Integrale: Verstehe Stammfunktionen, Integrale und Flächeninhalte

Question 1

Welche Aussage über Stammfunktionen ist korrekt?

Accepted Answer

Eine Stammfunktion einer Funktion f(x) ist eine Funktion F(x), deren Ableitung f(x) ist.

Answer

Eine Stammfunktion einer Funktion f(x) ist eine Funktion G(x), deren zweite Ableitung f(x) ist.

Answer

Eine Stammfunktion einer Funktion f(x) ist eine Funktion H(x), deren dritte Ableitung f(x) ist.

Answer

Eine Stammfunktion einer Funktion f(x) ist eine Funktion I(x), deren vierte Ableitung f(x) ist.

Question 2

Welche geometrische Bedeutung hat ein bestimmtes Integral?

Accepted Answer

Flächeninhalt unter einer Kurve auf einem gegebenen Intervall

Answer

Volumen eines Körpers unter einer gegebenen Kurve

Answer

Länge einer Kurve über ein bestimmtes Intervall

Answer

Arbeit, die von einer Kraft über ein bestimmtes Intervall verrichtet wird

Question 3

Was ist die Ableitung des bestimmten Integrals von f(x) = eˣ über das Intervall [0, x]?

Accepted Answer

eˣ

Answer

x

Answer

0

Answer

1

Question 4

Welches der folgenden Integrale ist ein uneigentliches Integral?

Accepted Answer

∫₋∞¹¹ x² dx

Answer

∫₀¹ x dx

Answer

∫₁³ (x - 2) dx

Answer

∫₀² sin(x) dx

Question 5

Welche der folgenden Aussagen über Integralrechnung ist falsch?

Accepted Answer

Integrale sind immer positiv.

Answer

Integrale können verwendet werden, um Volumenkörper zu berechnen.

Answer

Die Integralrechnung ist ein Werkzeug zur Untersuchung von Änderungsraten.

Answer

Integrale können verwendet werden, um Arbeit zu berechnen.

Question 6

Welche Aussage über Konvergenztests für uneigentliche Integrale ist korrekt?

Accepted Answer

Alle oben genannten Aussagen sind korrekt.

Answer

Der Limesvergleichstest kann nur auf Integrale mit konvergenten Grenzwerten angewendet werden.

Answer

Der Integraltest kann verwendet werden, um zu testen, ob ein Integral konvergiert oder divergiert.

Answer

Der Vergleichstest kann verwendet werden, um zu testen, ob ein Integral absolut konvergiert.

Question 7

Welches Integral ist ein Beispiel für ein elliptisches Integral?

Accepted Answer

∫sqrt(1 - x²) dx

Answer

∫(x³ + 2x²) dx

Answer

∫(1/(x²+1)) dx

Answer

∫(e^x * sin(x)) dx

Question 8

Wie lautet die Regel der Integration durch Substitution? Nenne ein Anwendungsbeispiel.

Accepted Answer

Ersetze einen Teil des Integranden durch eine neue Variable.

Answer

Integriere den Integranden gliedweise.

Answer

Wende die partielle Integration an.

Answer

Nutze die Kettenregel.

Question 9

Welches der folgenden Gebiete ist durch die Funktion f(x) = |x| auf dem Intervall [-1, 1] dargestellt?

Accepted Answer

Eine Dreiecksfläche

Answer

Eine Kreisfläche

Answer

Eine Rechtecksfläche

Answer

Eine Parabel

Question 10

Welche der folgenden Aussagen über uneigentliche Integrale ist richtig?

Accepted Answer

Ein uneigentliches Integral kann sowohl konvergieren als auch divergieren.

Answer

Ein uneigentliches Integral kann nur konvergieren.

Answer

Ein uneigentliches Integral kann nur divergieren.

Answer

Ein uneigentliches Integral ist immer gleich Null.

Question 11

Welche Integrationstechnik ist anzuwenden, um das Integral von ∫(1 / (x^2 + 1)) dx zu lösen?

