Vektorräume verstehen: Interaktive Lernquizzes für die Qualifikationsphase 2

Question 1

Welche der folgenden Aussagen trifft auf eine Basis eines Vektorraums zu?

Accepted Answer

Sie erfüllt alle drei Bedingungen.

Answer

Sie ist linear unabhängig.

Answer

Sie ist minimal.

Answer

Sie ist vollständig.

Question 2

Welche der folgenden Abbildungen ist linear?

Accepted Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = x³

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = sin(x)

Question 3

Welche der folgenden Aussagen beschreibt einen Vektorraum?

Accepted Answer

Eine Menge von Vektoren mit einer Additionsoperation und einer skalaren Multiplikation

Answer

Eine Menge von Skalaren mit einer Multiplikationsoperation.

Answer

Eine Menge von Matrizen mit einer Additions- und Multiplikationsoperation.

Answer

Eine Menge von beliebigen Objekten mit einer wohldefinierten Operation.

Question 4

Welche der folgenden Mengen ist linear unabhängig?

Accepted Answer

{(1, 0), (0, 1), (1, 1)}

Answer

{(1, 2), (2, 4), (3, 6)}

Answer

{(0, 0), (1, 1), (2, 2)}

Answer

{(1, -1), (2, 1), (3, 0)}

Question 5

Welche der folgenden Mengen ist eine Basis für den Vektorraum R³?

Accepted Answer

{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}

Answer

{(1, 2, 3), (2, 4, 6), (3, 6, 9)}

Answer

{(0, 0, 0), (1, 1, 1), (2, 2, 2)}

Answer

{(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0)}

Question 6

Welche der folgenden Aussagen über die Dimension eines Vektorraums ist wahr?

Accepted Answer

Sie ist die Anzahl der linear unabhängigen Vektoren in einer Basis.

Answer

Sie ist die Anzahl der Vektoren im Vektorraum.

Answer

Sie ist die Anzahl der Dimensionen des Raums, in dem der Vektorraum eingebettet ist.

Answer

Sie ist immer gleich der Anzahl der Komponenten eines Vektors im Vektorraum.

Question 7

Was ist der Nullvektor in einem Vektorraum?

Accepted Answer

Der Vektor, der zu jedem anderen Vektor addiert 0 ergibt.

Answer

Der Vektor mit allen Komponenten gleich 0.

Answer

Der Vektor, der mit jedem anderen Vektor multipliziert 0 ergibt.

Answer

Der Vektor, der mit sich selbst addiert 0 ergibt.

Question 8

Welche der folgenden Aussagen über Teilräume ist falsch?

Accepted Answer

Ein Teilraum kann einelementig sein.

Answer

Ein Teilraum ist eine Untermenge eines Vektorraums.

Answer

Ein Teilraum ist selbst ein Vektorraum.

Answer

Der Nullraum einer linearen Abbildung ist ein Teilraum.

Question 9

Was ist die Spannweite einer Menge von Vektoren?

Accepted Answer

Die Menge aller Linearkombinationen der Vektoren.

Answer

Die Menge aller Vektoren, die durch die Vektoren erzeugt werden können.

Answer

Die Menge aller Vektoren, die parallel zu den Vektoren sind.

Answer

Die Menge aller Vektoren, die orthogonal zu den Vektoren sind.

Question 10

Was ist der Kern einer linearen Abbildung?

Accepted Answer

Die Menge aller Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden.

Answer

Die Menge aller Vektoren, die auf einen beliebigen Vektor abgebildet werden.

Answer

Die Menge aller Vektoren, die auf sich selbst abgebildet werden.

Answer

Die Menge aller Vektoren, die auf den Einheitsvektor abgebildet werden.

Question 11

Sei B = {v1, v2} eine Basis eines zweidimensionalen Vektorraums V. Welcher Vektor gehört nicht zu V?

Accepted Answer

v1 + v2²

Answer

3v1 + 2v2

Answer

-v1 + 4v2

Answer

0

Question 12

Welche Aussagen treffen auf lineare Abbildungen zu?

