Eigenwerte und Eigenvektoren: Interaktive Übungen für Elektrotechnik-Studierende

Question 1

Welche Aussage über Eigenwerte und Eigenvektoren ist nicht korrekt?

Accepted Answer

Eigenvektoren zu unterschiedlichen Eigenwerten sind linear abhängig.

Answer

Eigenwerte sind skalare Größen.

Answer

Eigenvektoren sind Richtungsvektoren.

Answer

Eigenwerte können komplex sein.

Question 2

Welche der folgenden Matrizen ist diagonalisierbar mit komplexen Eigenwerten?

Accepted Answer

[[1, 2], [2, 1]]

Answer

[[1, 0], [0, 2]]

Answer

[[1, 2], [3, 4]]

Answer

[[0, 1], [1, 0]]

Question 3

Wie lautet die Determinante einer diagonalisierbaren Matrix?

Accepted Answer

Das Produkt ihrer Eigenwerte

Answer

Die Summe ihrer Eigenwerte

Answer

Die Differenz ihrer Eigenwerte

Answer

Null

Question 4

Welche Aussage über die Eigenwerte einer symmetrischen Matrix ist zutreffend?

Accepted Answer

Sie sind stets reell.

Answer

Sie können komplex sein.

Answer

Sie sind immer positiv.

Answer

Sie sind immer negativ.

Question 5

Wie werden Eigenwerte und Eigenvektoren genutzt, um die Schwingungsfrequenzen eines schwingungsfähigen Systems zu bestimmen?

Accepted Answer

Eigenwerte sind die Schwingungsfrequenzen und Eigenvektoren die Schwingungsrichtungen.

Answer

Eigenwerte sind die Dämpfung und Eigenvektoren die Amplituden.

Answer

Eigenvektoren sind die Schwingungsfrequenzen und Eigenwerte die Amplituden.

Question 6

Zeigen Sie, dass die Summe der Eigenwerte einer quadratischen Matrix gleich der Spur der Matrix ist.

Accepted Answer

Die Summe der Eigenwerte ist gleich der Spur der Matrix.

Answer

Die Summe der Eigenwerte ist gleich der Determinante der Matrix.

Answer

Die Summe der Eigenwerte ist gleich dem Rang der Matrix.

Question 7

Welche Aussage über Eigenwerte einer Matrix ist korrekt?

Accepted Answer

Sie können reell oder komplex sein.

Answer

Sie sind immer reelle Zahlen.

Answer

Sie sind immer komplexe Zahlen.

Answer

Sie sind immer negativ.

Question 8

Um den Eigenwert einer Matrix zu berechnen, setzt man:

Accepted Answer

die Determinante der Matrix gleich Null.

Answer

die Spur der Matrix gleich Null.

Answer

den Rang der Matrix gleich Null.

Answer

den Eigenvektor der Matrix gleich Null.

Question 9

Welche der folgenden Matrizen ist nicht diagonalisierbar?

Accepted Answer

[[1, 1], [0, 1]]

Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[1, 2], [-2, 1]]

Answer

[[1, 2], [-1, 1]]

Question 10

Was ist die charakteristische Gleichung einer Matrix A?

Accepted Answer

det(A - λI) = 0

Answer

det(A + λI) = 0

Answer

λdet(A) = 0

Answer

λtr(A) = 0

Question 11

Was beschreibt der geometrische Eigenraum?

Accepted Answer

Den Vektorraum, der von den Eigenvektoren aufgespannt wird.

Answer

Den Unterraum des Vektorraums, der die Eigenvektoren enthält.

Answer

Den Vektorraum, der die Eigenwerte enthält.

Answer

Einen eindimensionalen Unterraum.

Question 12

Berechnen Sie die Eigenwerte der Matrix [[2, 1], [-1, 2]]

Accepted Answer

1 und 3

Answer

2 und 1

Answer

3 und 1

Answer

-1 und 3

Question 13

Bestimmen Sie den Eigenvektor der Matrix [[2, 1], [-1, 2]] zum Eigenwert 2

Accepted Answer

[-1, 1]

Answer

[1, -1]

Answer

[1, 1]

Answer

[-1, -1]

Question 14

Welche Aussage über die Determinante einer Matrix trifft zu?