Accepted Answer

Trigonometrische Substitution

Answer

Partielle Integration

Answer

Substitution

Answer

Polarkoordinaten

Question 12

Welche der folgenden Aussagen über die Integralrechnung ist richtig?

Accepted Answer

Die Integralrechnung ist das Umgekehrte der Differentialrechnung.

Answer

Die Integralrechnung kann nur zur Berechnung von Flächeninhalten verwendet werden.

Answer

Die Integralrechnung ist eine relativ einfache mathematische Operation.

Answer

Die Integralrechnung wird nur in der Physik verwendet.

Question 13

Welches Verfahren eignet sich zur Berechnung des Flächeninhalts zwischen dem Graphen von f(x) und der x-Achse?

Accepted Answer

Integration

Answer

Multiplikation

Answer

Subtraktion

Answer

Differentiation

Question 14

Welche der folgenden Aussagen zur uneigentlichen Integration ist korrekt?

Accepted Answer

Ein uneigentliches Integral kann konvergieren oder divergieren.

Answer

Uneigentliche Integrale werden nur für rationale Funktionen verwendet.

Answer

Uneigentliche Integrale werden immer berechnet.

Question 15

Welche Integrationsmethode eignet sich zur Berechnung des Integrals von ∫√(x²+4) dx?

Accepted Answer

Trigonometrische Substitution (x = 2tan(θ))

Answer

Partielle Integration

Answer

Integration durch Brucherweiterung

Answer

Integration durch Teile

Question 16

Welche geometrische Interpretation hat das Integral ∫a b f(x) dx?

Accepted Answer

Flächeninhalt unter der Kurve y = f(x) zwischen x = a und x = b

Answer

Länge der Kurve y = f(x) zwischen x = a und x = b

Answer

Volumen des Körpers, der von der Fläche y = f(x) begrenzt wird

Question 17

Welcher der folgenden Integrale stellt die Länge des Bogens der Funktion f(x) = sqrt(x) von x = 0 bis x = 4 dar?

Accepted Answer

∫0 4 √(1 + (1/2x)²) dx

Answer

∫0 4 √((1/2x)² + 1) dx

Answer

∫0 4 sqrt(x) dx

Answer

∫0 4 (1 + (1/2x)²) dx

Question 18

Welches der folgenden ist ein Beispiel für eine uneigentliche Integrale?

Accepted Answer

∫0 ∞ e^(-2x) dx

Answer

∫π/2 π sin(x) dx

Answer

∫-1 1 x² dx

Answer

∫0 1 sin(x) dx

Question 19

Welcher Satz wird verwendet, um die Konvergenz uneigentlicher Integrale zu bestimmen?

Accepted Answer

Direkter Vergleich

Answer

Satz von Liouville

Answer

Satz von Cauchy

Answer

Mittelwertsatz

Question 20

Welche der folgenden Funktionen ist die Stammfunktion von f(x) = 2x + 1?

Accepted Answer

x² + x + C

Answer

log(x) + C

Answer

x³ + C

Question 21

Berechne das Integral von ∫(x² - 2x + 3) dx.

Accepted Answer

(x³/3) - (x²) + 3x + C

Answer

(x³/2) - (x²) + 3x + C

Answer

(x²) - (2x) + 3 + C

Question 22

Welche der folgenden Methoden kann verwendet werden, um den Flächeninhalt unter einer Kurve zu berechnen?

Accepted Answer

Integralrechnung

Answer

Lineare Algebra

Answer

Trigonometrie

Answer

Differentialrechnung

Question 23

Welche der folgenden Funktionen ist nicht differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x - 1|

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = x²

Question 24

Welche der folgenden Aussagen über das Integral ∫(x³/(x² + 1)) dx ist wahr?

Accepted Answer

Das Integral ist eine rationale Funktion.

Answer

Das Integral ist eine exponentielle Funktion.

