Interpolations- und Approximationsmethoden in der Mathematik für Maschinenbau (Bachelor)

Question 1

Welches Verfahren wird zur Approximation einer Funktion durch Splines verwendet?

Accepted Answer

Spline-Interpolation unter Spannung

Answer

Lineare Regression

Answer

Fourier-Transformation

Answer

Neuronale Netze

Question 2

Welche der folgenden Methoden kann zur Interpolation trigonometrischer Funktionen verwendet werden?

Accepted Answer

Fourier-Reihen

Answer

Lagrange-Polynome

Answer

Splines unter Spannung

Answer

Tschebyschow-Polynome

Question 3

Welcher der folgenden Algorithmen wird zur Auswahl von Interpolationspunkten für eine gegebenen Funktion verwendet?

Accepted Answer

Chebyshev-Algorithmus

Answer

Runge-Kutta-Verfahren

Answer

Hill-Climbing-Algorithmus

Answer

Brent-Algorithmus

Question 4

Welche Aussage beschreibt Interpolation am besten?

Accepted Answer

Annäherung einer Funktion durch eine Kurve, die durch die gegebenen Datenpunkte verläuft

Answer

Annäherung einer Funktion durch eine Kurve, die nicht durch die gegebenen Datenpunkte verläuft

Answer

Erstellung einer neuen Funktion, die nicht unbedingt den gegebenen Datenpunkten entspricht

Answer

Erstellung einer neuen Funktion, die den gegebenen Datenpunkten entspricht

Question 5

Welche Interpolationsmethode approximiert eine Funktion durch eine Folge von geraden Liniensegmenten?

Accepted Answer

Lineare Interpolation

Answer

Quadratische Interpolation

Answer

Kubische Interpolation

Answer

Spline-Interpolation

Question 6

Was ist ein charakteristisches Merkmal von Splines?

Accepted Answer

Alle oben genannten Aussagen sind richtig

Answer

Sie sind zusammengesetzte Polynome, die an Knotenpunkten zusammengefügt werden

Answer

Sie sind immer stetig

Answer

Sie können beliebig hohe Ableitungen haben

Question 7

Welche Stetigkeitseigenschaft hat eine kubische Spline-Interpolation?

Accepted Answer

Stetig bis zur dritten Ableitung

Answer

Stetig bis zur ersten Ableitung

Answer

Stetig bis zur zweiten Ableitung

Answer

Nicht stetig

Question 8

Welche Approximationsmethode erlaubt die Darstellung einer Funktion als Summe von Basisfunktionen?

Accepted Answer

Alle oben genannten Aussagen sind richtig

Answer

Taylor-Reihe

Answer

Fourier-Reihe

Answer

Legendre-Reihe

Question 9

Welche Randbedingung gewährleistet die Stetigkeit der Ableitung der approximierenden Funktion an den Stützstellen?

Accepted Answer

Natürliche Randbedingung

Answer

Dirichletsche Randbedingung

Answer

Neumannsche Randbedingung

Answer

Cauchysche Randbedingung

Question 10

Welcher Algorithmus wird verwendet, um die Koeffizienten eines approximierenden Polynoms zu berechnen?

Accepted Answer

Least-Squares-Methode

Answer

Gauß-Eliminationsverfahren

Answer

QR-Faktorisierung

Answer

Singulärwertzerlegung

Question 11

Welcher Vorteil ist mit der Spline-Approximation verbunden?

Accepted Answer

Glatte und stetige Approximationen

Answer

Einfachere Implementierung als Polynome

Answer

Reduzierte Berechnungszeit

Answer

Verbesserte Genauigkeit bei komplexen Funktionen

Question 12

Welche Bedingung muss eine Funktion erfüllen, um durch einen linearen Spline approximiert zu werden?

Accepted Answer

Sie muss stückweise linear sein

Answer

Sie muss zweimal stetig differenzierbar sein

Answer

Sie muss auf dem gesamten Intervall definiert sein

Answer

Sie muss eine gerade Funktion sein

Question 13

Welche Aussage über Interpolationspolynome ist **nicht** korrekt?

Accepted Answer

Sie sind universell einsetzbar, unabhängig von der Funktion.

Answer

Sie sind eindeutige Polynome.

