Fehleranalyse in numerischen Berechnungen: Quizfragen und Übungen

Question 1

Welche Aussage zur numerischen Stabilität ist korrekt?

Accepted Answer

Die Konditionszahl eines Problems zeigt seine numerische Stabilität an.

Answer

Numerisch stabile Algorithmen liefern immer genaue Ergebnisse.

Answer

Rundungsfehler beeinflussen die numerische Stabilität nicht.

Answer

Bei numerisch instabilen Verfahren ist die Fehlerfortpflanzung minimal.

Question 2

Numerische Stabilität bezeichnet einen Algorithmus, der bei geringen Änderungen in den Eingabedaten zu:

Accepted Answer

Geringe Änderungen in den Ergebnissen führt.

Answer

Immer das exakte Ergebnis liefert.

Answer

Schnelle Ergebnisse liefert.

Answer

Für große Datenmengen geeignet ist.

Question 3

Welche der folgenden Ursachen führt hauptsächlich zu Rundungsfehlern in numerischen Berechnungen?

Accepted Answer

Begrenzte Genauigkeit der Computerrechnung.

Answer

Fehlerhafte Eingabedaten.

Answer

Nichtlineare Gleichungen.

Answer

Vernachlässigung kleinerer Terme.

Question 4

Welche der folgenden Methoden kann eingesetzt werden, um die numerische Stabilität eines Algorithmus zu verbessern?

Accepted Answer

Alle oben genannten.

Answer

Verwendung höherer Präzision.

Answer

Umformulierung des Algorithmus.

Answer

Skalierung der Eingabedaten.

Question 5

Wodurch unterscheiden sich absolute von relativen Fehlern?

Accepted Answer

Absolute Fehler werden in den ursprünglichen Maßeinheiten ausgedrückt, relative Fehler als Prozentsatz.

Answer

Relative Fehler werden in den ursprünglichen Maßeinheiten ausgedrückt, absolute Fehler als Prozentsatz.

Answer

Beide sind gleichbedeutend.

Answer

Keine der oben genannten.

Question 6

Welche mögliche Auswirkung hat eine schlechte numerische Stabilität?

Accepted Answer

Alle oben genannten.

Answer

Divergierende Ergebnisse.

Answer

Überlauf- oder Unterlauffehler.

Answer

Rechenfehler.

Question 7

Welche der folgenden Methoden dient zur Bewertung der Genauigkeit numerischer Berechnungen?

Accepted Answer

Alle oben genannten.

Answer

Fehleranalyse.

Answer

Konvergenztests.

Answer

Intervallarithmetik.

Question 8

Nenne den Hauptzweck der Fehleranalyse.

Accepted Answer

Identifizierung und Abschätzung von Fehlerquellen.

Answer

Entwicklung von Algorithmen mit garantierter Genauigkeit.

Answer

Beseitigung aller Fehler aus numerischen Berechnungen.

Answer

Beschleunigung numerischer Berechnungen.

Question 9

Welche der folgenden Aussagen beschreibt Rundenfehler korrekt?

Accepted Answer

Sie entstehen durch die Verwendung einer begrenzten Anzahl von Stellen nach dem Komma.

Answer

Rundenfehler treten immer auf, wenn Gleitkommazahlen verwendet werden.

Answer

Rundenfehler sind immer kleiner als Approximationsfehler.

Question 10

Welche Methode zur Abschätzung des Rundungsfehlers bei Gleitkommazahlen ist am besten geeignet?

Accepted Answer

Maschinengenauigkeit

Answer

Fehleranalyse

Answer

Fehlerfortpflanzung

Answer

Konditionszahl

Question 11

Was beschreibt numerische Stabilität am besten?

Accepted Answer

Kleine Änderungen in den Eingangsdaten führen zu kleinen Änderungen in den Ergebnissen

Answer

Die Ergebnisse sind unabhängig von der verwendeten Methode

Answer

Der Fehler wächst nicht exponentiell mit der Anzahl der Rechenschritte

Answer

Die Ergebnisse sind immer exakt

Question 12

Welche der folgenden Funktionen ist für x = 0 numerisch instabil?

Accepted Answer

log(x)

Answer

sin(x)

Answer

exp(x)

Answer

x^2

Question 13

Was versteht man unter numerischer Stabilität bei numerischen Berechnungen?