Answer

Das Integral ist eine trigonometrische Funktion.

Question 25

Welche der folgenden Funktionen ist die Stammfunktion von f(x) = 2x?

Accepted Answer

F(x) = x² + C

Answer

F(x) = x³ + C

Answer

F(x) = 2x² + C

Question 26

Welches Integral berechnet die Fläche unter der Kurve f(x) = x² zwischen den Grenzen x = 0 und x = 2?

Accepted Answer

∫₀² x² dx

Answer

∫₀² x dx

Answer

∫₁² x² dx

Answer

∫₀¹ x² dx

Question 27

Welche der folgenden Aussagen über Integrale ist FALSCH?

Accepted Answer

Integrale können nur für stetige Funktionen bestimmt werden.

Answer

Integrale können zur Schwerpunktbestimmung einer Fläche herangezogen werden.

Answer

Integrale können zur Volumenberechnung eingesetzt werden.

Question 28

Bestimme die Stammfunktion von f(x) = sin(x) + cos(x).

Accepted Answer

F(x) = -cos(x) + sin(x) + C

Answer

F(x) = cos(x) - sin(x) + C

Answer

F(x) = -sin(x) - cos(x) + C

Answer

F(x) = sin(x) + cos(x) + C

Question 29

Wie lautet die Formel zur Berechnung des Volumens des Rotationskörpers, der durch Rotation der Kurve f(x) um die x-Achse zwischen den Grenzen x = a und x = b entsteht?

Accepted Answer

V = π ∫ₐᵇ [f(x)]² dx

Answer

V = ∫ₐᵇ f(x) dx

Answer

V = ∫ₐᵇ [f(x)]² dx

Answer

V = π ∫ₐᵇ f(x) dx

Question 30

Welche Substitution eignet sich am besten zur Berechnung des Integrals ∫ (x² + 1) / (x³ + 3x) dx?

Accepted Answer

u = x³ + 3x

Answer

u = x² + 1

Answer

u = x³

Answer

u = x

Question 31

Welches Integral berechnet die Bogenlänge der Kurve f(x) = x² zwischen den Grenzen x = 0 und x = 2?

Accepted Answer

∫₀² √(1 + [f'(x)]²) dx

Answer

∫₀² √(1 - [f(x)]²) dx

Answer

∫₀² √(1 + [f(x)]²) dx

Answer

∫₀² √(1 - [f'(x)]²) dx

Question 32

Welche der folgenden Funktionen ist die Stammfunktion von f(x) = 3x²?

Accepted Answer

F(x) = x³ + C

Answer

F(x) = x³

Answer

F(x) = 6x + C

Answer

F(x) = 6x² + C

Question 33

Welche der folgenden Integrale berechnet die Fläche unter der Kurve f(x) = x² zwischen den Grenzen x = 0 und x = 2?

Accepted Answer

∫₀² x² dx

Answer

∫₀² 2x dx

Answer

∫₀² x dx

Answer

∫₀² x³ dx

Question 34

Welche Integrationsmethode eignet sich am besten zur Berechnung des Integrals ∫ x² sin(x) dx?

Accepted Answer

Partielle Integration

Answer

Direkte Integration

Answer

Substitution

Answer

Numerische Integration

Question 35

Die Geschwindigkeit eines Objekts wird durch die Funktion v(t) = 2t + 1 m/s beschrieben. Wie berechnet man die zurückgelegte Strecke zwischen den Zeitpunkten t = 0 und t = 3 Sekunden?

Accepted Answer

∫₀³ (2t + 1) dt

Answer

∫₀³ (2t + 1)² dt

Answer

∫₀³ (2t + 1)³ dt

Answer

∫₀³ (2t + 1) / 3 dt

Question 36

Welche Aussage über Stammfunktionen ist korrekt?

Accepted Answer

Zwei Stammfunktionen einer Funktion unterscheiden sich nur durch eine Konstante.

