Interpolation und Approximation: Online-Quizze für Fachinformatikerinnen

Question 1

Welche der folgenden Formeln beschreibt die Lagrange-Interpolation?

Accepted Answer

P(x) = ∑(yᵢ * Lᵢ(x))

Answer

P(x) = ∫[a, b] f(x) dx

Answer

P(x) = f(x) + f'(x) * (x - a) + f''(x) * (x - a)² / 2

Answer

P(x) = ∑(aᵢ * xʲ)

Question 2

Welche Aussage über die Taylor-Reihe ist falsch?

Accepted Answer

Sie konvergiert immer.

Answer

Sie ist eine Potenzreihe.

Answer

Sie liefert eine lokale Approximation einer Funktion.

Answer

Sie wird zur Lösung von Differentialgleichungen verwendet.

Question 3

Welcher Begriff beschreibt die Differenz zwischen dem Wert einer Funktion und ihrem Approximationswert?

Accepted Answer

Approximationsfehler

Answer

Interpolationsfehler

Answer

Extrapolationsfehler

Answer

Residuum

Question 4

Welche Methode ist geeignet, um eine nichtlineare Funktion zu approximieren?

Accepted Answer

Nichtlineare Regression

Answer

Lineare Regression

Answer

Polynomregression

Answer

Spurinterpolationsmethode

Question 5

Welche Interpolationsmethode eignet sich am besten für Datenpunkte mit ungleichmäßigen Abständen?

Accepted Answer

Spline-Interpolation

Answer

Lineare Interpolation

Answer

Quadratische Interpolation

Answer

Kubische Interpolation

Question 6

Welche Funktion eignet sich gut zur Approximation einer exponentiell wachsenden Datenreihe?

Accepted Answer

Exponentielle Funktion

Answer

Lineare Funktion

Answer

Quadratische Funktion

Answer

Logarithmische Funktion

Question 7

Welche Aussage zur Fehlerabschätzung bei der Approximation ist zutreffend?

Accepted Answer

Der Fehler bei der Approximation kann anhand der Residuen berechnet werden.

Answer

Der Fehler bei der Approximation ist stets kleiner als der Fehler bei der Interpolation.

Answer

Die Wahl der Approximationsfunktion hat keinen Einfluss auf den Fehler bei der Approximation.

Answer

Der Fehler bei der Approximation ist immer konstant.

Question 8

Welche Funktion eignet sich gut für die Interpolation von Datenpunkten mit periodischer Struktur?

Accepted Answer

Trigonometrische Funktion

Answer

Polynomfunktion

Answer

Rationale Funktion

Answer

Exponentielle Funktion

Question 9

Welche Aussage zum Lagrange-Interpolationspolynom ist richtig?

Accepted Answer

Das Lagrange-Interpolationspolynom verläuft stets durch alle gegebenen Datenpunkte.

Answer

Das Lagrange-Interpolationspolynom ist immer ein Polynom ersten Grades.

Answer

Die Koeffizienten des Lagrange-Interpolationspolynoms sind unabhängig von den Datenpunkten.

Answer

Das Lagrange-Interpolationspolynom ist immer die beste Interpolationsfunktion.

Question 10

Welche Aussage zur Approximation von Funktionen ist korrekt?

Accepted Answer

Die Approximation einer Funktion kann zur Schätzung von Ableitungen und Integralen der Funktion verwendet werden.

Answer

Die Approximation einer Funktion ist immer genauer als die Interpolation.

Answer

Die Wahl der Approximationsfunktion hat keinen Einfluss auf die Genauigkeit der Approximation.

Answer

Die Approximation einer Funktion ist immer ein iterativer Prozess.

Question 11

Was repräsentiert die Lagrange-Basisfunktion?

Accepted Answer

L_i(x) = ∏_{j=1, j != i}^{n} (x - x_j) / (x_i - x_j)

Answer

L_i(x) = ∑_{j=1}^{n} (x - x_j) / (x_i - x_j)

Answer

L_i(x) = ∫_{x_i}^{x_j} f(x) dx

Answer

L_i(x) = x - x_i

Question 12

Welche Formel beschreibt die Taylor-Reihe einer Funktion f(x) um den Punkt a?

Accepted Answer

f(a) + f'(a)(x - a) + f''(a)(x - a)²/2! + ... + f^{(n)}(a)(x-a)^n/n!

Answer

f(a) + f'(a)(x - a) - f''(a)(x - a)²/2! + ... + (-1)^n f^{(n)}(a)(x - a)^n/n!