Accepted Answer

Sie ist das Produkt der Eigenwerte.

Answer

Sie ist die Summe der Eigenwerte.

Answer

Sie ist die Differenz der Eigenwerte.

Answer

Sie ist der Quotient der Eigenwerte.

Question 15

Welche Matrix ist symmetrisch?

Accepted Answer

A = [[1, 2], [2, 1]]

Answer

B = [[1, 1], [1, 2]]

Answer

C = [[2, 1], [2, 2]]

Answer

D = [[3, 2], [3, 2]]

Question 16

Welches Tripel (λ, v) erfüllt die Eigenwertgleichung Av = λv?

Accepted Answer

(λ, v), wobei λ ein beliebiger komplexer Skalar und v der zugehörige Eigenvektor von A ist.

Answer

(v, λ), wobei λ ein beliebiger komplexer Skalar und v der zugehörige Eigenvektor von A ist.

Answer

(λ, 0), wobei λ ein beliebiger komplexer Skalar ist.

Question 17

Welche Aussage über Eigenwerte ist korrekt?

Accepted Answer

Eigenwerte sind Skalare, die das Verhalten einer linearen Transformation charakterisieren.

Answer

Eigenwerte sind Vektoren, die durch lineare Transformationen entstehen.

Answer

Eigenwerte sind Matrizen, die die Größe einer linearen Transformation angeben.

Question 18

Wie findet man die Eigenvektoren einer Matrix?

Accepted Answer

Löse das homogene Gleichungssystem (A - λI)x = 0.

Answer

Löse das inhomogene Gleichungssystem (A - λI)x = b.

Answer

Berechne die Determinante von (A - λI).

Question 19

Was bedeutet es, wenn eine Matrix diagonalisierbar ist?

Accepted Answer

Sie kann durch eine Basiswechsel in eine Diagonalmatrix umgewandelt werden.

Answer

Sie hat nur reelle Eigenwerte.

Answer

Sie ist invertierbar.

Question 20

Was ist der Zusammenhang zwischen Eigenwerten und Determinanten?

Accepted Answer

Das Produkt der Eigenwerte ist gleich der Determinante.

Answer

Die Summe der Eigenwerte ist gleich der Determinante.

Answer

Die Eigenwerte sind gleich den Elementen auf der Hauptdiagonale.

Question 21

Was ist der geometrische Sinn von Eigenvektoren?

Accepted Answer

Sie geben die Richtungen an, in denen sich ein Vektorraum unter einer linearen Transformation unverändert streckt oder staucht.

Answer

Sie geben die Punkte an, an denen sich die lineare Transformation nicht ändert.

Question 22

Welche der folgenden Aussagen ist über Eigenwerte von symmetrischen Matrizen wahr?

Accepted Answer

Sie sind alle reell.

Answer

Sie sind alle komplex.

Answer

Sie sind alle positiv.

Answer

Sie sind alle negativ.

Question 23

Was ist die Eigenbasis einer Matrix?

Accepted Answer

Eine Basis aus Eigenvektoren der Matrix.

Answer

Eine Basis aus Zeilenvektoren der Matrix.

Answer

Eine Basis aus Spaltenvektoren der Matrix.

Answer

Eine Basis aus zufälligen Vektoren.

Question 24

Welche der folgenden Aussagen über Eigenwerte ist korrekt?

Accepted Answer

Ein Eigenwert ist eine skalare Größe, die, multipliziert mit einem Eigenvektor, einen Vektor in die Richtung des Eigenvektors abbildet.

Answer

Ein Eigenwert gibt an, wie viele Eigenvektoren eine Matrix hat.

Answer

Ein Eigenwert ist eine komplexe Zahl mit Real- und Imaginärteil.

Question 25

Was ist die Spur einer Matrix?

Accepted Answer

Die Summe der Hauptdiagonalelemente einer Matrix

Answer

Die Determinante ihrer Adjungierten Matrix

Answer

Die Summe ihrer Nebendiagonalelemente

Answer

Die Summe ihrer Eigenwerte

Question 26

Berechnen Sie die Determinante der Matrix A = [[2, 1], [-1, 2]]

Accepted Answer

5

Answer

2

Answer

1

Answer

0

Question 27

Was ist der geometrische Sinn eines Eigenvektors?

