Numerische Integration lernen: Online-Quizze und Übungen für Fachinformatikerinnen

Question 1

Was ist die korrekte Beschreibung der Trapezregel?

Accepted Answer

Die Trapezregel schätzt die Fläche unter einer Kurve, indem sie die Flächen von Trapezen addiert.

Answer

Die Trapezregel verwendet nur den Funktionswert am linken Rand des Integrationsintervalls.

Answer

Die Trapezregel ist immer genauer als die Rechteckregel.

Answer

Die Trapezregel liefert exakte Ergebnisse für Integrale.

Question 2

Welches numerische Integrationsverfahren unterteilt die Fläche unter dem Graphen in Trapeze, um das Integral zu berechnen?

Accepted Answer

Trapezverfahren

Answer

Simpsonverfahren

Answer

Gauß-Quadratur

Question 3

Welcher Vorteil unterscheidet die Gauß-Quadratur vom Trapez- und Simpsonverfahren?

Accepted Answer

Höhere Genauigkeit

Answer

Geringerer Rechenaufwand

Answer

Einfachere Implementierung

Question 4

Was versteht man unter einem Stützpunkt bei der numerischen Integration?

Accepted Answer

Ein Wert, an dem die Funktion ausgewertet wird

Answer

Ein beliebiger Punkt auf der Integrationskurve

Answer

Ein Gewichtungsfaktor

Question 5

Was ist die Hauptbeweggrund für die Anwendung numerischer Integrationsverfahren?

Accepted Answer

Integrale von Funktionen ohne analytische Lösung zu lösen

Answer

Analytische Integration geschlossener Funktionen zu lösen

Answer

Genauigkeit analytischer Lösungen zu verbessern

Question 6

Stell dir vor, du möchtest die Fläche eines unregelmäßig geformten Objekts berechnen. Wie helfen dir numerische Integrationsverfahren dabei?

Accepted Answer

Sie zerlegen das Objekt in kleine Rechtecke und berechnen die Gesamtfläche aus deren Flächeninhalten.

Answer

Sie berechnen die Ableitung der Funktion, die den Umfang des Objekts beschreibt.

Answer

Sie messen die Länge der Begrenzungslinie des Objekts.

Answer

Sie messen das Gewicht des Objekts und nutzen die Dichte, um die Fläche zu bestimmen.

Question 7

Welche Konvergenzordnungen haben das Trapezverfahren und das Simpsonverfahren?

Accepted Answer

Trapezverfahren: Ordnung 1, Simpsonverfahren: Ordnung 2

Answer

Beide Verfahren: Ordnung 2

Answer

Simpsonverfahren: Ordnung 1, Trapezverfahren: Ordnung 2

Question 8

Welche Integrationsmethode bietet die höchste Genauigkeit?

Accepted Answer

Gauß-Quadratur

Answer

Trapezverfahren

Answer

Simpsonverfahren

Answer

Rechteckverfahren

Question 9

Welche Funktionsklasse eignet sich für das Simpsonverfahren?

Accepted Answer

Stetig differenzierbare Funktionen

Answer

Stückweise lineare Funktionen

Answer

Funktionen mit Pols

Answer

Funktionen mit Unstetigkeitsstellen

Question 10

Welche Formel beschreibt das Gauß-Quadraturverfahren?

Accepted Answer

$sum_{i=1}^{n} w_i f(x_i)$

Answer

$n$

Answer

$int_a^b f(x) dx$

Answer

$rac{b-a}{2n} sum_{i=1}^{n} f(a+ih)$

Question 11

Welche Aussage über numerische Integration ist falsch?

Accepted Answer

Sie ist immer genauer als analytische Methoden.

Answer

Sie ermöglicht die Berechnung von Integralen von Funktionen ohne analytische Lösungen.

Answer

Die Genauigkeit numerischer Integrationsmethoden kann durch die Wahl der Stützstellen und die Anzahl der Teilintervalle verbessert werden.

Answer

Sie ist ein wichtiges Werkzeug in Ingenieurwesen und Physik.

Question 12

Wie viele Stützstellen werden für das Simpsonverfahren mit drei Teilintervallen benötigt?

Accepted Answer

3

Answer

2

Answer

4

Answer

5

Question 13

Welches Integral kann nicht mit dem Gauß-Quadraturverfahren berechnet werden?

Accepted Answer

$int_0^infty \frac{1}{x^2} dx$

Answer

$int_0^1 e^x dx$

Answer

$int_{-1}^1 x^2 dx$

Answer

$int_{-infty}^infty x dx$

Question 14

Wie lässt sich das Trapezverfahren am treffendsten beschreiben?

