Reihen in der Analysis: Konvergenz und Taylorreihen

Question 1

Welche der folgenden Reihen ist eine geometrische Reihe?

Accepted Answer

∑(n=1 bis ∞) (1/2)^n

Answer

∑(n=1 bis ∞) n³

Answer

∑(n=1 bis ∞) (n²)!

Question 2

Welche der folgenden Reihen ist eine alternierende Reihe?

Accepted Answer

∑(n=1 bis ∞) (-1)^n

Answer

∑(n=1 bis ∞) (1/n)

Answer

∑(n=1 bis ∞) n²

Question 3

Welche der folgenden Aussagen ist für die harmonische Reihe korrekt?

Accepted Answer

Sie divergiert.

Answer

Sie konvergiert gegen 0.

Answer

Ihre Konvergenz hängt vom Wert des ersten Glieds ab.

Answer

Sie konvergiert gegen eine endliche Zahl.

Question 4

Welche der folgenden Aussagen ist richtig für eine konvergente Reihe?

Accepted Answer

Die Partialsummenfolge konvergiert gegen einen endlichen Grenzwert.

Answer

Die Summe der Reihe ist unendlich.

Answer

Die Reihe ist alternierend.

Answer

Die Reihe ist monoton steigend.

Question 5

Welche der folgenden Reihen konvergiert according to the p-Test?

Accepted Answer

∑ (n=1 bis ∞) 1 / n^2

Answer

∑ (n=1 bis ∞) 1 / n

Answer

∑ (n=1 bis ∞) n^2

Answer

∑ (n=1 bis ∞) (-1)^n

Question 6

Welche Aussage beschreibt das Verhalten des Restgliedes der Taylorreihe einer Funktion f(x) im Punkt x = a?

Accepted Answer

Es konvergiert gegen 0, wenn x gegen a strebt.

Answer

Es ist konstant für alle x.

Answer

Es divergiert gegen ∞, wenn x gegen a strebt.

Answer

Es oszilliert zwischen positiven und negativen Werten.

Question 7

Welche der folgenden Reihen ist eine geometrische Reihe?

Accepted Answer

∑ (n=1 bis ∞) 2^n

Answer

∑ (n=1 bis ∞) 1 / n^2

Answer

∑ (n=1 bis ∞) n^2

Answer

∑ (n=1 bis ∞) (-1)^n

Question 8

Welche der folgenden Reihen ist eine harmonische Reihe?

Accepted Answer

∑ (n=1 bis ∞) 1 / n

Answer

∑ (n=1 bis ∞) 1 / n^2

Answer

∑ (n=1 bis ∞) n^2

Answer

∑ (n=1 bis ∞) (-1)^n

Question 9

Welche Eigenschaft von Taylorreihen ermöglicht es, Funktionen damit zu approximieren?

Accepted Answer

Ihre lokale Konvergenz

Answer

Ihre globale Konvergenz

Answer

Ihre schnelle Konvergenz

Question 10

Bestimme die Konvergenz der Reihe ∑(n=1 bis ∞) 1/n^2.

Accepted Answer

Konvergent

Answer

Bedingt konvergent

Answer

Unbestimmt

Answer

Divergent

Question 11

Welche der folgenden Reihen ist eine arithmetische Reihe?

Accepted Answer

∑(n=1 bis ∞) (n+1)

Answer

∑(n=1 bis ∞) sin(n)

Answer

∑(n=1 bis ∞) n^2

Answer

∑(n=1 bis ∞) 1/n

Question 12

Welche der folgenden Aussagen über Taylorreihen ist korrekt?

Accepted Answer

Sie sind lokale Konvergenzreihen.

Answer

Sie sind immer alternierende Reihen.

Answer

Sie sind immer global konvergent.

Answer

Ihre Konvergenz hängt nicht vom Entwicklungspunkt ab.

Question 13

Bestimme den Fehlerterm der Taylorreihe der Funktion f(x) = ln(x) im Entwicklungspunkt x = 1 nach n = 2.

Accepted Answer

R_2(x) = (x-1)^3/(3!) * ln(ξ), wobei ξ zwischen 1 und x liegt

Answer

R_2(x) = (x-1)^4/(4!) * ln(x)

Answer

R_2(x) = (x-1)^3/(2!) * ln(1)

Question 14

Welche der folgenden Funktionen lässt sich nicht als Taylorreihe um den Punkt x = 0 entwickeln?

Accepted Answer

f(x) = sgn(x)

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = ln(x)

Answer

f(x) = sin(x)

Question 15

Bestimmen Sie die Konvergenz der geometrischen Reihe 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

Accepted Answer

Konvergent gegen 2

Answer

Bedingt konvergent

Answer

Divergent

Answer

Alternierend konvergent

Question 16

Welche der folgenden Reihen ist divergent?

Accepted Answer

1 + 2 + 3 + 4 + ...

Answer

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... (mit geometrischer Progression)

Answer

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... (mit alternierendem Vorzeichen)

Answer

1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...

Question 17

Welche der folgenden Bedingungen ist notwendig für die Konvergenz der Reihe a_n?

Accepted Answer

lim(n->unendlich) a_n = 0

Answer

lim(n->unendlich) a_n = 1

Answer

lim(n->unendlich) a_n = unendlich

Question 18

Bestimmen Sie das Konvergenzintervall der Potenzreihe 1 - x + x^2 - x^3 + ...

Accepted Answer

-1 < x < 1

Answer

-1 < x < 0

Answer

0 < x < 1

Answer

-∞ < x < ∞