Ableitungen lernen: Interaktive Übungen und Quizze für die Einführungsphase

Question 1

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = x^2 + 2x - 3.

Accepted Answer

2x + 2

Answer

x^2 + 2

Answer

x + 2

Answer

2x - 3

Question 2

Wo hat die Funktion f(x) = |x| einen Knickpunkt?

Accepted Answer

x = 0

Answer

x = 1

Answer

x = -1

Answer

Die Funktion hat keinen Knickpunkt.

Question 3

Welche Funktion ist konkav nach unten?

Accepted Answer

f(x) = -x^2

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = |x|

Question 4

Wann hat eine Funktion einen Extremwert?

Accepted Answer

Wenn die erste Ableitung null ist

Answer

Wenn die zweite Ableitung null ist

Answer

Wenn die erste und zweite Ableitung null sind

Answer

Wenn die Funktion einen Knickpunkt hat

Question 5

Welche Art von Singularität hat die Funktion f(x) = 1/(x-2) bei x = 2?

Accepted Answer

Pol

Answer

Wesentliche Singularität

Answer

Abhebbare Singularität

Answer

Pole der Ordnung 2

Question 6

Welche Funktion hat unendlich viele Wendepunkte?

Accepted Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = cos(x)

Answer

f(x) = tan(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 7

Bestimme die Ableitung von f(x) = x³:

Accepted Answer

3x²

Answer

4x³

Answer

3x

Answer

x²

Question 8

Welche Ableitungsregel wird verwendet, um die Ableitung von g(x) = sin(2x) zu berechnen?

Accepted Answer

Kettenregel

Answer

Produktregel

Answer

Quotientenregel

Answer

Exponentialregel

Question 9

Was ist die Ableitung der konstanten Funktion f(x) = 5?

Accepted Answer

0

Answer

5

Answer

x

Answer

5x

Question 10

Welcher geometrische Zusammenhang besteht zwischen der Ableitung einer Funktion und der Tangente an ihren Graphen?

Accepted Answer

Die Ableitung gibt die Steigung der Tangente an.

Answer

Die Ableitung gibt den y-Achsenabschnitt der Tangente an.

Answer

Die Ableitung gibt den Abstand zwischen der Tangente und dem Graphen an.

Answer

Die Ableitung gibt den Schnittpunkt der Tangente mit der x-Achse an.

Question 11

Welche der folgenden Funktionen hat eine negative Ableitung für alle x?

Accepted Answer

y = -x

Answer

y = x²

Answer

y = sin(x)

Answer

y = e^x

Question 12

Betrachte die Funktion f(x) = |x|. Welche Aussage über ihre Ableitung ist korrekt?

Accepted Answer

Sie existiert nicht an x = 0.

Answer

Sie ist an x = 0 gleich 0.

Answer

Sie ist an x = 0 gleich 1.

Answer

Sie ist an x = 0 gleich -1.

Question 13

Welche der folgenden Ableitungsregeln ermöglicht es, die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion zu berechnen?

Accepted Answer

Kettenregel

Answer

Produktregel

Answer

Quotientenregel

Answer

Summenregel

Question 14

Welche der folgenden Funktionen hat eine Ableitung, die immer negativ ist?

Accepted Answer

f(x) = e^(-x)

Answer

f(x) = x³

Answer

f(x) = -x² + 2x

Answer

f(x) = sin(x) + 1

Question 15

Wenn die zweite Ableitung f''(x) einer Funktion f(x) negativ ist, was trifft dann auf die Krümmung der Funktion zu?

Accepted Answer

Konkav nach unten

Answer

Konkav nach oben

Answer

Wendepunkt

Answer

Lokaler Hochpunkt

Question 16

Was gibt die Steigung einer Funktion an?

Accepted Answer

Die Steigung gibt die Änderung des Funktionswerts pro Einheit der Änderung der unabhängigen Variablen an.

Answer

Die Steigung gibt den Funktionswert an dieser Stelle an.

Answer

Die Steigung gibt die Krümmung der Funktion an.

Answer

Die Steigung gibt die Concavität der Funktion an.

Question 17

Was ist die Bedingung für die monotone Zunahme einer Funktion?

