Lineare Abbildungen: Online-Quizze für Maschinenbau-Studierende

Question 1

Welche der folgenden Aussagen ist NICHT korrekt für eine lineare Abbildung f: V → W?

Accepted Answer

f ist injektiv

Answer

f(0) = 0

Answer

f(x + y) = f(x) + f(y)

Answer

f(λx) = λf(x) für alle λ ∈ K

Question 2

Der Kern einer linearen Abbildung f: V → W ist die Menge:

Accepted Answer

{v ∈ V | f(v) = 0}

Answer

{v ∈ W | f(v) = 0}

Answer

{w ∈ W | f⁻¹(w) = 0}

Answer

{v ∈ V | f⁻¹(v) = 0}

Question 3

Welche der folgenden Abbildungen ist ein Isomorphismus?

Accepted Answer

f: R² → R², f(x, y) = (2x, y)

Answer

g: R³ → R², g(x, y, z) = (x + y, z)

Answer

h: R³ → R³, h(x, y, z) = (x, 0, z)

Answer

k: R² → R, k(x, y) = sqrt(x² + y²)

Question 4

Der Bildraum einer linearen Abbildung f: R³ → R² ist:

Accepted Answer

{v ∈ R² | v = f(x) für ein x ∈ R³}

Answer

{v ∈ R³ | f(v) = 0}

Answer

{v ∈ R² | f(v) = v}

Answer

{v ∈ R³ | f(v) ∈ R²}

Question 5

Welche der folgenden Matrizen repräsentiert die lineare Abbildung f: R² → R³, f(x, y) = (x + y, 2x - y, 3y)?

Accepted Answer

A = [1 1 0; 2 -1 0; 0 3 1]

Answer

B = [1 0 0; 2 -1 0; 0 3 -1]

Answer

C = [1 1 0; 2 -1 3; 0 3 1]

Answer

D = [1 0 3; 2 -1 0; 0 3 1]

Question 6

Welche der folgenden Abbildungen ist eine lineare Transformation?

Accepted Answer

h: R³ → R², h(x, y, z) = (x + y, z)

Answer

f: R → R, f(x) = sin(x)

Answer

g: R² → R, g(x, y) = x² + y²

Answer

k: R → R, k(x) = |x|

Question 7

Gegeben sind die Vektoren v₁, v₂, v₃ ∈ R³ und die lineare Abbildung f: R³ → R². Können die Vektoren f(v₁), f(v₂), f(v₃) linear unabhängig sein?

Accepted Answer

Nein, da der Bildraum eine geringere Dimension als der Definitionsbereich haben kann.

Answer

Ja, da lineare Abbildungen immer injektiv sind.

Answer

Ja, da f surjektiv ist.

Answer

Nein, da der Kern von f den Nullvektor enthält.

Question 8

Welche Aussage beschreibt korrekt die Definition einer linearen Abbildung?

Accepted Answer

Eine Abbildung, die die Summe zweier Vektoren auf die Summe der Bilder der Vektoren abbildet und das Produkt eines Vektors mit einem Skalar auf das Produkt des Bildes des Vektors mit dem Skalar abbildet

Answer

Eine Abbildung, die den Nullvektor auf den Nullvektor abbildet

Answer

Eine Abbildung, die jeden Vektor auf seinen Gegenvektor abbildet

Answer

Eine Abbildung, die eine lineare Abhängigkeit von Vektoren bewahrt

Question 9

Welches der folgenden Objekte stellt den Kern einer linearen Abbildung dar?

Accepted Answer

Die Menge aller Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden

Answer

Die Menge aller Vektoren, die auf einen von Null verschiedenen Vektor abgebildet werden

Answer

Die Menge aller Vektoren, die auf sich selbst abgebildet werden

Answer

Die Menge aller Vektoren, die auf einen Vektor im Bildraum abgebildet werden

Question 10

Welche Bedingung ist notwendig und hinreichend dafür, dass eine lineare Abbildung ein Isomorphismus ist?

