Eigenwerte und Eigenvektoren: Online-Quiz für Maschinenbau-Studierende

Question 1

Welcher der folgenden Vektoren ist ein Eigenvektor der Matrix $$ \begin{pmatrix} 2 & 1 \ -1 & 2 end{pmatrix} $$ mit dem Eigenwert λ = 1?

Accepted Answer

$$ \begin{pmatrix} 1 \ 1 end{pmatrix} $$

Answer

$$ \begin{pmatrix} 1 \ 0 end{pmatrix} $$

Answer

$$ \begin{pmatrix} 2 \ 1 end{pmatrix} $$

Answer

$$ \begin{pmatrix} 0 \ 1 end{pmatrix} $$

Question 2

Die Eigenwerte der Matrix $$ \begin{pmatrix} 3 & -2 \ 2 & 3 end{pmatrix} $$ sind:

Accepted Answer

λ1 = 1, λ2 = 5

Answer

λ1 = 1, λ2 = -5

Answer

λ1 = 5, λ2 = 1

Answer

λ1 = -5, λ2 = 1

Question 3

Welche der folgenden Aussagen zur Diagonalisierbarkeit von Matrizen ist falsch?

Accepted Answer

Eine Matrix mit komplexen Eigenwerten ist nicht diagonalisierbar.

Answer

Eine Matrix ist nur diagonalisierbar, wenn sie quadratisch ist.

Answer

Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn sie ein vollständiges System von Eigenvektoren besitzt.

Answer

Eine symmetrische Matrix ist immer diagonalisierbar.

Question 4

Eigenwerte sind:

Accepted Answer

Wurzeln des charakteristischen Polynoms einer Matrix.

Answer

Immer reelle Zahlen.

Answer

Nur für symmetrische Matrizen berechenbar.

Answer

Immer positiv.

Question 5

Welche Aussage über Eigenvektoren ist falsch?

Accepted Answer

Eigenvektoren können für jede Matrix berechnet werden.

Answer

Eigenvektoren sind Vielfache voneinander.

Answer

Eigenvektoren sind linear unabhängig.

Answer

Eigenvektoren haben die Länge 1.

Question 6

Wann ist eine Matrix diagonalisierbar?

Accepted Answer

Wenn sie ein vollständiges System von Eigenvektoren besitzt.

Answer

Wenn sie invertierbar ist.

Answer

Wenn sie symmetrisch ist.

Answer

Wenn sie eine Determinante ungleich 0 hat.

Question 7

Das charakteristische Polynom einer Matrix A ist ein Polynom, dessen Nullstellen die **Eigenwerte** von A sind.

Accepted Answer

Eigenwerte

Answer

Eigenvektoren

Answer

Zeilen

Answer

Koeffizienten

Question 8

Welche der folgenden Matrizen ist **nicht** diagonalisierbar?

Accepted Answer

[[1, 1], [1, 1]]

Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[1, 2], [3, 4]]

Answer

[[2, -1], [1, 2]]

Question 9

Die Matrix [[2, 1], [0, 2]] besitzt den Eigenwert **2**.

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

3

Answer

4

Question 10

Die Matrix [[2, 1], [1, 2]] ist **diagonalisierbar**.

Accepted Answer

Diagonalisierbar

Answer

Symmetrisch

Answer

Schiefsymmetrisch

Answer

Nichtinvertierbar

Question 11

Welche der folgenden Matrizen hat den Eigenvektor **[1, 1]**?

Accepted Answer

[[1, 1], [1, 1]]

Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[1, 2], [3, 4]]

Answer

[[2, -1], [1, 2]]

Question 12

Wie hängen Eigenwert und Eigenvektor geometrisch zusammen?

Accepted Answer

Eigenvektoren zeigen die Richtung an, in die die zugehörige lineare Transformation streckt oder staucht, der Eigenwert gibt den Faktor dieser Streckung oder Stauchung an.

Answer

Eigenwerte geben die Länge des Eigenvektors an.

Answer

Eigenvektoren sind unabhängig von Eigenwerten.

Answer

Eigenwerte sind immer reell.

Question 13

Welche der folgenden Aussagen über Eigenwerte und Eigenvektoren ist richtig?

Accepted Answer

Eigenwerte sind die charakteristischen Wurzeln der Matrix, die das Verhalten der Matrix beschreiben.

