Grenzwerte und Stetigkeit: Online-Quiz für Mathematik-Studierende

Question 1

Bestimme den Grenzwert, der NICHT existiert:

Accepted Answer

lim (x->∞) (sin(x))

Answer

lim (x->0) (x^2 + 1)

Answer

lim (x->1) (1/x - 1)

Answer

lim (x->2) (x^3 - 8)

Question 2

Gib das Paar an, das den Limes superior und den Limes inferior der Funktion f(x) = 1/(x-1) für x->1 darstellt:

Accepted Answer

(-∞, +∞)

Answer

(+∞, -∞)

Answer

(+∞, +∞)

Answer

(-∞, -∞)

Question 3

Welche Aussage zur Funktion f(x) = (x^2 - 4) / (x - 2) ist falsch?

Accepted Answer

f(x) ist bei x = 2 nicht stetig.

Answer

lim (x->2) f(x) = 4

Answer

lim (x->∞) f(x) = +∞

Answer

lim (x->-∞) f(x) = -∞

Question 4

Welche Bedingung muss eine Funktion f(x) an der Stelle c erfüllen, um dort stetig zu sein?

Accepted Answer

f(c) existiert und der Grenzwert von f(x) für x gegen c ist gleich f(c)

Answer

Der Grenzwert von f(x) für x gegen c existiert, aber f(c) existiert nicht

Answer

f(c) existiert, aber der Grenzwert von f(x) für x gegen c existiert nicht

Answer

Weder f(c) noch der Grenzwert von f(x) für x gegen c existieren

Question 5

Eine Funktion f(x) ist an der Stelle x0 genau dann stetig, wenn:

Accepted Answer

f(x0) existiert und lim(x -> x0) f(x) = f(x0).

Answer

f(x) ist an der Stelle x0 differenzierbar.

Answer

f(x) ist an der Stelle x0 integrierbar.

Answer

f(x) ist an der Stelle x0 stetig differenzierbar.

Question 6

Welcher der folgenden Limes superiores existiert?

Accepted Answer

lim sup(x -> ∞) x^2 / (x^2 + 1)

Answer

lim sup(x -> 0+) 1 / x

Answer

lim sup(x -> -∞) e^x

Answer

lim sup(x -> π/2) cot(x)

Question 7

Die Funktion f(x) = |x| ist:

Accepted Answer

stückweise stetig in R.

Answer

stetig in R.

Answer

stetig in R\{0}

Answer

nicht stetig in R.

Question 8

Welche der folgenden Funktionen ist nicht stetig differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x^3

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = ln(x)

Question 9

Die Funktion f(x) = { x^2, wenn x rational \ 0, wenn x irrational } ist:

Accepted Answer

stetig, aber nicht differenzierbar

Answer

differenzierbar, aber nicht stetig

Answer

stetig und differenzierbar

Answer

weder stetig noch differenzierbar

Question 10

Bestimme den Grenzwert von f(x) = x² - 1 für x gegen unendlich.

Accepted Answer

unendlich

Answer

-1

Answer

0

Answer

-unendlich

Question 11

Welche der aufgeführten Funktionen weist eine vertikale Asymptote bei x = 3 auf?

Accepted Answer

f(x) = 1/(x - 3)

Answer

f(x) = (x - 3)²

Answer

f(x) = x³ - 3x

Answer

f(x) = e^(x - 3)

Question 12

Bestimme den Limes inferior der Folge (a_n) = n/(n + 1).

Accepted Answer

0

Answer

1

Answer

unendlich

Answer

-unendlich

Question 13

Welche der folgenden Funktionen besitzt eine horizontale Asymptote bei y = 2?

Accepted Answer

f(x) = e^(-x) + 2

Answer

f(x) = (2x + 1)/(x - 1)

Answer

f(x) = x³ - 2x

Answer

f(x) = arctan(x + 2)

Question 14

Welcher Grenzwert ergibt sich für f(x) = sqrt(x - 1) für x gegen 1?

Accepted Answer

Der Grenzwert ist 1.

Answer

Der Grenzwert ist 0.

Answer

Der Grenzwert ist unendlich.

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Question 15

Berechne den Limes superior von f(x) = sin(x) für x gegen 0.

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

-1

Answer

Unendlich

Question 16

Welche Aussage trifft auf die Funktion f(x) = 1/x mit x > 0 zu?