Accepted Answer

Der Kern ist trivial und das Bild ist der Zielvektorraum.

Answer

Der Kern ist der Zielvektorraum und das Bild ist trivial.

Answer

Der Kern ist trivial und das Bild ist gleich dem Quellvektorraum.

Answer

Der Kern ist gleich dem Quellvektorraum und das Bild ist trivial.

Question 11

Welche Aussage über den Rang einer linearen Abbildung ist falsch?

Accepted Answer

Der Rang ist immer gleich der Dimension des Kerns.

Answer

Der Rang ist gleich der Dimension des Bildraums.

Answer

Der Rang ist kleiner oder gleich der Dimension des Quellvektorraums.

Answer

Der Rang ist gleich der Anzahl linear unabhängiger Zeilen oder Spalten der Matrix, die die lineare Abbildung repräsentiert.

Question 12

Welche der folgenden Aussagen ist korrekt für lineare Abbildungen?

Accepted Answer

Sie sind additiv und homogen.

Answer

Sie sind injektiv und surjektiv.

Answer

Sie haben immer eine Inverse.

Answer

Sie sind nur für Vektorräume derselben Dimension definiert.

Question 13

Was ist der Kern einer linearen Abbildung?

Accepted Answer

Die Menge aller Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden.

Answer

Die Menge aller Vektoren, die auf einen beliebigen Vektor abgebildet werden.

Answer

Die Menge aller Vektoren, die auf sich selbst abgebildet werden.

Question 14

Welche Aussage beschreibt einen Isomorphismus zwischen Vektorräumen?

Accepted Answer

Eine bijektive lineare Abbildung.

Answer

Eine lineare Abbildung mit trivialem Kern.

Answer

Eine injektive lineare Abbildung.

Answer

Eine surjektive lineare Abbildung.

Question 15

Welche Matrix repräsentiert die lineare Abbildung, die jeden Vektor auf seinen zweiten Standardbasisvektor abbildet?

Accepted Answer

[0 1]

Answer

[0 0]

Answer

[1 0]

Answer

[1 1]

Question 16

Welche Eigenschaft haben die Eigenwerte einer linearen Abbildung?

Accepted Answer

Sie sind die Lösungen des charakteristischen Polynoms.

Answer

Sie sind immer reelle Zahlen.

Answer

Sie sind immer positiv.

Question 17

Welche Aussage ist korrekt für die Dimension des Bildes einer linearen Abbildung?

Accepted Answer

Sie ist kleiner oder gleich der Dimension des Vektorraums.

Answer

Sie ist immer kleiner als die Dimension des Vektorraums.

Answer

Sie ist immer größer als die Dimension des Vektorraums.

Question 18

Welche Aussage trifft auf lineare Abbildungen nicht zu?

Accepted Answer

Sie sind nicht notwendigerweise surjektiv.

Answer

Sie sind homogen.

Answer

Sie sind additiv.

Answer

Sie sind Abbildungen zwischen Vektorräumen.

Question 19

Welche Aussage gilt für jede lineare Abbildung?

Accepted Answer

Das Bild einer linearen Abbildung ist ein Untervektorraum des Zielvektorraums

Answer

Das Bild einer linearen Abbildung ist stets der Zielvektorraum

Answer

Der Kern einer linearen Abbildung ist stets der Nullvektorraum

Question 20

Welche der folgenden Abbildungen ist linear?

Accepted Answer

f(x, y) = (x + y, 2x - 3y)

Answer

f(x, y) = (x^2, y^3)

Answer

f(x, y) = (sin(x), cos(y))

Answer

f(x, y) = (|x|, |y|)

Question 21

Welche Matrix repräsentiert die lineare Abbildung f(x, y) = (2x - y, x + 3y) bezüglich der Standardbasen?