Answer

Eigenvektoren sind die Vektoren, die beim Multiplizieren mit der Matrix ihre Richtung ändern.

Answer

Eine Matrix ist nur diagonalisierbar, wenn alle ihre Eigenwerte reell und verschieden sind.

Answer

Alle Matrizen sind diagonalisierbar.

Question 14

Welche der folgenden Matrizen ist nicht diagonalisierbar?

Accepted Answer

[[3, 1], [-1, 2]]

Answer

[[2, 1], [1, 2]]

Answer

[[1, 0], [0, 2]]

Answer

[[2, 0], [0, 1]]

Question 15

Begründe, warum eine quadratische Matrix diagonalisierbar ist, wenn sie über n linear unabhängige Eigenvektoren verfügt.

Accepted Answer

Eine quadratische Matrix ist diagonalisierbar, wenn sie n linear unabhängige Eigenvektoren besitzt.

Answer

Eine quadratische Matrix ist diagonalisierbar, wenn sie symmetrisch ist.

Answer

Eine quadratische Matrix ist diagonalisierbar, wenn ihre Eigenwerte alle voneinander verschieden sind.

Question 16

Ist die Matrix A = [[2, 1], [-1, 2]] diagonalisierbar?

Accepted Answer

Ja

Answer

Nur falls die Matrix symmetrisch ist

Answer

Nur falls die Matrix invertierbar ist

Answer

Nein

Question 17

Welche der folgenden Aussagen über Eigenvektoren ist korrekt?

Accepted Answer

Sie sind linear unabhängig.

Answer

Sie sind immer orthogonal zueinander.

Answer

Sie haben immer den gleichen Betrag.

Answer

Sie sind immer reellwertig.

Question 18

Welche Bedingung muss eine Matrix erfüllen, um diagonalisierbar zu sein?

Accepted Answer

Sie muss quadratisch sein und einen vollständigen Satz linear unabhängiger Eigenvektoren besitzen.

Answer

Sie muss reelle Einträge haben.

Answer

Sie muss symmetrisch sein.

Question 19

Was ist die charakteristische Gleichung einer Matrix A?

Accepted Answer

det(A - λI) = 0, wobei λ der Eigenwert und I die Einheitsmatrix ist.

Answer

A - λI = 0.

Answer

tr(A - λI) = 0, wobei tr die Spur der Matrix ist.

Question 20

Was ist ein Eigenvektor einer Matrix A?

Accepted Answer

Ein Vektor v ungleich dem Nullvektor, der bei Multiplikation mit A nur durch einen Skalar λ multipliziert wird: Av = λv.

Answer

Ein Vektor v ungleich dem Nullvektor, der bei Multiplikation mit A seine Länge nicht ändert.

Answer

Ein Vektor v ungleich dem Nullvektor, der bei Multiplikation mit A in einen anderen Vektor transformiert wird.

Question 21

Was ist die geometrische Interpretation von Eigenvektoren?

Accepted Answer

Sie spannen die Achsen des Koordinatensystems auf, in dem die Matrix A eine Diagonalgestalt annimmt.

Answer

Sie zeigen die Richtungen der größten und kleinsten Ausdehnung der Transformation an.

Answer

Sie sind orthogonal zu den Eigenvektoren anderer Matrizen.

Question 22

Was ist die Eigenwertzerlegung einer Matrix A?

Accepted Answer

A = PΛP^(-1), wobei P die Matrix der Eigenvektoren und Λ die Diagonalmatrix der Eigenwerte ist.

Answer

A = PΛP, wobei P die Matrix der Eigenvektoren und Λ die Matrix der Eigenwerte ist.

Answer

A = ΛP, wobei P die Matrix der Eigenvektoren und Λ die Diagonalmatrix der Eigenwerte ist.

Question 23

Welche der folgenden Aussagen über die Diagonalisierbarkeit einer Matrix ist richtig?

Accepted Answer

Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn sie einen vollständigen Satz linear unabhängiger Eigenvektoren besitzt.

Answer

Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn sie invertierbar ist.

Answer

Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn sie symmetrisch ist.