Accepted Answer

Ein Näherungsverfahren, das genauer wird, je mehr Teilintervalle verwendet werden.

Answer

Ein exaktes Verfahren zur Berechnung von Integralen.

Answer

Ein Verfahren, das für Integrale mit unstetigen Funktionen geeignet ist.

Question 15

Welches Verfahren wird zur numerischen Berechnung von Integralen verwendet?

Accepted Answer

Gauß-Quadratur

Answer

Faktorisierung

Answer

Ableitung

Answer

Integration durch Substitution

Question 16

Welche der folgenden Methoden ist ein numerisches Verfahren zur Berechnung bestimmter Integrale?

Accepted Answer

Trapezverfahren

Answer

Differentialrechnung

Answer

Laplace-Transformation

Answer

Partielle Integration

Question 17

Die Gauß-Quadratur basiert auf der Verwendung von:

Accepted Answer

Orthogonalen Polynomen

Answer

Exponentialfunktionen

Answer

Trigonometrischen Funktionen

Answer

Binomialfunktionen

Question 18

Die Anzahl der erforderlichen Funktionsauswertungen für das Simpsonverfahren ist:

Accepted Answer

Gerade

Answer

Immer kleiner als beim Trapezverfahren

Answer

Abhängig von der Funktion

Answer

Ungerade

Question 19

Welches der folgenden Verfahren verwendet eine Gewichtsfunktion, um die Genauigkeit zu erhöhen?

Accepted Answer

Gauß-Quadratur

Answer

Simpsonverfahren

Answer

Trapezverfahren

Answer

Monte-Carlo-Integration

Question 20

Welches der folgenden numerischen Integrationsverfahren weist die höchste Genauigkeit auf?

Accepted Answer

Gauß-Quadratur

Answer

Simpsonverfahren

Answer

Trapezverfahren

Question 21

Welcher Vorteil unterscheidet die Gauß-Quadratur von anderen numerischen Integrationsverfahren?

Accepted Answer

Verbesserte Genauigkeit durch Verwendung orthogonaler Polynome.

Answer

Geringerer Rechenaufwand

Answer

Leichtere Implementierung

Question 22

Warum wird ein Integrationsintervall bei der numerischen Integration in Teilintervalle unterteilt?

Accepted Answer

Um den Approximationsfehler zu verringern

Answer

Um die Ableitung der zu integrierenden Funktion zu vereinfachen

Answer

Um den Integrationsvorgang zu beschleunigen

Answer

Um die Rechengenauigkeit zu erhöhen

Question 23

Welche Aussage über numerische Integration ist falsch?

Accepted Answer

Numerische Integrationsverfahren liefern immer exakte Ergebnisse.

Answer

Numerische Integrationsverfahren können für komplexe Integrale eingesetzt werden.

Answer

Numerische Integrationsverfahren können verwendet werden, um Integrale über unendliche Intervalle zu berechnen.

Question 24

Welche Fehlerquelle ist bei numerischen Integrationsverfahren am bedeutendsten?

Accepted Answer

Approximationsfehler

Answer

Rechenfehler

Answer

Eingabefehler

Answer

Rundungsfehler

Question 25

Welche der folgenden Aussagen zur numerischen Integration ist NICHT korrekt?

Accepted Answer

Die Genauigkeit der numerischen Integration ist unabhängig von der Wahl des Integrationsverfahrens.

Answer

Die numerische Integration bietet eine Näherung für den exakten Wert eines Integrals.

Answer

Das Trapezverfahren ist eine übliche numerische Integrationsmethode, die einfach anzuwenden ist.

Question 26

Welches der folgenden Integrationsverfahren wird als Ein-Schritt-Methode bezeichnet?

Accepted Answer

Trapezverfahren

Answer

Simpsonverfahren

Answer

Gauß-Quadratur

Answer

Monte-Carlo-Integration

Question 27

Welcher Faktor hat Einfluss auf die Genauigkeit des Simpsonverfahrens?

Accepted Answer

Anzahl der Stützstellen

Answer

Länge des Integrationsintervalls

Answer

Wert des Integranden

Answer

Integrationskonstante

Question 28

Welche Aussage zur Gauß-Quadratur ist korrekt?

Accepted Answer

Sie verwendet Gewichtungsfaktoren, um die Genauigkeit zu verbessern.

Answer

Sie ist immer ungenauer als das Trapez- oder Simpsonverfahren.

Answer

Sie kann nur für Polynomfunktionen verwendet werden.

Question 29

Welche der folgenden Methoden verwendet Zufallszahlen für die numerische Integration?