Accepted Answer

Die Ableitung der Funktion ist an allen Stellen positiv.

Answer

Die Ableitung der Funktion ist an allen Stellen negativ.

Answer

Die zweite Ableitung der Funktion ist an allen Stellen positiv.

Answer

Die Steigung des Graphen der Funktion ist an allen Stellen negativ.

Question 18

Welche der folgenden Funktionen ist nicht differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 19

Berechne die Ableitung von f(x) = ln(x):

Accepted Answer

1/x

Answer

x

Answer

-1/x

Answer

e^x

Question 20

Welche der folgenden Funktionen ist monoton steigend?

Accepted Answer

f(x) = e^x - 1

Answer

f(x) = x^2 - 2x + 1

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = 1/(x^2 + 1)

Question 21

Wie funktioniert der Taylorsatz bei der Approximation von Funktionen?

Accepted Answer

Er ermöglicht die Approximation einer Funktion um einen Punkt durch ein Polynom, das die Ableitungen der Funktion an diesem Punkt einbezieht.

Answer

Er dient zur Bestimmung von Integralen einer Funktion anhand ihrer Ableitungen.

Answer

Er hilft bei der Ermittlung der Nullstellen einer Funktion.

Answer

Er ist ausschließlich auf Polynomfunktionen anwendbar.

Question 22

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = 2x² - 5x + 3.

Accepted Answer

4x - 5

Answer

2x + 3

Answer

4x + 5

Answer

8x - 5

Question 23

Wie lautet die Ableitung der durch x² + y² = 1 definierten impliziten Funktion?

Accepted Answer

dy/dx = -x/y

Answer

dy/dx = x/y

Answer

dy/dx = y/x

Answer

dy/dx = -y/x

Question 24

Welche Ableitungsregel wird zur Berechnung der Ableitung von f(x) = ln(x²) angewendet?

Accepted Answer

Kettenregel

Answer

Potenzregel

Answer

Produktregel

Answer

Quotientenregel

Question 25

An welchen Stellen hat die Funktion mit der Ableitung f'(x) = x(x - 2) Wendepunkte?

Accepted Answer

x = 0 und x = 2

Answer

x = 0

Answer

x = 2

Answer

x = -2

Question 26

Was definiert die Ableitung einer Funktion?

Accepted Answer

Die momentane Änderungsrate einer Funktion

Answer

Die Steigung einer Tangente an einem bestimmten Punkt

Answer

Die maximale Höhe einer Funktion

Answer

Die Fläche unter einer Funktion

Question 27

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = x³ + 2x² - 5:

Accepted Answer

3x² + 4x

Answer

x³ + 4x - 5

Answer

3x² - 5

Answer

x² + 4x

Question 28

Welche Regel gilt für die Ableitung der Summe zweier Funktionen f(x) und g(x)?

Accepted Answer

f'(x) + g'(x)

Answer

f'(x) - g'(x)

Answer

f'(g(x)) + g'(f(x))

Answer

f(x)g'(x) + g(x)f'(x)

Question 29

Bestimme die Ableitung der Funktion f(x) = sin(x):

Accepted Answer

cos(x)

Answer

sin(x)

Answer

-cos(x)

Answer

-sin(x)

Question 30

Welche Aussage zur Ableitung einer konstanten Funktion f(x) = c trifft zu?

Accepted Answer

f'(x) = 0

Answer

f'(x) = c

Answer

f'(x) = x

Answer

f'(x) = 1

Question 31

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = e^(3x):

Accepted Answer

3e^(3x)

Answer

e^(3x)

Answer

3x * e^(3x)

Answer

e^(3) * x

Question 32

Was bedeutet der Nullpunkt einer Ableitung?

Accepted Answer

Die Funktion hat an diesem Punkt eine horizontale Tangente.

Answer

Die Funktion hat an diesem Punkt ein Maximum.

Answer

Die Funktion hat an diesem Punkt ein Minimum.

Answer

Die Funktion ist an diesem Punkt nicht definiert.

Question 33

Wann ist eine Funktion f(x) streng monoton steigend?