Accepted Answer

Das Ergebnis einer Berechnung ändert sich kaum, wenn die Eingabedaten geringfügig variieren.

Answer

Numerische Stabilität bedeutet, dass keine Fehler in den Algorithmen auftreten.

Answer

Hohe Genauigkeit bei Berechnungen garantiert numerische Stabilität.

Question 14

Wie empfindlich reagiert eine numerische Methode auf Änderungen der Eingabedaten? Dies beschreibt die:

Accepted Answer

Konditionierung der Methode

Answer

Anzahl der Iterationen der Methode

Answer

Genauigkeit der Ergebnisse der Methode

Answer

Geschwindigkeit der Lösungsfindung der Methode

Question 15

Welche Aussage zur Fehleranalyse ist zutreffend?

Accepted Answer

Alle der oben genannten Aussagen.

Answer

Fehleranalyse dient der Identifizierung und Quantifizierung von Fehlern in numerischen Berechnungen.

Answer

Numerische Stabilität ist ein Maß für die Robustheit eines numerischen Verfahrens gegenüber Eingangsfehlern.

Answer

Die Kondition einer Matrix gibt an, wie empfindlich die Lösung eines linearen Gleichungssystems gegenüber Änderungen der Matrix ist.

Question 16

Welche der folgenden Fehlerquellen kann bei der numerischen Integration auftreten?

Accepted Answer

Alle der oben genannten.

Answer

Rundungsfehler

Answer

Diskretisierungsfehler

Answer

Modellierungsfehler

Question 17

Welcher Hauptvorteil ergibt sich aus der Verwendung eines stabilen numerischen Verfahrens?

Accepted Answer

Es ist weniger anfällig für numerische Instabilität.

Answer

Es liefert genauere Ergebnisse.

Answer

Es konvergiert schneller.

Answer

Es erfordert weniger Rechenaufwand.

Question 18

Der Unterschied zwischen absolutem und relativem Fehler ist folgender:

Accepted Answer

Der absolute Fehler gibt die absolute Abweichung zwischen berechnetem und tatsächlichem Wert an, während der relative Fehler die relative Abweichung angibt.

Answer

Der absolute Fehler gibt die relative Abweichung zwischen berechnetem und tatsächlichem Wert an, während der relative Fehler die absolute Abweichung angibt.

Answer

Der relative Fehler ist immer größer als der absolute Fehler.

Answer

Es besteht kein Unterschied zwischen absolutem und relativem Fehler.

Question 19

Die IEEE 754 Norm ist definiert als:

Accepted Answer

Ein Standard für die Darstellung von Gleitkommazahlen in Computern.

Answer

Ein Algorithmus zur Berechnung von Quadratwurzeln.

Answer

Eine Methode zur numerischen Integration.

Answer

Eine Sammlung von Verfahren zur Fehleranalyse.

Question 20

Welche der folgenden Aussagen zur Fehleranalyse trifft zu?

Accepted Answer

Sie untersucht die Ursachen und Auswirkungen von Fehlern in numerischen Berechnungen.

Answer

Sie berechnet exakte Fehlergrenzen für numerische Lösungen.

Answer

Sie verbessert die numerische Stabilität von Algorithmen.

Answer

Sie optimiert die Rechenzeiten für numerische Berechnungen.

Question 21

Die Matrixkondition ist ein Maß für:

Accepted Answer

Die numerische Stabilität einer Matrix.

Answer

Die Inversen einer Matrix.

Answer

Den Eigenwert einer Matrix.

Answer

Die Determinante einer Matrix.

Question 22

Welche der folgenden Methoden hilft, die numerische Stabilität zu verbessern?

Accepted Answer

Alle der oben genannten.

Answer

Verwendung stabilerer Algorithmen.

Answer

Erhöhung der Genauigkeit von Berechnungen.

Answer

Vermeidung von Unter- und Überläufen.

Question 23

Der Rundungsfehler entsteht durch:

Accepted Answer

Die Begrenzung der Genauigkeit bei der Darstellung von Zahlen.

Answer

Die Verwendung von Näherungswerten für Funktionen.

Answer

Die Instabilität numerischer Algorithmen.

Answer

Menschliches Versagen.

Question 24

Die numerische Integration basiert auf:

Accepted Answer

Der Aufteilung des Integrationsintervalls in kleinere Intervalle.