Accepted Answer

Die Funktion hat einen Pol an der Stelle x = 0.

Answer

Die Funktion ist differenzierbar an der Stelle x = 0.

Answer

Die Funktion hat eine Nullstelle an der Stelle x = 0.

Answer

Die Funktion ist stetig an der Stelle x = 0.

Question 17

Welche Funktion ist nicht stetig auf ihrem Definitionsbereich?

Accepted Answer

f(x) = |x| + 1

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x³

Question 18

Welche Eigenschaft erfüllt die Funktion f(x) = cos(x) nicht?

Accepted Answer

Sie ist injektiv.

Answer

Sie ist stetig.

Answer

Sie ist periodisch.

Question 19

Berechne den Grenzwert von f(x) = (x - 2) / (x^2 - 4) für x gegen 2.

Accepted Answer

1/4

Answer

Unendlich

Answer

1/2

Answer

0

Question 20

Welche Aussage beschreibt den Grenzwert von f(x) = (x^3 - 8) / (x - 2) für x gegen 2?

Accepted Answer

Der Grenzwert existiert und ist gleich 12.

Answer

Der Grenzwert ist unendlich.

Answer

Der Grenzwert ist Null.

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Question 21

Welche der folgenden Funktionen ist nicht stetig an der Stelle x = 1?

Accepted Answer

f(x) = |x-1|

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = x^2

Question 22

Berechnen Sie den Limes superior und inferior von f(x) = (-1)^x für x gegen unendlich.

Accepted Answer

-1, 1

Answer

1, 1

Answer

-1, -1

Answer

Nicht existent, nicht existent

Question 23

Welche der folgenden Funktionen hat eine vertikale Asymptote bei x = 2?

Accepted Answer

f(x) = (x-2)/(x^2-4)

Answer

f(x) = e^(x-2)

Answer

f(x) = x^2 + 2x

Question 24

Welche der folgenden Funktionen ist nicht differenzierbar an der Stelle x = 0?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = x^3

Answer

f(x) = sin(x)

Question 25

Welche Aussage über die Funktion f(x) = cos(x) ist korrekt?

Accepted Answer

f(x) ist stetig und differenzierbar für alle x.

Answer

f(x) ist differenzierbar, aber nicht stetig.

Answer

f(x) ist weder stetig noch differenzierbar.

Answer

f(x) ist stetig, aber nicht differenzierbar.

Question 26

Welche der folgenden Funktionen hat eine horizontale Asymptote bei y = 2?

Accepted Answer

f(x) = (2x+1)/(x-1)

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x^2 + 2x

Answer

f(x) = e^(x-2)

Question 27

Überprüfen Sie die Stetigkeit der Funktion f(x) = { x² für x ≤ 0, -x² für x > 0} an der Stelle x = 0.

Accepted Answer

nicht stetig

Answer

stetig

Answer

stetig von links

Answer

stetig von rechts

Question 28

Sei f(x) = 1 / (x - 2). Berechnen Sie den Grenzwert von f(x) für x gegen 2 von links und von rechts.

Accepted Answer

unendlich, -unendlich

Answer

0, 0

Answer

unendlich, unendlich

Answer

-unendlich, -unendlich

Question 29

Welche der folgenden Funktionen ist an keiner Stelle differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x³

Question 30

Welche der folgenden Aussagen über die Grenzwertdefinition ist korrekt?

Accepted Answer

Für jedes ε > 0 existiert ein δ > 0, sodass für alle x mit 0 < |x - a| < δ gilt |f(x) - L| < ε.

Answer

Für jedes δ > 0 existiert ein ε > 0, sodass für alle x mit |f(x) - L| < δ gilt |x - a| < ε.

Answer

Für jedes L ∈ ℝ existiert ein ε > 0, sodass für alle x mit |x - a| < ε gilt |f(x) - L| < δ.

Question 31

Ermitteln Sie den Grenzwert der Folge a_n = (n + 1) / (2n - 1) für n gegen unendlich.

Accepted Answer

1/2

Answer

1

Answer

Unendlich

Answer

0

Question 32

Welche Aussage über die Funktion f(x) = 1 / (x - 2) ist korrekt?

Accepted Answer

f(x) hat eine Polstelle bei x = 2.

