Differentialrechnung lernen: Online-Quizze und Übungen für die Qualifikationsphase 1 im Fachgymnasium

Question 1

Nenne die wichtigsten Einschränkungen der Ableitung und erläutere sie anhand von Beispielen.

Accepted Answer

Die Ableitung existiert nicht an Stellen, an denen die Funktion nicht stetig ist.

Accepted Answer

Die Ableitung existiert nicht an Stellen, an denen die Funktion eine vertikale Asymptote hat.

Answer

Die Ableitung existiert nicht an Stellen, an denen die Funktion einen horizontalen Asymptoten hat.

Answer

Die Ableitung existiert nicht an Stellen, an denen die Funktion einen Wendepunkt hat.

Question 2

Wie kann die Differentialrechnung verwendet werden, um Funktionswerte näherungsweise zu bestimmen?

Accepted Answer

Durch Schätzung des Funktionswerts an einem Punkt mithilfe der Ableitung und der linearen Approximation.

Answer

Durch Berechnung der Ableitung einer Funktion an einem Punkt.

Answer

Durch Bestimmung von Extremwerten.

Answer

Die Differentialrechnung kann nicht zur Approximation von Funktionswerten verwendet werden.

Question 3

Bestimme den Grenzwert der Funktion f(x) = e^(-x²) für x gegen unendlich.

Accepted Answer

0

Answer

1

Answer

-1

Question 4

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = x³ + 2x² - 5x:

Accepted Answer

3x² + 4x - 5

Answer

x³ + 4x² - 5

Answer

3x² - 5

Answer

x³ - 5x

Question 5

Welcher Punkt ist eine Extremstelle der Funktion f(x) = x² - 4x?

Accepted Answer

(2, -4)

Answer

(0, 0)

Answer

(4, -16)

Answer

(2, 4)

Question 6

Bestimme die Gleichung der Tangente an die Funktion f(x) = eˣ im Punkt (0, 1).

Accepted Answer

y = x + 1

Answer

y = eˣ

Answer

y = x

Answer

y = 1

Question 7

Welche der folgenden Funktionen besitzt eine negative Krümmung?

Accepted Answer

f(x) = -x²

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = cos(x)

Question 8

Berechne die Ableitung der inversen Funktion von f(x) = x³.

Accepted Answer

1/(3x²)

Answer

1/x³

Answer

x²/3

Answer

3x²

Question 9

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = 2x³ - 5x² + 3x + 1.

Accepted Answer

f'(x) = 6x² - 10x + 3

Answer

f'(x) = 3x² - 5x + 3

Answer

f'(x) = 6x - 10

Answer

f'(x) = 5x - 2

Question 10

Wie lautet die Stammfunktion der Ableitung f'(x) = cos(x)?

Accepted Answer

F(x) = sin(x) + C

Answer

F(x) = cos(x) + C

Answer

F(x) = -cos(x) + C

Answer

F(x) = -sin(x) + C

Question 11

Welche der folgenden Funktionen hat eine negative erste Ableitung für alle x?

Accepted Answer

f(x) = -x³ + 2x² - 1

Answer

f(x) = x² + 1

Answer

f(x) = cos(x)

Answer

f(x) = |x|

Question 12

Berechne die zweite Ableitung der Funktion f(x) = x⁴ + 2x³ - 3x² + 1.

Accepted Answer

f''(x) = 12x² + 12x - 6

Answer

f''(x) = 4x³ + 6x² - 6x

Answer

f''(x) = 12x³ - 6x

Answer

f''(x) = 2x² + 12x - 3

Question 13

Welche physikalische Größe entspricht der ersten Ableitung der Weg-Zeit-Funktion eines Körpers?

Accepted Answer

Geschwindigkeit

Answer

Energie

Answer

Kraft

Answer

Beschleunigung

Question 14

Welche der folgenden Funktionen ist nicht differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x³

Question 15

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = (2x³ - 3x² + 4)⁵.

Accepted Answer

f'(x) = 5(2x³ - 3x² + 4)⁴(12x² - 6x)

Answer

f'(x) = (2x³ - 3x² + 4)⁴

Answer

f'(x) = 5(2x³ - 3x² + 4)⁴(4x² - 6x)

Question 16

Welche der folgenden Differentialgleichungen ist eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung?

Accepted Answer

y'' - 2y' + 5y = 0

Answer

y'² + y' - y = 0

Answer

y''' + y' + y = 0

Answer

y' + 2y = e^x

Question 17

Welche der folgenden Funktionen besitzt die Ableitung f'(x) = 2x + 1?

Accepted Answer

f(x) = x² + x + C

Answer

f(x) = eˣ + C

Answer

f(x) = sin(x) + C

Answer

f(x) = x³ + C

Question 18

Welche der folgenden Aussagen über die Tangente an den Graphen der Funktion f(x) = x³ im Punkt P(1, 1) ist richtig?

Accepted Answer

Gleichung der Tangente: y = 3x - 2

Answer

Die Tangente verläuft parallel zur y-Achse.

Answer

Die Tangente verläuft parallel zur x-Achse.

