Grenzwerte und Stetigkeit: Online-Quiz für die Qualifikationsphase 1

Question 1

Welche Aussage über das Verhältnis zwischen Stetigkeit und Differenzierbarkeit ist falsch?

Accepted Answer

Eine Funktion mit einem Grenzwert ist immer stetig.

Answer

Eine stetige Funktion muss nicht differenzierbar sein.

Answer

Eine differenzierbare Funktion ist immer stetig.

Answer

Eine Funktion, die an einer Stelle nicht stetig ist, hat dort keinen Grenzwert.

Question 2

Welcher der folgenden Grenzwerte existiert nicht?

Accepted Answer

lim(x -> 1) 1 / (x - 1)

Answer

lim(x -> 0) sin(x)

Answer

lim(x -> ∞) 1 / x^2

Answer

lim(x -> 2) |x - 2|

Question 3

Welche der folgenden Funktionen ist nicht stetig an der Stelle x=2?

Accepted Answer

f(x) = 1/(x-2)

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = |x-2|

Answer

f(x) = (x-2)²

Question 4

Berechnen Sie den Grenzwert von lim(x->Unendlich) (sin(x)/x).

Accepted Answer

0

Answer

1

Answer

Unendlich

Answer

Nicht existent

Question 5

Berechnen Sie die Ableitung der Funktion f(x) = √(x).

Accepted Answer

1/(2√x)

Answer

√x

Answer

2√x

Answer

1/√x

Question 6

Welche Aussage über die Funktion f(x) = e^x ist korrekt?

Accepted Answer

Stetig und differenzierbar für alle x

Answer

Stetig und differenzierbar nur für x>0

Answer

Stetig, aber nicht differenzierbar für alle x

Answer

Weder stetig noch differenzierbar

Question 7

Welche der folgenden Aussagen beschreibt korrekt die Definition eines Grenzwerts?

Accepted Answer

Der Wert, dem sich eine Funktion für ein bestimmtes Eingabewert nähert, wenn dieser sich diesem Wert nähert.

Answer

Der Wert, den die Funktion für einen bestimmten Eingabewert hat.

Answer

Der Wert, den die Funktion für alle Eingabewerte hat.

Answer

Der Wert, den die Funktion für keinen Eingabewerte hat.

Question 8

Berechnen Sie den Grenzwert von f(x) = (x^2 - 4) / (x - 2) für x -> 2.

Accepted Answer

0

Answer

2

Answer

4

Answer

unendlich

Question 9

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 0 nicht stetig?

Accepted Answer

f(x) = 1 / x

Answer

f(x) = x^3

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = (x + 1)^2

Question 10

Welcher der folgenden Grenzwerte ist gleich minus unendlich?

Accepted Answer

lim (x -> ∞) (e^-x)

Answer

lim (x -> 1) (x^2 - 1)

Answer

lim (x -> 0) (1 / x)

Answer

lim (x -> 2) (x - 2)^3

Question 11

Welche der folgenden Funktionen hat einen endlichen Sprung an der Stelle x = -1?

Accepted Answer

f(x) = |x + 1|

Answer

f(x) = (x + 1)^2

Answer

f(x) = 1 / (x + 1)

Answer

f(x) = e^(x + 1)

Question 12

Welche der folgenden Funktionen ist auf dem Intervall (-∞, ∞) nicht stetig?

Accepted Answer

f(x) = 1 / x

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x^2

Question 13

Was versteht man unter dem Grenzwert einer Funktion f(x) an der Stelle x = a?

Accepted Answer

Der Wert, dem sich die Funktionswerte f(x) annähern, wenn sich x dem Wert a beliebig stark annähert

Answer

Der Wert, den die Funktion f(x) an der Stelle x = a annimmt

Answer

Der größte Wert der Funktion f(x) im Intervall um x = a

Answer

Der kleinste Wert der Funktion f(x) im Intervall um x = a

Question 14

Welche Rechenregel gilt für Grenzwerte von Summen?

Accepted Answer

lim(f(x) + g(x)) = lim(f(x)) + lim(g(x))

Answer

lim(f(x) + g(x)) = lim(f(x)) - lim(g(x))

Answer

lim(f(x) + g(x)) = lim(f(x)) * lim(g(x))

Answer

lim(f(x) + g(x)) = lim(f(x)) / lim(g(x))

Question 15

Welche Aussage beschreibt die Stetigkeit einer gebrochenrationalen Funktion f(x) = p(x) / q(x)?

