Stetigkeit lernen: Interaktive Übungen und Quizze für den Mathematikunterricht

Question 1

Welche der folgenden Aussagen über die Stetigkeit einer Funktion f(x) an einem Punkt x=a ist korrekt?

Accepted Answer

f(x) ist an x=a stetig, wenn der Grenzwert von f(x) für x gegen a existiert und gleich f(a) ist.

Answer

f(x) ist an x=a stetig, wenn der Grenzwert von f(x) für x gegen a existiert und gleich 0 ist.

Answer

f(x) ist an x=a stetig, wenn der Funktionswert f(a) existiert.

Answer

f(x) ist an x=a stetig, wenn die Funktion f(x) an x=a eine vertikale Asymptote hat.

Question 2

Welches der folgenden Kriterien ist ausreichend, um die Stetigkeit einer Funktion f(x) an einem Punkt x=a nachzuweisen?

Accepted Answer

f(x) ist an x=a rechts- und linksseitig stetig.

Answer

f(x) ist an x=a differenzierbar.

Answer

f(x) hat an x=a eine vertikale Asymptote.

Answer

f(x) ist an x=a monoton wachsend.

Question 3

Welche der folgenden Aussagen ist äquivalent zur Aussage, dass f(x) an einem Punkt x=a stetig ist?

Accepted Answer

Für jedes ε > 0 existiert ein δ > 0, so dass |f(x) - f(a)| < ε, wenn |x - a| < δ.

Answer

Der Graph von f(x) hat an der Stelle x=a keine Unterbrechung.

Answer

f(x) hat an der Stelle x=a keine Definitionslücke.

Answer

f(x) ist an der Stelle x=a differenzierbar.

Question 4

Welche der folgenden Aussagen über die Stetigkeit der Funktion f(x) = (x-1)/(x^2-1) ist richtig?

Accepted Answer

f(x) hat einen Stetigkeitsbruch an x=1.

Answer

f(x) ist für alle x ≠ ±1 stetig.

Answer

f(x) hat einen Stetigkeitsbruch an x=-1.

Answer

f(x) hat einen Stetigkeitsbruch an x=0.

Question 5

Welche der folgenden Funktionen ist auf dem Intervall [0,1] stetig?

Accepted Answer

f(x) = |x-0,5|

Answer

f(x) = sin(1/x)

Answer

f(x) = √(x-1)

Answer

f(x) = 1/(x-0,5)

Question 6

Welche der folgenden Funktionen ist im Intervall [0, 1] nicht stetig?

Accepted Answer

f(x) = 1/(x-1)²

Answer

f(x) = x³

Answer

f(x) = x² - 1

Answer

f(x) = |x - 1/2|

Question 7

Welche der folgenden Aussagen ist eine Folgerung aus der Stetigkeit einer Funktion?

Accepted Answer

Sie kann lokale Extrema haben.

Answer

Sie ist monoton wachsend.

Answer

Sie ist konvex.

Answer

Sie ist beschränkt.

Question 8

Welche der folgenden Aussagen zur Stetigkeit einer Funktion f an der Stelle x0 ist korrekt?

Accepted Answer

Der Grenzwert von f(x) für x gegen x0 ist gleich f(x0).

Answer

f(x0) ist definiert.

Answer

Der Graph der Funktion f und der ihrer Ableitung schneiden sich im Punkt (x0, f(x0)).

Answer

Die Ableitung von f existiert an der Stelle x0.

Question 9

Welcher Grenzwert ist gleich lim_(x->0) (sin(x) / x)?

Accepted Answer

0

Answer

1

Answer

e

Answer

∞

Question 10

An welcher Stelle ist die Funktion f(x) = (x² - 1) / (x - 1) nicht stetig?

Accepted Answer

x = 1

Answer

x = 0

Answer

x = 2

Answer

Die Funktion ist überall stetig.

Question 11

Welche der folgenden Funktionen ist in jedem Punkt stetig differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = x³ + 2x

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = 1/(x - 1)

Answer

f(x) = sin(x) / x

Question 12

Welche Folge konvergiert gegen eine stetige Funktion?