Accepted Answer

((2, -1), (1, 3))

Answer

((2, -1), (-1, 3))

Answer

((-1, 2), (1, 3))

Answer

((2, 1), (-1, 3))

Question 22

Welcher Begriff beschreibt die lineare Abbildung, deren Matrix nur aus Nullen besteht?

Accepted Answer

Nulloperator

Answer

Orthogonale Abbildung

Answer

Inverse Abbildung

Answer

Identische Abbildung

Question 23

Welche Aussage ist für einen Vektor v ungleich dem Nullvektor in einem endlichdimensionalen Vektorraum korrekt?

Accepted Answer

Es existiert eine lineare Abbildung, die v auf einen von v verschiedenen Vektor abbildet

Answer

Es existiert keine lineare Abbildung, die v abbildet

Answer

Es existiert eine lineare Abbildung, die v auf den Nullvektor abbildet

Question 24

Welche der folgenden Abbildungen ist ein Isomorphismus?

Accepted Answer

f(x, y) = (2x - y, x + 3y) von R^2 nach R^2

Answer

f(x, y) = (|x|, |y|) von R^2 nach R^2

Answer

f(x, y) = (sin(x), cos(y)) von R^2 nach R^2

Answer

f(x, y) = (x^2, y^3) von R^2 nach R^2

Question 25

Welche der folgenden Abbildungen ist eine lineare Abbildung von R^3 nach R^2?

Accepted Answer

f(x, y, z) = (x + y, y - z)

Answer

f(x, y, z) = (sin(x), cos(y), tan(z))

Answer

f(x, y, z) = (|x|, |y|, |z|)

Answer

f(x, y, z) = (x^2, y^3, z^4)

Question 26

Welche der folgenden Aussagen beschreibt eine der wichtigsten Eigenschaften linearer Abbildungen?

Accepted Answer

Sie erhalten Linearkombinationen.

Answer

Sie sind bijektiv.

Answer

Sie sind differenzierbar.

Answer

Sie sind injektiv.

Question 27

Der Kern einer linearen Abbildung A: V → W wird definiert als:

Accepted Answer

Die Menge aller Vektoren aus V, die auf den Nullvektor in W abgebildet werden.

Answer

Die Menge aller Vektoren aus V, die auf sich selbst abgebildet werden.

Answer

Die Menge aller Vektoren aus W, die auf den Nullvektor in V abgebildet werden.

Question 28

Welche der folgenden Aussagen über den Rang einer linearen Abbildung ist korrekt?

Accepted Answer

Er ist gleich der Dimension des Bildraums.

Answer

Er ist gleich der Dimension des Kerns.

Answer

Er ist gleich der Anzahl der Zeilen der Abbildungsmatrix.

Answer

Er ist gleich der Anzahl der Spalten der Abbildungsmatrix.

Question 29

Welche der folgenden Aussagen über die Surjektivität linearer Abbildungen ist richtig?

Accepted Answer

Eine lineare Abbildung ist surjektiv, wenn ihr Bildraum den Zielvektorraum aufspannt.

Answer

Eine lineare Abbildung ist surjektiv, wenn ihre Determinante ungleich Null ist.

Answer

Eine lineare Abbildung ist surjektiv, wenn ihr Kern trivial ist.

Question 30

Welche der folgenden Abbildungen ist eine lineare Transformation zwischen den Vektorräumen R^2 und R^3?

Accepted Answer

f(x, y) = (x + y, 2x - y, x - 2y)

Answer

k(x, y) = (e^x, e^y, x + y)

Answer

h(x, y) = (x, y, |x - y|)

Answer

g(x, y) = (x^2, y^2, 0)

Question 31

Eine lineare Abbildung von einem Vektorraum V in einen Vektorraum W ist eine Funktion f: V → W, die folgende Eigenschaften erfüllt:

Accepted Answer

f(x + y) = f(x) + f(y) und f(αx) = αf(x) für alle x, y ∈ V und α ∈ ℝ.

