Reihen in der Mathematik: Konvergenz und Divergenz verstehen

Question 1

Welche Aussage über Reihen ist falsch?

Accepted Answer

Eine Reihe kann sowohl konvergieren als auch divergieren.

Answer

Eine Reihe ist eine unendliche Folge von Zahlen.

Answer

Eine Reihe konvergiert, wenn die Grenzwert der Folge der Partialsummen existiert.

Answer

Eine Reihe divergiert, wenn die Folge der Partialsummen nicht beschränkt ist.

Question 2

Welche der folgenden Reihen ist eine alternierende Reihe?

Accepted Answer

1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...

Answer

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

Answer

1 + 2 + 3 + 4 + ...

Answer

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...

Question 3

Welche der folgenden Reihen ist eine teleskopische Reihe?

Accepted Answer

(1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + ...

Answer

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

Answer

1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...

Answer

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...

Question 4

Bestimmen Sie den Grenzwert der folgenden teleskopischen Reihe: (1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + ...

Accepted Answer

1

Answer

1/2

Answer

0

Answer

Unendlich

Question 5

Bestimmen Sie, ob die Reihe 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... konvergiert oder divergiert.

Accepted Answer

Konvergent

Answer

Divergent

Question 6

Bestimmen Sie, ob die Reihe 1 + 3 + 5 + 7 + ... konvergiert oder divergiert.

Accepted Answer

Divergent

Answer

Konvergent

Question 7

Welche der folgenden Reihen ist eine geometrische Reihe?

Accepted Answer

1, 2, 4, 8, ...

Answer

1, 3, 5, 7, ...

Answer

1, 1/2, 1/4, 1/8, ...

Answer

1, 2, 3, 4, ...

Question 8

Welche der folgenden Reihen ist eine alternierende Reihe?

Accepted Answer

1, -1, 1, -1, ...

Answer

1, 2, 3, 4, ...

Answer

1, 1/2, 1/4, 1/8, ...

Answer

1, 4, 9, 16, ...

Question 9

Die harmonische Reihe ist:

Accepted Answer

divergent

Answer

konvergent

Answer

alternierend

Answer

geometrisch

Question 10

Was ist eine Reihe in der Mathematik?

Accepted Answer

Eine unendliche Summe von Zahlen.

Answer

Eine Folge von Zahlen, die sich einem bestimmten Wert nähert.

Answer

Eine Funktion, die für jede Zahl einen Wert liefert.

Question 11

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Reihe 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... am treffendsten?

Accepted Answer

Sie konvergiert gegen 1.

Answer

Sie divergiert gegen ∞.

Answer

Sie divergiert gegen -1.

Answer

Sie oszilliert.

Question 12

Bestimmen Sie, ob die Reihe 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... konvergiert oder divergiert.

Accepted Answer

Konvergent

Answer

Divergent

Question 13

Untersuchen Sie, ob die Reihe 1 + 1/e + 1/e^2 + 1/e^3 + ... konvergiert.

Accepted Answer

Konvergent

Answer

Divergent

Question 14

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Reihe ∑(n=1 bis unendlich) 1/n am besten?

Accepted Answer

Sie divergiert.

Answer

Sie konvergiert gegen 0.

Answer

Sie konvergiert gegen 1.

Answer

Es ist nicht bestimmbar, ob sie konvergiert oder divergiert.

Question 15

Welche der folgenden Reihen ist eine geometrische Reihe?

Accepted Answer

∑(n=1 bis unendlich) 1/(2^n)

Answer

∑(n=1 bis unendlich) 1/n^2

Answer

∑(n=1 bis unendlich) n^2

Answer

∑(n=1 bis unendlich) 1/n!

Question 16

Welche der folgenden Reihen stellt die Taylor-Reihe von sin(x) um x = 0 dar?

Accepted Answer

∑(n=0 bis unendlich) (-1)^n x^(2n+1) / (2n+1)!

Answer

∑(n=0 bis unendlich) x^n / n!

Answer

∑(n=1 bis unendlich) 1/n^2

Answer

∑(n=0 bis unendlich) (-1)^n x^n / n

Question 17

Die Reihe 1 + 2 + 4 + 8 + ... besteht aus lauter positiven Zahlen. Konvergiert sie oder divergiert sie? Wende das Divergenzkriterium an.

Accepted Answer

Die Reihe divergiert.

Answer

Die Reihe konvergiert.

Answer

Die Konvergenz der Reihe kann nicht bestimmt werden.