Answer

Der Ableitung der integrierten Funktion.

Answer

Der Verwendung analytischer Lösungen.

Answer

Keiner der oben genannten.

Question 25

Welche der folgenden Größen kann als Indikator für die numerische Stabilität eines Algorithmus dienen?

Accepted Answer

Alle der oben genannten.

Answer

Konditionszahl.

Answer

Fehlerfortpflanzung.

Answer

Residuum.

Question 26

Unterscheiden Sie zwischen deterministischen und stochastischen Fehlern.

Accepted Answer

Deterministische Fehler lassen sich vorhersagen, während stochastische Fehler zufällig auftreten.

Answer

Stochastische Fehler lassen sich vorhersagen, während deterministische Fehler zufällig auftreten.

Answer

Beide Fehlerarten lassen sich vorhersagen.

Answer

Es gibt keinen Unterschied zwischen deterministischen und stochastischen Fehlern.

Question 27

Nennen Sie eine Strategie zur Vermeidung von Überläufen.

Accepted Answer

Alle genannten Strategien

Answer

Skalierung von Variablen

Answer

Verwendung von Gleitkommazahlen mit höherer Genauigkeit

Answer

Beschränkung des Eingabereichs

Question 28

Was gibt die Bedingungszahl einer Matrix an?

Accepted Answer

Den Einfluss kleiner Änderungen der Eingabedaten auf das Ergebnis

Answer

Die Genauigkeit des Ergebnisses

Answer

Die Stabilität des zugrunde liegenden Algorithmus

Answer

Den Fehler im Ergebnis

Question 29

Was sind Rundungsfehler?

Accepted Answer

Fehler, die durch die begrenzte Genauigkeit von Rechenoperationen entstehen.

Answer

Fehler, die durch die Verwendung von Gleitkommazahlen entstehen.

Answer

Fehler, die sich auf die numerische Stabilität auswirken.

Answer

Fehler, die sich nicht vermeiden lassen.

Question 30

Was beschreibt die Kondition einer numerischen Methode?

Accepted Answer

Das Verhältnis der relativen Änderung des Ergebnisses zur relativen Änderung der Eingabedaten

Answer

Die Anzahl erforderlicher Iterationsschritte

Answer

Den maximalen absoluten Fehler

Answer

Die Geschwindigkeit der Konvergenz

Question 31

Was ist das Ziel der Fehlerpropagation?

Accepted Answer

Abschätzung des Fehlers im Endergebnis aufgrund von Fehlern in den Eingabedaten

Answer

Reduzierung des Fehlers im Endergebnis

Answer

Erhöhung der Genauigkeit der Berechnung

Answer

Vermeidung von Rundungsfehlern

Question 32

**Was wird unter einem Fehlerterm verstanden?**

Accepted Answer

Die Differenz zwischen dem exakten Wert und dem genäherten Wert

Answer

Die absolute Änderung des Fehlers

Answer

Die relative Änderung des Fehlers

Answer

Die Differenz zwischen dem berechneten Wert und dem wahren Wert

Question 33

Was beschreibt die Konditionierung einer linearen Gleichung?

Accepted Answer

Die Empfindlichkeit der Lösung gegenüber Änderungen in den Eingangsdaten

Answer

Die Stabilität der numerischen Lösung

Answer

Die Genauigkeit der numerischen Lösung

Answer

Die Anzahl der gültigen Lösungen

Question 34

Welche der folgenden Aussagen zur numerischen Stabilität ist falsch?

Accepted Answer

Numerische Stabilität ist unabhängig von der Rechengenauigkeit des Computers.

Answer

Numerisch stabile Verfahren führen zu geringen Änderungen der Ausgabe bei geringen Änderungen der Eingabedaten.

Answer

Die Kondition einer Matrix zeigt die numerische Stabilität eines Verfahrens an.

Answer

Rundenfehler können die numerische Stabilität eines Verfahrens beeinträchtigen.