Answer

Sie interpolieren die gegebenen Datenpunkte.

Answer

Ihr Grad hängt von der Anzahl der Datenpunkte ab.

Question 14

Welcher Algorithmus wird verwendet, um einen Spline dritter Ordnung zu erstellen?

Accepted Answer

Hermitesche Interpolation

Answer

Newton-Interpolation

Answer

Lagrange-Interpolation

Answer

Numerische Integration

Question 15

Welches Kriterium bestimmt den Grad eines Splines?

Accepted Answer

Gewünschter Glättungsgrad

Answer

Anzahl der Datenpunkte

Answer

Stetigkeit der zu approximierenden Funktion

Answer

Verfügbare Rechenleistung

Question 16

Welche Methode wird zur Approximation einer Funktion durch rationale Funktionen verwendet?

Accepted Answer

Padé-Approximation

Answer

Lagrange-Interpolation

Answer

Spline-Interpolation

Answer

Simpson-Regel

Question 17

Welche Bedingung ist notwendig für die Existenz einer eindeutigen Interpolationsfunktion?

Accepted Answer

Die Datenpunkte sind paarweise verschieden.

Answer

Die approximierte Funktion ist differenzierbar.

Answer

Die Anzahl der Datenpunkte ist größer als der Polynomgrad.

Answer

Die Residuen sind alle gleich Null.

Question 18

Welches Interpolationsverfahren eignet sich, um eine Funktion mit stetiger zweiter Ableitung zu approximieren?

Accepted Answer

Spline-Interpolation

Answer

Lagrange-Interpolation

Answer

Newton-Interpolation

Question 19

Welcher Interpolationsalgorithmus verwendet rekursive Beziehungen, um Polynomkoeffizienten zu berechnen?

Accepted Answer

Newton-Interpolation

Answer

Lagrange-Interpolation

Answer

Hermite-Interpolation

Answer

Splines

Question 20

Welche Aussage über Spline-Interpolation ist korrekt?

Accepted Answer

Splines sind stückweise polynomiale Funktionen mit stetigen Ableitungen an den Knotenpunkten.

Answer

Splines können nur lineare Funktionen sein.

Answer

Splines liefern immer eindeutige Approximationen.

Answer

Splines sind nicht für uneinheitliche Daten geeignet.

Question 21

Welche Art von Fehler kann bei der Interpolation auftreten, wenn der Grad des Interpolations-Polynoms zu hoch ist?

Accepted Answer

Runge-Phänomen

Answer

Overflow

Answer

Underflow

Answer

Roundoff-Fehler

Question 22

Welches Merkmal unterscheidet Newton-Interpolation von Lagrange-Interpolation?

Accepted Answer

Newton-Interpolation verwendet geteilte Differenzen.

Answer

Newton-Interpolation ist numerisch stabiler.

Answer

Newton-Interpolation ist einfacher zu implementieren.

Answer

Newton-Interpolation kann für uneinheitliche Daten verwendet werden.

Question 23

Welche der folgenden Aussagen über Hermite-Interpolation ist korrekt?

Accepted Answer

Hermite-Interpolation bewahrt sowohl die Funktionswerte als auch die Ableitungen an den Interpolationspunkten.

Answer

Hermite-Interpolation kann nur lineare Funktionen approximieren.

Answer

Hermite-Interpolation benötigt weniger Interpolationspunkte als Lagrange-Interpolation.

Answer

Hermite-Interpolation liefert immer exakte Approximationen.

Question 24

Welche Aussage über Approximation von Funktionen ist nicht korrekt?

Accepted Answer

Approximation liefert immer exakte Darstellungen.

Answer

Approximation ist das Annähern einer Funktion durch eine andere Funktion.

Answer

Approximation kann verwendet werden, um Funktionen durch einfachere Funktionen darzustellen.

Answer

Approximation kann Rauschen aus Daten entfernen.

Question 25

Unter welchen Bedingungen konvergieren Lagrange-Polynome punktweise gegen die zu approximierende Funktion?

