

Question 23

Welche Funktion hat an der Stelle x = 0 eine hebbare Unstetigkeit?

Accepted Answer

x/(x³+1)

Answer

exp(-x)

Answer

1/(x-1)

Answer

|x|

Question 24

Welche Funktion ist an der Stelle x = 2 nicht differenzierbar?

Accepted Answer

|x-2|

Answer

exp(x)

Answer

x³-8

Answer

sin(x)

Question 25

Welche drei Arten von Unstetigkeiten gibt es bei Funktionen?

Accepted Answer

Absprungunstetigkeit, Hebungsunstetigkeit, Sprungunstetigkeit

Answer

Absprungunstetigkeit, Nullstelle, Definitionslücke

Answer

Pol, Sprungunstetigkeit, Maximum

Answer

Definitionslücke, Sprungunstetigkeit, Minimum

Question 26

Berechnen Sie den Grenzwert von f(x) = (x-3)² für x gegen 3.

Accepted Answer

0

Answer

-3

Answer

Unendlich

Answer

3

Question 27

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 2 **nicht** stetig?

Accepted Answer

f(x) = |x-2|

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sin(x)

Question 28

Berechnen Sie den Grenzwert von lim (x → ∞) (2x³ - 5x² + 3) / (x³ + 2x² - 1).

Accepted Answer

2

Answer

Unendlich

Answer

-2

Answer

0

Question 29

Sei ( f(x) ) eine Funktion, die an der Stelle ( x=a ) stetig ist. Was gilt im Umkehrschluss für den Grenzwert von ( f(x) ) für ( x 	o a )?

Accepted Answer

Grenzwert existiert für ( x 	o a ) und ist gleich ( f(a) )

Answer

Grenzwert existiert nicht

Answer

Grenzwert existiert, ist aber ungleich ( f(a) )

Question 30

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle ( x=0 ) nicht stetig?

Accepted Answer

( f(x) = egin{cases} x^2 & für x ≥ 0 \ -x^2 & für x < 0 end{cases} )

Answer

( f(x) = e^x )

Answer

( f(x) = |x| )

Question 31

Sei ( f(x) ) eine stetige Funktion auf dem Intervall ( [a,b] ). Was lässt sich über das Integral von ( f(x) ) über ( [a,b] ) aussagen?

Accepted Answer

Es existiert und ist endlich

Answer

Es existiert und ist unendlich

Answer

Es existiert nicht

Question 32

Sei ( f(x) ) eine Funktion, die an der Stelle ( x=a ) einen Sprung hat. Wie sieht der Graph von ( f(x) ) an dieser Stelle aus?

Accepted Answer

Er weist eine Unterbrechung auf.

Answer

Er hat eine vertikale Tangente.

Answer

Er ist an dieser Stelle nicht definiert.

Answer

Er weist eine Spitze auf.

Question 33

Welche der folgenden Funktionen hat an allen Stellen im Intervall $$ (0,1) $$ eine horizontale Tangente?

Accepted Answer

( f(x) = 0 )

Answer

( f(x) = e^x )

Answer

( f(x) = x )

Answer

( f(x) = x^2 )

Question 34

Sei ( f(x) ) eine Funktion, die an der Stelle ( x=a ) differenzierbar ist. Wie lautet der Grenzwert von ( rac{f(x)-f(a)}{x-a} ) für ( x 	o a )?

Accepted Answer

Er ist gleich ( f'(a) )

Answer

Er ist unendlich

Answer

Er ist gleich ( f(a) )

Answer

Er existiert nicht

Question 35

Welche der folgenden Funktionen hat an der Stelle ( x=0 ) eine vertikale Asymptote?

Accepted Answer

( f(x) = rac{1}{x} )

Answer

( f(x) = e^x )

Answer

( f(x) = x^2 )

Answer

( f(x) = x )

Question 36

Sei ( f(x) ) eine Funktion, die an der Stelle ( x=a ) definiert ist. Nenne eine hinreichende Bedingung für die Stetigkeit von ( f(x) ) an dieser Stelle.

Accepted Answer

Der Grenzwert von ( f(x) ) für ( x 	o a ) existiert und ist gleich ( f(a) ).

Answer

Die Ableitung von ( f(x) ) existiert an dieser Stelle.

Answer

Der Graph von ( f(x) ) hat an dieser Stelle keine Unterbrechung.