Answer

Der Grenzwert von f(x) für x gegen 2 existiert.

Answer

f(x) ist stetig an der Stelle x = 2.

Question 33

Bestimmen Sie den Grenzwert von f(x) = (x² - 1) / (x - 1) für x gegen 1.

Accepted Answer

2

Answer

0

Answer

1

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Question 34

Betrachten Sie die Funktion f(x) = |x|. Welche Aussage ist zutreffend?

Accepted Answer

f(x) ist stetig, aber nicht differenzierbar an der Stelle x = 0.

Answer

f(x) ist nicht stetig an der Stelle x = 0.

Answer

f(x) ist differenzierbar an der Stelle x = 0.

Question 35

Ermitteln Sie den Limes superior der Folge a_n = (-1)ⁿ + 1/n.

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

-1

Answer

Unendlich

Question 36

Die Funktion f(x) = x³ + 2x besitzt welche Eigenschaft?

Accepted Answer

Stetig auf ganz R.

Answer

Nur stetig für x < 0.

Answer

Nur stetig für x > 0.

Answer

Unstetig für alle x.

Question 37

Welche Aussage über stetige Funktionen ist FALSCH?

Accepted Answer

Eine stetige Funktion muss an jeder Stelle differenzierbar sein.

Answer

Das Produkt zweier stetiger Funktionen ist stetig.

Answer

Die Summe zweier stetiger Funktionen ist stetig.

Question 38

Eine Funktion f(x) besitzt einen Grenzwert L für x gegen a, wenn...

Accepted Answer

...sich die Funktionswerte f(x) beliebig nah an L annähern, wenn x ausreichend nah an a heranrückt.

Answer

...f(a) = L.

Answer

...f(x) für x = a definiert ist.

Question 39

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 0 unstetig?

Accepted Answer

f(x) = 1/x für x ≠ 0, f(0) = 0

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x<sup>2</sup>

Question 40

Welche Aussage über Grenzwerte von Funktionen ist FALSCH?

Accepted Answer

Der Grenzwert einer Funktion existiert immer.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion kann ein endlicher Wert sein.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion kann von der Richtung abhängen, aus der man sich dem Punkt nähert.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion kann unendlich sein.

Question 41

Eine Funktion f(x) ist an der Stelle x = a stetig, wenn folgender Bedingung erfüllt ist:

Accepted Answer

Der Grenzwert von f(x) für x → a existiert und ist gleich f(a).

Answer

f(x) ist an der Stelle x = a differenzierbar.

Answer

f(x) ist an der Stelle x = a monoton.

Answer

f(x) ist an der Stelle x = a definiert.

Question 42

Bestimmen Sie den Limes superior der Folge (an) = (-1)^n.

Accepted Answer

1

Answer

Die Folge hat keinen Limes superior.

Answer

0

Answer

-1

Question 43

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 0 nicht stetig?

Accepted Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 44

Was ist der Grenzwert der Funktion f(x) = (sin(x))/x für x → 0?

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

∞

Answer

-1

Question 45

Welche Aussage zur Funktion f(x) = |x| ist korrekt?

Accepted Answer

f(x) ist im Punkt x = 0 nicht differenzierbar.

Answer

Die Funktion f(x) ist nirgends differenzierbar.

Answer

Die Funktion f(x) ist überall differenzierbar.

Answer

f(x) ist im Punkt x = 0 stetig differenzierbar.

Question 46

Welcher Grenzwert gilt für die Funktion f(x) = (e^x - 1) / x für x gegen 0?

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

e

Answer

∞

Question 47

Welche Funktion hat im Punkt x = 0 einen Pol zweiter Ordnung?

Accepted Answer

f(x) = 1 / x^2

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = 1 / x

Answer

f(x) = e^x

Question 48

Welche Aussage zur Funktion f(x) = sqrt(x^2 - 1) ist korrekt?

Accepted Answer

Die Funktion f(x) ist im Punkt x = 1 nicht differenzierbar.

Answer

Die Funktion f(x) ist überall differenzierbar.

Answer

Die Funktion f(x) ist nur im Punkt x = 0 nicht differenzierbar.

Question 49

Welche Aussage zur Funktion f(x) = |x - 2| ist korrekt?

Accepted Answer

Die Funktion f(x) ist im Punkt x = 2 nicht stetig differenzierbar.

