Lineare Gleichungssysteme in der Mechatronik: Online-Quiz für Studierende

Question 1

Unter welcher Bedingung konvergiert das Gauß-Seidel-Verfahren?

Accepted Answer

Die Koeffizientenmatrix ist diagonaldominant.

Answer

Die Koeffizientenmatrix ist symmetrisch positiv definit.

Answer

Die Koeffizientenmatrix ist regulär.

Question 2

Welche Matrix ist die Transformationsmatrix bei der Gauß-Elimination?

Accepted Answer

Dreiecksmatrix

Answer

Einheitsmatrix

Question 3

Für welche Art von Gleichungssystemen eignet sich das Gauß-Seidel-Verfahren besonders gut?

Accepted Answer

Diagonal dominante Gleichungssysteme

Answer

Symmetrisch positive definite Gleichungssysteme

Question 4

Wie wird die Jacobi-Matrix beim Jacobi-Verfahren gebildet?

Accepted Answer

Negierte Hauptdiagonale der Koeffizientenmatrix

Question 5

Welche Eigenschaft einer Koeffizientenmatrix garantiert die Existenz einer eindeutigen Lösung eines linearen Gleichungssystems?

Accepted Answer

Reguläre Matrix

Answer

Singuläre Matrix

Question 6

Welches Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme ist numerisch stabiler?

Accepted Answer

LU-Zerlegung

Answer

QR-Zerlegung

Question 7

Welche Aussage über homogene lineare Gleichungssysteme ist richtig?

Accepted Answer

Die rechte Seite der Gleichung ist immer 0.

Answer

Die Koeffizienten der Variablen sind immer positiv oder 0.

Answer

Homogene lineare Gleichungssysteme haben immer eine eindeutige Lösung.

Answer

Homogene lineare Gleichungssysteme können nur numerisch gelöst werden.

Question 8

Wann konvergiert das Gauß-Seidel-Verfahren garantiert?

Accepted Answer

Wenn die Koeffizientenmatrix streng diagonaldominant ist.

Answer

Wenn die Koeffizientenmatrix positiv definit ist.

Answer

Wenn die Koeffizientenmatrix symmetrisch ist.

Question 9

Welches der folgenden Verfahren ist ein iteratives Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme?

Accepted Answer

Gauss-Seidel-Verfahren

Answer

Lösen durch LU-Zerlegung

Answer

Lösen durch QR-Zerlegung

Answer

Potenzmethode

Question 10

Welcher Begriff bezeichnet die Anzahl der Iterationen, die ein iteratives Verfahren benötigt, um eine Lösung mit einer bestimmten Genauigkeit zu erreichen?

Accepted Answer

Iterationszahl

Answer

Kondition

Answer

Konvergenz

Answer

Fehlertoleranz

Question 11

Welche Aussage zum Jacobi-Verfahren ist falsch?

Accepted Answer

Es ist immer konvergent.

Answer

Es handelt sich um ein stationäres Verfahren.

Answer

Es ist parallelisierbar.

Answer

Es erfordert weniger Speicherplatz als das Gauss-Seidel-Verfahren.

Question 12

Welche der folgenden Matrizen ist symmetrisch?

Accepted Answer

[[2, 1], [2, 1]]

Answer

[[1, 2], [3, 4]]

Answer

[[3, -1], [-5, 2]]

Answer

[[1, 0], [0, 2]]

Question 13

Welcher Finite-Elemente-Ansatz verwendet lineare Gleichungssysteme zur Lösung von Problemen der Wärmeübertragung?

Accepted Answer

Finite-Elemente-Methode

Answer

Finite-Differenzen-Methode

Answer

Finite-Volumen-Methode

Answer

Boundary-Element-Methode

Question 14

Welche Aussage zu schlecht konditionierten linearen Gleichungssystemen ist korrekt?

Accepted Answer

Sie haben eine hohe Konditionszahl.

Answer

Sie können mit iterativen Verfahren nicht effizient gelöst werden.

Answer

Sie treten nur bei großen Gleichungssystemen auf.

Answer

Sie sind numerisch stabil.

Question 15

Welches Softwarepaket wird häufig zur Lösung linearer Gleichungssysteme in Mechatronikanwendungen eingesetzt?

Accepted Answer

MATLAB

Answer

Simulink

Answer

ANSYS

Answer

SolidWorks

Question 16

Das Gauß-Seidel-Verfahren wird beschrieben als:

Accepted Answer

Ein iteratives Verfahren, das Lösungen aus vorherigen Iterationen nutzt

Answer

Ein direktes Verfahren, das die Lösung in einem einzigen Schritt berechnet

Answer

Ein nichtlineares Verfahren, geeignet für Gleichungssysteme mit nichtlinearen Termen

Answer

Eine Methode, die nur für symmetrische Gleichungssysteme konvergiert

Question 17

Welche Matrix wird im Jacobi-Verfahren verwendet, um die Lösung zu aktualisieren?