Accepted Answer

Alle drei Aussagen sind richtig.

Answer

Der Kern einer linearen Abbildung ist ein Untervektorraum des Definitionsbereichs.

Answer

Das Bild einer linearen Abbildung ist ein Untervektorraum des Zielbereichs.

Answer

Der Nullraum einer linearen Abbildung ist ein Untervektorraum des Definitionsbereichs.

Question 13

Wie viele Vektoren benötigt man mindestens, um einen Vektorraum der Dimension n zu erzeugen?

Accepted Answer

n

Answer

n-1

Answer

n+1

Answer

2n

Question 14

Welche Aussage gilt für Untervektorräume?

Accepted Answer

Alle drei Aussagen sind richtig.

Answer

Jeder Vektor in einem Untervektorraum ist auch ein Vektor im übergeordneten Vektorraum.

Answer

Die Summe zweier Vektoren in einem Untervektorraum ist auch ein Vektor in diesem Untervektorraum.

Answer

Das Vielfache eines Vektors in einem Untervektorraum mit einem Skalar ist auch ein Vektor in diesem Untervektorraum.

Question 15

Welche Aussage ist äquivalent dazu, dass eine lineare Abbildung T: V → V invertierbar ist?

Accepted Answer

T ist bijektiv.

Answer

T ist injektiv.

Answer

T ist surjektiv.

Answer

T ist eine Isometrie.

Question 16

Bestimmen Sie eine Basis des Untervektorraums von R³ mit den Vektoren v₁ = (1, 0, 1), v₂ = (0, 1, 1), v₃ = (1, 1, 2).

Accepted Answer

{(1, 0, 1), (0, 1, 1)}

Answer

{(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 2)}

Answer

{(1, 0, 1), (0, 1, 0)}

Answer

{(1, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 1, 2)}

Question 17

Prüfen Sie, ob die Menge {(1, 2, 1), (2, 3, 1), (3, 4, 1)} ein Erzeugendensystem für R³ bildet.

Accepted Answer

Ja

Answer

Nein

Answer

Ja, aber nur für positive Skalare

Answer

Ja, aber nur für negative Skalare

Question 18

Berechnen Sie die Dimension des Vektorraums aller 2x2-Matrizen mit Determinante 0.

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

3

Answer

4

Question 19

Berechnen Sie den Rang der Matrix A = ((1, 2, 3), (2, 4, 6), (3, 6, 9)).

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

3

Question 20

Welche der folgenden Transformationen ist linear?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 1

Answer

f(x) = x³

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = |x|

Question 21

Eine Menge S in einem Vektorraum V heißt linear abhängig, wenn es Skalare α_1, ..., α_n gibt, nicht alle Null, sodass α_1v_1 + ... + α_nv_n = 0 gilt.

Accepted Answer

Richtig

Answer

Falsch

Question 22

Eine Basis B eines Vektorraums V ist eine Menge von Vektoren in V, die folgende Eigenschaften erfüllt:

Accepted Answer

Sie sind linear unabhängig und spannen V auf.

Answer

Sie sind linear abhängig und spannen V nicht auf.

Answer

Sie sind linear unabhängig und spannen V nicht auf.

Answer

Sie sind linear abhängig und spannen V auf.

Question 23

Welche der folgenden Aussagen über Basen ist richtig?

Accepted Answer

Jeder Vektorraum besitzt mindestens eine Basis.

Answer

Jeder Vektorraum besitzt genau eine Basis.

Answer

Die Anzahl der Vektoren in einer Basis ist für jeden Vektorraum gleich.

Answer

Basen sind immer linear abhängig.

Question 24

Welche der folgenden Mengen ist eine Basis für den Vektorraum R³?

Accepted Answer

{ (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) }

Answer

{ (1, 1, 1), (1, 0, 0), (0, 0, 1) }

Answer

{ (1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9) }

Answer

{ (1, 0, 0), (0, 1, 1), (0, 0, 0) }

Question 25

Ein Vektorraum mit der Dimension n besitzt eine Basis mit n Vektoren.