Question 18

Bestimme den Grenzwert der Reihe 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

1/2

Answer

unendlich

Question 19

Welche der folgenden Reihen ist eine geometrisch-arithmetische Reihe?

Accepted Answer

1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + ... (geometrisch-arithmetische Reihe)

Answer

1 + 2x + 4x^2 + 8x^3 + ... (geometrische Reihe)

Answer

1 + 2x + 3x^2 + 5x^3 + ... (weder geometrisch noch arithmetisch)

Answer

1 + 2x + 3x^2 + 6x^3 + ... (weder geometrisch noch arithmetisch)

Question 20

Welche der folgenden Aussagen beschreibt eine Reihe am besten?

Accepted Answer

Eine unendliche Folge von Zahlen, die eine Summe bilden

Answer

Eine geordnete Folge von Summen

Answer

Eine Summe von Zahlen, die ein endliches Ergebnis hat

Answer

Eine Funktion, die Zahlen zu Zahlen abbildet

Question 21

Bestimme die konvergente Reihe aus den folgenden Optionen:

Accepted Answer

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

Answer

1 + 2 + 3 + 4 + ...

Answer

1 - 1 + 1 - 1 + ...

Answer

2 + 4 + 6 + 8 + ...

Question 22

Welches Testkriterium eignet sich, um die Konvergenz der Reihe 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... zu prüfen?

Accepted Answer

Quotientenkriterium

Answer

Cauchy-Kriterium

Answer

Wurzelkriterium

Answer

Vergleichskriterium

Question 23

Welche Reihe ist alternierend?

Accepted Answer

1 - 1 + 1 - 1 + ...

Answer

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

Answer

2 + 4 + 6 + 8 + ...

Answer

1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ...

Question 24

Welches Kriterium kann verwendet werden, um die Konvergenz der alternierenden Reihe 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ... zu testen?

Accepted Answer

Leibniz-Kriterium

Answer

Quotientenkriterium

Answer

Cauchy-Kriterium

Answer

Wurzelkriterium

Question 25

Untersuchen Sie die Reihe 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ... auf Konvergenz oder Divergenz.

Accepted Answer

Divergent

Answer

Konvergent

Answer

Kann nicht bestimmt werden

Question 26

Untersuchen Sie die Reihe 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... auf Konvergenz oder Divergenz gemäß dem Vergleichskriterium.

Accepted Answer

Konvergent

Answer

Divergent

Answer

Kann nicht bestimmt werden

Question 27

Welche Reihe ist divergent?

Accepted Answer

$sum_{n=1}^{infty} rac{1}{sqrt{n}}$

Answer

$sum_{n=1}^{infty} rac{1}{n^{3/2}}$

Answer

$sum_{n=1}^{infty} rac{n^2}{n^3}$

Answer

$sum_{n=1}^{infty} rac{1}{n!}$

Question 28

Welche Reihe ist monoton steigend?

Accepted Answer

$sum_{n=1}^{infty} rac{1}{2^n}$

Answer

$sum_{n=1}^{infty} (-1)^n$

Answer

$sum_{n=1}^{infty} rac{1}{n}$

Answer

$sum_{n=1}^{infty} rac{(-1)^n}{n^2}$

Question 29

Welche der folgenden Reihen ist divergent? Eine divergente Reihe ist eine Reihe, deren Summe keinen endlichen Grenzwert hat.

Accepted Answer

1/n

Answer

1/(n^2)

Answer

(n+1)/n

Answer

n/(n+1)

Question 30

Welche der folgenden Reihen ist eine p-Reihe? Eine p-Reihe ist eine Reihe, deren n-tes Glied 1/n^p ist, wobei p eine positive reelle Zahl ist.

Accepted Answer

1 + 1/2^p + 1/3^p + 1/4^p + ...

Answer

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

Answer

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...

Answer

1 + 1/(1+1) + 1/(1+1+1) + ...

Question 31

Welche der folgenden Reihen ist eine alternierende Reihe? Eine alternierende Reihe ist eine Reihe, deren Glieder abwechselnd positiv und negativ sind.

Accepted Answer

1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...

Answer

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

Answer

1 + r + r^2 + r^3 + ...

Answer

1 + 1/(1+1) + 1/(1+1+1) + ...

Question 32

Welche Aussage zur geometrischen Reihe ist korrekt?

Accepted Answer

Konvergiert für |a| < 1

Answer

Divergiert für |a| > 1

Answer

Konvergiert für |a| > 1

Answer

Divergiert für |a| < 1

Question 33

Welche der folgenden Reihen divergiert nach dem Divergenzkriterium?