Accepted Answer

f(x) ist stetig an allen Stellen, außer an den Nullstellen des Nenners q(x)

Answer

f(x) ist stetig an allen Stellen, auch an den Nullstellen des Nenners q(x)

Answer

f(x) ist nur an den Nullstellen des Nenners q(x) stetig

Answer

f(x) ist nur an den Stellen außerhalb der Nullstellen des Nenners q(x) stetig

Question 16

Welche Eigenschaft hat eine Funktion f(x), wenn ihr Graph an der Stelle x = a eine senkrechte Tangente besitzt?

Accepted Answer

f(x) ist an der Stelle x = a nicht differenzierbar

Answer

f(x) ist an der Stelle x = a nicht stetig

Answer

f(x) besitzt an der Stelle x = a einen Extrempunkt

Answer

f(x) besitzt an der Stelle x = a einen Wendepunkt

Question 17

Welche Aussage ist richtig für die Funktion f(x) = e^x?

Accepted Answer

f(x) ist an jeder Stelle x stetig und differenzierbar

Answer

f(x) ist stetig, aber nicht differenzierbar an der Stelle x = 0

Answer

f(x) ist nicht stetig an der Stelle x = 0

Answer

f(x) ist weder stetig noch differenzierbar an irgendeiner Stelle

Question 18

Welche der folgenden Regeln ist für die Grenzwertbildung von Quotienten gültig?

Accepted Answer

lim (f(x) / g(x)) = lim f(x) / lim g(x) (für lim g(x) ≠ 0)

Answer

(lim f(x) / lim g(x)) = lim (f(x) / g(x))

Answer

lim (f(x) / g(x)) = (lim f(x)) / (lim g(x)) (für lim g(x) ≠ 0)

Answer

lim (f(x) / g(x)) = lim (f(x) * g(x)) (für lim g(x) ≠ 0)

Question 19

Welche der folgenden Aussagen über den Grenzwertsatz von l'Hospital ist richtig?

Accepted Answer

Er kann nur für Funktionen angewendet werden, die den Grenzwert 0/0 oder ∞/∞ haben.

Answer

Er kann für alle Arten von Funktionen angewendet werden.

Answer

Er kann nur für Funktionen angewendet werden, die den Grenzwert 1/0 haben.

Answer

Er kann nur für Funktionen angewendet werden, die den Grenzwert ∞/∞ haben.

Question 20

Welche der folgenden Aussagen über die Stetigkeit einer Funktion an einer Stelle ist richtig?

Accepted Answer

Alle Aussagen sind richtig.

Answer

Die Funktion muss an der Stelle definiert sein.

Answer

Der Grenzwert der Funktion an der Stelle muss existieren.

Answer

Der Funktionswert an der Stelle muss dem Grenzwert entsprechen.

Question 21

Betrachte die Funktion f(x) = |x - 3|. An welcher Stelle ist die Funktion nicht stetig?

Accepted Answer

x = 3

Answer

x = 0

Answer

x = 6

Answer

Die Funktion ist überall stetig.

Question 22

Betrachte die Funktion f(x) = { x + 1 für x ≤ 0, -x + 1 für x > 0 }. An welcher Stelle ist die Funktion unstetig?

Accepted Answer

x = 0

Answer

x = 1

Answer

x = -1

Answer

Die Funktion ist überall stetig.

Question 23

Betrachte die Funktion f(x) = 1 / (x² - 9). Welche Aussage über die Stetigkeit der Funktion an der Stelle x = 3 ist richtig?

Accepted Answer

Die Funktion ist an der Stelle x = 3 unstetig, weil sie nicht definiert ist.

Answer

Die Funktion ist an der Stelle x = 3 stetig.

Answer

Die Funktion ist an der Stelle x = 3 unstetig, weil der Grenzwert unendlich ist.

Answer

Die Funktion ist an der Stelle x = 3 unstetig, weil der Funktionswert nicht dem Grenzwert entspricht.