Accepted Answer

f'(x) > 0

Answer

f'(x) < 0

Answer

f'(x) = 0

Answer

f'(x) ≠ 0

Question 34

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = ln(x²):

Accepted Answer

2x / x²

Answer

1 / x

Answer

2x

Answer

1 / (2x)

Question 35

Welche Funktion ist die Stammfunktion von f'(x) = sin(x) + cos(x)?

Accepted Answer

-cos(x) + sin(x) + C

Answer

cos(x) - sin(x) + C

Answer

-sin(x) - cos(x) + C

Answer

sin(x) + cos(x) + C

Question 36

Die Ableitung der Funktion f(x) = e^(2x) beträgt:

Accepted Answer

2e^(2x)

Answer

e^(2x)

Answer

2x e^(2x)

Answer

x e^(2x)

Question 37

Die Ableitung der Funktion f(x) = ln(x) lautet:

Accepted Answer

1/x

Answer

-1/x

Answer

x

Answer

-x

Question 38

Die Ableitung der Funktion f(x) = arctan(x) lautet:

Accepted Answer

1/(1+x²)

Answer

-(1/(1+x²)

Answer

(1+x²)

Answer

-(1+x²)

Question 39

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = 3x^2 + 5x - 2.

Accepted Answer

f'(x) = 6x + 5

Answer

f'(x) = 5x - 2

Answer

f'(x) = 3x^2 + 5

Answer

f'(x) = 6x - 2

Question 40

Bestimme die Ableitung der Funktion f(x) = (x^2 + 3)^-1.

Accepted Answer

f'(x) = -2x(x^2 + 3)^-2

Answer

f'(x) = (x^2 + 3) * -2x

Answer

f'(x) = (x^2 + 3)^-3 * -2x

Answer

f'(x) = -2x

Question 41

Bestimme die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion f(x) = x^3 - 2x^2 + 1 im Punkt (1, 0).

Accepted Answer

y = x - 1

Answer

y = 2x + 1

Answer

y = x + 1

Answer

y = 2x - 1

Question 42

Die Funktion f(x) ist konkav nach unten auf dem Intervall (-∞, 2]. Wie sieht die erste Ableitung von f(x) auf diesem Intervall aus?

Accepted Answer

f'(x) < 0

Answer

f'(x) = 0

Answer

f'(x) ist nicht monoton

Answer

f'(x) > 0

Question 43

Die Ableitung der Funktion f(x) = x³ ist:

Accepted Answer

f'(x) = 3x²

Answer

f'(x) = x²

Answer

f'(x) = 1

Answer

f'(x) = 3x

Question 44

Bestimme die Ableitung der Funktion f(x) = sin(2x).

Accepted Answer

f'(x) = 2cos(2x)

Answer

f'(x) = sin(x)

Answer

f'(x) = cos(2x)

Answer

f'(x) = -2sin(2x)

Question 45

Wie ist der Graph der Funktion f(x) = -x² beschaffen?

Accepted Answer

Der Graph ist nach unten geöffnet.

Answer

Der Graph schneidet die y-Achse bei y = 0.

Answer

Der Graph ist nach oben geöffnet.

Answer

Der Graph hat einen Wendepunkt bei x = 0.

Question 46

Wie lautet die Ableitung der Betragsfunktion f(x) = |x|?

Accepted Answer

f'(x) = 1 für x > 0 und f'(x) = -1 für x < 0

Answer

f'(x) = 1 für alle x

Answer

f'(x) existiert nicht bei x = 0

Answer

f'(x) = -1 für alle x

Question 47

Welche Aussage beschreibt am besten die Bedeutung der Ableitung einer Funktion?

Accepted Answer

Sie gibt die Änderungsrate der Funktion an.

Answer

Sie gibt die Steigung der Funktion an.

Answer

Sie gibt den Wert der Funktion an.

Question 48

Welche Formel beschreibt die Ableitung der Summe zweier Funktionen f(x) und g(x)?

Accepted Answer

(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x)

Answer

(f + g)'(x) = f(x) + g(x)

Answer

(f + g)'(x) = f'(x) - g'(x)

Question 49

Welches ist die Ableitung von h(x) = |x|?