Accepted Answer

Richtig

Answer

Falsch

Question 26

Welche der folgenden Abbildungen ist linear?

Accepted Answer

g(x) = 2x + 1

Answer

f(x) = x²

Answer

h(x) = |x|

Answer

k(x) = sin(x)

Question 27

Die Menge der nxn-Matrizen mit reellen Koeffizienten bildet einen Vektorraum.

Accepted Answer

Richtig

Answer

Falsch

Question 28

Sei B = {[1, 2], [3, 1]} eine Basis für einen Vektorraum V. Welche der folgenden linearen Kombinationen ist NICHT in V?

Accepted Answer

1[1, 2] + 2[3, 1] - [0, 1]

Answer

2[1, 2] + 3[3, 1]

Answer

1[1, 2] - 4[3, 1]

Answer

3[1, 2] - 1[3, 1]

Question 29

Welche der folgenden Abbildungen ist ein linearer Operator?

Accepted Answer

T(v) = 2v

Answer

T(v) = v^2

Answer

T(v) = v_1

Answer

T(v) = v + [1, 0]

Question 30

Sei V der Vektorraum der Polynome zweiten Grades. Welcher der folgenden Untervektorräume ist ein echter Untervektorraum?

Accepted Answer

Die Menge aller Polynome, die an der Stelle x = 0 den Wert 0 annehmen

Answer

Die Menge aller Polynome, die den Grad 2 haben

Answer

Die Menge aller Polynome, die positive Koeffizienten haben

Answer

Die Menge aller Polynome, die an der Stelle x = 1 den Wert 1 annehmen

Question 31

In einem euklidischen Vektorraum ist der Abstand zwischen zwei Vektoren v und w definiert als:

Accepted Answer

||v - w|| = sqrt((v - w)^T * (v - w))

Answer

||v - w||^2 = v^T * v + w^T * w

Answer

||v - w|| = v^T * w

Answer

||v - w||^2 = (v - w)^T * (v - w)

Question 32

Welche der folgenden Aussagen beschreibt korrekt einen Vektorraum?

Accepted Answer

Eine Menge von Vektoren, die unter Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist.

Answer

Eine Menge von Skalaren, die unter Addition und Multiplikation abgeschlossen ist.

Answer

Eine Menge von Vektoren, die unter Multiplikation abgeschlossen ist.

Answer

Eine Menge von Skalaren, die unter Addition abgeschlossen ist.

Question 33

Welche der aufgeführten Abbildungen stellt eine lineare Transformation dar?

Accepted Answer

f(x) = 2x

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = |x|

Question 34

Welche Aussage zu Eigenwerten ist zutreffend?

Accepted Answer

Eigenvektoren sind Vektoren, auf die eine Matrix ihre Eigenwerte abbildet.

Answer

Eigenwerte sind Zahlen, auf die eine Matrix ihre Eigenvektoren abbildet.

Answer

Eigenwerte sind Vektoren, auf die eine Matrix ihre Eigenvektoren abbildet.

Answer

Eigenvektoren sind Zahlen, auf die eine Matrix ihre Eigenwerte abbildet.

Question 35

Welche der folgenden Aussagen über Vektorräume ist korrekt?

Accepted Answer

Ein Vektorraum ist eine Menge von Vektoren, die unter Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist und ein neutrales Element und ein inverses Element für die Addition besitzt.

Answer

Ein Vektorraum ist eine Menge von Vektoren, die unter Multiplikation abgeschlossen ist.

Answer

Ein Vektorraum ist eine Menge von Vektoren, die nur aus linearen Vektoren besteht.

Question 36

Was versteht man unter einer Linearkombination von Vektoren?

Accepted Answer

Eine Summe von Vielfachen der Vektoren

Answer

Eine Linearkombination aller Vektoren des Vektorraums

Answer

Ein Produkt von Vektoren

Answer

Eine Summe von Vektoren

Question 37

Welche Aussage über linear unabhängige Vektoren ist korrekt?