Question 24

Welcher der folgenden Sätze ist eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Stetigkeit einer Funktion an einem Punkt?

Accepted Answer

Der Grenzwert der Funktion an dem Punkt existiert und ist gleich dem Funktionswert an dem Punkt.

Answer

Die Funktion hat eine Ableitung an dem Punkt.

Answer

Die Funktion ist an dem Punkt definiert.

Answer

Die Funktion hat an dem Punkt eine vertikale Tangente.

Question 25

Welche der folgenden Aussagen über den Mittelwertsatz der Differentialrechnung ist korrekt?

Accepted Answer

Der Mittelwertsatz besagt, dass die Steigung der Sekante zwischen zwei Punkten einer Funktion gleich der Steigung der Tangente an einem Punkt zwischen diesen Punkten ist.

Answer

Der Mittelwertsatz gilt nur für stetige Funktionen.

Answer

Der Mittelwertsatz kann verwendet werden, um den Grenzwert einer Funktion an einem Punkt zu berechnen.

Answer

Der Mittelwertsatz besagt, dass die erste Ableitung einer Funktion an einem Punkt gleich dem Grenzwert des Differenzenquotienten für x → 0 ist.

Question 26

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 0 unstetig?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x + 1

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 27

Welche der folgenden Funktionen hat eine vertikale Asymptote bei x = 0?

Accepted Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = x + 1

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 28

Welche der folgenden Funktionen besitzt eine vertikale Asymptote bei x = 0?

Accepted Answer

f(x) = x/(x^2 - 1)

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = x^3

Question 29

Welche der folgenden Aussagen über die Funktion f(x) = arctan(x) ist falsch?

Accepted Answer

f(x) hat eine vertikale Asymptote bei x = 1.

Answer

f(x) ist auf den reellen Zahlen stetig.

Answer

f(x) ist auf dem Intervall [-1, 1] begrenzt.

Answer

f(x) ist eine ungerade Funktion.

Question 30

Welche der folgenden Funktionen hat an der Stelle x = 2 eine endliche Steigung?

Accepted Answer

f(x) = x² - 4

Answer

f(x) = |x - 2|

Answer

f(x) = 1/(x - 2)

Answer

f(x) = sin(x - 2)

Question 31

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 0 nicht differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x³

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sin(x)

Question 32

Die Funktion f(x) = 1/x hat an der Stelle x = 0:

Accepted Answer

eine wesentliche Unstetigkeit

Answer

eine hebbare Unstetigkeit

Answer

eine Sprungunstetigkeit

Answer

keine Unstetigkeit

Question 33

Welche der folgenden Aussagen über die Funktion f(x) = e^(2x - 1) ist korrekt?

Accepted Answer

f(x) ist streng monoton steigend

Answer

f(x) ist streng monoton fallend

Answer

f(x) hat an der Stelle x = 1/2 ein Maximum

Answer

f(x) hat an der Stelle x = 1/2 ein Minimum

Question 34

Wie lautet die formale Definition eines Grenzwerts?

Accepted Answer

Der Wert, dem sich die Funktionswerte für x gegen a annähern

Answer

Der Funktionswert an der Stelle a

Answer

Der Kehrwert der Funktion an der Stelle a

Answer

Der Wert, den die Funktion für x genau gleich a annimmt

Question 35

Welche Aussage über die Funktion f(x) = x²-4 im Punkt x=2 ist korrekt?

Accepted Answer

f(x) ist an der Stelle x=2 stetig.

Answer

f(x) hat an der Stelle x=2 einen Sprung.

Answer

f(x) hat an der Stelle x=2 eine Polstelle.

Answer

f(x) ist an der Stelle x=2 nicht differenzierbar.

Question 36

Welche der folgenden Funktionen hat eine vertikale Asymptote bei x=3?

Accepted Answer

f(x) = 1 / (x-3)

Answer

f(x) = (x+3) / (x-3)

Answer

f(x) = x²-3x+9

Answer

f(x) = e^(x-3)

Question 37

Was bedeutet es, wenn eine Funktion an einer Stelle einen Grenzwert besitzt?

Accepted Answer

Die Funktionswerte nähern sich bei Annäherung an die Stelle einer eindeutigen Zahl beliebig an.