Accepted Answer

Monte-Carlo-Integration

Answer

Simpsonverfahren

Answer

Trapezverfahren

Answer

Gauß-Quadratur

Question 30

Welcher Vorteil der numerischen Integration gegenüber der analytischen Integration besteht darin?

Accepted Answer

Sie kann für Funktionen angewendet werden, die nicht analytisch integriert werden können.

Answer

Sie ist weniger zeitaufwändig als die analytische Integration.

Answer

Sie ist immer präziser als die analytische Integration.

Question 31

Welches Verfahren verwendet ein quadratisches Polynom zur Approximation des Integranden?

Accepted Answer

Simpsonverfahren

Answer

Gauß-Quadratur

Answer

Trapezverfahren

Answer

Mittelpunktsverfahren

Question 32

Welche Methode zeichnet sich durch die höchste Genauigkeit, aber auch durch den höchsten Rechenaufwand aus?

Accepted Answer

Gauß-Quadratur

Answer

Trapezverfahren

Answer

Simpsonverfahren

Answer

Mittelpunktsverfahren

Question 33

Welches Verfahren basiert auf der Approximation des Integrals durch die Summe von Rechteckflächen?

Accepted Answer

Trapezverfahren

Answer

Gauß-Quadratur

Answer

Simpsonverfahren

Answer

Mittelpunktsverfahren

Question 34

Welche Methode nutzt eine gewichtete Summe von Funktionswerten?

Accepted Answer

Gauß-Quadratur

Answer

Trapezverfahren

Answer

Mittelpunktsverfahren

Answer

Simpsonverfahren

Question 35

Welche Formel wird zur Berechnung des Integrals über ein Intervall [a, b] mit dem Trapezverfahren verwendet?

Accepted Answer

(b-a)/2 * (f(a) + f(b))

Answer

(b-a) * (f(a) - f(b))

Answer

(b+a)/2 * f((a+b)/2)

Answer

(b-a) * f(a)

Question 36

Welche Aussage zur Konvergenz numerischer Integrationsmethoden ist korrekt?

Accepted Answer

Je höher der Grad des Approximations-Polynoms, desto höher die Konvergenzordnung

Answer

Je feiner die Unterteilung, desto geringer die Konvergenzordnung

Answer

Numerische Integrationsmethoden konvergieren immer gegen den exakten Wert des Integrals

Question 37

Welche Methode verwendet Gewichtsfunktionen?

Accepted Answer

Gauß-Quadratur

Answer

Simpsonverfahren

Answer

Trapezverfahren

Answer

Mittelpunktsverfahren

Question 38

Welche Aussage über die Integrationsgrenzen beim Trapezverfahren ist richtig?

Accepted Answer

Die Integrationsgrenzen müssen endlich sein

Answer

Das Trapezverfahren ist auch für unendliche Intervalle anwendbar

Answer

Das Trapezverfahren kann nur für Intervalle der Länge 1 angewendet werden

Answer

Die Integrationsgrenzen müssen gleichmäßig verteilt sein

Question 39

Welche der folgenden Methoden ist ein numerisches Verfahren zur Berechnung eines Integrals?

Accepted Answer

Trapezverfahren

Answer

Analytische Integration

Answer

Quotientenregel

Answer

Differentiation

Question 40

Welche Aussagen zum Trapezverfahren sind korrekt?

Accepted Answer

Es unterteilt das Integrationsintervall in gleich große Teilintervalle.

Answer

Es verwendet die linke Rechteckfläche zur Berechnung der Fläche unter der Kurve.

Answer

Es ist immer genauer als das Simpsonverfahren.

Question 41

Welche Methode verwendet eine parabolische Interpolation, um die Fläche unter der Kurve zu approximieren?

Accepted Answer

Simpsonverfahren

Answer

Gauß-Quadratur

Answer

Rechteckverfahren

Answer

Monte-Carlo-Integration

Question 42

Welche der folgenden Funktionen ist die Gaußsche Gewichtungsfunktion?

Accepted Answer

e^(-x^2)

Answer

cos(x)

Answer

sin(x)

Answer

x^2

Question 43

Welche Methode verwendet zufällige Stichproben, um ein Integral zu berechnen?

Accepted Answer

Monte-Carlo-Integration

Answer

Gauß-Quadratur

Answer

Trapezverfahren

Answer

Simpsonverfahren

Question 44

Welcher der folgenden numerischen Integrationsverfahren ist am besten geeignet für Integrale mit singulären Punkten?

Accepted Answer

Gauß-Quadratur

Answer

Rechteckverfahren

Answer

Trapezverfahren

Answer

Simpsonverfahren

Question 45

Welche der folgenden Aussagen über die numerische Integration ist falsch?