Answer

f(x + y) = f(x) - f(y) und f(αx) = αf(x) + f(α)

Answer

f(x + y) = f(x) - f(y) und f(αx) = αf(x)

Answer

f(x + y) = f(x) + f(y) und f(αx) = f(α) + f(x)

Question 32

Der Kern einer linearen Abbildung f: V → W ist:

Accepted Answer

Die Menge aller Vektoren v in V, für die f(v) = 0 gilt. Formal: Ker(f) = {v ∈ V | f(v) = 0}

Answer

Die Menge aller Vektoren v in V, für die f(v) = v gilt

Answer

Die Menge aller Vektoren v in W, für die f(v) = 0 gilt

Question 33

Das Bild einer linearen Abbildung f: V → W ist:

Accepted Answer

Die Menge aller Vektoren in W, die durch f(v) für ein v in V erzeugt werden. Formal: Im(f) = {f(v) | v ∈ V}

Answer

Die Menge aller Vektoren in V, die durch f(v) für ein v in V erzeugt werden

Answer

Die Menge aller Vektoren in V, die durch f(v) für ein v in W erzeugt werden

Question 34

Sei f: V → W eine lineare Abbildung mit dim(V) = m und dim(W) = n. Wie groß ist der Rang von f höchstens?

Accepted Answer

min(m, n)

Answer

max(m, n)

Answer

m + n

Answer

m - n

Question 35

Sei f: V → W eine lineare Abbildung und g: W → U eine lineare Abbildung. Dann ist auch die Verknüpfung g∘f:

Accepted Answer

Eine lineare Abbildung

Answer

Eine nichtlineare Abbildung

Answer

Eine bijektive Abbildung

Answer

Eine surjektive Abbildung

Question 36

Welche der folgenden Aussagen über lineare Abbildungen ist richtig?

Accepted Answer

Lineare Abbildungen erhalten Linearkombinationen

Answer

Lineare Abbildungen sind immer surjektiv

Answer

Lineare Abbildungen sind immer injektiv

Answer

Lineare Abbildungen sind immer umkehrbar

Question 37

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Definition einer linearen Abbildung?

Accepted Answer

Eine Abbildung, die Superposition und Homogenität erfüllt

Answer

Eine Abbildung, die surjektiv ist

Answer

Eine Abbildung, die injektiv ist

Question 38

Was ist der Kern einer linearen Abbildung L: V → W?

Accepted Answer

Die Menge aller Vektoren v aus V, für die L(v) = 0

Answer

Die Menge aller Vektoren v aus W, für die L(v) ≠ 0

Answer

Die Menge aller Vektoren v aus V, für die L(v) = v

Question 39

Welche Aussage über Isomorphismen ist korrekt?

Accepted Answer

Isomorphismen sind lineare Abbildungen, die bijektiv sind

Answer

Isomorphismen sind lineare Abbildungen, die injektiv sind

Answer

Isomorphismen sind lineare Abbildungen, die surjektiv sind

Question 40

Was ist die Matrizenrepräsentation einer linearen Abbildung L: V → W bezüglich gegebener Basen von V und W?

Accepted Answer

Eine Matrix A, deren Spalten die Koordinatenvektoren der Bilder der Basisvektoren von V sind

Answer

Eine Matrix A, deren Determinante den Rang von L angibt

Answer

Eine Matrix A, deren Zeilen die Koordinatenvektoren der Bilder der Basisvektoren von V sind

Question 41

Welche Aussage über die Nullraumabbildung N: V → Ker(L) ist korrekt?

Accepted Answer

N ist eine lineare Abbildung, die jeden Vektor auf den Nullvektor abbildet

Answer

N ist eine lineare Abbildung, die surjektiv ist

Answer

N ist eine lineare Abbildung, die injektiv ist

Question 42

Welche Bedingung muss eine Abbildung f: V → W erfüllen, um eine lineare Abbildung zu sein?

