Interpolations- und Approximationsmethoden in der Mathematik für Mechatronik-Studierende

Question 1

Welche Methode wird für die Approximation einer Funktion durch eine Gerade verwendet?

Accepted Answer

Lineare Regression

Answer

Interpolation

Answer

Quadratische Regression

Answer

Exponentialfunktion

Question 2

Welche der folgenden Funktionen ist nicht interpolierbar?

Accepted Answer

Sprungfunktion

Answer

Polynomfunktion

Answer

Exponentialfunktion

Answer

Sinusfunktion

Question 3

Welche Methode wird zur Approximation einer Funktion durch eine Reihe von Splines verwendet?

Accepted Answer

Spline-Approximation

Answer

Interpolation

Answer

Lineare Regression

Answer

Fourier-Analyse

Question 4

Welche Methode wird zur Approximation einer Funktion durch eine Fourier-Reihe verwendet?

Accepted Answer

Fourier-Analyse

Answer

Wavelet-Analyse

Answer

Laplace-Transformation

Answer

Z-Transformation

Question 5

Welche der folgenden Funktionen ist Fourier-transformierbar?

Accepted Answer

Exponentialfunktion

Answer

Polynomfunktion

Answer

Sprungfunktion

Answer

Cauchy-Verteilungsfunktion

Question 6

Welche der folgenden Funktionen eignet sich zur Interpolation von zwei Punkten?

Accepted Answer

Lineare Funktion

Answer

Quadratische Funktion

Answer

Rationale Funktion

Answer

Sinusfunktion

Question 7

Welche der folgenden Funktionen ist eine rationale Funktion?

Accepted Answer

f(x) = (x-1)/(x+2)

Answer

f(x) = x² + 1

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = eˣ

Question 8

Bei welcher Interpolationsmethode wird die Funktion durch eine Treppenfunktion angenähert?

Accepted Answer

Lineare Interpolation

Answer

Lagrange-Interpolation

Answer

Newton-Interpolation

Answer

Kubische Interpolation

Question 9

Welche der folgenden Aussagen über die Konvergenz der Taylor-Reihe ist korrekt?

Accepted Answer

Sie konvergiert in einem Intervall um den Entwicklungspunkt.

Answer

Sie konvergiert immer zu der Funktion.

Answer

Sie konvergiert nur für analytische Funktionen.

Answer

Sie konvergiert nur für Funktionen mit existierenden Ableitungen.

Question 10

Welche der folgenden Methoden eignet sich zur Approximation einer periodischen Funktion mit einer Fourier-Reihe?

Accepted Answer

Fourier-Entwicklung

Answer

Quadratische Approximation

Answer

Lagrange-Interpolation

Answer

Taylor-Reihe

Question 11

Welche Aussage trifft auf die Konvergenz von Fourier-Reihen und Taylor-Reihen zu?

Accepted Answer

Fourier-Reihen konvergieren gleichmäßig, Taylor-Reihen im Allgemeinen nicht.

Answer

Taylor-Reihen konvergieren immer.

Answer

Fourier-Reihen konvergieren schneller als Taylor-Reihen.

Answer

Die Konvergenzgeschwindigkeit von Taylor-Reihen ist unabhängig von der Funktion.

Question 12

Welche Funktion eignet sich am besten für die Approximation einer periodischen Funktion?

Accepted Answer

Trigonometrische Funktion

Answer

Polynomfunktion

Question 13

Welche Eigenschaft ist KEIN Merkmal der stückweisen linearen Interpolation?

Accepted Answer

Glatte Ableitungen

Answer

Einfach zu implementieren

Question 14

Welche Aussage zur Chebyshev-Approximation ist richtig?

Accepted Answer

Sie liefert eine gleichmäßige Approximation über das gesamte Intervall.

Answer

Sie ist empfindlich gegenüber Ausreißern in den Daten.

Question 15

Welche Aussage beschreibt einen Vorteil der Verwendung von Splines?

Accepted Answer

Sie bieten lokal anwendbare glatte Approximationen.

Answer

Sie benötigen nur wenige Stützstellen.

Question 16

Beschreiben Sie die entscheidenden Eigenschaften von Spline-Funktionen und erläutern Sie, wie diese Eigenschaften ihre Eignung für Approximationen verbessern.

Accepted Answer

Stückweise Stetigkeit, Differenzierbarkeit und lokale Approximation

Answer

Linearität, Glätte und globale Exaktheit

Answer

Periodizität, Symmetrie und Rationalität

Answer

Konvexität, Monotonie und Beschränktheit

Question 17

Welche der aufgeführten Funktionen eignet sich nicht für die Interpolation?

Accepted Answer

Exponentielle Funktionen

Answer

Polynomfunktionen

Answer

Rationale Funktionen

Answer

Trigonometrische Funktionen

Question 18

Welchem Zweck dient die Fehleranalyse bei der Approximation?

Accepted Answer

Ermittlung der Genauigkeit der Approximation

Answer

Reduzierung der Komplexität der Approximation

Answer

Gewährleistung der Stabilität der Approximation

Answer

Schätzung der Kosten der Approximation

Question 19

Welche Art von Konvergenz ist für eine Approximationsfolge erstrebenswert?