Accepted Answer

Sie ist immer genauer als die analytische Integration.

Answer

Sie erfordert eine endliche Anzahl von Berechnungen.

Answer

Sie kann für Integrale ohne analytische Lösungen verwendet werden.

Question 46

Welches der folgenden Kriterien wird verwendet, um die Konvergenz numerischer Integrationsverfahren zu bestimmen?

Accepted Answer

Fehlerabschätzung

Answer

Benutzerfreundlichkeit

Answer

Speicheranforderungen

Answer

Geschwindigkeit

Question 47

Welche Anwendung der numerischen Integration findet sich in der Physik?

Accepted Answer

Berechnung von Flächen und Volumen

Answer

Lösen von Differentialgleichungen

Answer

Maschinelles Lernen

Answer

Optische Bildgebung

Question 48

Welche Aussage über die numerische Integration ist FALSCH?

Accepted Answer

Numerische Integrationsmethoden liefern immer exakte Lösungen.

Answer

Die Genauigkeit der numerischen Integration hängt von der Schrittweite und der Methode ab.

Answer

Numerische Integration wird verwendet, um Integrale zu approximieren, wenn eine analytische Lösung nicht möglich ist.

Question 49

Was ist das Grundprinzip des Trapezverfahrens zur numerischen Integration?

Accepted Answer

Die Fläche unter der Kurve wird durch eine Folge von Trapezen approximiert.

Answer

Die Funktion wird durch eine Polynomfunktion interpoliert und integriert.

Answer

Die Fläche unter der Kurve wird durch eine Folge von Rechtecken approximiert.

Question 50

Welche der folgenden Aussagen beschreibt das Simpson-Verfahren korrekt?

Accepted Answer

Die Fläche unter der Kurve wird durch eine Folge von Parabelsegmenten approximiert.

Answer

Die Fläche unter der Kurve wird durch eine Folge von Trapezen approximiert.

Answer

Die Funktion wird durch eine lineare Funktion interpoliert und integriert.

Question 51

Welche Aussage über die Gauß-Quadratur ist RICHTIG?

Accepted Answer

Die Gauß-Quadratur verwendet spezielle Stützstellen und Gewichte, um die Genauigkeit der Integration zu maximieren.

Answer

Die Gauß-Quadratur ist nur für Funktionen mit einer bestimmten Form anwendbar.

Question 52

Welches Verfahren zur numerischen Integration hat in der Regel die höchste Genauigkeit?

Accepted Answer

Gauß-Quadratur

Answer

Trapezverfahren

Answer

Alle Verfahren haben die gleiche Genauigkeit.

Answer

Simpson-Verfahren

Question 53

Sie möchten das Integral der Funktion f(x) = x² von 0 bis 1 numerisch berechnen. Welches Verfahren würden Sie wählen und warum?

Accepted Answer

Simpson-Verfahren, da es für Polynomfunktionen eine höhere Genauigkeit bietet.

Answer

Gauß-Quadratur, da es für alle Funktionen die höchste Genauigkeit bietet.

Answer

Trapezverfahren, da es einfacher zu implementieren ist.

Question 54

Wie beeinflusst die Schrittweite die Genauigkeit der numerischen Integration?

Accepted Answer

Eine kleinere Schrittweite führt in der Regel zu einer höheren Genauigkeit.

Answer

Die Schrittweite hat keinen Einfluss auf die Genauigkeit.

Answer

Eine größere Schrittweite führt in der Regel zu einer höheren Genauigkeit.

Question 55

Welche der folgenden Funktionen kann NICHT mit dem Trapezverfahren integriert werden?

Accepted Answer

Eine Funktion mit einer vertikalen Asymptote im Integrationsintervall.

Answer

Eine differenzierbare Funktion.

Answer

Eine stetige Funktion.

Question 56

Welche Aussage über die Fehlerabschätzung bei numerischen Integrationsverfahren ist RICHTIG?

Accepted Answer

Die Fehlerabschätzung gibt eine obere Schranke für den Approximationsfehler an.

Answer

Die Fehlerabschätzung liefert den genauen Wert des Approximationsfehlers.

Answer

Die Fehlerabschätzung ist nur für das Trapezverfahren möglich.

Question 57

Welche numerische Integrationsmethode würde Sie für die Berechnung des Integrals einer stark oszillierenden Funktion wählen?

Accepted Answer

Gauß-Quadratur

Answer

Trapezverfahren

Answer

Alle Verfahren sind gleich gut geeignet.

Answer

Simpson-Verfahren