Answer

Gleichung der Tangente: y = x³ - 2

Question 19

Welche der folgenden Funktionen beschreibt die Geschwindigkeit eines Körpers, der sich geradlinig bewegt?

Accepted Answer

f(t) = 2t³ - 3t² + 4

Answer

f(t) = sin(t) + C

Answer

f(t) = x³ + C

Answer

f(t) = eˣ + C

Question 20

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f(x) = |x|.

Accepted Answer

f'(x) = 1 für x > 0, f'(x) = -1 für x < 0

Answer

f'(x) = |x - 1|

Answer

f'(x) ist nicht differenzierbar

Answer

f'(x) = 1 für x ≠ 0

Question 21

Welche der folgenden Funktionen ist monoton wachsend?

Accepted Answer

f(x) = x⁴

Answer

f(x) = -x³

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = 1/x

Question 22

Bestimmen Sie die Krümmung der Funktion f(x) = eˣ.

Accepted Answer

κ(x) = 1/eˣ

Answer

κ(x) = eˣ

Answer

κ(x) = -1/eˣ

Question 23

Welche der folgenden Aussagen über die Ableitung der Funktion f(x) = ln(x) ist richtig?

Accepted Answer

f'(x) = 1/x für x > 0

Answer

f'(x) = ln(x) für x ≠ 0

Answer

f'(x) = x für x > 0

Question 24

Bestimme die Ableitung der Funktion f(x) = 2x³ + 5x² - 3x + 1.

Accepted Answer

Ableitung: f'(x) = 6x² + 10x - 3

Answer

3x² - 5x + 1

Answer

x³ + 2x² - 3

Answer

2x³ + 10x² - 6x + 1

Question 25

Welche Aussage trifft auf die Funktion f(x) = e^(2x) zu?

Accepted Answer

Sie ist streng monoton wachsend.

Answer

Ihr Graph ist symmetrisch zur y-Achse.

Answer

Sie ist streng monoton fallend.

Answer

Sie besitzt einen Wendepunkt.

Question 26

Berechne das Differential dy von y = ln(x² + 1).

Accepted Answer

dy = 2x/(x² + 1) dx

Answer

dy = 2/(x² + 1) dx

Answer

dy = x/(x² + 1) dx

Answer

dy = 1/(x² + 1) dx

Question 27

Welche der folgenden Anwendungen der Differentialrechnung ist bei der Modellierung von Bewegungsvorgängen relevant?

Accepted Answer

Bestimmung der Geschwindigkeit und Beschleunigung

Answer

Berechnung des Flächeninhalts

Answer

Optimierung von Produktionskosten

Answer

Lösen von Gleichungssystemen

Question 28

Welche der folgenden Aussagen ist richtig für die Ableitung der Funktion f(x) = sin(x)?

Accepted Answer

f'(x) = cos(x)

Answer

f'(x) = e^(sin(x))

Answer

f'(x) = -sin(x)

Answer

f'(x) = tan(x)

Question 29

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = x³ - 2x² + 3x - 1

Accepted Answer

f'(x) = 3x² - 4x + 3

Answer

f'(x) = 3x² + 4x + 3

Answer

f'(x) = x³ - 2x² - 3x - 1

Answer

f'(x) = x³ - 2x² + 3x + 1

Question 30

Die Geschwindigkeit eines Teilchens wird durch die Funktion v(t) = t² - 4t + 3 beschrieben. Wann ist das Teilchen in Ruhe?

Accepted Answer

t = 1 oder t = 3

Answer

t = 4

Answer

t = 2

Answer

t = 0

Question 31

Welche der folgenden Funktionen hat ein absolutes Maximum bei x = 0?

Accepted Answer

f(x) = -x² + 4x

Answer

f(x) = x³ - 2x²

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = -e^x

Question 32

Welche der folgenden Anwendungen von Differentialrechnung ist falsch?

Accepted Answer

Berechnung des Volumens eines Würfels

Answer

Beschreibung von Bewegungsvorgängen

Answer

Bestimmung von Extremwerten

Answer

Berechnung der Steigung einer Kurve

Question 33

Die Ableitung einer Konstanten ist:

Accepted Answer

null

Answer

die Konstante selbst

Answer

unbestimmt

Answer

proportional zur Konstanten

Question 34

Welche Funktion hat die Ableitung f'(x) = 2x + 1?

Accepted Answer

f(x) = x² + x + C

Answer

f(x) = x³ + C

Answer

f(x) = x + C

Answer

f(x) = 2x + C

Question 35

Wie lautet die Ableitung von f(x) = ln(x²)?

Accepted Answer

f'(x) = 2/x

Answer

f'(x) = eˣ

Answer

f'(x) = ln(x)

Answer

f'(x) = x

Question 36

Welche der folgenden Anwendungen der Differentialrechnung ermöglicht es, den Anstieg einer Funktion an einem bestimmten Punkt zu bestimmen?

