Eigenwerte und Eigenvektoren: Interaktive Quizfragen für Studierende der Mechatronik

Question 1

Nenne zwei konkrete Anwendungsbereiche von Eigenwerten und Eigenvektoren in der Mechatronik und erläutere ihre Bedeutung in diesen Bereichen.

Accepted Answer

**Schwingungsanalyse mechanischer Systeme**

Eigenwerte und Eigenvektoren ermöglichen die Bestimmung der Eigenfrequenzen und Schwingungsformen von mechanischen Systemen. Dies ist entscheidend für die Analyse und Auslegung von Maschinen und Strukturen.

Accepted Answer

**Regelungstechnik**

Eigenwerte werden verwendet, um die Stabilität von Regelsystemen zu beurteilen und zu verbessern. Sie liefern wertvolle Informationen über das dynamische Verhalten eines Systems und ermöglichen die Optimierung von Reglerparametern.

Answer

**Bildverarbeitung**

Eigenwerte und Eigenvektoren werden zur Bildkompression und -erkennung eingesetzt. Sie helfen dabei, die wichtigsten Merkmale eines Bildes zu identifizieren und zu extrahieren.

Answer

**Datenkompression**

Eigenwerte und Eigenvektoren werden zur Datenkompression eingesetzt, indem sie die redundanten Informationen in einem Datensatz erfassen und entfernen.

Question 2

Was versteht man unter einem Eigenwert einer Matrix A?

Accepted Answer

Eine Zahl λ, für die det(A - λI) = 0

Answer

Eine Zahl λ, für die (A - λI) invertierbar ist

Answer

Eine Zahl λ, für die (A - λI) singulär ist

Answer

Eine Zahl λ, für die Aλ = λA

Question 3

Wie berechnet man die Eigenwerte einer Matrix A?

Accepted Answer

Durch Lösen der charakteristischen Gleichung det(A - λI) = 0

Answer

Durch Berechnung der Spur von A

Answer

Durch Berechnung der Determinante von A

Answer

Durch Betrachten der Diagonalelemente von A

Question 4

Wie lautet die charakteristische Gleichung für die Matrix A = [egin{array}{cc} 2 & 1 \ -1 & 2 end{array}]?

Accepted Answer

(λ - 1)(λ - 2) = 0

Answer

(λ - 2)(λ - 3) = 0

Answer

(λ + 2)(λ + 3) = 0

Answer

(λ + 1)(λ + 2) = 0

Question 5

Wie lassen sich Eigenwerte und Eigenvektoren einsetzen, um lineare Transformationen zu diagonalisieren und zu visualisieren?

Accepted Answer

Lineare Transformationen können durch Eigenwerte und Eigenvektoren in Matrizen umgewandelt werden, die ihre Wirkung diagonal und damit übersichtlicher darstellen.

Accepted Answer

Eigenvektoren zeigen die Richtungen an, in denen lineare Transformationen Vektoren strecken oder stauchen.

Accepted Answer

Eigenwerte geben die Faktoren an, um die Vektoren bei linearen Transformationen skaliert werden.

Answer

Lineare Transformationen können visualisiert werden, unabhängig von den Eigenschaften ihrer Eigenwerte.

Question 6

Welche Aussage über Eigenwerte symmetrischer Matrizen ist korrekt?

Accepted Answer

Sie sind stets reell.

Answer

Sie sind stets komplex.

Answer

Sie können beliebige Werte annehmen.

Answer

Sie sind stets positiv.

Question 7

Das charakteristische Polynom einer Matrix A ist gegeben durch p(λ) = (λ - 1)(λ - 2)(λ - 3). Welche Aussage über die Eigenwerte von A ist richtig?

Accepted Answer

1, 2, 3 sind Eigenwerte von A.

Answer

1 ist ein Eigenwert mit Vielfachheit 2, 2 und 3 sind Eigenwerte mit Vielfachheit 1.

Answer

1, 2 und 3 sind keine Eigenwerte von A.

Answer

1 ist der einzige Eigenwert von A.

Question 8

Berechnen Sie den Eigenwert der Matrix A = [[2, 1], [-1, 2]] zum Eigenvektor x = [1, 1].

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

3

Question 9

Welche Aussage über Eigenvektoren ist richtig?

Accepted Answer

Eigenvektoren sind unabhängig von der Wahl der Basis.

Answer

Eigenvektoren sind linear abhängig.