Question 24

Bestimme die invertierbare Matrix:

Accepted Answer

A = [[1, 0], [0, 1]]

Answer

B = [[1, 1], [0, 1]]

Answer

D = [[0, 1], [0, 0]]

Answer

C = [[1, 0], [1, 0]]

Question 25

Berechne den Eigenvektor für die Matrix A = [[2, 1], [1, 2]] zum Eigenwert λ = 3:

Accepted Answer

v = [1, 1]

Answer

x = [1, 0]

Answer

w = [0, 1]

Answer

y = [2, 2]

Question 26

Welcher Satz beschreibt das charakteristische Polynom einer Matrix?

Accepted Answer

Das Produkt der (**n**) Eigenwerte abzüglich des Einheitsmatrix-Vielfachen

Answer

Die Summe der Eigenwerte

Answer

Die Determinante der Matrix

Question 27

Welche der folgenden Matrizen ist symmetrisch?

Accepted Answer

**A** = [[2, 1], [1, 2]]

Answer

**B** = [[1, 0], [2, 4]]

Answer

**D** = [[0, -1], [1, 0]]

Answer

**C** = [[1, 2], [3, 1]]

Question 28

Welche der folgenden Matrizen hat einen Eigenwert von 0?

Accepted Answer

**A** = [[0, 1], [-1, 0]]

Answer

**B** = [[1, 0], [0, 1]]

Answer

**C** = [[1, 2], [2, 1]]

Question 29

Welche der folgenden Aussagen über die Diagonalisierbarkeit von Matrizen ist richtig?

Accepted Answer

Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn sie eine vollständige Menge von Eigenvektoren besitzt.

Answer

Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn sie einen Eigenwert von 0 hat.

Answer

Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn sie symmetrisch ist.

Question 30

Welche der folgenden Matrizen ist eine Orthogonalmatrix?

Accepted Answer

**A** = [[cos(θ), -sin(θ)], [sin(θ), cos(θ)]]

Answer

**C** = [[1, 0], [1, 1]]

Answer

**B** = [[1, 2], [0, 1]]

Answer

**D** = [[1, 2], [3, 4]]

Question 31

Bestimme die Eigenvektoren der Matrix B = [[1, 1], [-1, 2]] zum Eigenwert λ = 1

Accepted Answer

Eigenvektor zum Eigenwert 1: [1, 1]

Answer

Eigenvektor zum Eigenwert 1: [1, 0]

Answer

Eigenvektor zum Eigenwert 1: [2, 1]

Question 32

Überprüfe, ob die Matrix C = [[3, 2], [-1, 1]] diagonalisierbar ist.

Accepted Answer

Ja, die Matrix ist diagonalisierbar.

Answer

Die Matrix ist nur unter bestimmten Bedingungen diagonalisierbar.

Answer

Die Diagonalisierbarkeit kann nicht anhand der gegebenen Informationen bestimmt werden.

Answer

Nein, die Matrix ist nicht diagonalisierbar.

Question 33

Welche Aussage über die Eigenwerte einer Matrix ist korrekt?

Accepted Answer

Eigenwerte sind nicht immer reelle Zahlen.

Answer

Eigenwerte sind immer negative Zahlen.

Answer

Eigenwerte sind immer komplexe Zahlen.

Answer

Eigenwerte sind immer positive Zahlen.

Question 34

Welche der folgenden Aussagen beschreibt eine Eigenwert-Eigenvektor-Beziehung?

Accepted Answer

Ax = λx

Answer

xAx = λx

Answer

λAx = x

Answer

xλ = Ax

Question 35

Was ist die Summe der Eigenwerte einer Matrix?

Accepted Answer

Spur der Matrix

Answer

Rang der Matrix

Answer

Kehrwert der Matrix

Answer

Determinante der Matrix

Question 36

Was ist die Eigenbasis einer Matrix?

Accepted Answer

Eine Basis aus Eigenvektoren der Matrix.

Answer

Eine Basis aus allen Vektoren im Vektorraum.

Answer

Eine Basis aus den Spaltenvektoren der Matrix.

Answer

Eine Basis aus Linearkombinationen der Eigenvektoren der Matrix.

Question 37

Welche Aussage über die Matrix A = [[2, 0], [0, 2]] ist richtig?

Accepted Answer

A ist diagonalisierbar und erfüllt Aⁿ = A für jedes n ∈ ℕ.

Answer

A ist nicht diagonalisierbar und erfüllt Aⁿ ≠ A für einige n ∈ ℕ.

Answer

A ist diagonalisierbar, aber erfüllt Aⁿ ≠ A für einige n ∈ ℕ.