Accepted Answer

1 + 2 + 3 + 4 + ...

Answer

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...

Answer

1/2 - 1/4 + 1/8 - 1/16 + ...

Answer

1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...

Question 34

Welche Aussage zur alternierenden harmonischen Reihe ist korrekt?

Accepted Answer

Konvergiert alternierend gegen 0

Answer

Konvergiert gegen 1

Answer

Divergiert gegen Unendlich

Answer

Divergiert alternierend gegen Unendlich

Question 35

Welche der folgenden Reihen ist eine teleskopische Reihe?

Accepted Answer

1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...

Answer

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...

Answer

1 + 2 + 3 + 4 + ...

Answer

1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ...

Question 36

Welche der folgenden Aussagen über eine geometrische Reihe ist korrekt?

Accepted Answer

Sie konvergiert für |q| < 1.

Answer

Sie konvergiert für alle positiven Werte von q.

Answer

Sie divergiert für q = -1.

Answer

Sie divergiert für |q| > 1.

Question 37

Die Konvergenz einer Reihe hängt von welcher Bedingung ab?

Accepted Answer

Existenz des Grenzwertes der Folgenglieder

Answer

Existenz des Limes superior

Answer

Existenz des Limes inferior

Answer

Existenz der Summe der Reihe

Question 38

Berechnen Sie die Summe der Reihe 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

3

Answer

unendlich

Question 39

Welche Aussage über konvergente Reihen ist richtig?

Accepted Answer

Die Summe aller Folgenglieder ist endlich.

Answer

Die Grenzwerte der Folgenglieder konvergieren gegen Unendlich.

Answer

Die Summe der Folgenglieder ist immer kleiner als der Betrag des ersten Folgengliedes.

Answer

Die Summe der Folgenglieder ist immer größer als die Summe der ersten n Folgenglieder.

Question 40

Wie lautet die Summenformel für eine endliche geometrische Reihe mit Anfangsglied a und Quotienten q?

Accepted Answer

S_n = a * (1 - q^n) / (1 - q)

Answer

S_n = a * (1 - q^n) / (1 + q)

Answer

S_n = a * (1 + q^n) / (1 - q)

Answer

S_n = a * (1 + q^n) / (1 + q)

Question 41

Welches Konvergenzkriterium besagt, dass eine alternierende Reihe konvergiert, wenn die Beträge ihrer Folgenglieder monoton fallend sind?

Accepted Answer

Leibniz-Kriterium

Answer

Cauchy-Kriterium

Answer

Cauchysches Folgekriterium

Answer

Vergleichskriterium

Question 42

Untersuchen Sie, ob die harmonische Reihe 1 + 1 / 2 + 1 / 4 + 1 / 8 + ... konvergiert oder divergiert.

Accepted Answer

Divergent

Answer

Konvergent

Answer

Konditional konvergent

Answer

Absolut konvergent

Question 43

Berechnen Sie den Grenzwert der Folge (aₙ) mit aₙ = (1 + 1 / n)ⁿ.

Accepted Answer

e

Answer

1

Answer

0

Answer

n

Question 44

Welche Aussage über die Reihe 1 - 1 / 2 + 1 / 3 - 1 / 4 + ... trifft zu?

Accepted Answer

Sie ist alternierend und konvergiert.

Answer

Sie ist nicht alternierend und divergiert.

Answer

Sie ist nicht alternierend und konvergiert.

Answer

Sie ist alternierend und divergiert.

Question 45

Welche der folgenden Aussagen über die geometrische Reihe ( sumlimits_{n=1}^infty a_n = sumlimits_{n=1}^infty ar^{n-1} ) ist wahr?

Accepted Answer

Sie konvergiert genau dann, wenn ( |r| < 1 ).

Answer

Sie divergiert immer.

Answer

Sie konvergiert immer.

Answer

Sie konvergiert genau dann, wenn ( |r| > 1 ).

Question 46

Bestimmen Sie die Summe der Reihe ( sumlimits_{n=1}^infty rac{1}{n(n+1)} ).

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

Unendlich

Answer

2

Question 47

Welche der folgenden Aussagen ist wahr für die Reihe ( sumlimits_{n=1}^infty rac{n^2+2n+1}{n^3+3n^2+2n} )?

Accepted Answer

Sie ist konvergent nach dem Vergleichskriterium.

Answer

Sie ist divergent nach dem Vergleichskriterium.