Answer

Eigenvektoren sind normiert.

Answer

Eigenvektoren sind immer orthogonal zueinander.

Question 10

Was ist die geometrische Interpretation eines Eigenvektors?

Accepted Answer

Eine Gerade durch den Ursprung.

Answer

Eine Ebene durch den Ursprung.

Answer

Eine Gerade parallel zu einer Koordinatenachse.

Answer

Eine Gerade im Raum, die nicht durch den Ursprung geht.

Question 11

Wie viele Eigenwerte kann eine n x n-Matrix maximal haben?

Accepted Answer

n

Answer

n-1

Answer

n+1

Answer

2n

Question 12

Welche Aussage über die Diagonalisierbarkeit einer Matrix ist korrekt?

Accepted Answer

Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn sie reelle Eigenwerte hat und eine vollständige Menge von Eigenvektoren besitzt.

Answer

Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn sie invertierbar ist.

Answer

Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn sie symmetrisch ist.

Answer

Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn sie quadratisch ist.

Question 13

Welches der folgenden Kriterien ist notwendig, damit eine Matrix diagonalisierbar ist?

Accepted Answer

Die Matrix muss eine vollständige Menge von Eigenvektoren besitzen.

Answer

Die Matrix muss invertierbar sein.

Answer

Die Matrix muss symmetrisch sein.

Answer

Die Matrix muss reelle Eigenwerte haben.

Question 14

Welche der folgenden Aussagen über Eigenwerte ist zutreffend?

Accepted Answer

Sie sind Lösungen der charakteristischen Gleichung einer Matrix.

Answer

Sie sind immer positiv.

Answer

Sie sind immer ganzzahlig.

Question 15

Welcher der folgenden Vektoren ist ein Eigenvektor der Matrix A = [[2 1], [-1 2]] zum Eigenwert λ = 3?

Accepted Answer

x = [1 1]

Answer

x = [1 0]

Answer

x = [2 1]

Answer

x = [0 1]

Question 16

Die Matrix A = [[2 1], [1 2]] ist:

Accepted Answer

Diagonalisierbar

Answer

Nicht diagonalisierbar

Answer

Diagonalisierbar nur, wenn die Determinante von A ungleich Null ist.

Question 17

Welche Aussage über die Potenz einer diagonalisierbaren Matrix ist korrekt?

Accepted Answer

Sie kann als Linearkombination ihrer Eigenwerte dargestellt werden.

Answer

Sie ist immer eine symmetrische Matrix.

Answer

Sie ist immer gleich der Einheitsmatrix.

Question 18

Die Eigenvektoren einer orthogonalen Matrix sind:

Accepted Answer

Orthogonal zueinander.

Answer

Linear abhängig.

Answer

Eigenwerte der Matrix selbst.

Answer

Immer normiert.

Question 19

Welche der folgenden Anwendungen von Eigenwerten und Eigenvektoren findet in der Physik Anwendung?

Accepted Answer

Analyse von Schwingungen und Resonanzen.

Answer

Komprimierung von Bildern.

Answer

Lösung von linearen Gleichungssystemen.

Answer

Verschlüsselung von Daten.

Question 20

Die Spektralzerlegung einer Matrix A wird gegeben durch:

Accepted Answer

A = PΛP^-1

Answer

A = ΛP^-1P

Answer

A = Λ^-1P

Answer

A = P^TP

Question 21

Welche Aussage zu Eigenwerten ist richtig?

Accepted Answer

Ein Eigenwert skaliert den zugehörigen Eigenvektor, wenn dieser mit der Matrix multipliziert wird.

Answer

Ein Eigenwert ist immer eine komplexe Zahl.

Question 22

Welche der folgenden Matrizen besitzt den Eigenwert 3?

Accepted Answer

[[3, 1], [0, 3]]

Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[1, 2], [2, 1]]

Answer

[[0, 1], [1, 0]]

Question 23

Welche Aussage zu Eigenvektoren ist falsch?

Accepted Answer

Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind immer linear abhängig.

Answer

Eigenvektoren spannen den Vektorraum auf.

Answer

Eigenvektoren sind Vielfache voneinander.

Question 24

Welche Aussage zu Eigenwerten symmetrischer Matrizen ist korrekt?

Accepted Answer

Sie sind alle reell.

Answer

Ihre Summe ist gleich Null.

Answer

Sie können komplex sein.