Accepted Answer

Er beschreibt die Richtung, in die ein Vektor unter einer linearen Transformation skaliert wird.

Answer

Er beschreibt den Winkel, um den ein Vektor unter einer linearen Transformation gedreht wird.

Answer

Er beschreibt den Skalar, um den ein Vektor unter einer linearen Transformation skaliert wird.

Question 28

Welche Aussage zu Eigenwerten ist korrekt?

Accepted Answer

Sie sind die Lösungen der charakteristischen Gleichung einer Matrix.

Answer

Sie sind die Zeilenvektoren der Matrix.

Answer

Sie sind die Spaltenvektoren der Matrix.

Question 29

Welche Aussage zu Eigenvektoren ist korrekt?

Accepted Answer

Sie sind die Vektoren, die sich bei Multiplikation mit der Matrix nur durch einen Faktor ändern.

Answer

Sie sind die Vektoren mit dem größten Betrag unter den Zeilenvektoren der Matrix.

Answer

Sie sind die Vektoren mit dem kleinsten Betrag unter den Spaltenvektoren der Matrix.

Question 30

Wie lautet die charakteristische Gleichung für die Matrix A = 
[2 1]
[0 2]?

Accepted Answer

(2 - λ)² - 1 = 0

Answer

(2 - λ)² + 1 = 0

Answer

(2 + λ)² + 1 = 0

Answer

(2 + λ)² - 1 = 0

Question 31

Was ist eine wichtige Eigenschaft der Diagonalform einer Matrix?

Accepted Answer

Sie enthält die Eigenwerte der Matrix auf der Hauptdiagonale.

Answer

Sie ist immer eine symmetrische Matrix.

Answer

Sie enthält die Eigenvektoren der Matrix auf der Hauptdiagonale.

Question 32

Welche der folgenden Matrizen repräsentiert eine Drehung im zweidimensionalen Raum?

Accepted Answer

A = 
[cos(θ) -sin(θ)]
[sin(θ) cos(θ)]

Answer

A = 
[1 0]
[0 1]

Answer

A = 
[0 1]
[1 0]

Answer

A = 
[2 1]
[0 2]

Question 33

Was ist eine wesentliche Eigenschaft einer unitären Matrix?

Accepted Answer

Ihr Inverse ist gleich ihrer adjungierten Matrix.

Answer

Sie ist immer eine symmetrische Matrix.

Answer

Sie hat nur positive Eigenwerte.

Answer

Sie hat nur reelle Eigenwerte.

Question 34

Welche Aussage zu hermiteschen Matrizen ist korrekt?

Accepted Answer

Ihre Eigenwerte sind immer reell.

Answer

Sie haben nur positive Eigenvektoren.

Answer

Ihre Determinante ist immer ungleich null.

Answer

Sie sind immer invertierbar.

Question 35

Welche der folgenden Aussagen über Diagonalisierbarkeit von Matrizen ist falsch?

Accepted Answer

Jede Matrix ist diagonalisierbar

Answer

Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn sie invertierbar ist

Answer

Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn sie symmetrisch ist

Answer

Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn sie reelle Eigenwerte besitzt

Question 36

Welche der folgenden Matrizen ist nicht symmetrisch?

Accepted Answer

A = [[1, 2], [3, 4]]

Answer

A = [[1, 1], [1, 1]]

Answer

A = [[1, 0], [0, 1]]

Answer

A = [[2, 1], [1, 2]]

Question 37

Welche der folgenden Aussagen über Eigenwerte und Eigenvektoren ist falsch?

Accepted Answer

Die Eigenwerte einer Matrix sind immer eindeutig bestimmt

Answer

Die Eigenvektoren einer Matrix bilden eine Basis des zugehörigen Vektorraumes

Answer

Die Eigenvektoren einer Matrix sind nicht eindeutig bestimmt

Question 38

Welche der folgenden Aussagen über Eigenwerte ist korrekt?

Accepted Answer

Eigenwerte sind skalare Werte, die die Skalierung der Eigenvektoren angeben.

Answer

Eigenwerte sind Vektoren, die die Richtung der Eigenvektoren angeben.

Answer

Eigenwerte sind immer reell.