Question 37

Welche der folgenden Aussagen ist falsch?

Accepted Answer

Eine stetige Funktion ist immer differenzierbar.

Answer

Eine differenzierbare Funktion ist immer stetig.

Answer

Eine stetige Funktion hat an jeder Stelle einen Grenzwert.

Answer

Eine Funktion, die an einer Stelle nicht stetig ist, hat dort keinen Grenzwert.

Question 38

Welche der folgenden Aussagen ist eine notwendige Bedingung für die Stetigkeit einer Funktion an einer Stelle?

Accepted Answer

Der einseitige Grenzwert von rechts existiert und ist gleich dem einseitigen Grenzwert von links.

Answer

Die Funktion ist an der Stelle differenzierbar.

Answer

Der Grenzwert der Funktion an der Stelle existiert.

Question 39

Welcher Grenzwertsatz ermöglicht es, den Grenzwert von f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1) für x gegen 1 zu bestimmen?

Accepted Answer

Grenzwertsatz für Quotienten

Answer

Grenzwertsatz für Wurzelfunktionen

Answer

Grenzwertsatz für Polynome

Answer

Grenzwertsatz für Exponentialfunktionen

Question 40

Welche Aussage über die Funktion f(x) = 1 / x für x gegen 0 ist korrekt?

Accepted Answer

Die Funktion ist nicht stetig und ihr Grenzwert ist unendlich

Answer

Die Funktion ist nicht stetig und ihr Grenzwert ist 1

Answer

Die Funktion ist stetig und ihr Grenzwert ist 0

Question 41

Welche Aussage über die Grenzwerte von f(x) = e^x ist korrekt?

Accepted Answer

Der Grenzwert für x gegen unendlich ist unendlich und der Grenzwert für x gegen minus unendlich ist 0

Answer

Der Grenzwert für x gegen unendlich ist 0 und der Grenzwert für x gegen minus unendlich ist unendlich

Question 42

Welche Funktion besitzt eine vertikale Asymptote bei x = 3?

Accepted Answer

f(x) = (x - 3) / (x^2 - 9)

Answer

f(x) = x^2 + 3

Answer

f(x) = sin(x - 3)

Answer

f(x) = e^(x - 3)

Question 43

Welche Aussage über die Funktion f(x) = x^3 - 8 ist richtig?

Accepted Answer

Die Funktion ist an allen Stellen differenzierbar und stetig

Answer

Die Funktion ist an allen Stellen stetig, aber nicht differenzierbar

Answer

Die Funktion ist an allen Stellen differenzierbar, aber nicht stetig

Question 44

Welche Funktion hat eine horizontale Asymptote bei y = 2?

Accepted Answer

f(x) = (2x + 1) / (x - 1)

Answer

f(x) = sin(x) + 2

Answer

f(x) = x^2 - 2

Answer

f(x) = e^x + 2

Question 45

Welcher der folgenden Grenzwerte existiert NICHT?

Accepted Answer

lim x->0 (1/x)

Answer

lim x->π (sin(x))

Answer

lim x->-∞ (e^x)

Answer

lim x->2 (x^2 - 1)

Question 46

Sei f(x) = { x^2, wenn x ≤ 1; 2, wenn x > 1 }. An welcher Stelle ist f(x) nicht stetig?

Accepted Answer

x = 1

Answer

x = 0

Answer

Die Funktion ist überall stetig.

Answer

x = 2

Question 47

Welche der folgenden Aussagen ist richtig für die Funktion f(x) = (x^3 - 1)/(x-1)?

Accepted Answer

f(x) hat an der Stelle x=1 einen Pol

Answer

f(x) hat an der Stelle x=1 eine Nullstelle

Answer

f(x) ist an der Stelle x=1 stetig

Question 48

Sei f(x) = sqrt(x-2). Für welchen Wert von a ist die Funktion f(x) differenzierbar?

Accepted Answer

a > 2

Answer

Die Funktion ist nirgends differenzierbar.

Answer

a < 2

Answer

a = 2

Question 49

Sei f(x) = { sin(x), wenn x < 0; x^2, wenn x ≥ 0 }. An welcher Stelle ist f(x) nicht differenzierbar?

Accepted Answer

x = 0

Answer

x = π/2

Answer

x = -π/2

Question 50

Welcher Grenzwertsatz besagt, dass der Grenzwert der Summe zweier Funktionen gleich der Summe der Grenzwerte dieser Funktionen ist?