Accepted Answer

Wenn die Funktion stetig ist und der Grad des Polynoms gegen unendlich geht

Answer

Immer, unabhängig von den Eigenschaften der Funktion und dem Grad des Polynoms

Answer

Wenn die Stützstellen gleichmäßig verteilt sind und der Grad des Polynoms ungerade ist

Answer

Wenn die Funktion differenzierbar ist und der Grad des Polynoms kleiner als die Anzahl der Stützstellen ist

Question 26

Welches Verfahren liefert den minimalen quadratischen Fehler bei der Anpassung eines Polynoms an gegebene Datenpunkte?

Accepted Answer

Lineare Regression

Answer

Hermitesche Interpolation

Answer

Splines

Answer

Lagrangesche Interpolation

Question 27

Welche Art von Splines eignet sich besonders für Funktionen, die Unstetigkeiten oder Sprünge aufweisen?

Accepted Answer

Knot Splines

Answer

Lineare Splines

Answer

Kubische Splines

Question 28

Welche Bedingung muss für eine eindeutige kubische Hermitesche Interpolation erfüllt sein?

Accepted Answer

Ableitungen an den Endpunkten sind gegeben

Answer

Datenpunkte sind gleichmäßig verteilt

Answer

Die Funktion ist zweimal stetig differenzierbar

Answer

Die Funktion hat keine Singularitäten

Question 29

Welcher Approximationsfehler tritt bei der Verwendung einer linearen Funktion zur Approximation einer nichtlinearen Funktion auf?

Accepted Answer

Runge-Phänomen

Answer

Aliasing-Effekt

Answer

Wilkinson-Phänomen

Question 30

Welche Methode verbessert die numerische Stabilität der Lagrangeschen Interpolation?

Accepted Answer

Baryzentrische Interpolation

Answer

Polynomieller Ansatz

Answer

Hermitescher Ansatz

Answer

Numerische Differentiation

Question 31

Welcher Vorteil ergibt sich aus der Verwendung von Splines anstelle von Polynomen für die Approximation glatter Funktionen?

Accepted Answer

Lokale Kontrolle der Approximation

Answer

Höhere Genauigkeit

Answer

Automatische Interpolation

Answer

Geringere Rechenkosten

Question 32

Welches der folgenden Kriterien ist bei der Auswahl eines Interpolationsverfahrens am wichtigsten?

Accepted Answer

Genauigkeit der Approximation

Answer

Stabilität

Answer

Speicherbedarf

Answer

Rechenaufwand

Question 33

Welche der folgenden Aussagen zu Hermite-Interpolation ist korrekt?

Accepted Answer

Sie ermöglicht die Interpolation sowohl von Funktionswerten als auch von Ableitungswerten.

Answer

Sie ist exakter als Lagrange-Interpolation.

Answer

Sie ist numerisch instabil.

Question 34

Was ist der Vorteil der kubischen Spline-Interpolation gegenüber der linearen Interpolation?

Accepted Answer

Sie liefert glattere Approximationen.

Answer

Sie erfordert weniger Stützstellen.

Answer

Sie ist einfacher zu implementieren.

Answer

Sie ist numerisch stabiler.

Question 35

Welche der folgenden Aussagen zu inversen Interpolation ist korrekt?

Accepted Answer

Sie findet den Wert der unabhängigen Variablen für einen gegebenen Wert der abhängigen Variablen.

Answer

Sie ist immer genauer als Vorwärtsinterpolation.

Answer

Sie erfordert die Kenntnis der Ableitungen der Funktion.

Question 36

Welche Aussage zur Interpolation ist korrekt?

Accepted Answer

Interpolation ist ein Verfahren zur Konstruktion einer neuen Funktion, die durch eine Reihe gegebener Datenpunkte verläuft.

Answer

Interpolation ist ein Verfahren zur Integration einer Funktion.

Answer

Interpolation ist ein Verfahren zur Ableitung einer Funktion.

Question 37

Welcher Interpolationsalgorithmus verwendet Polynome als Annäherungsfunktionen?

Accepted Answer

Polynominterpolation

Answer

Lineare Interpolation

Answer

Splineinterpolation

Question 38

Welche Bedingung muss eine Lagrange-Basisfunktion erfüllen?

Accepted Answer

Sie ist am zugehörigen Stützknoten 1 und an allen anderen Stützknoten 0.

Answer

Sie ist eine lineare Funktion.

Answer

Sie ist an allen Stützknoten 1.