Accepted Answer

{sin(nx) : n ∈ ℕ}

Answer

{1/n : n ∈ ℕ}

Answer

{(-1)^n : n ∈ ℕ}

Answer

{n : n ∈ ℕ}

Question 13

Welche Aussage definiert die Stetigkeit einer Funktion f an der Stelle x0 korrekt?

Accepted Answer

f(x0) existiert und ist gleich lim x->x0 f(x).

Answer

f(x0) existiert und ist ungleich lim x->x0 f(x).

Answer

f(x) existiert und ist gleich lim x->x0 f(x).

Answer

f(x) existiert und ist ungleich lim x->x0 f(x).

Question 14

An welcher Stelle ist die Funktion f(x) = |x-1| nicht stetig?

Accepted Answer

x = 1

Answer

x = 0

Answer

x = 2

Answer

f(x) ist an allen Stellen stetig.

Question 15

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 0 nicht stetig?

Accepted Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 16

Sei f(x) = (x-1)/(x^2-1). Welche Aussage über die Stetigkeit von f(x) an der Stelle x = 1 ist korrekt?

Accepted Answer

f(x) ist an der Stelle x = 1 nicht stetig.

Answer

f(x) ist an der Stelle x = 1 stetig.

Answer

f(x) ist sowohl an der Stelle x = 1 als auch an der Stelle x = -1 nicht stetig.

Answer

Es kann keine Aussage über die Stetigkeit von f(x) an der Stelle x = 1 getroffen werden.

Question 17

Welche der folgenden Funktionen ist im Intervall [0,1] nicht stetig?

Accepted Answer

f(x) = |x-1/2|

Answer

f(x) = x

Answer

f(x) = e^-x

Answer

f(x) = sin(pi*x)

Question 18

Definieren Sie die Stetigkeit einer Funktion f(x) an einer Stelle c.

Accepted Answer

f(x) ist stetig an c, wenn der Grenzwert von f(x) für x gegen c existiert und mit f(c) übereinstimmt.

Answer

f(x) ist stetig an c, wenn der Graph von f(x) an c keine Unterbrechung aufweist.

Answer

f(x) ist stetig an c, wenn die Ableitung von f(x) an c existiert.

Answer

f(x) ist stetig an c, wenn das Integral von f(x) über c existiert.

Question 19

Welche Funktion ist an der Stelle x = 0 stetig?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = 1 / (x^2 - 4)

Answer

f(x) = 1 / (x - 2)

Answer

f(x) = tan(x)

Question 20

Welche der folgenden Aussagen ist falsch?

Accepted Answer

Eine stetige Funktion kann an einer Stelle nicht differenzierbar sein.

Answer

Eine stetige Funktion ist auch integrierbar.

Answer

Eine unstetige Funktion kann an einer Stelle einen Grenzwert haben.

Answer

Eine stetige Funktion hat an jeder Stelle einen Funktionswert.

Question 21

Welche der folgenden Funktionen hat an keiner Stelle ihres Definitionsbereichs eine Unstetigkeit?

Accepted Answer

f(x) = x^2 + 1

Answer

f(x) = ln(x + 2)

Answer

f(x) = 1 / (x^2 - x - 2)

Answer

f(x) = tan(x) / sin(x)

Question 22

Welche Funktion ist an der Stelle x = 1 nicht stetig?

Accepted Answer

f(x) = |x - 1|

Answer

f(x) = x^2 - 1

Answer

f(x) = (x - 1)^2

Answer

f(x) = sin(x - 1)

Question 23

Welche Aussage beschreibt die Stetigkeit einer Funktion an einer Stelle korrekt?

Accepted Answer

Die Funktion besitzt an dieser Stelle einen Grenzwert, der dem Funktionswert entspricht.

Answer

Die Funktion ist an dieser Stelle ableitbar.

Answer

Die Funktion weist an dieser Stelle einen Extremwert auf.

Answer

Die Funktion ist an dieser Stelle monoton.

Question 24

Welche Eigenschaft trifft auf eine stetige Funktion zu?

Accepted Answer

Ihr Graph besitzt keine Lücken oder Unterbrechungen.

Answer

Ihre Ableitung ist an allen Stellen definiert.

Answer

Ihr Integral existiert über alle Intervalle.

Answer

Sie besitzt an jeder Stelle einen Grenzwert.