Accepted Answer

f(u + v) = f(u) + f(v) und f(λu) = λf(u) für alle u, v ∈ V und λ ∈ K.

Answer

f ist bijektiv.

Answer

f ist stetig.

Question 43

Welche der folgenden Abbildungen ist ein Isomorphismus von R² nach R²?

Accepted Answer

f(x, y) = (2x + y, x - y)

Answer

h(x) = (x, x²)

Answer

g(x, y, z) = (x, y)

Question 44

Welche Aussage trifft auf die lineare Abbildung f: R² → R², f(x, y) = (2x + y, x - y), zu?

Accepted Answer

Die Matrixdarstellung von f bezüglich der Standardbasis ist diagonalisierbar.

Answer

Die Matrixdarstellung von f bezüglich der Standardbasis ist nicht diagonalisierbar.

Answer

Die Matrixdarstellung von f bezüglich der Standardbasis ist nicht invertierbar.

Question 45

Welche Eigenschaft hat die Matrixdarstellung der linearen Abbildung f: R³ → R³, f(x, y, z) = (x + y, y + z, z + x), bezüglich der Standardbasis?

Accepted Answer

Die Matrix ist symmetrisch.

Answer

Die Matrix ist orthogonal.

Answer

Die Matrix ist schiefsymmetrisch.

Question 46

Welche Eigenschaften definieren eine lineare Abbildung f: V → W zwischen Vektorräumen V und W?

Accepted Answer

f(u + v) = f(u) + f(v) und f(λu) = λf(u) für alle u, v ∈ V und λ ∈ ℝ

Answer

f(λu) = λf(u) für alle u ∈ V und λ ∈ ℝ

Answer

f(u + v) = f(u) + f(v) für alle u, v ∈ V

Question 47

Sei f: ℝ² → ℝ² eine lineare Abbildung mit f(1, 0) = (2, 1) und f(0, 1) = (1, 3). Was ist f(3, 2)?

Accepted Answer

(8, 9)

Answer

(5, 5)

Answer

(3, 4)

Answer

(6, 4)

Question 48

Welche Aussage über den Kern einer linearen Abbildung f: V → W ist falsch?

Accepted Answer

Der Kern von f ist immer ein Vektorraum.

Answer

Der Kern von f ist die Menge aller Vektoren in V, die auf den Nullvektor in W abgebildet werden.

Answer

Der Kern von f ist immer ein Unterraum von V.

Answer

Der Kern von f enthält den Nullvektor.

Question 49

Sei f: ℝ³ → ℝ² eine lineare Abbildung mit f(x, y, z) = (x + y, 2z). Was ist die Dimension des Kerns von f?

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

3

Answer

2

Question 50

Welche Aussage über das Bild einer linearen Abbildung f: V → W ist richtig?

Accepted Answer

Das Bild von f ist immer ein Unterraum von W.

Answer

Das Bild von f enthält immer den Nullvektor.

Answer

Das Bild von f ist immer ein Unterraum von V.

Question 51

Welche der folgenden linearen Abbildungen ist ein Isomorphismus?

Accepted Answer

f: ℝ² → ℝ², f(x, y) = (x + y, x - y)

Answer

f: ℝ² → ℝ³, f(x, y) = (x, y, 0)

Answer

f: ℝ³ → ℝ², f(x, y, z) = (x + y, z)

Answer

f: ℝ² → ℝ², f(x, y) = (x, 0)

Question 52

Sei f: ℝ² → ℝ² eine lineare Abbildung mit f(1, 0) = (2, 1) und f(0, 1) = (1, 3). Welche Matrix repräsentiert f?

Accepted Answer

[ 2  1 ]
[ 1  3 ]

Answer

[ 1  2 ]
[ 3  1 ]

Answer

[ 3  1 ]
[ 1  2 ]

Answer

[ 2  3 ]
[ 1  1 ]

Question 53

Welche der folgenden Aussagen über die Komposition von linearen Abbildungen ist falsch?