Accepted Answer

Eine Diagonalmatrix, die die Diagonalelemente der ursprünglichen Matrix enthält

Answer

Eine tridiagonale Matrix mit Elementen aus der Hauptdiagonale und den beiden Nebendiagonalen

Answer

Eine Bandmatrix mit einer begrenzten Anzahl von Nicht-Null-Elementen in jeder Zeile

Answer

Die Inverse der ursprünglichen Matrix

Question 18

Für welches Gleichungssystem ist das Jacobi-Verfahren nicht anwendbar?

Accepted Answer

Gleichungssystem mit hoher Kondition

Answer

Symmetrisches Gleichungssystem

Answer

Diagonaldominantes Gleichungssystem

Answer

Gleichungssystem mit komplexen Koeffizienten

Question 19

Was beschreibt das Konzept der Matrixnormierung?

Accepted Answer

Skalierung der Matrixelemente, um numerische Instabilitäten zu vermeiden

Answer

Erhöhung des Matrixranges, um die Lösbarkeit zu verbessern

Answer

Zerlegung der Matrix in Teilmatrizen zur Vereinfachung der Berechnung

Answer

Approximation der Matrix durch eine einfachere Matrix zur Reduzierung der Rechenzeit

Question 20

Welche Matrix ist keine Diagonalmatrix?

Accepted Answer

[[1, 2], [3, 4]]

Answer

[[2, 0, 0], [0, 2, 0], [0, 0, 2]]

Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]

Question 21

Welche der folgenden Aussagen zum Gauß-Seidel-Verfahren ist korrekt?

Accepted Answer

Das Verfahren ist für symmetrische, positiv definite Matrizen immer konvergent

Answer

Das Verfahren ist immer schneller als das Jacobi-Verfahren

Answer

Das Verfahren benötigt nur wenige Iterationsschritte, um eine hohe Genauigkeit zu erreichen

Answer

Das Verfahren konvergiert immer, unabhängig von der Koeffizientenmatrix

Question 22

Welche der folgenden Gleichungen ist eine lineare Gleichung?

Accepted Answer

2x + 3y = 5

Answer

|x| = 2

Answer

x^2 + y^2 = 1

Answer

exp(x) + sin(y) = 0

Question 23

Was ist das Ziel des Jacobi-Verfahrens?

Accepted Answer

Annäherung an die Lösung eines linearen Gleichungssystems durch sukzessive Verbesserung

Answer

Berechnung der exakten Lösung eines linearen Gleichungssystems

Answer

Bestimmung der Eigenwerte einer Matrix

Answer

Zerlegung einer Matrix in eine Dreiecksmatrix

Question 24

Welche der folgenden Aussagen zur Konvergenz des Jacobi-Verfahrens ist richtig?

Accepted Answer

Das Verfahren konvergiert, wenn die Koeffizientenmatrix diagonaldominant ist

Answer

Das Verfahren konvergiert nur für positive definite Matrizen

Answer

Das Verfahren konvergiert nur für symmetrische Matrizen

Answer

Das Verfahren konvergiert immer

Question 25

Welche der folgenden Matrizen ist diagonal dominant?

Accepted Answer

[[2, 1], [1, 2]]

Answer

[[1, 1], [1, 1]]

Answer

[[0, 2], [1, 0]]

Answer

[[1, 3], [2, 1]]

Question 26

Welches Verfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme verwendet wiederholte Berechnungen, um sich der Lösung anzunähern?

Accepted Answer

Gauß-Seidel-Verfahren

Answer

LU-Zerlegung

Answer

Cholesky-Zerlegung

Answer

Gauß-Elimination

Question 27

Unter welcher Bedingung konvergiert das Jacobi-Verfahren garantiert?

Accepted Answer

Die Matrix muss diagonaldominant sein.

Answer

Die Matrix muss symmetrisch sein.

Answer

Die Matrix muss positiv definit sein.

Question 28

Welches Verfahren erreicht in der Regel eine schnellere Annäherung an die Lösung eines linearen Gleichungssystems im Vergleich zum Jacobi-Verfahren?

Accepted Answer

Gauß-Seidel-Verfahren

Answer

Cholesky-Zerlegung

Answer

LU-Zerlegung

Answer

QR-Zerlegung

Question 29

Ein lineares Gleichungssystem mit mehr Gleichungen als Unbekannten wird als ... bezeichnet.