Question 25

Welchen Grenzwert besitzt die Funktion f(x) = (x-1)^2 für x gegen 1?

Accepted Answer

0

Answer

1

Answer

2

Answer

unendlich

Question 26

Welche der folgenden Funktionen ist an keiner Stelle stetig?

Accepted Answer

f(x) = x/(x-1)

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x^2 + 1

Answer

f(x) = e^(-x)

Question 27

Welche der folgenden Aussagen ist falsch für eine stetige Funktion?

Accepted Answer

Sie kann einen Sprung aufweisen.

Answer

Sie kann lokale Extrema besitzen.

Answer

Sie kann eine Umkehrfunktion besitzen.

Answer

Sie kann als Graph in der Ebene dargestellt werden.

Question 28

Welche der folgenden Funktionen ist auf dem Intervall [-1, 1] stetig?

Accepted Answer

f(x) = |x-1|

Answer

f(x) = 1/(x^2-1)

Answer

f(x) = e^(1/x)

Answer

f(x) = sin(1/x)

Question 29

Welche der folgenden Funktionen ist am Punkt x = 1 nicht stetig?

Accepted Answer

f(x) = 1/(x - 1)

Answer

f(x) = x³ - 2x² + x - 1

Answer

f(x) = sin(x - 1)

Answer

f(x) = e^(x - 1)

Question 30

Kannst du aus der Aussage, dass lim x->0 f(x) = 2 ist, schließen, dass die Funktion f(x) an der Stelle x = 0 stetig ist?

Accepted Answer

Nein, denn die Funktion könnte an der Stelle x = 0 einen Sprung oder eine Definitionslücke aufweisen.

Answer

Ja, denn die Funktion hat an der Stelle x = 0 einen Grenzwert.

Question 31

Was bezeichnet der Grenzwert einer Funktion an einer Stelle?

Accepted Answer

Den Wert, dem sich die Funktion nähert, wenn die Variable sich der Stelle annähert

Answer

Den Wert, den die Funktion an der Stelle annimmt

Answer

Die Steigung der Funktion an der Stelle

Answer

Den Abstand zwischen dem Funktionswert und dem Grenzwert

Question 32

Welche Funktion ist an der Stelle x = π stetig?

Accepted Answer

f(x) = sin(x) + cos(x)

Answer

f(x) = tan(x)

Answer

f(x) = cot(x)

Answer

f(x) = 1/sin(x)

Question 33

Welche der folgenden Bedingungen ist ausreichend für die Stetigkeit einer Funktion f(x) an der Stelle x0?

Accepted Answer

lim_(x->x0) f(x) = f(x0).

Answer

f(x0) existiert.

Answer

lim_(x->x0) f(x) existiert.

Answer

f'(x0) existiert.

Question 34

Welche der folgenden Aussagen beschreibt eine wichtige Eigenschaft der Stetigkeit einer Funktion f(x) an der Stelle x = a korrekt?

Accepted Answer

Der Grenzwert von f(x) für x gegen a existiert und ist gleich f(a).

Answer

Die Funktion f(x) ist an der Stelle x = a nicht definiert.

Answer

Die Ableitung von f(x) an der Stelle x = a existiert.

Answer

Die zweite Ableitung von f(x) an der Stelle x = a existiert.

Question 35

Welches Kriterium wird verwendet, um die Stetigkeit einer rationalen Funktion an einer Stelle zu überprüfen?

Accepted Answer

Grenzwertkriterium

Answer

Cauchy-Folgenkriterium

Answer

Epsilon-Delta-Kriterium

Answer

Zwischenwertsatz

Question 36

Welche Bedingung muss eine Funktion f(x) an der Stelle x = a erfüllen, damit sie dort stetig ist?

Accepted Answer

Der Grenzwert von f(x) für x gegen a existiert und ist endlich.

Answer

Der Grenzwert von f(x) für x gegen a existiert und ist unendlich.

Answer

Die Ableitung von f(x) an der Stelle x = a existiert.

Answer

Die zweite Ableitung von f(x) an der Stelle x = a existiert.

Question 37

Welche der folgenden Funktionen ist im Intervall (-∞, ∞) nicht stetig?

Accepted Answer

f(x) = 1/(x-1)

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = e^x

Question 38

Welche Aussage über die Stetigkeit der Funktion f(x) = sin(x) + cos(x) ist korrekt?