Answer

Die Funktionswerte oszillieren zwischen zwei verschiedenen Zahlen.

Question 38

Was ist eine charakteristische Eigenschaft einer stetigen Funktion?

Accepted Answer

Ihr Graph verläuft ohne Sprünge oder Unterbrechungen.

Answer

Ihre Ableitung ist an allen Stellen definiert.

Answer

Ihr Grenzwert existiert an allen Stellen.

Question 39

Welche der folgenden Funktionen hat eine vertikale Asymptote bei ( x = 3 )?

Accepted Answer

( f(x) = (x-2) / (x-3) )

Answer

( f(x) = sin(x) )

Answer

( f(x) = e^x )

Question 40

Welche der folgenden Aussagen über die Funktion f(x) = |x| ist zutreffend?

Accepted Answer

Sie ist für alle x stetig.

Answer

Sie ist nur für x < 0 stetig.

Answer

Sie ist nur für x != 0 stetig.

Answer

Sie ist nur für x > 0 stetig.

Question 41

Welche der folgenden Ausdrücke beschreibt den Grenzwert (lim) der Funktion f(x) = x² für x gegen 0?

Accepted Answer

lim (x -> 0) f(x) = 0

Answer

lim (x -> 0) f(x) = ∞

Answer

lim (x -> 0) f(x) = x

Answer

lim (x -> 0) f(x) = undefined

Question 42

Welche Funktion weist im Punkt x = 2 eine Sprungunstetigkeit auf?

Accepted Answer

f(x) = |x - 2|

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Question 43

Welche Funktion ist im Punkt x = 0 nicht stetig?

Accepted Answer

f(x) = 1 / x

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x³

Question 44

Welcher Satz kann verwendet werden, um die Stetigkeit der Funktion f(x) = x³ an allen Stellen nachzuweisen?

Accepted Answer

Satz über algebraische Funktionen

Answer

Satz über inverse Funktionen

Answer

Satz über trigonometrische Funktionen

Answer

Satz über zusammengesetzte Funktionen

Question 45

Welche Aussage über die Funktion f(x) = 1 / (x-2) ist korrekt?

Accepted Answer

Die Funktion hat bei x = 2 eine vertikale Asymptote.

Answer

Die Funktion hat bei y = 2 eine horizontale Asymptote.

Answer

Die Funktion hat keine Asymptoten.

Answer

Die Funktion hat bei x = 2 einen horizontalen Asymptote.

Question 46

Welche Aussage über die Funktion f(x) = 1 / x für x = 0 ist zutreffend?

Accepted Answer

f(x) ist nicht definiert.

Answer

f(x) ist stetig.

Answer

f(x) = 1

Answer

f(x) = 0

Question 47

Welche Rolle spielen Grenzwerte bei der Analyse des Verhaltens von Funktionen?

Accepted Answer

Sie beschreiben das Verhalten der Funktion in der Umgebung eines Punktes.

Answer

Sie geben den Funktionswert an einem Punkt an.

Answer

Sie zeigen die Stetigkeit der Funktion an.

Question 48

Welche Aussage über die Grenzwerte von f(x) = 1 / (x - 1) ist korrekt?

Accepted Answer

lim_(x→1⁻) f(x) = -∞, lim_(x→1⁺) f(x) = ∞

Answer

lim_(x→1) f(x) = 0

Answer

lim_(x→1) f(x) = -1

Answer

lim_(x→1) f(x) = 1

Question 49

Welche Aussage über den Grenzwert von f(x) = 1/(x-2) für x gegen 2 ist korrekt?

Accepted Answer

Die Funktion hat keinen Grenzwert an der Stelle x = 2, da der Nenner für x = 2 Null wird.

Answer

Der Grenzwert ist 1, da die Funktion für x nahe 2 Werte nahe 1 annimmt.

Answer

Der Grenzwert ist 0, da die Funktion für x nahe 2 Werte nahe 0 annimmt.

Question 50

Welche Aussage über die Funktion f(x) = |x-1| ist korrekt?

Accepted Answer

Die Funktion ist an der Stelle x = 1 nicht stetig, da der Grenzwert von links und rechts unterschiedlich ist.

Answer

Die Funktion hat an der Stelle x = 1 einen Grenzwert, aber keine Stetigkeit.