Question 39

Welche Eigenschaft haben Splinefunktionen?

Accepted Answer

Sie sind stückweise polynomial und stetig differenzierbar.

Answer

Sie sind über die gesamte Definitionsmenge polynomial.

Answer

Sie sind sinusförmig.

Answer

Sie sind nur stückweise glatt.

Question 40

Welche Aussage zur Approximation ist falsch?

Accepted Answer

Approximation ist eine exakte Methode.

Answer

Approximation verwendet vereinfachende Annahmen.

Answer

Approximation ist eine numerische Methode.

Question 41

Welches Kriterium wird zur Bewertung der Güte einer Approximation verwendet?

Accepted Answer

Fehlermetrik

Answer

Laufzeit

Answer

Speicherbedarf

Answer

Robustheit

Question 42

Welche Aussage zur Fehlerabschätzung bei der Approximation ist korrekt?

Accepted Answer

Die Fehlerabschätzung ist eine Obergrenze für den absoluten Fehler.

Answer

Die Fehlerabschätzung ist der genaue Wert des Fehlers.

Answer

Die Fehlerabschätzung ist eine Untergrenze für den relativen Fehler.

Question 43

Welche Eigenschaft ist für Splines charakteristisch?

Accepted Answer

Sie sind stückweise Polynome mit stetigen Ableitungen an den Knotenpunkten.

Answer

Sie können nur Funktionen mit konvexem Graphen approximieren.

Answer

Sie sind immer glatte Funktionen.

Question 44

Welcher Ausdruck repräsentiert den Fehlerterm bei der Approximation einer Funktion f(x) durch ein Polynom P_n(x)?

Accepted Answer

R_n(x) = f(x) - P_n(x)

Answer

F_n(x) = f(x) / P_n(x)

Answer

E_n(x) = P_n(x) - f(x)

Answer

D_n(x) = P_n(x) * f(x)

Question 45

Unter welchen Bedingungen konvergiert die Polynominterpolation?

Accepted Answer

Wenn die Funktion f(x) stetig ist und gewisse Zusatzbedingungen erfüllt.

Answer

Nur für Funktionen mit endlicher Ableitung

Answer

Für alle Funktionen f(x)

Question 46

Welche Interpolationsmethode stellt sicher, dass die Summe der quadrierten Fehler zwischen Funktion und Interpolationsfunktion minimal ist?

Accepted Answer

Methode der kleinsten Quadrate

Answer

Lagrange-Interpolation

Answer

Hermite-Interpolation

Question 47

Welche Bedingung muss für die Existenz eines eindeutigen Lagrange-Polynoms erfüllt sein?

Accepted Answer

Die Interpolationsknoten müssen voneinander verschieden sein.

Answer

Die Interpolationsknoten müssen gleichmäßig verteilt sein.

Answer

Die zu interpolierende Funktion muss stetig sein.

Answer

Die zu interpolierende Funktion muss differenzierbar sein.

Question 48

Welche Interpolationsmethode eignet sich für Funktionen mit starken Schwankungen oder Unstetigkeitsstellen?

Accepted Answer

Spline-Interpolation

Answer

Hermite-Interpolation

Answer

Lagrange-Interpolation

Answer

Polynominterpolation

Question 49

Welche Aussage über Hermite-Polynome ist richtig?

Accepted Answer

Sie interpolieren sowohl Funktionswerte als auch Ableitungen.

Answer

Ihre Ableitungen sind nur in den Interpolationsknoten stetig.

Answer

Sie sind immer global stetig.

Question 50

Welche Approximationsmethode verwendet eine gewichtete Summe von vordefinierten Funktionen?

Accepted Answer

Regression

Answer

Differentiation

Answer

Interpolation

Answer

Integration

Question 51

Welche Aussage über die Methode der kleinsten Quadrate in der Regression ist korrekt?

Accepted Answer

Sie minimiert die Summe der quadrierten Abstände zwischen Datenpunkten und Approximationsfunktion.

Answer

Sie liefert immer eine eindeutige Lösung.

Answer

Sie ist unempfindlich gegenüber Ausreißern in den Daten.

Question 52

Welche Basisfunktion wird in der linearen Regression verwendet?