Accepted Answer

Sie ist an allen reellen Zahlen stetig.

Answer

Sie ist nur an geraden Vielfachen von π/2 stetig.

Answer

Sie ist nur an ungeraden Vielfachen von π/2 stetig.

Answer

Sie ist an keiner reellen Zahl stetig.

Question 39

Welche der folgenden Aussagen ist eine mögliche Folgerung aus dem Zwischenwertsatz?

Accepted Answer

Eine stetige Funktion nimmt zwischen zwei Punkten jeden dazwischenliegenden Wert an.

Answer

Eine stetige Funktion kann keine Sprungstellen haben.

Answer

Eine stetige Funktion muss monoton sein.

Answer

Eine stetige Funktion kann keine Asymptoten haben.

Question 40

Welche Aussage ist eine notwendige Bedingung für die Stetigkeit einer Funktion f(x) an der Stelle x = a?

Accepted Answer

Der Grenzwert von f(x) für x gegen a existiert.

Answer

Die Funktion f(x) ist an der Stelle x = a differenzierbar.

Answer

Die Funktion f(x) ist an der Stelle x = a stetig differenzierbar.

Answer

Der Funktionswert f(a) ist ungleich null.

Question 41

Welche Aussage ist eine hinreichende Bedingung für die Stetigkeit einer Funktion f(x) an der Stelle x = a?

Accepted Answer

Der Grenzwert von f(x) für x gegen a existiert und ist gleich f(a).

Answer

Die Funktion f(x) ist an der Stelle x = a stetig differenzierbar.

Answer

Die Ableitung von f(x) existiert an der Stelle x = a.

Answer

Die Funktion f(x) ist an jeder Stelle in einer Umgebung von x = a differenzierbar.

Question 42

Welche der folgenden Funktionen ist nicht an der Stelle x = 0 stetig?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = sin(x)

Question 43

Welche der folgenden Funktionen ist an jeder Stelle stetig?

Accepted Answer

f(x) = x^3 + 2x - 1

Answer

f(x) = |x-1|

Answer

f(x) = 1/(x-1)

Answer

f(x) = sqrt(x)

Question 44

Welche Aussage ist für eine stetige Funktion f(x) richtig?

Accepted Answer

Der Graph von f(x) hat keine Sprünge oder Lücken.

Answer

Die Ableitung von f(x) existiert an jeder Stelle.

Answer

Die Funktion f(x) ist an jeder Stelle monoton.

Answer

Die Funktion f(x) hat an jeder Stelle einen Extrempunkt.

Question 45

Welche der folgenden Funktionen ist im Intervall [0, 1] nicht stetig?

Accepted Answer

f(x) = {x, wenn x rational; 1-x, wenn x irrational}

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x^2

Question 46

Welche der folgenden Funktionen hat an der Stelle x = 0 eine hebbare Unstetigkeitsstelle?

Accepted Answer

f(x) = {1, wenn x > 0; 0, wenn x <= 0}

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = 1/(x-1)

Answer

f(x) = sqrt(x)

Question 47

Welche Aussage ist für eine Funktion f(x) mit einer Unstetigkeitsstelle an der Stelle x = a richtig?

Accepted Answer

Der Grenzwert von f(x) für x gegen a von rechts und von links existiert, ist aber ungleich.

Answer

Der Grenzwert von f(x) für x gegen a existiert nicht.

Answer

Die Funktion f(x) ist an der Stelle x = a stetig.

Question 48

Welche Aussage über stetige Funktionen ist **falsch**?

Accepted Answer

Eine stetige Funktion kann an einer Stelle einen Sprung haben.

Answer

Eine stetige Funktion kann an einer Stelle differenzierbar sein.

Answer

Eine stetige Funktion hat in jedem Punkt ihres Definitionsbereichs einen Grenzwert.

Answer

Der Graph einer stetigen Funktion kann ohne Absetzen des Stiftes gezeichnet werden.

Question 49

Betrachte die Funktion f(x) = 1/x. Was lässt sich über ihre Stetigkeit an der Stelle x = 0 aussagen?

Accepted Answer

Die Funktion ist an der Stelle x = 0 nicht definiert und daher auch nicht stetig.