Answer

Die Funktion ist an der Stelle x = 1 stetig, da der Einsetzungswert gleich dem Grenzwert ist.

Question 51

Sei g(x) = 1/x². Welcher Wert für x macht g(x) unstetig?

Accepted Answer

x = 0

Answer

x = 2

Answer

x = 1

Question 52

Welche der folgenden Aussagen über den Graphen der Funktion h(x) = √(x-1) ist richtig?

Accepted Answer

Der Graph hat eine vertikale Asymptote bei x = 1, da die Funktion für x kleiner 1 nicht definiert ist.

Answer

Der Graph hat keine Asymptoten, da die Funktion für alle reellen Zahlen definiert ist.

Answer

Der Graph hat eine waagerechte Asymptote bei x = 1, da sich die Funktionswerte für x gegen 1 einem bestimmten Wert nähern.

Answer

Der Graph hat eine schiefe Asymptote, da sich die Funktionswerte für x gegen 1 linear einem bestimmten Wert nähern.

Question 53

Sei f(x) = (x-2)² + 1. Wie lautet die erste Ableitung von f(x)?

Accepted Answer

f'(x) = 2(x-2)

Answer

f'(x) = 1

Answer

f'(x) = (x-2)

Answer

f'(x) = 2x

Question 54

Sei f(x) = sin(x). Welcher Wert für x erfüllt die Bedingung f'(x) = 0?

Accepted Answer

x = π/2 + kπ (k ∈ ℤ)

Answer

x = π

Answer

x = 2π

Answer

x = 0

Question 55

Sei g(x) = { x² für x ≤ 1, 2x-1 für x > 1 }. Welcher Wert von g'(1) ist richtig?

Accepted Answer

existiert nicht

Answer

1

Answer

0

Answer

2

Question 56

Welche der folgenden Aussagen über Grenzwerte ist **falsch**?

Accepted Answer

Der Grenzwert einer Funktion existiert immer, unabhängig vom Punkt, an dem er betrachtet wird.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion kann unendlich sein.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion kann einen endlichen Wert annehmen.

Question 57

Welche der folgenden Funktionen ist **stetig** im Punkt x = 1?

Accepted Answer

f(x) = x² + 1

Answer

f(x) = 1 / (x - 1)

Answer

f(x) = |x - 1|

Answer

f(x) = [x]

Question 58

Welche Bedingung muss für eine Funktion f(x) erfüllt sein, damit sie im Punkt x = a **stetig** ist?

Accepted Answer

Der Grenzwert von f(x) für x → a muss existieren und gleich f(a) sein.

Answer

Die Funktion muss im Punkt x = a differenzierbar sein.

Answer

Die Funktion muss im Punkt x = a einen lokalen Extremwert haben.

Question 59

An welcher Stelle ist die Funktion f(x) = (x² - 9) / (x - 3) **nicht stetig**?

Accepted Answer

x = 3

Answer

x = -3

Answer

x = 0

Answer

Die Funktion ist überall stetig.

Question 60

Welche der folgenden Funktionen verhält sich **asymptotisch** wie die Funktion f(x) = x² + 1 für x → ∞?

Accepted Answer

g(x) = x²

Answer

g(x) = x³

Answer

g(x) = x

Answer

g(x) = 1 / x

Question 61

Wie lautet der Grenzwert der Funktion f(x) = 1 / x für x → ∞?

Accepted Answer

0

Answer

Die Funktion hat keinen Grenzwert.

Answer

∞

Answer

1

Question 62

Welche der folgenden Aussagen über den Grenzwert einer Funktion f(x) für x → a ist **korrekt**?

Accepted Answer

Der Grenzwert existiert, wenn der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert gleich sind.

Answer

Der Grenzwert existiert immer, unabhängig von der Funktion.

Answer

Der Grenzwert ist immer gleich dem Funktionswert an der Stelle x = a.

Question 63

Welche der folgenden Funktionen hat eine **Sprungstelle** bei x = 2?

Accepted Answer

f(x) = { x + 1, falls x < 2; x - 1, falls x ≥ 2 }

Answer

f(x) = |x - 2|

Answer

f(x) = x² - 4

Answer

f(x) = 1 / (x - 2)