Answer

Die Funktion f(x) ist nur im Punkt x = 2 nicht stetig.

Answer

Die Funktion f(x) ist überall stetig differenzierbar.

Question 50

Bestimmen Sie den Grenzwert der Funktion f(x) = (x² - 1) / (x - 1) für x gegen 1.

Accepted Answer

2

Answer

Unendlich

Answer

0

Answer

1

Question 51

Welche der folgenden Aussagen ist für eine Funktion f(x) äquivalent zur Stetigkeit an der Stelle x₀?

Accepted Answer

Der Limes von f(x) für x gegen x₀ existiert und ist gleich f(x₀).

Answer

Der Graph der Funktion hat keinen Sprung an der Stelle x₀.

Answer

Die Funktion ist an der Stelle x₀ differenzierbar.

Question 52

Berechnen Sie den Limes superior von f(x) = (-1)^x für x gegen unendlich.

Accepted Answer

1

Answer

-1

Answer

0

Answer

Unendlich

Question 53

Welche der folgenden Funktionen ist an allen reellen Zahlen stetig?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = 1 / x

Answer

f(x) = x² - 1

Answer

f(x) = sin(x)

Question 54

Welcher der folgenden Grenzwerte existiert nicht?

Accepted Answer

lim[x->0] (sin(x) / x²)

Answer

lim[x->2] (x² - 4x + 4)

Answer

lim[x->1] ((x - 1) / (x² - 1))

Answer

lim[x->0] (cos(x) / x)

Question 55

Berechnen Sie den Limes inferior von f(x) = (x³ + 1) / (|x| + 1) für x gegen -1.

Accepted Answer

-1

Answer

1

Answer

0

Answer

-2

Question 56

Welche der folgenden Aussagen ist richtig für eine Funktion f(x) mit einer hebbaren Unstetigkeit an der Stelle x₀?

Accepted Answer

Der Limes von f(x) für x gegen x₀ existiert.

Answer

Der Graph der Funktion hat einen Sprung an der Stelle x₀.

Answer

Die Funktion ist an der Stelle x₀ integrierbar.

Answer

Die Funktion ist an der Stelle x₀ differenzierbar.

Question 57

Berechnen Sie den Grenzwert von f(x) = (√(x + 1) - 1) / (x - 1) für x gegen 1.

Accepted Answer

1/2

Answer

0

Answer

1

Answer

Unendlich

Question 58

Welche der folgenden Funktionen ist an allen reellen Zahlen außer x = 0 stetig?

Accepted Answer

f(x) = 1 / (x - 2)

Answer

f(x) = x³ - 1

Answer

f(x) = cot(x)

Answer

f(x) = tan(x)

Question 59

Berechnen Sie den Limes superior von f(x) = x sin(1/x) für x gegen 0.

Accepted Answer

1

Answer

Unendlich

Answer

-1

Answer

0

Question 60

Welche der folgenden Aussagen über den Grenzwert einer Funktion ist FALSCH?

Accepted Answer

Der Grenzwert einer Funktion existiert immer, unabhängig von der Stelle, an der er bestimmt wird.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion kann existieren, auch wenn die Funktion an der Stelle selbst nicht definiert ist.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion ist der Wert, dem sich die Funktionswerte nähern, wenn die unabhängige Variable gegen einen bestimmten Wert konvergiert.

Question 61

Betrachten Sie die Funktion f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1). Welchen Wert hat der Grenzwert von f(x) für x → 1?

Accepted Answer

2

Answer

0

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Answer

1

Question 62

Welche der folgenden Bedingungen muss erfüllt sein, damit eine Funktion f(x) an der Stelle x = a stetig ist?

Accepted Answer

f(a) ist definiert, der Grenzwert von f(x) für x → a existiert und der Grenzwert ist gleich f(a).

Answer

f(a) ist definiert und der Grenzwert von f(x) für x → a existiert.

Answer

Der Grenzwert von f(x) für x → a existiert und der Grenzwert ist gleich f(a).

Question 63

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 0 NICHT stetig?

Accepted Answer

f(x) = 1 / x

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = sin(x)

Question 64

Betrachten Sie die Folge a_n = (n + 1) / n. Was ist der Grenzwert dieser Folge für n → ∞?

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

∞

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.