Answer

A ist nicht diagonalisierbar, aber erfüllt Aⁿ = A für jedes n ∈ ℕ.

Question 38

Welche Aussage über die Matrix A = [[1, 0], [0, -1]] ist richtig?

Accepted Answer

A ist orthogonal und A⁻¹ = A.

Answer

A ist nicht orthogonal und A⁻¹ ≠ A.

Answer

A ist nicht orthogonal, aber A⁻¹ = A.

Answer

A ist orthogonal, aber A⁻¹ ≠ A.

Question 39

Was ist das charakteristische Polynom einer Matrix A?

Accepted Answer

det(A - λI)

Answer

det(A + λI)

Answer

det(A)

Answer

(A - λI) det(A)

Question 40

Wann ist eine Matrix diagonalisierbar?

Accepted Answer

Wenn sie einen vollständigen Satz linear unabhängiger Eigenvektoren besitzt.

Answer

Wenn sie symmetrisch ist.

Answer

Wenn ihre Determinante ungleich null ist.

Question 41

Wie lautet die Eigenwertgleichung für eine Matrix A?

Accepted Answer

Av = λv

Answer

Av = 0

Answer

det(A)v = λv

Answer

A²v = λv

Question 42

Welche geometrische Bedeutung haben Eigenvektoren?

Accepted Answer

Sie sind Richtungen, in denen eine lineare Abbildung die Länge von Vektoren nicht verändert.

Answer

Sie sind Richtungen, in denen eine lineare Abbildung Vektoren projiziert.

Answer

Sie sind Richtungen, in denen eine lineare Abbildung Vektoren reflektiert.

Question 43

Was ist die Spektralzerlegung einer Matrix A?

Accepted Answer

A = VΛV⁻¹

Answer

A = Λ⁻¹V

Answer

A = ΛV

Answer

A = VΛ⁻¹

Question 44

Welche Matrix ist nicht diagonalisierbar?

Accepted Answer

Eine Matrix mit einem mehrfachen Eigenwert, der nicht voll ausgeartet ist.

Answer

Eine Matrix mit reellen Eigenwerten.

Answer

Eine Matrix mit komplexen Eigenwerten.

Question 45

Welche der folgenden Aussagen über Eigenvektoren ist korrekt ?

Accepted Answer

Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind linear unabhängig.

Answer

Jede Matrix besitzt mindestens einen Eigenvektor.

Answer

Eigenvektoren zum gleichen Eigenwert sind immer orthogonal.

Question 46

Welche der folgenden Aussagen über die Diagonalisierbarkeit einer Matrix ist richtig ?

Accepted Answer

Eine Matrix ist genau dann diagonalisierbar, wenn sie n linear unabhängige Eigenvektoren besitzt.

Answer

Eine Matrix ist genau dann diagonalisierbar, wenn sie symmetrisch ist.

Answer

Eine Matrix ist genau dann diagonalisierbar, wenn sie eine invertierbare Matrix ist.

Question 47

Berechnen Sie die Summe der Eigenwerte der Matrix **A** = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ -2 & 1 end{pmatrix}

Accepted Answer

2

Answer

4

Answer

0

Question 48

Welche der folgenden Aussagen über Eigenwerte und Eigenvektoren ist FALSCH?

Accepted Answer

Eigenvektoren können beliebige Vektoren sein.

Answer

Eigenwerte können Null sein.

Answer

Eigenvektoren sind linear unabhängig.

Answer

Eigenvektoren werden durch die Multiplikation mit der Matrix in die gleiche Richtung skaliert.

Question 49

Welche der folgenden Aussagen über diagonalisierbare Matrizen ist FALSCH?

Accepted Answer

Diagonalisierbare Matrizen haben immer gleiche Eigenwerte.

Answer

Diagonalisierbare Matrizen haben eine Basis aus Eigenvektoren.

Answer

Diagonalisierbare Matrizen können durch eine Ähnlichkeitstransformation in eine Diagonalmatrix umgewandelt werden.

Question 50

Was ist die Diagonalmatrix D, die zur Matrix A = [[2, 1], [1, 2]] ähnlich ist?

Accepted Answer

D = [[3, 0], [0, 1]]

Answer

D = [[2, 0], [0, 2]]

Answer

D = [[1, 1], [1, 1]]

Answer

D = [[1, 0], [0, 3]]

Question 51

Welche Anwendung finden Eigenwerte und Eigenvektoren in der Mechanik?