Accepted Answer

Grenzwertsatz für Summen

Answer

Epsilon-Delta-Definition des Grenzwerts

Answer

Squeeze-Theorem

Question 51

Welche der folgenden Aussagen ist eine hinreichende Bedingung für die Stetigkeit einer Funktion in einem Punkt?

Accepted Answer

Die Funktion ist in einer Umgebung des Punktes differenzierbar.

Answer

Die Funktion ist in einer Umgebung des Punktes integrierbar.

Answer

Die Funktion ist in einer Umgebung des Punktes injektiv.

Question 52

Welcher Grenzwertsatz besagt, dass der Grenzwert des Produkts zweier Funktionen gleich dem Produkt der Grenzwerte dieser Funktionen ist?

Accepted Answer

Grenzwertsatz für Produkte

Answer

Cauchy-Schwarz-Ungleichung

Answer

Squeeze-Theorem

Answer

Betragsungleichung

Question 53

Welcher Grenzwertsatz besagt, dass der Grenzwert des Quotienten zweier Funktionen gleich dem Quotienten der Grenzwerte dieser Funktionen ist, wenn der Grenzwert des Nenners ungleich Null ist?

Accepted Answer

Grenzwertsatz für Quotienten

Answer

Kettenregel

Answer

Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Answer

Squeeze-Theorem

Question 54

Welche der folgenden Funktionen ist am Punkt x = 0 nicht differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x³

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 55

Welcher Grenzwertsatz ermöglicht die Berechnung von Grenzwerten von Funktionen, die durch Wurzelziehen definiert sind, unter bestimmten Bedingungen?

Accepted Answer

Wurzel-Grenzwertsatz

Answer

Epsilon-Delta-Definition des Grenzwerts

Answer

Squeeze-Theorem

Question 56

Welcher Grenzwertsatz ermöglicht die Berechnung des Grenzwerts einer Summe von Funktionen?

Accepted Answer

lim_(x->a) [f(x) + g(x)] = lim_(x->a) f(x) + lim_(x->a) g(x)

Answer

lim_(x->a) [f(x) / g(x)] = lim_(x->a) f(x) / lim_(x->a) g(x)

Answer

lim_(x->a) [f(x) * g(x)] = lim_(x->a) f(x) * lim_(x->a) g(x)

Question 57

Was definiert die Stetigkeit einer Funktion f(x) an der Stelle x=a?

Accepted Answer

f(a) existiert und lim_(x->a) f(x) = f(a)

Answer

f(x) ist an der Stelle x=a differenzierbar.

Answer

lim_(x->a) f(x) existiert und ist endlich.

Question 58

Wann ist eine rationale Funktion f(x) stetig?

Accepted Answer

f(x) ist stetig für alle x, außer an den Nullstellen des Nenners.

Answer

f(x) ist stetig für alle reellen Zahlen.

Answer

f(x) ist stetig nur an den Nullstellen des Nenners.

Question 59

Welche Funktion ist an der Stelle x=0 nicht differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = sin(x)

Question 60

Was bedeutet lim_(x->∞) f(x) = L?

Accepted Answer

Für jedes ε>0 existiert ein M>0, sodass |f(x) - L| < ε für alle x>M gilt.

Answer

f(x) nähert sich L für große Werte von x an.

Answer

f(x) = L für alle x.

Question 61

Welche Funktion hat einen vertikalen Asymptoten bei x=2?

Accepted Answer

f(x) = 1/(x-2)

Answer

f(x) = |x-2|

Answer

f(x) = x^2 - 4

Answer

f(x) = { 1, wenn x>=2; 2x-3, wenn x<2 }

Question 62

Welche Funktion hat eine horizontale Asymptote bei y=3?

Accepted Answer

f(x) = (3x+2)/(x-1)

Answer

f(x) = x^2 - 4

Answer

f(x) = |x-2|

Question 63

Welche Aussage beschreibt eine Funktion, die an der Stelle x=a stetig, aber nicht differenzierbar ist?

Accepted Answer

f(x) hat einen scharfen Knick an der Stelle x=a.

Answer

f(x) hat an der Stelle x=a eine vertikale Tangente.

Answer

f(x) ist an der Stelle x=a nicht definiert.

Answer

f(x) ist an der Stelle x=a unstetig.