Accepted Answer

Sie können nicht als Linearkombinationen voneinander dargestellt werden.

Answer

Ihre Summe ist der Nullvektor.

Answer

Sie sind Vielfache voneinander.

Question 38

Eine Basis eines Vektorraums ist eine Menge von Vektoren, die ...

Accepted Answer

linear unabhängig und den Vektorraum aufspannen

Answer

linear unabhängig, aber nicht den Vektorraum aufspannen

Answer

weder linear unabhängig noch den Vektorraum aufspannen

Answer

linear abhängig und den Vektorraum aufspannen

Question 39

Welche der folgenden Mengen ist eine Basis des Vektorraums R³?

Accepted Answer

{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}

Answer

{(0, 0, 0), (1, 1, 1), (1, 0, 0)}

Answer

{(1, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 1, 1)}

Answer

{(1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)}

Question 40

Der Rang einer Matrix ist ...

Accepted Answer

die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen oder Spalten

Answer

die Summe aller Elemente der Matrix

Answer

die Determinante der Matrix

Question 41

Welche Aussage über den Nullvektor ist korrekt?

Accepted Answer

Er ist die einzige Linearkombination seiner selbst und hat die Länge 0.

Answer

Er spaltet den Vektorraum auf.

Answer

Er hat eine Länge von 1.

Question 42

Der Untervektorraum eines Vektorraums ist ...

Accepted Answer

eine Teilmenge des Vektorraums, die selbst ein Vektorraum ist

Answer

eine Teilmenge des Vektorraums, die nur aus dem Nullvektor besteht

Answer

eine Teilmenge des Vektorraums, die nicht den Nullvektor enthält

Question 43

Welche der folgenden Abbildungen ist eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

f(x) = 2x

Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x²

Question 44

Die Dimension eines Vektorraums ist ...

Accepted Answer

die Anzahl linear unabhängiger Vektoren in einer Basis

Answer

die Anzahl aller Vektoren im Vektorraum

Answer

die Summe der Längen aller Vektoren im Vektorraum

Question 45

Welches der folgenden Probleme kann mit Vektorräumen gelöst werden?

Accepted Answer

Lösen linearer Gleichungssysteme

Answer

Erstellen eines Zeitplans

Answer

Berechnen der Fläche eines Kreises

Answer

Ermitteln der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Question 46

Was ist eine wesentliche Eigenschaft einer Linearkombination von Vektoren?

Accepted Answer

Sie ist selbst ein Vektor im Vektorraum.

Answer

Sie ist immer ein Nullvektor.

Answer

Sie ist ein Vektor außerhalb des Vektorraums.

Answer

Sie ist ein Skalar.

Question 47

Welche Abbildung ist eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

f(x) = 2x

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Question 48

Welche Aussage über orthogonale Vektoren ist richtig?

Accepted Answer

Ihr Skalarprodukt ist 0.

Answer

Ihre Summe ist immer ein Nullvektor.

Answer

Sie sind immer Vielfache voneinander.

Answer

Sie liegen immer in verschiedenen Unterräumen.

Question 49

Was beschreibt den Rang einer Matrix?

Accepted Answer

Die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen oder Spalten.

Answer

Die Anzahl der Zeilen der Matrix.

Answer

Die Summe aller Einträge der Matrix.

Question 50

Welcher der folgenden Tupel ist ein Vektor im Vektorraum R³?

Accepted Answer

(x, y, z)

Answer

(0, 0)

Answer

(a, b)

Answer

(x, y, z, t)

Question 51

Welche der folgenden Mengen bildet eine Basis für den Vektorraum R²?

Accepted Answer

{(1, 0), (0, 1)}

Answer

{(1, 0), (0, 1), (1, 1)}

Answer

{(2, 1), (3, 2)}

Answer

{(1, 1), (1, 2)}

Question 52

Welche der folgenden Transformationen ist eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

f(x, y) = (ax + by, cx + dy)

Answer

g(x, y) = (x², y³)

Answer

h(x, y) = (|x|, |y|)

Question 53

Welche der folgenden Aussagen über den Kern einer linearen Abbildung ist richtig?