Question 35

**Welche der folgenden Ursachen kann zu Rundungsfehlern bei numerischen Berechnungen führen?**

Accepted Answer

Begrenzte Stellenanzahl in der Darstellung von Zahlen

Answer

Fehlende Konvergenz

Answer

Speicherüberlauf

Answer

Logische Inkonsistenzen

Question 36

**Welches Kriterium bestimmt die Konvergenzordnung einer iterativen Methode?**

Accepted Answer

Rate der Konvergenz

Answer

Anzahl der Iterationen

Answer

Größe des Fehlers

Question 37

**Welches der folgenden Verfahren ist ein nichtlineares Gleichungslöseverfahren?**

Accepted Answer

Newton-Raphson-Verfahren

Answer

Gauß-Elimination

Answer

Jacobi-Iteration

Answer

Bisektion

Question 38

**Welche der folgenden Aussagen über Eigenwerte ist korrekt?**

Accepted Answer

Sie sind charakteristische Werte einer Matrix

Answer

Sie sind immer reell

Answer

Sie können nur für symmetrische Matrizen berechnet werden

Question 39

**Welches Verfahren wird verwendet, um Eigenwerte großer Matrizen effizient zu berechnen?**

Accepted Answer

QR-Algorithmus

Answer

Jacobi-Iteration

Answer

Potenzmethode

Answer

Gauß-Elimination

Question 40

**Welche der folgenden Aussagen über die Singulärwertzerlegung (SVD) ist korrekt?**

Accepted Answer

Sie kann verwendet werden, um den Rang einer Matrix zu bestimmen

Answer

Sie ist nur für quadratische Matrizen definiert

Answer

Sie ist immer eindeutig

Question 41

Welche Methode eignet sich am besten zur Lösung linearer Gleichungssysteme mit dünnbesetzten Matrizen?

Accepted Answer

Sparse-Matrix-Techniken

Answer

Jacobi-Iteration

Answer

Gauß-Jordan-Elimination

Answer

LU-Zerlegung

Question 42

Was beschreibt die numerische Stabilität eines Algorithmus?

Accepted Answer

Seine Unempfindlichkeit gegenüber numerischen Fehlern

Answer

Seine Effizienz

Answer

Seine Genauigkeit

Answer

Seine Robustheit

Question 43

Welches Verfahren ist für die numerische Integration instabil?

Accepted Answer

Euler-Verfahren

Answer

Simpson-Regel

Answer

Gauß-Quadratur

Answer

Trapezregel

Question 44

Was ist der Unterschied zwischen absolutem und relativem Fehler?

Accepted Answer

Der absolute Fehler ist unabhängig von der Größenordnung, während der relative Fehler ein Verhältnis ist

Answer

Der absolute Fehler ist größer als der relative Fehler

Question 45

**Ziel der Fehleranalyse in der numerischen Mathematik:**

Accepted Answer

Fehler in numerischen Berechnungen erkennen und vermeiden

Answer

Exakte Algorithmen entwickeln

Answer

Rechengeschwindigkeit optimieren

Question 46

**Definition von numerischer Stabilität:**

Accepted Answer

Berechnungsmethode, deren Fehler nicht stark von kleinen Änderungen der Eingabedaten abhängen

Answer

Berechnungsmethode, die schnell und effizient ist

Answer

Berechnungsmethode, die immer ein genaues Ergebnis liefert

Question 47

**Behauptung zur Fehleranalyse:**

Accepted Answer

Wichtiger Schritt bei der Entwicklung numerischer Algorithmen

Answer

Nur für komplexe Berechnungen relevant

Answer

Kann immer genaue Ergebnisse liefern

Question 48

**Technik zur Reduzierung von Rundungsfehlern bei linearen Gleichungssystemen:**

Accepted Answer

Pivoting

Answer

Iteration

Answer

QR-Zerlegung

Answer

Gauß-Elimination

Question 49

**Methode zur Abschätzung des Fehlers einer numerischen Berechnung:**

Accepted Answer

Fehlerabschätzung durch Fehlerfortpflanzung

Answer

Fehlerabschätzung durch Intuition

Answer

Fehlerabschätzung durch experimentelle Messung

Answer

Fehlerabschätzung durch Simulation

Question 50

Welche der folgenden Fehlerquellen tritt bei numerischen Berechnungen häufig auf?

Accepted Answer

Rundungsfehler

Answer

Syntaxfehler

Answer

Rechtschreibfehler

Answer

Tastaturfehler

Question 51

Welche der folgenden Berechnungen ist für kleine Werte von (a - b) numerisch instabil?

Accepted Answer

Berechnung von x aus der Gleichung x = 1 / (a - b)

Answer

Berechnung der Standardabweichung

Answer

Berechnung des arithmetischen Mittels

Question 52

Welche Aussage zur numerischen Stabilität ist korrekt?