Answer

Sie sind alle positiv.

Question 25

Welche Transformation wird durch die Matrix [[cos(θ), -sin(θ)], [sin(θ), cos(θ)]] dargestellt?

Accepted Answer

Drehung um den Winkel θ

Answer

Spiegelung an der x-Achse

Answer

Scherung

Answer

Skalierung

Question 26

Für die Eigenwertgleichung λAv = v gilt:

Accepted Answer

λ ist Eigenwert von A und v zugehöriger Eigenvektor

Answer

λ ist Eigenvektor von A und v zugehöriger Eigenwert

Answer

v ist Eigenwert von A und λ zugehöriger Eigenvektor

Question 27

Welche Matrix besitzt mindestens einen komplexen Eigenwert?

Accepted Answer

[[0, 1], [-1, 0]]

Answer

[[2, 1], [1, 2]]

Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Question 28

Was gilt für die Spur einer Matrix?

Accepted Answer

Sie entspricht der Summe der Eigenwerte

Answer

Sie ist immer positiv

Answer

Sie entspricht der Determinante der Matrix

Answer

Sie entspricht dem Produkt der Eigenwerte

Question 29

Berechne den Eigenvektor zum Eigenwert λ = 3 der Matrix A = [[2, 1], [-1, 2]]

Accepted Answer

[[1], [2]]

Answer

[[1], [-2]]

Answer

[[2], [1]]

Question 30

Welche Aussage über Eigenwerte ist korrekt?

Accepted Answer

Die Eigenwerte einer Matrix sind die Lösungen ihrer charakteristischen Gleichung.

Answer

Eigenwerte sind immer positive Zahlen.

Answer

Eigenwerte können nur reelle Zahlen sein.

Question 31

Was ist die geometrische Bedeutung eines Eigenvektors?

Accepted Answer

Er gibt die Richtung eines Vektors an, der durch die lineare Abbildung nicht gedreht wird.

Answer

Er gibt die Länge eines Vektors an, der durch die lineare Abbildung nicht verändert wird.

Answer

Er gibt die Skalierung eines Vektors an, der durch die lineare Abbildung nicht verändert wird.

Question 32

Was ist die algebraische Vielfachheit des Eigenwerts λ = 2 der Matrix A = [[2, 1], [0, 2]]?

Accepted Answer

2

Answer

3

Answer

1

Question 33

Welche der folgenden Aussagen über die Menge der Eigenvektoren zu einem gegebenen Eigenwert ist wahr?

Accepted Answer

Sie bilden einen Untervektorraum des zugrunde liegenden Vektorraums.

Answer

Sie sind immer orthogonal zueinander.

Answer

Sie sind immer linear unabhängig.

Question 34

Welche Aussage über symmetrische Matrizen ist korrekt?

Accepted Answer

Ihre Eigenvektoren sind zueinander orthogonal.

Answer

Ihre Eigenwerte sind immer positiv.

Answer

Ihre Determinante ist immer ungleich Null.

Answer

Sie haben immer mindestens einen komplexen Eigenwert.

Question 35

Welches Verfahren wird zur Berechnung der Eigenwerte einer Matrix verwendet?

Accepted Answer

Charakteristisches Polynom

Answer

Inverse der Matrix

Answer

Gauß-Jordan-Elimination

Answer

Determinantenformel

Question 36

Was beschreibt die Dimension des Eigenraums eines Eigenwerts λ?

Accepted Answer

Anzahl der linear unabhängigen Eigenvektoren zu λ.

Answer

Anzahl der Spalten der Matrix.

Answer

Quadrat der Determinante der Matrix.

Answer

Anzahl der Zeilen der Matrix.

Question 37

Wie lautet die geometrische Bedeutung eines Eigenvektors?

Accepted Answer

Er gibt die Richtung an, in die die Transformation durch die Matrix skaliert.

Answer

Er ist ein Vektor mit der Länge 1.

Answer

Er steht senkrecht zum Eigenraum.

Question 38

Welche Transformation wird durch eine Matrix mit einer 1 außerhalb der Diagonalen und 0 überall sonst dargestellt?

Accepted Answer

Scherung

Answer

Drehung

Answer

Skalierung

Question 39

Welche Aussage über den Eigenraum ist falsch?

Accepted Answer

Er ist der Raum aller möglichen Ausgaben der Transformation.

Answer

Er ist invariant unter der Transformation.