Accepted Answer

Der Kern ist ein Unterraum des Definitionsbereichs.

Answer

Der Kern ist gleich dem Bild der Abbildung.

Answer

Der Kern ist immer ein eindimensionaler Vektorraum.

Question 54

Welche der folgenden Aussagen über den Rang einer Matrix ist richtig?

Accepted Answer

Der Rang ist gleich der Anzahl der linear unabhängigen Zeilen oder Spalten.

Answer

Der Rang ist gleich der Determinante der Matrix.

Answer

Der Rang ist immer gleich der Anzahl der Zeilen der Matrix.

Question 55

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt eine Ebene im R³?

Accepted Answer

ax + by + cz = d

Answer

x² + y² + z² = 1

Answer

y = x + 1

Answer

|x| + |y| + |z| = 1

Question 56

Welche der folgenden Aussagen über das Kreuzprodukt zweier Vektoren ist richtig?

Accepted Answer

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren ergibt einen Vektor senkrecht zu beiden Vektoren.

Answer

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren ist kommutativ.

Answer

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren ist immer ein Einheitsvektor.

Question 57

Welche der folgenden Aussagen über Orthogonalität ist richtig?

Accepted Answer

Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt Null ist.

Answer

Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn sie in unterschiedlichen Richtungen zeigen.

Answer

Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn ihre Längen gleich sind.

Question 58

Welche der folgenden Aussagen über den Vektorraum R³ ist richtig?

Accepted Answer

Die Summe zweier linear unabhängiger Vektoren ist linear unabhängig.

Answer

Die Differenz zweier linear abhängiger Vektoren ist linear unabhängig.

Answer

Ein Vektorraum hat immer eine endliche Anzahl von Basen.

Question 59

Welche der folgenden Aussagen über die Dimension eines Vektorraums ist richtig?

Accepted Answer

Die Dimension eines Vektorraums ist eine eindeutige Zahl.

Answer

Die Dimension eines Vektorraums kann sich ändern.

Answer

Die Dimension eines Vektorraums ist immer größer als die Anzahl seiner Basen.

Question 60

Welche der folgenden Abbildungen von R² nach R² ist eine lineare Transformation?

Accepted Answer

(x, y) -> (3x + 2y, 5x - 2y)

Answer

(x, y) -> (0, 1)

Answer

(x, y) -> (x² + y², x - y)

Answer

(x, y) -> (y, x)

Question 61

Welche der folgenden Aussagen über die Umkehrmatrix einer regulären Matrix ist richtig?

Accepted Answer

Die Umkehrmatrix einer regulären Matrix existiert und ist eindeutig.

Answer

Die Umkehrmatrix einer regulären Matrix ist immer orthogonal.

Answer

Die Umkehrmatrix einer regulären Matrix ist immer symmetrisch.

Question 62

Welche der folgenden Mengen ist **kein** Vektorraum über den reellen Zahlen?

Accepted Answer

{ (x, y) ∈ ℝ² | x + y = 1 }

Answer

{ (x, y, z) ∈ ℝ³ | x + y + z = 0 }

Answer

{ (x, y) ∈ ℝ² | x, y ∈ ℤ }

Answer

{ (x, y) ∈ ℝ² | x = 0 }

Question 63

Sei V ein Vektorraum und seien u, v ∈ V. Welcher der folgenden Ausdrücke ist **nicht**  eine gültige Vektorraumoperation?

Accepted Answer

u ⋅ v (Skalarprodukt)

Answer

u + v (Vektoraddition)

Answer

u - v (Vektorsubtraktion)

Answer

λu (Skalare Multiplikation)

Question 64

Gegeben seien die Vektoren u = (1, 2) und v = (3, 1).  Berechne:

Accepted Answer

(7, 4)

Answer

(2, 1)

Answer

(4, 3)

Answer

(4, 0)