Answer

f(a) + f'(a)(x - a) + f''(a)(x - a)² + ... + f^{(n)}(a)(x - a)^n

Answer

f(a) + f'(a)(x - a) - f''(a)(x - a)² - ... - f^{(n)}(a)(x - a)^n

Question 13

Welches Verfahren dient dazu, eine stückweise definierte Funktion durch eine stetig differenzierbare Funktion anzunähern?

Accepted Answer

Approximation

Answer

Interpolation

Answer

Regression

Answer

Numerische Integration

Question 14

Welche Methode zur Funktionsapproximation berücksichtigt gewichtete Datenpunkte?

Accepted Answer

Kleinste-Quadrate-Approximation

Answer

Tschebyschow-Approximation

Answer

Hermite-Approximation

Answer

Padé-Approximation

Question 15

Welche Fehlerart tritt auf, wenn der Grad des Approximations-Polynoms zu niedrig gewählt wird?

Accepted Answer

Approximationsfehler

Answer

Rundungsfehler

Answer

Diskretisierungsfehler

Answer

Konsistenzfehler

Question 16

Welche Methode dient zur stückweisen Approximation einer Funktion durch rationale Funktionen?

Accepted Answer

Padé-Approximation

Answer

Spline-Approximation

Answer

Tschebyschow-Approximation

Answer

Taylor-Approximation

Question 17

Welche Fehlerart tritt auf, wenn der Approximationsalgorithmus numerisch instabil ist?

Accepted Answer

Rundungsfehler

Answer

Konsistenzfehler

Answer

Diskretisierungsfehler

Answer

Approximationsfehler

Question 18

Welche Methode wird für nichtlineare Regression verwendet?

Accepted Answer

Nichtlineare Regression

Answer

Lineare Regression

Answer

Logistische Regression

Answer

Poisson-Regression

Question 19

Welche der folgenden Funktionen kann durch eine lineare Interpolation gut angenähert werden, vorausgesetzt die Funktion ist nicht stark gekrümmt?

Accepted Answer

Quadratische Funktion

Answer

Sinusfunktion

Answer

Exponentialfunktion

Answer

Logarithmusfunktion

Question 20

Die Methode der kleinsten Quadrate wird verwendet, um:

Accepted Answer

Sowohl a) als auch b).

Answer

Die beste Anpassung einer geraden Linie an einen Datensatz zu finden.

Answer

Die beste Anpassung einer Parabel an einen Datensatz zu finden.

Answer

Die beste Anpassung einer beliebigen Funktion an einen Datensatz zu finden.

Question 21

Welches der folgenden Kriterien wird verwendet, um die beste Anpassung mittels der Methode der kleinsten Quadrate zu bestimmen?

Accepted Answer

Minimierung der Summe der quadrierten Abweichungen

Answer

Minimierung der Summe der absoluten Abweichungen

Answer

Minimierung des mittleren absoluten Fehlers

Answer

Maximierung des Korrelationskoeffizienten

Question 22

Welche der folgenden Methoden ist **ausschließlich** eine Polynominterpolation?

Accepted Answer

Lagrange-Interpolation

Answer

Spline-Interpolation

Answer

Hermite-Interpolation

Answer

Fourierexpansion

Question 23

Welche der folgenden Bedingungen muss bei der Lagrange-Interpolation **unbedingt** erfüllt sein?

Accepted Answer

Die Anzahl der Stützstellen muss größer sein oder gleich dem Grad des Polynoms plus eins

Answer

Die Funktion muss stetig sein

Answer

Die Stützstellen müssen gleichmäßig verteilt sein

Question 24

Welche der folgenden Aussagen über Splines ist **korrekt**?

Accepted Answer

Splines sind stückweise Polynome, die an den Knotenpunkten mindestens stetig differenzierbar sind

Answer

Splines sind immer global stetig

Answer

Splines haben immer den gleichen Grad

Question 25

Welche der folgenden Anwendungen nutzt **ausschließlich** lineare Interpolation?

Accepted Answer

Berechnung von Zwischenwerten in einer Tabelle

Answer

Approximation von Kurven

Answer

Bildverarbeitung

Answer

Lösung von Differentialgleichungen

Question 26

Welche der folgenden Aussagen über die Genauigkeit der Interpolation ist **richtig**?

Accepted Answer

Die Genauigkeit nimmt mit zunehmendem Abstand von den Stützstellen in der Regel ab

Answer

Die Genauigkeit nimmt immer mit zunehmendem Grad des Polynoms zu

Answer

Die Genauigkeit ist unabhängig vom Abstand zu den Stützstellen

Question 27

Welche der folgenden Aussagen über die Ordnung der Konvergenz ist **falsch**?