Answer

Eine Funktion hat nur eine Stammfunktion.

Answer

Zwei Stammfunktionen einer Funktion sind immer identisch.

Question 37

Welche der folgenden Funktionen ist eine mögliche Stammfunktion von f(x) = 1/x?

Accepted Answer

ln|x| + C

Answer

1/x² + C

Answer

x + C

Answer

x² + C

Question 38

Welche Aussage über unbestimmte Integrale ist korrekt?

Accepted Answer

Ein unbestimmtes Integral ist eine Familie von Funktionen, die sich nur durch eine Konstante unterscheiden.

Answer

Ein unbestimmtes Integral ist eine bestimmte Zahl.

Question 39

Welcher Ausdruck stellt das Integral von x² dar?

Accepted Answer

(1/3)x³ + C

Answer

(3/2)x² + C

Answer

x³ + C

Answer

(1/2)x² + C

Question 40

Welche Art von Integral wird verwendet, um die Fläche unter einer Kurve zu berechnen?

Accepted Answer

Bestimmtes Integral

Answer

Stammfunktion

Answer

Unbestimmtes Integral

Question 41

Welche der folgenden Funktionen ist nicht integrierbar?

Accepted Answer

1/x

Answer

e^x

Answer

x²

Answer

sin(x)

Question 42

Welche Aussage über die Fläche unter einer Kurve ist richtig?

Accepted Answer

Die Fläche kann positiv oder negativ sein.

Answer

Die Fläche ist immer negativ.

Answer

Die Fläche ist immer null.

Answer

Die Fläche ist immer positiv.

Question 43

Welche Art von Integral wird verwendet, um das Volumen eines Rotationskörpers zu berechnen?

Accepted Answer

Rotationsintegral

Answer

Flächenintegral

Answer

Kurvenintegral

Answer

Oberflächenintegral

Question 44

Welcher Begriff beschreibt die Kurve, die durch die Funktion y = f(x) dargestellt wird?

Accepted Answer

Integrand

Answer

Stammfunktion

Answer

Integral

Answer

Differential

Question 45

Welche der folgenden Aussagen über Stammfunktionen ist korrekt?

Accepted Answer

Die Ableitung einer Stammfunktion ist die ursprüngliche Funktion.

Answer

Die Stammfunktion ist immer eine Polynomfunktion.

Answer

Jede Funktion hat genau eine Stammfunktion.

Question 46

Welches Integral ergibt die Fläche unter der Kurve y = x² im Intervall [0, 2]?

Accepted Answer

8/3

Answer

4/3

Answer

2/3

Answer

1/3

Question 47

Welche Integrationstechnik eignet sich am besten zur Integration der Funktion ∫ sin(x) dx?

Accepted Answer

Substitution (u = cos(x))

Answer

Integration durch Teile

Answer

Integration durch Substitution (u = sin(x))

Answer

Partielle Integration

Question 48

Welche der folgenden Funktionen ist eine Stammfunktion von f(x) = 1 / x?

Accepted Answer

ln(|x|) + C

Answer

x² + C

Answer

-1 / x² + C

Answer

x + C

Question 49

Welches Integral ergibt das Volumen des Rotationskörpers, der entsteht, wenn die Fläche unter der Kurve y = x³ im Intervall [0, 1] um die x-Achse rotiert wird?

Accepted Answer

π/4

Answer

2π

Answer

π

Answer

π/2

Question 50

Welche der folgenden Aussagen über uneigentliche Integrale ist korrekt?

Accepted Answer

Ein uneigentliches Integral kann einen endlichen oder unendlichen Wert haben.

Answer

Jedes bestimmte Integral ist ein uneigentliches Integral.

Answer

Uneigentliche Integrale werden nur verwendet, um Flächeninhalte zu berechnen.

Question 51

Welche Integrationstechnik eignet sich am besten zur Integration der Funktion ∫ e^(2x) dx?