Accepted Answer

überbestimmt

Answer

unterbestimmt

Answer

diagonaldominant

Answer

quadratisch

Question 30

Wie unterscheiden sich die Iterationsschritte des Gauß-Seidel-Verfahrens von denen des Jacobi-Verfahrens?

Accepted Answer

Die Gauß-Seidel-Iteration nutzt die Ergebnisse der vorherigen Schritte innerhalb desselben Iterationsschritts.

Answer

Die Gauß-Seidel-Iteration ist unabhängig von vorherigen Ergebnissen.

Answer

Die Schritte sind identisch.

Answer

Die Schritte unterscheiden sich nur in bestimmten Fällen.

Question 31

Was ist die Lösung, die man mit einem iterativen Verfahren für ein lineares Gleichungssystem erhält?

Accepted Answer

Eine Näherungslösung, die mit jeder Iteration genauer wird.

Answer

Nur in bestimmten Fällen eine Näherungslösung.

Answer

Die exakte Lösung.

Question 32

Welches Verfahren gehört zu den iterativen Methoden zur Lösung linearer Gleichungssysteme?

Accepted Answer

Jacobi-Verfahren

Answer

Gauß-Elimination

Answer

LU-Zerlegung

Question 33

Welche Eigenschaft muss eine Matrix besitzen, damit das Jacobi-Verfahren konvergiert?

Accepted Answer

Die Matrix muss diagonaldominant sein.

Answer

Die Matrix muss symmetrisch sein.

Answer

Die Matrix muss positiv definit sein.

Answer

Die Matrix muss orthogonal sein.

Question 34

Welches Verfahren konvergiert im Allgemeinen schneller als das Jacobi-Verfahren?

Accepted Answer

Gauß-Seidel-Verfahren

Answer

LU-Zerlegung

Answer

QR-Zerlegung

Answer

Cholesky-Zerlegung

Question 35

Welche Formel beschreibt die Iterationsschritte des Gauß-Seidel-Verfahrens?

Accepted Answer

x_i^(k+1) = (b_i - ∑_j=1^i-1 a_ijx_j^(k+1) - ∑_j=i+1ⁿ a_ijx_j^(k)) / a_ii

Answer

x_i^(k+1) = (b_i - ∑_j=1^i-1 a_ijx_j^(k) - ∑_j=i+1ⁿ a_ijx_j^(k)) / a_ii

Question 36

Was ist der Vorteil von iterativen Verfahren gegenüber direkten Verfahren?

Accepted Answer

Iterative Verfahren sind in der Regel effizienter für große und dünn besetzte Matrizen.

Answer

Iterative Verfahren sind weniger anfällig für Rundungsfehler.

Answer

Iterative Verfahren sind immer genauer als direkte Verfahren.

Question 37

Welche der folgenden Aussagen zur Konvergenz des Jacobi-Verfahrens ist korrekt?

Accepted Answer

Die Konvergenz des Jacobi-Verfahrens hängt von der Wahl des Startvektors ab.

Answer

Das Jacobi-Verfahren konvergiert immer, wenn die Matrix symmetrisch ist.

Answer

Das Jacobi-Verfahren konvergiert immer, wenn die Matrix diagonaldominant ist.

Question 38

Ein lineares Gleichungssystem mit n Gleichungen und n Unbekannten hat...

Accepted Answer

entweder eine eindeutige Lösung, unendlich viele Lösungen oder keine Lösung.

Answer

immer unendlich viele Lösungen.

Answer

immer eine eindeutige Lösung.

Question 39

Welche der folgenden Aussagen über das Gauß-Seidel-Verfahren ist korrekt?

Accepted Answer

Das Gauß-Seidel-Verfahren nutzt die neuesten berechneten Werte der Unbekannten.

Answer

Das Gauß-Seidel-Verfahren ist unabhängig von der Wahl des Startvektors.

Answer

Das Gauß-Seidel-Verfahren verwendet nur die Werte der vorherigen Iteration.

Question 40

Ein lineares Gleichungssystem mit einer singulären Koeffizientenmatrix...

Accepted Answer

hat entweder keine Lösung oder unendlich viele Lösungen.

Answer

hat immer unendlich viele Lösungen.

Answer

hat immer eine eindeutige Lösung.

Question 41

Wie kann man die Konvergenzgeschwindigkeit des Jacobi-Verfahrens verbessern?

Accepted Answer

Durch die Verwendung einer geeigneten Relaxation.

Answer

Durch die Verwendung einer größeren Schrittweite.

Answer

Durch die Verwendung eines direkten Verfahrens.

Answer

Durch die Verwendung eines anderen Startvektors.