Accepted Answer

Numerisch stabile Algorithmen führen bei kleinen Änderungen der Eingabedaten zu geringen Änderungen der Ausgabedaten.

Answer

Numerisch stabile Algorithmen sind immer effizient.

Question 53

Was beschreibt die Kondition einer Matrix?

Accepted Answer

Ihre Sensitivität gegenüber kleinen Änderungen der Eingabedaten

Answer

Ihre Determinante

Answer

Ihre Größe

Question 54

Was beschreibt die Fehlerfortpflanzung?

Accepted Answer

Die Abhängigkeit des Fehlers in einer abgeleiteten Größe von den Fehlern in den Eingangsgrößen

Answer

Die Vergrößerung des Fehlers mit zunehmender Anzahl von Berechnungen

Answer

Die Übertragung des Fehlers von einer Berechnung auf die nächste

Question 55

Welches Softwaretool hilft bei der Identifizierung und Analyse von Fehlern in numerischen Berechnungen?

Accepted Answer

Debugger

Answer

Simulatoren

Answer

Compiler

Answer

Profilers

Question 56

Welche der folgenden Fehlertypen tritt auf, wenn eine Berechnung zu einem Überlauf (Overflow) oder Unterlauf (Underflow) führt?

Accepted Answer

Maschinenfehler

Answer

Algorithmischer Fehler

Answer

Eingabefehler

Answer

Approximationsfehler

Question 57

Welche der folgenden Fehlerquellen ist auf die Verwendung eines ungeeigneten numerischen Algorithmus zurückzuführen?

Accepted Answer

Algorithmischer Fehler

Answer

Eingabefehler

Answer

Rundungsfehler

Question 58

Welche der folgenden Maßnahmen kann helfen, Eingabefehler zu minimieren?

Accepted Answer

Validierung von Eingaben (z.B. Überprüfung auf plausiblen Wertebereich)

Answer

Verwendung eines anderen numerischen Algorithmus

Answer

Vermeidung von Division durch Null

Answer

Erhöhung der Anzahl der Iterationsschritte

Question 59

Welche der folgenden Aussagen über Approximationsfehler ist korrekt?

Accepted Answer

Approximationsfehler können durch die Verwendung genauerer Näherungsverfahren reduziert werden.

Answer

Approximationsfehler sind immer vernachlässigbar.

Answer

Approximationsfehler treten nur bei nichtlinearen Funktionen auf.

Question 60

Welche der folgenden Aussagen über Fehleranalyse ist falsch?

Accepted Answer

Fehleranalyse ist nur für komplexe numerische Berechnungen relevant.

Answer

Fehleranalyse kann helfen, Fehlerquellen zu identifizieren und zu beseitigen.

Answer

Fehleranalyse hilft, die Zuverlässigkeit numerischer Ergebnisse zu beurteilen.

Question 61

Welche der folgenden Aussagen zur Fehlerfortpflanzung ist **falsch**?

Accepted Answer

Die absolute Fehlerfortpflanzung ist immer größer als die relative Fehlerfortpflanzung.

Answer

Die relative Fehlerfortpflanzung ist unabhängig von der Größe der Ausgangswerte.

Answer

Die absolute Fehlerfortpflanzung kann durch die Wahl des Algorithmus beeinflusst werden.

Question 62

Welcher Effekt beschreibt die Anhäufung von Rundungsfehlern bei iterativen Verfahren?

Accepted Answer

Kumulative Fehlerfortpflanzung

Answer

Relative Fehlerfortpflanzung

Answer

Fehlerkompensation

Answer

Absolute Fehlerfortpflanzung

Question 63

Ein numerisches Verfahren ist **numerisch stabil**, wenn...

Accepted Answer

kleine Änderungen in den Eingangsdaten nur kleine Änderungen im Ergebnis verursachen.

Answer

es besonders schnell ist.

Answer

es immer die exakte Lösung findet.

Question 64

Welches Verfahren ist besonders anfällig für Rundungsfehler?

Accepted Answer

Subtraktion von fast gleich großen Zahlen

Answer

Multiplikation von zwei großen Zahlen

Answer

Addition von großen und kleinen Zahlen

Answer

Division von einer kleinen durch eine große Zahl