Accepted Answer

Substitution (u = 2x)

Answer

Integration durch Substitution (u = e^(2x))

Answer

Partielle Integration

Question 52

Welche der folgenden Funktionen ist eine Stammfunktion von f(x) = cos(x) + sin(x)?

Accepted Answer

sin(x) - cos(x) + C

Answer

-cos(x) - sin(x) + C

Answer

cos(x) - sin(x) - C

Answer

cos(x) + sin(x) + C

Question 53

Welches Integral ergibt die Länge des Bogens der Kurve y = x² im Intervall [0, 1]?

Accepted Answer

√(5) / 6

Answer

√(5) / 3

Answer

1 / 3

Answer

1 / 6

Question 54

Welche der folgenden Aussagen über Integrale ist korrekt?

Accepted Answer

Integrale können verwendet werden, um Flächeninhalte, Volumina und andere geometrische Größen zu berechnen.

Answer

Integrale werden nur in der Mathematik verwendet.

Question 55

Welche der folgenden Funktionen ist die Stammfunktion von f(x) = 2x + 1?

Accepted Answer

F(x) = x² + x + C

Answer

F(x) = 2x² + x + C

Answer

F(x) = 2x + C

Answer

F(x) = x² + 1 + C

Question 56

Welches Integral berechnet die Fläche unter der Kurve von f(x) = x² zwischen x = 0 und x = 2?

Accepted Answer

∫₀² x² dx

Answer

∫₀² x dx

Answer

∫₁² x² dx

Answer

∫₀¹ x² dx

Question 57

Welches ist der Wert des bestimmten Integrals ∫₁³ (2x - 1) dx?

Accepted Answer

8

Answer

10

Answer

6

Answer

4

Question 58

Welche der folgenden Aussagen ist korrekt?  
 a) Die Ableitung einer Stammfunktion ist die ursprüngliche Funktion. 
 b) Die Stammfunktion einer Funktion ist eindeutig. 
 c) Jede Funktion hat unendlich viele Stammfunktionen.

Accepted Answer

a) und c)

Answer

Nur a)

Answer

a) und b)

Answer

b) und c)

Question 59

Welche Integrationsmethode wird verwendet, um das Integral ∫ x sin(x) dx zu lösen?

Accepted Answer

Partielle Integration

Answer

Substitution

Answer

Direkte Integration

Answer

Integration durch Teile

Question 60

Welche Substitution ist sinnvoll, um das Integral ∫ cos(2x) dx zu lösen?

Accepted Answer

u = 2x

Answer

u = cos(x)

Answer

u = sin(x)

Answer

u = x

Question 61

Welche Funktion hat die Ableitung f'(x) = 3x² - 2?

Accepted Answer

f(x) = x³ - 2x + C

Answer

f(x) = 6x - 2 + C

Answer

f(x) = x³ - 2 + C

Answer

f(x) = 3x³ - 2x + C

Question 62

Welche der folgenden Anwendungen ist KEINE Anwendung der Integralrechnung?

Accepted Answer

Berechnung der Geschwindigkeit eines Objekts

Answer

Berechnung der Arbeit, die von einer Kraft verrichtet wird

Answer

Berechnung des Flächeninhalts einer Fläche

Answer

Berechnung des Volumens eines Körpers

Question 63

Ein Auto fährt mit einer Geschwindigkeit von v(t) = 2t + 1 Metern pro Sekunde. Welche Strecke legt das Auto in den ersten 3 Sekunden zurück?

Accepted Answer

12 Meter

Answer

9 Meter

Answer

6 Meter

Answer

15 Meter

Question 64

Welches Integral berechnet das Volumen des Körpers, der durch die Drehung der Kurve f(x) = x² um die x-Achse zwischen x = 0 und x = 2 entsteht?

Accepted Answer

π ∫₀² (x²)² dx

Answer

∫₀² (x²)² dx

Answer

2π ∫₀² x² dx

Answer

π ∫₀² x² dx