Answer

Er ist ein Unterraum des Vektorraums.

Question 40

Bestimme den Eigenvektor v zum Eigenwert λ = 2 der Matrix A = [[2, 1], [1, 2]]

Accepted Answer

[[1], [1]]

Answer

[[2], [1]]

Answer

[[1], [-1]]

Answer

[[1], [2]]

Question 41

Welche der folgenden Aussagen ist falsch?

Accepted Answer

Eigenvektoren sind immer senkrecht zueinander.

Answer

Eigenwerte beschreiben das Verhalten des zugehörigen Eigenvektors.

Answer

Eigenwerte sind komplexe Zahlen.

Answer

Eigenvektoren sind linear unabhängig.

Question 42

Welche der folgenden Aussagen über Eigenwerte ist richtig?

Accepted Answer

Eigenwerte sind skalare Größen, die das Verhalten des zugehörigen Eigenvektors beschreiben.

Answer

Eigenwerte sind Vektoren, die die Richtung des zugehörigen Eigenvektors angeben.

Answer

Eigenwerte sind komplexe Zahlen, die immer paarweise auftreten.

Answer

Eigenwerte sind immer positiv.

Question 43

Berechnen Sie die Eigenwerte der Matrix A = [[2, 1], [-1, 2]]

Accepted Answer

λ1 = 1 und λ2 = 3

Answer

λ1 = -1 und λ2 = 2

Answer

λ1 = 2 und λ2 = 4

Answer

λ1 = 1 und λ2 = -3

Question 44

Welche der folgenden Bedingungen ist notwendig, damit ein Vektor v ein Eigenvektor der Matrix A ist?

Accepted Answer

Av = λv

Answer

Av = v

Answer

Av = λ^2v

Answer

A^2v = λv

Question 45

Die Spur einer Matrix ist definiert als die Summe ihrer:

Accepted Answer

Eigenwerte

Answer

Zeilenvektoren

Answer

Determinante

Answer

Spaltenvektoren

Question 46

Welche der folgenden Aussagen über die Determinante einer Matrix ist richtig?

Accepted Answer

Sie ist das Produkt ihrer Eigenwerte.

Answer

Sie ist der Kehrwert ihrer Eigenwerte.

Answer

Sie ist die Summe ihrer Eigenwerte.

Answer

Sie ist immer größer als 1.

Question 47

Welche der folgenden Anwendungen von Eigenwerten und Eigenvektoren ist richtig?

Accepted Answer

Lösen von Differenzialgleichungen

Answer

Lösen von linearen Programmieraufgaben

Answer

Optimieren von Zufallsvariablen

Answer

Berechnen von Integralen

Question 48

Eigenvektoren geben die Richtung von bestimmten Vektoren in Bezug auf eine lineare Transformation an. Welche Aussage beschreibt diese Richtungen korrekt?

Accepted Answer

Die Richtung des Eigenvektors bleibt bei der durch die Matrix dargestellten linearen Transformation gleich oder kehrt sich um.

Answer

Eigenvektoren geben die Richtungen der Zeilenvektoren der Matrix an.

Question 49

Welche Aussage über Eigenwerte ist immer korrekt?

Accepted Answer

Ein Eigenwert kann den Wert Null annehmen.

Answer

Eigenwerte sind immer positive Zahlen.

Answer

Eine Matrix besitzt stets die gleiche Anzahl an Eigenwerten wie Zeilen.

Answer

Ein Eigenwert ist immer eine reelle Zahl.

Question 50

Gegeben ist die Matrix A = [[2, 1], [1, 2]] und der Eigenvektor v = [1, 1]. Welchen Eigenwert λ besitzt die Matrix A zu diesem Eigenvektor?

Accepted Answer

3

Answer

1

Answer

2

Answer

4

Question 51

Eine Matrix hat die Eigenwerte 2, 3 und 5. Welchen Wert besitzt die Determinante dieser Matrix?

Accepted Answer

30

Answer

10

Answer

15

Answer

60

Question 52

Welche der folgenden Aussagen bezüglich Eigenvektoren ist FALSCH?

Accepted Answer

Der Nullvektor kann ein Eigenvektor sein.

Answer

Ein Eigenvektor behält seine Richtung bei, wenn er mit der zugehörigen Matrix multipliziert wird.

Answer

Eigenvektoren helfen dabei, die Hauptachsen einer Transformation zu identifizieren.

