Integrale: Definition, Berechnung und Anwendungen in Physik und Technik

Question 1

Was ist unter einem Integral zu verstehen?

Accepted Answer

Ein Maß für den Flächeninhalt unter einer Kurve

Answer

Die Summe unendlich vieler kleiner Flächenstücke

Answer

Die Ableitung einer Funktion

Answer

Ein Verfahren zur Berechnung von Flächeninhalten linearer Funktionen

Question 2

Welche Funktion ist das Integral von f(x) = 2x?

Accepted Answer

x² + C

Answer

x² - C

Answer

x³ + C

Answer

x³ - C

Question 3

Welche Aussage über uneigentliche Integrale trifft zu?

Accepted Answer

Ein uneigentliches Integral existiert nur, wenn der Integrand an einem oder beiden Endpunkten unendlich wird.

Answer

Ein uneigentliches Integral existiert immer, wenn der Integrand beschränkt ist.

Answer

Ein uneigentliches Integral liefert stets einen reellen Wert.

Answer

Ein uneigentliches Integral kann nur für Polynomfunktionen berechnet werden.

Question 4

Welche der folgenden Reihen repräsentiert die Potenzreihe für e^x?

Accepted Answer

1 + x + x²/2! + x³/3! + ...

Answer

1 - x + x²/2! - x³/3! + ...

Answer

1 + x - x²/2! + x³/3! + ...

Answer

1 - x - x²/2! - x³/3! + ...

Question 5

Welches Integral kann durch eine trigonometrische Substitution gelöst werden?

Accepted Answer

∫₀¹ 1 / (1 + x²) dx

Answer

∫₀^(π/2) sin(x) dx

Answer

∫₀² x²e^x dx

Answer

∫₀^π cos(x²) dx

Question 6

Welche der folgenden Aussagen beschreibt einen Vorteil der numerischen Integration gegenüber der analytischen Integration?

Accepted Answer

Numerische Integration kann für Funktionen verwendet werden, die nicht analytisch integriert werden können.

Answer

Numerische Integration liefert immer genauere Ergebnisse.

Answer

Analytische Integration ist nur für einfache Funktionen geeignet.

Answer

Numerische Integration ist immer einfacher anzuwenden.

Question 7

Bestimmen Sie das Integral der Funktion f(x) = x³.

Accepted Answer

x⁴/4 + C

Answer

x²/2 + C

Answer

x + C

Answer

x³/3 + C

Question 8

Ermitteln Sie das Integral der Funktion f(x) = e^x.

Accepted Answer

e^x + C

Answer

e^-x + C

Answer

x*e^x + C

Answer

x/e^x + C

Question 9

Bestimmen Sie das Integral der Funktion f(x) = 1/(x+1).

Accepted Answer

ln(|x+1|) + C

Answer

-ln(|x+1|) + C

Answer

1/(x+1) + C

Answer

-1/(x+1) + C

Question 10

Bei welchem der folgenden Integrale handelt es sich um ein uneigentliches Integral: ∫[0,1] 1 / x² dx?

Accepted Answer

Divergiert

Answer

Konvergiert gegen 0

Answer

Konvergiert gegen 1

Answer

1

Question 11

Welche Integrationsmethode ist geeignet, um das Integral ∫[0, π/2] sin(x)cos(x) dx zu berechnen?

Accepted Answer

Integration durch Teile

Answer

Integration durch partielle Integration

Answer

Integration durch Substitution

Answer

Lineare Approximation

Question 12

Welche physikalische Größe beschreibt das Integral ∫[Weg] Kraft dWeg?

Accepted Answer

Arbeit

Answer

Leistung

Answer

Energie

Answer

Impuls

Question 13

Welche Substitution ist sinnvoll für die Integration von ∫√(x²) dx?

Accepted Answer

u = √x

Answer

u = x

Answer

u = x³

Answer

u = x²

Question 14

Welche geometrische Figur beschreibt das Integral ∫[a,b] f(x) dx?

Accepted Answer

Fläche unter der Kurve

Answer

Volumen unter der Oberfläche

Answer

Länge des Bogens

Answer

Oberfläche des Körpers

Question 15

Welche Aussage über die Riemann-Summe ist korrekt?

Accepted Answer

Sie ist eine Untergrenze des Integrals.

Answer

Sie ist eine Obergrenze des Integrals.

Answer

Sie ist immer negativ.

Answer

Sie ist exakt gleich dem Integral.

Question 16

Berechnen Sie das Integral von ∫x³dx.

Accepted Answer

x⁴/4 + C

Answer

x + C

Answer

x³ + C

Answer

x² + C

Question 17

Welches Integral ergibt den Flächeninhalt unter der Kurve y = f(x) zwischen a und b?

Accepted Answer

∫[a,b] f(x)dx

Answer

∫[b,a] f(x)dx

Answer

f(x)dx

Answer

dx

Question 18

Welche Substitutionsmethode wird verwendet, um das Integral von ∫sin(x²)dx zu lösen?

Accepted Answer

u = x²

Answer

u = sin(x)

Answer

u = x

Question 19

Welche der folgenden Funktionen ist eine Stammfunktion von ∫dx?

Accepted Answer

x + C

Answer

e^x + C

Answer

sin(x) + C

Answer

x² + C

Question 20

Welches Integral beschreibt die Summe rechts im Grenzwert lim_[n->∞] Σ[i=1,n] f(xi) Δx?

Accepted Answer

∫f(x)dx

Answer

Σ[i=1,∞] f(xi) Δx

Answer

∫f(xi)dx

Answer

Δx

Question 21

Welche Art von Singularität liegt vor, wenn der Nenner des Integranden Null ist?

Accepted Answer

Pol

Answer

Unendlichkeit

Answer

Essentielle Singularität

Answer

Sprung

Question 22

Berechnen Sie das Integral von ∫[0,1] x/(x²+1)dx.

Accepted Answer

1/2 * ln(2)

Answer

1/2

Answer

0

Answer

ln(2)

Question 23

Welche der folgenden Aussagen trifft auf das bestimmte Integral  ∫_a^b f(x) dx zu?

Accepted Answer

Es repräsentiert die Fläche zwischen dem Graphen von f(x), der x-Achse und den vertikalen Linien x = a und x = b.

Answer

Es gibt den Wert der Ableitung von f(x) an der Stelle b.

Question 24

Welches der folgenden Integrale entspricht dem Flächeninhalt des Bereichs, der von den Graphen der Funktionen f(x) = x^2 und g(x) = x begrenzt wird?

Accepted Answer

∫_0^1 (x - x^2) dx

Answer

∫_0^1 x^2 dx

Answer

∫_0^1 (x^2 - x) dx

Answer

∫_0^1 (x^2 + x) dx

Question 25

Welche der folgenden Aussagen ist ein grundlegender Satz der Integralrechnung?

Accepted Answer

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Answer

Der Satz von Taylor

Answer

Der Satz von Pythagoras

Question 26

Welches der folgenden Integrale stellt den Mittelwert der Funktion f(x) = x^3 auf dem Intervall [0, 2] dar?

Accepted Answer

(1/2) ∫_0^2 x^3 dx

Answer

(1/2) ∫_0^2 (x^3/2) dx

Answer

∫_0^2 x^3 dx