Question 39

Welche der folgenden Matrizen ist diagonalisierbar?

Accepted Answer

Eine Matrix mit n linear unabhängigen Eigenvektoren.

Answer

Eine Matrix, deren Eigenvektoren nicht orthogonal sind.

Answer

Eine Matrix mit mehrfachen Eigenwerten.

Question 40

Was ist die Spur einer Matrix?

Accepted Answer

Die Summe ihrer Diagonalelemente

Answer

Die Summe ihrer Eigenwerte

Answer

Die Anzahl ihrer Zeilen

Answer

Die Determinante ihrer Diagonalelemente

Question 41

Was ist der Rang einer Matrix?

Accepted Answer

Die Anzahl ihrer linear unabhängigen Zeilen (oder Spalten)

Answer

Die Summe ihrer Eigenwerte

Answer

Die Anzahl ihrer Eigenvektoren

Question 42

Welche der folgenden Aussagen über Eigenvektoren ist richtig?

Accepted Answer

Eigenvektoren sind linear unabhängig.

Answer

Eigenvektoren sind immer orthogonal.

Answer

Eigenvektoren sind immer normiert.

Question 43

Welche der folgenden Aussagen über Eigenwerte ist falsch?

Accepted Answer

Eigenwerte können nur ganzzahlig sein.

Answer

Eigenwerte sind charakteristisch für eine Matrix.

Answer

Eigenwerte können reell oder komplex sein.

Answer

Eigenwerte sind Lösungen der charakteristischen Gleichung.

Question 44

Welche der folgenden Aussagen über Eigenwerte ist FALSCH?

Accepted Answer

Eigenwerte sind immer reelle Zahlen.

Answer

Die Summe der Eigenwerte einer Matrix ist gleich ihrer Spur.

Answer

Das Produkt der Eigenwerte einer Matrix ist gleich ihrer Determinante.

Answer

Eigenwerte können mehrfach auftreten.

Question 45

Wie lässt sich ein Eigenvektor geometrisch interpretieren?

Accepted Answer

Ein Vektor, der seine Richtung unter der Transformation durch die Matrix nicht ändert.

Answer

Ein Vektor, der auf den Nullvektor abgebildet wird.

Answer

Ein Vektor, der orthogonal zu allen anderen Eigenvektoren ist.

Question 46

Wann ist eine Matrix diagonalisierbar?

Accepted Answer

Wenn sie n linear unabhängige Eigenvektoren besitzt (n = Dimension der Matrix).

Answer

Wenn ihre Determinante ungleich Null ist.

Answer

Wenn sie nur positive Eigenwerte hat.

Question 47

Welche Aussage über die Diagonalisierung einer Matrix ist FALSCH?

Accepted Answer

Die Diagonalmatrix enthält die Eigenvektoren der ursprünglichen Matrix.

Answer

Die Transformationsmatrix besteht aus den Eigenvektoren der ursprünglichen Matrix.

Answer

Die Diagonalmatrix enthält die Eigenwerte der ursprünglichen Matrix.

Question 48

Was ist der Hauptvorteil der Diagonalisierung einer Matrix in der Praxis?

Accepted Answer

Sie vereinfacht viele Berechnungen, z. B. die Potenzierung der Matrix.

Answer

Sie liefert eine eindeutige Darstellung der Matrix.

Answer

Sie ermöglicht die Berechnung der Inversen der Matrix.

Question 49

Eine Matrix D hat den Eigenwert λ = 0. Was lässt sich über die Determinante von D aussagen?

Accepted Answer

Die Determinante von D ist 0.

Answer

Die Determinante von D ist positiv.

Answer

Die Determinante von D ist 1.

Answer

Es kann keine Aussage über die Determinante von D getroffen werden.

Question 50

Welche Aussage über Eigenwerte ist korrekt?

Accepted Answer

Eigenwerte sind skalare Größen, die die Skalierung von Eigenvektoren beschreiben.

Answer

Eigenwerte sind Vektoren, die die Richtung von Eigenvektoren angeben.

Answer

Eigenwerte sind skalare Größen, die die Richtung von Eigenvektoren angeben.

Question 51

Sei A eine nxn-Matrix. Welcher Ausdruck definiert den Eigenwert λ von A?