Accepted Answer

Die Komposition von linearen Abbildungen ist nicht immer assoziativ.

Answer

Die Komposition von linearen Abbildungen ist immer kommutativ.

Answer

Die Komposition von linearen Abbildungen ist immer eine lineare Abbildung.

Question 54

Sei f: V → W eine lineare Abbildung und sei B eine Basis von V. Welche der folgenden Aussagen über die Bilder der Vektoren in B ist richtig?

Accepted Answer

Die Bilder der Vektoren in B spannen das Bild von f auf.

Answer

Die Bilder der Vektoren in B bilden immer eine Basis von W.

Answer

Die Bilder der Vektoren in B sind immer linear unabhängig.

Question 55

Welche der folgenden Aussagen über die Umkehrung einer linearen Abbildung f: V → W ist richtig?

Accepted Answer

f ist invertierbar, wenn und nur wenn f bijektiv ist.

Answer

f ist immer invertierbar, wenn f injektiv ist.

Answer

f ist immer invertierbar, wenn f surjektiv ist.

Question 56

Welche Aussage über eine lineare Abbildung f : V → W ist richtig?

Accepted Answer

f(0) = 0

Answer

f(v + w) = f(v) + f(w) für alle v, w ∈ V

Answer

f(cv) = c⋅f(v) für alle v ∈ V und c ∈ K

Answer

f ist injektiv impliziert f ist surjektiv

Question 57

Welche der folgenden Abbildungen ist NICHT linear?

Accepted Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x, y) = x + y

Answer

f(x) = 2x + 1

Question 58

Bestimme den Kern der linearen Abbildung f : R² → R, f(x, y) = 2x - 3y.

Accepted Answer

{(0, 0)}

Answer

{(x, y) | x = 3/2y}

Answer

{(x, y) | y = 2/3x}

Answer

R²

Question 59

Bestimme das Bild der linearen Abbildung f : R³ → R², f(x, y, z) = (x - y, y + z).

Accepted Answer

{(x, y) | x + y ∈ R}

Answer

{(x, y) | x - y ∈ R}

Answer

R²

Answer

{(x, y) | x + y = 0}

Question 60

Welche Aussage über einen Isomorphismus f : V → W ist richtig?

Accepted Answer

f ist sowohl injektiv als auch surjektiv

Answer

f ist nicht injektiv und nicht surjektiv

Answer

f ist injektiv, aber nicht surjektiv

Answer

f ist surjektiv, aber nicht injektiv

Question 61

Welche der folgenden Abbildungen ist ein Isomorphismus von R² nach R²?

Accepted Answer

f(x, y) = (2x, y - 1)

Answer

f(x, y) = (y, x)

Answer

f(x, y) = (x, x + y)

Answer

f(x, y) = (x², y²)

Question 62

Bestimme die Matrizenrepräsentation der linearen Abbildung f : R² → R³, f(x, y) = (x + y, x - 2y, 3x).

Accepted Answer

[[1, 1, 0], [1, -2, 3]]

Answer

[[1, 1, 0], [1, 2, 3]]

Answer

[[1, 0, 1], [1, -2, 3]]

Question 63

Welche Aussage über die Matrizenrepräsentation einer linearen Abbildung f : V → W ist richtig?

Accepted Answer

Die Matrizenrepräsentation hängt von der Wahl der Basen in V und W ab

Answer

Die Matrizenrepräsentation ist eindeutig

Answer

Die Matrizenrepräsentation ist unabhängig von der Dimension von V und W

Question 64

Welche der folgenden Aussagen ist eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass eine lineare Abbildung injektiv ist?

Accepted Answer

Die Matrizenrepräsentation ist invertierbar

Answer

Der Kern der Abbildung ist trivial

Answer

Die Abbildung besitzt ein Linksinverses

Answer

Die Abbildung besitzt ein Rechtsinverses