Answer

Zu einem Eigenwert können mehrere Eigenvektoren gehören.

Question 53

Die Eigenwerte einer 3x3-Matrix sind 1, 2 und 2. Was lässt sich über die Diagonalisierbarkeit dieser Matrix aussagen?

Accepted Answer

Die Matrix könnte diagonalisierbar sein, muss es aber nicht.

Answer

Die Matrix ist definitiv diagonalisierbar.

Answer

Die Matrix ist definitiv nicht diagonalisierbar.

Question 54

Eigenwerte und Eigenvektoren finden Anwendung in:

Accepted Answer

Allen genannten Bereichen

Answer

Bildverarbeitung

Answer

Google PageRank-Algorithmus

Answer

Schwingungsanalyse

Question 55

Wie berechnet man das charakteristische Polynom einer Matrix A?

Accepted Answer

det(A - λI) = 0

Answer

det(λA - I) = 0

Answer

det(A + λI) = 0

Answer

det(λA + I) = 0

Question 56

Was beschreibt die geometrische Interpretation eines Eigenvektors am besten?

Accepted Answer

Ein Vektor, dessen Richtung durch die von der Matrix dargestellte lineare Transformation erhalten bleibt oder umgekehrt wird.

Answer

Ein Vektor, dessen Länge durch die von der Matrix dargestellte lineare Transformation erhalten bleibt.

Question 57

Eine Matrix A besitzt den Eigenwert λ = 2. Die algebraische Vielfachheit beträgt 2, während die geometrische Vielfachheit 1 ist. Was lässt sich daraus über die Dimension des Eigenraums von λ aussagen?

Accepted Answer

Der Eigenraum hat die Dimension 1.

Answer

Es kann keine Aussage über die Dimension des Eigenraums getroffen werden.

Answer

Der Eigenraum hat die Dimension 0.

Answer

Der Eigenraum hat die Dimension 2.

Question 58

Welche der folgenden Matrizen ist nicht diagonalisierbar?

Accepted Answer

[[1, 1], [0, 1]]

Answer

[[0, 0], [0, 0]]

Answer

[[2, 0], [0, 3]]

Answer

[[1, 2], [3, 4]]

Question 59

Welche Aussage über Eigenvektoren ist korrekt?

Accepted Answer

Eigenvektoren, die zu verschiedenen Eigenwerten gehören, sind linear unabhängig.

Answer

Eigenvektoren sind stets orthogonal zu ihrer zugehörigen Eigenwertmatrix.

Answer

Eigenvektoren einer Matrix sind immer linear unabhängig.

Question 60

Gegeben ist die Matrix A = [[2, 1], [-1, 2]]. Bestimme die Eigenwerte von A.

Accepted Answer

λ1 = 2 + i, λ2 = 2 - i

Answer

λ1 = -3, λ2 = -1

Answer

λ1 = 3, λ2 = 1

Answer

λ1 = 2, λ2 = -1

Question 61

Gegeben ist die Matrix A = [[2, 1], [1, 2]]. Berechne einen Eigenvektor zum Eigenwert λ = 3.

Accepted Answer

[1, 1]

Answer

[1, -1]

Answer

[-1, 1]

Answer

[-1, -1]

Question 62

Welche der folgenden Matrizen ist diagonalisierbar?

Accepted Answer

[[1, 2], [0, 1]]

Answer

[[0, 1], [-1, 0]]

Answer

[[1, 2], [2, 1]]

Answer

[[2, 1], [-1, 2]]

Question 63

Welche Aussage über die Diagonalisierung einer Matrix ist korrekt?

Accepted Answer

Die Diagonalisierung einer Matrix transformiert sie in eine ähnliche Matrix, die eine Diagonalmatrix ist.

Answer

Die Diagonalisierung einer Matrix ist nur für symmetrische Matrizen möglich.

Answer

Die Diagonalisierung einer Matrix verändert ihre Eigenwerte.

Question 64

Gegeben ist das lineare Gleichungssystem x1 + 2x2 = 3, -x1 + 2x2 = 1. Bestimme die Eigenwerte der zugehörigen Koeffizientenmatrix.

Accepted Answer

λ1 = 2, λ2 = 2

Answer

λ1 = -2, λ2 = -3

Answer

λ1 = -1, λ2 = -4

Answer

λ1 = 1, λ2 = 4