Accepted Answer

det(A - λI) = 0

Answer

det(A + λA) = 0

Answer

det(A - λA) = 0

Answer

det(A + λI) = 0

Question 52

Welche Aussage über die Diagonalisierbarkeit von Matrizen ist wahr?

Accepted Answer

Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn sie n linear unabhängige Eigenvektoren besitzt.

Answer

Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn sie eine symmetrische Matrix ist.

Answer

Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn sie keine komplexen Eigenwerte besitzt.

Question 53

Sei A eine diagonalisierbare Matrix mit den Eigenwerten λ1, λ2, ..., λn. Welche Matrix ist ähnlich zu A?

Accepted Answer

PΛP⁻¹

Answer

Λ⁻¹P⁻¹P

Answer

PΛ⁻¹P

Answer

ΛP⁻¹P

Question 54

Welche Matrix ist nicht diagonalisierbar?

Accepted Answer

Eine Matrix mit komplexen Eigenwerten, die nicht paarweise konjugiert komplex sind.

Answer

Eine symmetrische Matrix.

Answer

Eine Matrix mit n linear unabhängigen Eigenvektoren.

Question 55

Sei A eine Matrix mit den Eigenwerten λ1 und λ2. Welche Aussage ist richtig?

Accepted Answer

Die Spur von A ist λ1 + λ2.

Answer

Die Determinante von A ist λ1 - λ2.

Answer

Der Rang von A ist λ1.

Answer

Die Eigenvektoren von A sind orthogonal zueinander.

Question 56

Welche Anwendung von Eigenwerten und Eigenvektoren ist korrekt?

Accepted Answer

Lösung von Differentialgleichungen.

Answer

Berechnung von Integralen.

Answer

Ermittlung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

Question 57

Welche der folgenden Aussagen über Eigenwerte ist **falsch**?

Accepted Answer

Eigenwerte sind immer positiv.

Answer

Eigenwerte können reell oder komplex sein.

Answer

Eigenwerte repräsentieren die Skalierungsfaktoren von Eigenvektoren.

Question 58

Welche Gleichung beschreibt die Beziehung zwischen einer Matrix A, einem Eigenvektor v und dem zugehörigen Eigenwert λ?

Accepted Answer

Av = λv

Answer

A + v = λv

Answer

Av = v + λ

Answer

A - v = λv

Question 59

Berechnen Sie die Eigenwerte der Matrix A = [[2, 1], [1, 2]]

Accepted Answer

λ1 = 3, λ2 = 1

Answer

λ1 = 4, λ2 = 0

Answer

λ1 = 2, λ2 = 1

Answer

λ1 = 1, λ2 = 2

Question 60

Welche der folgenden Matrizen ist **nicht** diagonalisierbar?

Accepted Answer

[[1, 1], [0, 1]]

Answer

[[3, 1], [0, 3]]

Answer

[[2, 0], [0, 3]]

Answer

[[1, 2], [2, 1]]

Question 61

Was ist die Diagonalmatrix D, die durch Diagonalisierung der Matrix A = [[2, 1], [1, 2]] entsteht?

Accepted Answer

[[3, 0], [0, 1]]

Answer

[[2, 0], [0, 2]]

Answer

[[4, 0], [0, 0]]

Answer

[[1, 0], [0, 3]]

Question 62

Eine lineare Transformation mit einer Matrix A wird durch eine Diagonalmatrix D dargestellt, wenn ...

Accepted Answer

... die Basisvektoren Eigenvektoren von A sind.

Answer

... die Matrix A invertierbar ist.

Answer

... alle Eigenwerte von A gleich sind.

Answer

... A eine symmetrische Matrix ist.

Question 63

Welche der folgenden Aussagen über Eigenvektoren ist **richtig**?

Accepted Answer

Eigenvektoren sind linear unabhängig.

Answer

Eigenvektoren sind immer orthogonal.

Answer

Eigenvektoren sind immer normiert.

Answer

Eigenvektoren sind immer positiv.

Question 64

Wenn die Eigenwerte einer Matrix A alle negativ sind, dann ist das System, das durch A beschrieben wird, ...

Accepted Answer

... asymptotisch stabil.

Answer

... instabil.

Answer

... chaotisch.

Answer

... periodisch.