Accepted Answer

Gleichmäßige Konvergenz

Answer

Punktweise Konvergenz

Answer

Absolute Konvergenz

Answer

Bedingte Konvergenz

Question 20

Welche Aussage über die Tschebyschow-Approximation ist korrekt?

Accepted Answer

Sie minimiert den maximalen Fehler über ein gegebenes Intervall.

Answer

Sie ist nur auf Polynomfunktionen anwendbar.

Answer

Sie ist immer genauer als die Methode der kleinsten Quadrate.

Answer

Sie erfordert keine Kenntnis der Ableitungen der zu approximierenden Funktion.

Question 21

Welche Interpolationsmethode ist für Datenpunkte mit exponentiellem Trend am geeignetsten?

Accepted Answer

Exponentielle Interpolation

Answer

Trigonometrische Interpolation

Answer

Lineare Interpolation

Answer

Rationale Interpolation

Question 22

Welche Funktionsklasse eignet sich am besten zur Approximation sinusförmiger Funktionen?

Accepted Answer

Trigonometrische Funktionen

Answer

Polynomfunktionen

Answer

Rationale Funktionen

Answer

Exponentielle Funktionen

Question 23

Welches Verfahren konstruiert ein Lagrange-Polynom, das eine Menge von Datenpunkten interpoliert?

Accepted Answer

Interpolation mit Lagrange-Polynomen

Answer

Kleinste-Quadrate-Approximation

Answer

Spline-Interpolation

Answer

Newtonsche Differenzenquotienten

Question 24

Wie lautet die Konvergenzrate der Lagrange-Interpolation?

Accepted Answer

O(h^n), wobei h die Schrittweite und n der Grad des Polynoms ist

Answer

O(h^2)

Answer

O(h)

Question 25

Welcher Vorteil unterscheidet die Hermite-Interpolation von der Lagrange-Interpolation?

Accepted Answer

Berücksichtigung von Ableitungswerten an Datenpunkten

Answer

Einfachere Konstruktion

Answer

Höhere Genauigkeit

Question 26

Welche Eigenschaft beschreibt Splines?

Accepted Answer

Stückweise Polynome mit stetigen Ableitungen an Knotenpunkten

Answer

Immer globale Polynome

Answer

Nicht interpolierend

Question 27

Welche Spline-Art bietet eine optimale Approximation im Sinne der kleinsten mittleren quadratischen Abweichung?

Accepted Answer

Kubischer Spline

Answer

Hermite-Spline

Answer

Bézier-Spline

Answer

Linearer Spline

Question 28

Welche Methode bestimmt die Koeffizienten eines kubischen Splines?

Accepted Answer

Lösung eines linearen Gleichungssystems

Answer

Interpolation

Answer

Numerische Integration

Answer

Approximation

Question 29

Wann ist eine rationale Funktion eine geeignete Näherungsfunktion?

Accepted Answer

Wenn die Funktion Singularitäten oder Pole aufweist

Answer

Wenn die Funktion monoton ist

Answer

Wenn die Funktion periodisch ist

Question 30

Was beschreibt Interpolation am besten?

Accepted Answer

Annäherung einer Funktion an gegebene Werte an bestimmten Stützstellen.

Answer

Ableitung einer Funktion aus ihren Funktionswerten.

Answer

Approximation einer Funktion durch eine Formel.

Question 31

Welche Funktion eignet sich am besten zur Approximation einer periodischen Funktion?

Accepted Answer

Trigonometrische Funktion

Answer

Exponentielle Funktion

Answer

Rationale Funktion

Answer

Lineare Funktion

Question 32

Welcher Fehlertyp tritt auf, wenn eine Funktion durch eine einfachere Funktion angenähert wird?

Accepted Answer

Approximationsfehler

Answer

Rundungsfehler

Answer

Fehler zweiter Art

Answer

Messfehler

Question 33

Welches Kriterium ist entscheidend für die Beurteilung der Güte einer Interpolation?

Accepted Answer

Fehlergröße

Answer

Anzahl der Stützstellen

Answer

Rechenaufwand

Answer

Grad des Polynoms

Question 34

Welche Aussage über Splines ist korrekt?

Accepted Answer

Splines sind stückweise definierte Funktionen, die an ihren Knoten stetig sind.

Answer

Splines liefern nur globale Approximationen.

Answer

Splines sind immer Polynome vierten Grades.

Question 35

Welcher Begriff beschreibt eine Interpolation, bei der die Stützstellen gleichmäßig verteilt sind?

Accepted Answer

Uniform Interpolation

Answer

Chebyshev-Interpolation

Answer

Akin-Powell-Interpolation

Answer

Hermitesche Interpolation

Question 36

Welche Aussage über Approximationsfehler ist falsch?

Accepted Answer

Approximationsfehler können negativ sein.

Answer

Approximationsfehler können abgeschätzt werden.

Answer

Approximationsfehler können durch die Wahl der Approximationsfunktion reduziert werden.

Answer

Approximationsfehler sind unvermeidbar bei der Approximation komplexer Funktionen durch einfachere Funktionen

Question 37

Welche Aussage über Splines ist falsch?

Accepted Answer

Splines sind global definiert und können daher nicht an lokale Datenschwankungen angepasst werden.

Answer

Splines ermöglichen eine glatte Interpolation von Datenpunkten.

Answer

Splines sind stückweise definierte Polynome.