Accepted Answer

Analyse von Schwingungen

Answer

Berechnung von Geschwindigkeiten

Answer

Berechnung von Drehmomenten

Answer

Berechnung von Kräften

Question 52

Welche Aussage über die algebraische und geometrische Vielfachheit von Eigenwerten ist KORREKT?

Accepted Answer

Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwerts ist immer kleiner oder gleich der algebraischen Vielfachheit.

Answer

Die algebraische Vielfachheit eines Eigenwerts ist immer kleiner oder gleich der geometrischen Vielfachheit.

Question 53

Ein Eigenwert λ einer Matrix A ist eine Zahl, für die...

Accepted Answer

es einen nicht-trivialen Vektor v gibt, sodass Av = λv.

Answer

die Matrix A invertierbar ist.

Answer

die Matrix A singulär ist.

Question 54

Ein Eigenvektor v zum Eigenwert λ einer Matrix A ist...

Accepted Answer

ein nicht-trivialer Vektor, für den Av = λv gilt.

Answer

ein Vektor, der im Kern der Matrix A liegt.

Answer

ein Vektor, der parallel zum Eigenraum der Matrix A liegt.

Answer

ein Vektor, der senkrecht zum Eigenraum der Matrix A steht.

Question 55

Welche Aussage über Eigenwerte von Matrizen ist korrekt?

Accepted Answer

Die Eigenwerte einer symmetrischen Matrix sind immer reell.

Answer

Die Eigenwerte einer antisymmetrischen Matrix sind immer komplex.

Answer

Die Eigenwerte einer orthogonalen Matrix sind immer zwischen -1 und 1.

Question 56

Welche Aussage über Eigenvektoren ist korrekt?

Accepted Answer

Eigenvektoren zu unterschiedlichen Eigenwerten sind linear unabhängig.

Answer

Eigenvektoren zum selben Eigenwert sind immer orthogonal.

Answer

Die Summe aller Eigenvektoren einer Matrix ist der Nullvektor.

Question 57

Gegeben ist die Matrix A = [[1, 2], [2, 1]]. Bestimmen Sie die Eigenvektoren zum Eigenwert λ = 3.

Accepted Answer

v = [[1], [1]]

Answer

v = [[-1], [-1]]

Answer

v = [[1], [-1]]

Answer

v = [[-1], [1]]

Question 58

Welche der folgenden Matrizen ist nicht diagonalisierbar?

Accepted Answer

A = [[1, 2], [2, 2]]

Answer

A = [[1, 0], [0, 1]]

Answer

A = [[3, 0], [0, 3]]

Answer

A = [[2, 1], [-1, 2]]

Question 59

Berechnen Sie die Eigenwerte der Matrix A = [[2, 1], [-1, 2]].

Accepted Answer

λ = 1, 3

Answer

λ = 0, 2

Answer

λ = 2, 3

Answer

λ = 1, 4

Question 60

Ist die Matrix C = [[1, 2], [3, 4]] diagonalisierbar?

Accepted Answer

Ja

Answer

Nein

Answer

Nur mit Eigenvektoren, die Vielfache von [1; 1] sind

Answer

Nur mit komplexen Eigenwerten

Question 61

Berechnen Sie das charakteristische Polynom der Matrix D = [[2, -1], [1, 1]].

Accepted Answer

λ^2 - 3λ + 3

Answer

λ^2 + 3λ - 2

Answer

λ^2 - 2λ + 3

Answer

λ^2 - λ - 2

Question 62

Berechnen Sie die Eigenwerte der Matrix F = [[-2, 1], [-3, 0]].

Accepted Answer

λ = -1, -3

Answer

λ = 1, -3

Answer

λ = 1, 3

Answer

λ = -1, 3

Question 63

Ist die Matrix G =  [[1, 1], [0, 1]] diagonalisierbar?

Accepted Answer

Nein

Answer

Nur mit komplexen Eigenwerten

Answer

Nur mit Eigenvektoren, die Vielfache von [1, 0] sind

Answer

Ja

Question 64

Berechnen Sie das charakteristische Polynom der Matrix H = [[3, 2], [-1, 1]].

Accepted Answer

λ² - 4λ + 5

Answer

λ² - 2λ + 5

Answer

λ² + 4λ - 5

Answer

λ² - λ + 5