Accepted Answer

Polynom ersten Grades

Answer

Exponentialfunktion

Answer

Trigonometrische Funktion

Answer

Gauß-Funktion

Question 53

Welche Funktion stellt **kein** Interpolationsverfahren dar?

Accepted Answer

Exponentialfunktion

Answer

Trigonometrische Interpolation

Answer

Polynominterpolation

Answer

Spline-Interpolation

Question 54

Bei der kubischen Spline-Interpolation wird die Funktion **f(x)** durch eine Reihe von Polynomen dritten Grades angenähert. Gemäß den Randbedingungen stimmen die Polynome an den Knotenpunkten mit den Werten von **f(x)** überein und die zweiten Ableitungen an den Knotenpunkten sind gleich. Wie viele Bedingungen müssen insgesamt erfüllt sein?

Accepted Answer

**4n**

Answer

**n**

Answer

**3n**

Answer

**2n**

Question 55

Welches Kriterium wird verwendet, um den optimalen Approximationsgrad bei der Polynominterpolation zu bestimmen?

Accepted Answer

Minimierung des mittleren quadratischen Fehlers

Answer

Maximierung des Korrelationskoeffizienten

Answer

Minimierung der maximalen Abweichung

Answer

Maximierung der Anzahl der Knotenpunkte

Question 56

Welche Methode eignet sich zur Approximation einer Funktion durch eine rationale Funktion?

Accepted Answer

Padé-Approximation

Answer

Spline-Interpolation

Answer

Fourier-Analyse

Answer

Lagrange-Interpolation

Question 57

Welche Funktion wird verwendet, um eine Funktion in der unmittelbaren Umgebung eines Punktes zu approximieren?

Accepted Answer

Taylor-Reihe

Answer

Fourier-Reihe

Answer

Spline-Funktion

Answer

Lagrange-Polynom

Question 58

Welche Aussage zur Fourier-Analyse ist richtig?

Accepted Answer

Sie ermöglicht die Approximation von Funktionen durch Reihen trigonometrischer Funktionen.

Answer

Sie erfordert die Berechnung von Ableitungen.

Question 59

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Lagrange-Interpolation korrekt?

Accepted Answer

Sie erzeugt die eindeutige Polynomfunktion vom minimalen Grad, die durch gegebene Punkte verläuft.

Answer

Sie erzeugt die Polynomfunktion, die an den gegebenen Punkten ihren Maximalwert annimmt.

Answer

Sie ist immer eine gerade Funktion.

Question 60

Welches Kriterium wird bei der Approximation einer Funktion f(x) durch ein Polynom p(x) vom Grad n mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate minimiert?

Accepted Answer

Die Summe der quadrierten Abstände zwischen f(x) und p(x) an vorgegebenen Stützstellen.

Answer

Die Summe der absoluten Abstände zwischen f(x) und p(x) an vorgegebenen Stützstellen.

Answer

Die maximale Abweichung zwischen f(x) und p(x) an vorgegebenen Stützstellen.

Question 61

Welche Eigenschaft trifft auf kubische Splines zu?

Accepted Answer

Sie sind stückweise kubische Polynome mit stetigen ersten und zweiten Ableitungen an den Knotenpunkten.

Answer

Sie sind stückweise lineare Polynome mit stetigen ersten Ableitungen an den Knotenpunkten.

Answer

Sie sind stückweise quadratische Polynome mit stetigen ersten Ableitungen an den Knotenpunkten.

Question 62

Worauf bezieht sich die Approximationsgüte bei der Approximation?

Accepted Answer

Auf den Abstand zwischen der zu approximierenden Funktion und dem Approximations-Polynom.

Answer

Auf die Anzahl der verwendeten Stützstellen.

Answer

Auf den Grad des Approximations-Polynoms.

Question 63

Welche der folgenden Funktionen ist nicht zweimal stetig differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x^3|

Answer

f(x) = x^4

Answer

f(x) = e^(x^2)

Answer

f(x) = sin(x^2)

Question 64

Was sind Stützstellen bei der Interpolation?

Accepted Answer

Punkte, an denen die zu interpolierende Funktion ausgewertet wird.

Answer

Punkte, an denen das Interpolations-Polynom Null wird.

Answer

Punkte, an denen die Ableitung des Interpolations-Polynoms Null wird.