Answer

Sie ist konvergent nach dem Quotientenkriterium.

Answer

Sie ist divergent nach dem Quotientenkriterium.

Question 48

Eine geometrische Reihe ist konvergent, wenn:

Accepted Answer

|q| < 1

Answer

|q| = 0

Answer

|q| > 1

Answer

|q| = 1

Question 49

Welche der folgenden Reihen ist alternativ konvergent?

Accepted Answer

∑(n=1 bis ∞) (-1)^n / n

Answer

∑(n=1 bis ∞) n

Answer

∑(n=1 bis ∞) n^2

Answer

∑(n=1 bis ∞) 1/n

Question 50

Welche der folgenden Reihen ist eine p-Reihe?

Accepted Answer

1/2^n + 1/3^n + 1/4^n + ...

Answer

1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + ...

Answer

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...

Answer

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...

Question 51

Welche Aussage über die Reihe 1 + 2 + 4 + 8 + ... ist korrekt?

Accepted Answer

Sie ist divergent.

Answer

Sie ist konvergent mit dem Grenzwert 4.

Answer

Sie ist konvergent mit dem Grenzwert 2.

Answer

Sie ist konvergent mit dem Grenzwert 1.

Question 52

Welche der folgenden Reihen ist eine geometrische Reihe?

Accepted Answer

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

Answer

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...

Answer

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...

Answer

1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...

Question 53

Untersuchen Sie die Konvergenz/Divergenz der Reihe 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...

Accepted Answer

Konvergent (geometrische Reihe)

Answer

Konvergent (arithmetische Reihe)

Answer

Die Konvergenz hängt vom ersten Summanden ab

Answer

Divergent

Question 54

Welche der folgenden Aussagen zur Reihe 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... ist richtig?

Accepted Answer

Die Reihe ist geometrisch mit Konvergenzfaktor 1/2

Answer

Die Reihe ist keine der genannten

Answer

Die Reihe ist harmonisch mit Konvergenzfaktor 1/2

Answer

Die Reihe ist alternierend mit Konvergenzfaktor 1/2

Question 55

Welche Aussage zur harmonischen Reihe 1 + 1/2 + 1/3 + ... ist korrekt?

Accepted Answer

Die Reihe divergiert

Answer

Die Konvergenz hängt vom ersten Summanden ab

Answer

Die Reihe konvergiert gegen 2

Question 56

Welche Bedingung muss der Konvergenzfaktor q einer geometrischen Reihe erfüllen, damit die Reihe konvergiert?

Accepted Answer

|q| < 1

Answer

q = 0

Answer

q = 1

Answer

|q| > 1

Question 57

Bestimmen Sie die Konvergenz/Divergenz der Reihe 1 + 1/2² + 1/3³ + 1/4⁴ + ...

Accepted Answer

Konvergent (p-Reihe mit p > 1)

Answer

Die Konvergenz hängt von der Anzahl der Summanden ab

Answer

Divergent

Answer

Konvergent (p-Reihe mit p <= 1)

Question 58

Die Reihe ∑(n=1 bis unendlich) ((-1)^n * n/2^n) ist:

Accepted Answer

alternierend konvergent

Answer

konvergent

Answer

divergent

Question 59

Welche der folgenden Reihen ist eine harmonische Reihe?

Accepted Answer

∑(n=1 bis unendlich) 1/n

Answer

∑(n=1 bis unendlich) n

Answer

∑(n=1 bis unendlich) 1/n^2

Question 60

Die Reihe ∑(n=1 bis unendlich) 1/(n * (n+1)) ist:

Accepted Answer

teleskopierbar

Answer

alternierend

Answer

geometrisch

Question 61

Was ist das allgemeine Glied der geometrischen Reihe 2 + 4 + 8 + 16 + ...?

Accepted Answer

a_n = 2^n

Answer

a_n = 2n

Answer

a_n = n^2

Question 62

Welche der folgenden Reihen konvergiert?

Accepted Answer

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...

Answer

1 - 1 + 1 - 1 + ...

Answer

1 + 2 + 3 + 4 + ...

Answer

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...

Question 63

Welche der folgenden Reihen divergiert?

Accepted Answer

1 + 2 + 3 + 4 + ...

Answer

1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...

Answer

1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81 + ...

Answer

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...

Question 64

Welche der folgenden Reihen ist eine harmonische Reihe?

Accepted Answer

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...

Answer

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...

Answer

1 + 3 + 5 + 7 + ...