Accepted Answer

Berechnung der Ableitung an diesem Punkt

Answer

Berechnung des Integrals der Funktion

Answer

Berechnung der Stammfunktion der Funktion

Answer

Berechnung des Differentials der Funktion

Question 37

Welche der folgenden Differentialgleichungen beschreibt die Funktion y = sin(x) + cos(x)?

Accepted Answer

y' = cos(x) - sin(x)

Answer

y'' = sin(x) + cos(x)

Answer

y' = sin(x) - cos(x)

Answer

y'' = cos(x) - sin(x)

Question 38

Welche der folgenden Funktionen ist die Ableitung von f(x) = x · eˣ?

Accepted Answer

f'(x) = x · eˣ + eˣ

Answer

f'(x) = eˣ · sin(x)

Answer

f'(x) = x · eˣ - eˣ

Answer

f'(x) = eˣ / x

Question 39

Welche der folgenden Aussagen zur Produktregel ist falsch?

Accepted Answer

Die Ableitung eines Faktors muss immer eine Konstante sein.

Answer

Die Ableitung des ersten Faktors wird mit dem zweiten Faktor multipliziert.

Answer

Die Produktregel gilt nur für Funktionen mit zwei Faktoren.

Question 40

Welcher der folgenden Grenzwerte ist korrekt?

Accepted Answer

lim (x→∞) (x² - 1)/x = ∞

Answer

lim (x→∞) (x² - 1)/x = 0

Answer

lim (x→∞) (x² - 1)/x = -∞

Answer

lim (x→∞) (x² - 1)/x = 1

Question 41

Die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion f(x) = x³ + 2x im Punkt x = 1 beträgt:

Accepted Answer

5

Answer

1

Answer

7

Answer

3

Question 42

Die Ableitung der Funktion f(x) = sin(x) ist:

Accepted Answer

f'(x) = cos(x)

Answer

f'(x) = -sin(x)

Answer

f'(x) = sin(x)

Answer

f'(x) = -cos(x)

Question 43

Die Ableitung der Funktion f(x) = e^x ist:

Accepted Answer

f'(x) = e^x

Answer

f'(x) = 1 / e^x

Answer

f'(x) = ln(x)

Answer

f'(x) = x * e^(x-1)

Question 44

Welche der folgenden Funktionen ist eine Stammfunktion von f(x) = 2x + 1?

Accepted Answer

F(x) = x² + x

Answer

F(x) = x² - x

Answer

F(x) = x² + 1

Answer

F(x) = 2x² + x

Question 45

Die Ableitung der Funktion f(x) = ln(x) ist:

Accepted Answer

f'(x) = 1/x

Answer

f'(x) = ln(x)/x

Answer

f'(x) = e^x

Answer

f'(x) = x

Question 46

Die Ableitung der Funktion f(x) = (x² + 1)(x - 2) ist:

Accepted Answer

f'(x) = 3x² - 4x - 2

Answer

f'(x) = x² + 2x - 2

Answer

f'(x) = 2x(x - 2)

Answer

f'(x) = 2x² + x - 2

Question 47

Welche der folgenden Regeln gilt für die Ableitung des Produkts zweier Funktionen f und g?

Accepted Answer

(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

Answer

(fg)'(x) = f(x)g'(x)

Answer

(fg)'(x) = g'(x)f(x)

Answer

(fg)'(x) = f'(x)g'(x)

Question 48

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = x^3 - 2x^2 + 1.

Accepted Answer

3x^2 - 4x

Answer

3x^2 + 4x

Answer

x^2 + 4x

Answer

x^2 - 4x

Question 49

Welche der folgenden Funktionen hat einen lokalen Extrempunkt bei x = 2?

Accepted Answer

f(x) = x^2 - 4x + 3

Answer

f(x) = |x - 2|

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = 1/x

Question 50

Welche der folgenden Anwendungen der Differentialrechnung ermöglicht es, die Steigung einer Tangente an einen Graphen zu bestimmen?

Accepted Answer

Ableitung

Answer

Integral

Answer

Grenzwert

Answer

Stammfunktion

Question 51

Welche der folgenden Aussagen trifft auf die erste Ableitung einer Funktion zu?

Accepted Answer

Sie gibt die Änderungsrate der Funktion an.

Answer

Sie gibt den Flächeninhalt unter dem Funktionsgraphen an.

Answer

Sie gibt den Krümmungsradius des Graphen an.

Question 52

Welche der folgenden Funktionen hat eine konstante erste Ableitung?

Accepted Answer

f(x) = mx + b

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = sin(x)

Question 53

Welche der folgenden Substitutionen kann verwendet werden, um das Integral von ∫ sin(2x) dx zu lösen?

Accepted Answer

u = 2x

Answer

u = cos(x)

Answer

u = tan(x)

Answer

u = sin(x)

Question 54

Welche der folgenden Aussagen ist eine Anwendung der Differentialrechnung in der Physik?

Accepted Answer

Berechnung der Geschwindigkeit eines bewegten Objekts aus seiner Beschleunigung

Answer

Berechnung des Volumens eines Würfels aus seiner Kantenlänge

Answer

Berechnung der Fläche eines Kreises aus seinem Radius