Answer

Die Funktion ist an der Stelle x = 0 stetig.

Answer

Die Funktion ist an der Stelle x = 0 stetig, aber nicht differenzierbar.

Answer

Die Funktion hat an der Stelle x = 0 eine hebbare Definitionslücke.

Question 50

Welche der folgenden Funktionen ist im Intervall [-1, 1] **nicht** stetig?

Accepted Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Question 51

Die Funktion f(x) = |x| hat an der Stelle x = 0 welche Eigenschaft?

Accepted Answer

Sie ist stetig, aber nicht differenzierbar.

Answer

Sie ist stetig und differenzierbar.

Answer

Sie ist nicht stetig.

Answer

Sie hat eine hebbare Definitionslücke.

Question 52

Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit eine Funktion f(x) an der Stelle x = a stetig ist?

Accepted Answer

Der Grenzwert von f(x) für x gegen a existiert und ist gleich f(a).

Answer

Die Funktion f(x) ist im gesamten Definitionsbereich stetig.

Answer

Die Funktion f(x) ist an der Stelle x = a definiert.

Answer

Die Ableitung von f(x) an der Stelle x = a existiert.

Question 53

Die Funktion f(x) = x² - 4 ist:

Accepted Answer

stetig auf ihrem gesamten Definitionsbereich.

Answer

nur im Intervall [0, 1] stetig.

Answer

nicht stetig auf ihrem gesamten Definitionsbereich.

Answer

nur an bestimmten Stellen stetig.

Question 54

Welche der folgenden Funktionen ist im Intervall [0, 2π] **nicht** stetig?

Accepted Answer

f(x) = tan(x)

Answer

f(x) = x² + 1

Answer

f(x) = cos(x)

Answer

f(x) = sin(x)

Question 55

Welche Aussage trifft auf eine stetige Funktion f(x) an der Stelle x₀ zu?

Accepted Answer

Der Grenzwert von f(x) für x gegen x₀ existiert und ist gleich f(x₀).

Answer

Der Graph von f(x) hat an der Stelle x₀ keinen Knick.

Answer

Die Ableitung von f(x) existiert an der Stelle x₀.

Question 56

Ist die Funktion f(x) = |x| an der Stelle x = 0 stetig?

Accepted Answer

Nein, f(x) ist an der Stelle x = 0 nicht stetig.

Answer

Nein, f(x) ist an keiner Stelle stetig.

Answer

Die Information ist nicht gegeben.

Answer

Ja, f(x) ist an der Stelle x = 0 stetig.

Question 57

Ist die Funktion f(x) = x² - 4x + 3 an der Stelle x = 2 stetig?

Accepted Answer

Ja, f(x) ist an der Stelle x = 2 stetig.

Answer

Nein, f(x) ist an der Stelle x = 2 nicht stetig.

Answer

Die Information ist nicht gegeben.

Answer

Nein, f(x) ist an keiner Stelle stetig.

Question 58

Ist die Funktion f(x) = {(x, 1) | x rational}, {(x, 0) | x irrational} an der Stelle x = 0 stetig?

Accepted Answer

Nein, f(x) ist an der Stelle x = 0 nicht stetig.

Answer

Ja, f(x) ist an der Stelle x = 0 stetig.

Answer

Die Information ist nicht gegeben.

Answer

Nein, f(x) ist an keiner Stelle stetig.

Question 59

Wenn f(x) eine stetige Funktion und g(x) an der Stelle x₀ unstetig ist, welche Aussage trifft dann zu?

Accepted Answer

Die Funktion f(g(x)) ist an der Stelle x₀ möglicherweise unstetig.

Answer

Die Funktion f(g(x)) ist an der Stelle x₀ immer stetig.

Answer

Die Funktion f(g(x)) ist an der Stelle x₀ unstetig.

Question 60

Welche Aussage trifft auf eine stetige Funktion f(x) zu?

Accepted Answer

Der Graph von f(x) besitzt keine Sprünge.

Answer

Die Funktion f(x) nimmt an jeder Stelle Werte an.

Answer

Die Ableitung von f(x) existiert an jeder Stelle.

Answer

Die Steigung des Graphen von f(x) ist an jeder Stelle definiert.