Accepted Answer

h'(x) = { 1 für x > 0, -1 für x < 0 }

Answer

h'(x) = -x

Answer

h'(x) = x

Question 50

Welche Funktion ist die Stammfunktion von f(x) = 3x + 1?

Accepted Answer

F(x) = (3/2)x² + x + C

Answer

F(x) = x³ + x + C

Answer

F(x) = 3x + 1

Question 51

Wie lautet die Tangentensteigung an die Funktion f(x) = x² - x - 2 im Punkt (2,1)?

Accepted Answer

m = 3

Answer

m = 1

Answer

m = -1

Question 52

Welche Funktion hat einen Wendepunkt bei x = 2?

Accepted Answer

f(x) = x³ - 6x² + 11x - 6

Answer

f(x) = x² - 2x + 5

Answer

f(x) = x³ - 2x² + 3x

Question 53

Wie lautet die Ableitung der Funktion f(x) = e^(2x)?

Accepted Answer

f'(x) = 2 * e^(2x)

Answer

f'(x) = e^(4x)

Answer

f'(x) = e^(x)

Question 54

Was beschreibt am besten den Begriff der Ableitung?

Accepted Answer

Die Änderungsrate einer Funktion an einem Punkt

Answer

Der Flächeninhalt unter einer Kurve

Answer

Die Geschwindigkeit einer sich bewegenden Masse

Question 55

Bestimme die Ableitung der Funktion f(x) = x^2 + 3x.

Accepted Answer

2x + 3

Answer

1

Answer

2x

Answer

x^2 + 3

Question 56

Welche Regel wird zur Berechnung der Ableitung einer zusammengesetzten Funktion verwendet?

Accepted Answer

Kettenregel: (f o g)'(x) = f'(g(x)) * g'(x)

Answer

Quotientenregel: (f o g)'(x) = f'(g(x)) / g'(x)

Answer

Produktregel: (f o g)'(x) = f'(x) + g'(x)

Question 57

Welcher Grenzwert muss erfüllt sein, damit eine Funktion an einem Punkt differenzierbar ist?

Accepted Answer

Beide einseitige Grenzwerte stimmen überein.

Answer

Der einseitige Grenzwert von links existiert.

Answer

Die Funktion ist an dem Punkt stetig.

Answer

Der einseitige Grenzwert von rechts existiert.

Question 58

Was ist die Ableitung der Funktion  f(x) = 3x² - 2x + 5?

Accepted Answer

6x - 2

Answer

9x² - 2x

Answer

6x² - 4x

Answer

3x - 2

Question 59

Was zeigt die Ableitung einer Funktion an einer bestimmten Stelle x an?

Accepted Answer

Die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion an der Stelle x.

Answer

Die Länge des Graphen der Funktion von 0 bis x.

Answer

Die Fläche unter dem Graphen der Funktion zwischen 0 und x.

Answer

Den Wert der Funktion an der Stelle x.

Question 60

Finde die Nullstellen der Ableitung der Funktion f(x) = x³ - 3x² + 2x.

Accepted Answer

x = 0, x = 1, x = 2

Answer

x = 0, x = 2

Answer

x = -1, x = 1

Answer

x = -2, x = 0

Question 61

Welche Funktion ist die Ableitung von f(x) = e^x?

Accepted Answer

f'(x) = e^x

Answer

f'(x) = 1

Answer

f'(x) = 0

Answer

f'(x) = x^e

Question 62

Wie groß ist die Steigung der Sekante an der Funktion f(x) = sin(x) zwischen den Stellen x = 0 und x = π/3?

Accepted Answer

√3/2

Answer

√3/3

Answer

0

Answer

1

Question 63

Was beschreibt die zweite Ableitung einer Funktion?

Accepted Answer

Die Krümmung des Funktionsgraphen.

Answer

Den globalen Höchst- oder Tiefpunkt der Funktion.

Answer

Die Asymptote der Funktion.

Answer

Die Steigung der Tangente an der Funktion.

Question 64

Wie lautet die Ableitung des Produkts zweier Funktionen f(x) und g(x)?

Accepted Answer

f'(x)g(x) + g'(x)f(x)

Answer

f'(x)g'(x)

Answer

(f(x)g(x))'

Answer

f'(x) - g'(x)