Accepted Answer

Die Ordnung der Konvergenz kann einen beliebigen positiven reellen Wert annehmen

Answer

Die Ordnung der Konvergenz gibt an, wie schnell sich die Näherung der exakten Lösung nähert

Answer

Die Ordnung der Konvergenz ist eine Eigenschaft des Approximationsverfahrens

Question 28

Welche der folgenden Methoden kann **effektiv** zur Reduzierung des Runge-Phänomens eingesetzt werden?

Accepted Answer

Chebyshev-Knoten

Answer

Äquidistante Knoten

Answer

zufällig verteilte Knoten

Answer

Lagrange-Knoten

Question 29

Welche Interpolationsmethode liefert eine lineare Funktion zwischen zwei Datenpunkten?

Accepted Answer

Lagrange-Interpolation 1. Grades

Answer

Hermitesche Interpolation

Answer

Newton-Interpolation 2. Grades

Answer

Splines

Question 30

Welche Aussage zur Newton-Interpolation ist richtig?

Accepted Answer

Sie ist ein Verfahren zur Bestimmung einer Polynomfunktion, die durch mehrere Datenpunkte verläuft.

Answer

Sie ist nur für Funktionen mit einer begrenzten Anzahl von Ableitungen anwendbar.

Answer

Sie liefert immer eine exakte Approximation der Funktion über das gesamte Interpolationsintervall.

Question 31

Welche Eigenschaft von Spline-Funktionen wird durch stückweise Glätte charakterisiert?

Accepted Answer

Die Funktion hat an den Verbindungsstellen der einzelnen Spline-Segmente stetige erste Ableitungen.

Answer

Die Funktion ist eine stetige, aber nicht differenzierbare Funktion.

Answer

Die Funktion weist an den Verbindungsstellen der einzelnen Spline-Segmente Unstetigkeiten auf.

Answer

Die Funktion ist über das gesamte Interpolationsintervall differenzierbar.

Question 32

Welcher Begriff beschreibt die Abweichung zwischen dem tatsächlichen Wert einer Funktion und ihrem Approximationswert?

Accepted Answer

Approximationsfehler

Answer

Abweichung

Answer

Numerischer Fehler

Answer

Interpolationsfehler

Question 33

Welche Eigenschaft der Lagrange-Interpolation wird durch Eindeutigkeit gekennzeichnet?

Accepted Answer

Für jeden Satz von Datenpunkten existiert nur eine Lagrange-Polynomfunktion, die diese Punkte interpoliert.

Answer

Die Lagrange-Polynomfunktion ist immer eine lineare Funktion.

Answer

Die Lagrange-Polynomfunktion ist immer eine gerade Funktion.

Question 34

Welche Bedingung ist für die Konvergenz einer Interpolationsfolge gegen die interpolierte Funktion notwendig?

Accepted Answer

Die maximale Länge der Teilintervalle muss gegen Null gehen.

Answer

Die Funktion muss differenzierbar sein.

Answer

Die Funktion muss stetig sein.

Question 35

Welche Aussage zum Approximationsfehler ist korrekt?

Accepted Answer

Eine Erhöhung der Anzahl der Datenpunkte führt im Allgemeinen zu einer Verringerung des Approximationsfehlers.

Answer

Der Approximationsfehler ist immer gleich Null.

Answer

Der Approximationsfehler ist unabhängig von der verwendeten Interpolationsmethode.

Question 36

Welche der folgenden Aussagen zur Lagrange-Interpolation ist richtig?

Accepted Answer

Die Lagrange-Interpolation verwendet ein Interpolationspolynom vom Grad (n-1), wobei n die Anzahl der Datenpunkte ist.

Answer

Die Lagrange-Interpolation verwendet eine einzige Funktion für alle Interpolationsintervalle.

Question 37

Welche der folgenden Methoden nutzt das Prinzip der kleinsten Quadrate zur Approximation?

Accepted Answer

Lineare Regression

Answer

Spline-Interpolation

Answer

Chebyshev-Approximation

Answer

Hermite-Interpolation

Question 38

Was ist der Zweck einer Fehlerabschätzung bei der numerischen Interpolation?

Accepted Answer

Sie schätzt die Genauigkeit der approximierten Funktion im Vergleich zu den tatsächlichen Datenpunkten ab.

Answer

Sie entfernt Rauschen aus den Datenpunkten

Question 39

Welche Funktion kann nicht durch eine Taylor-Reihe approximiert werden?

Accepted Answer

Eine nicht-stetige Funktion

Answer

Eine Exponentialfunktion

Answer

Eine Polynomfunktion

Answer

Eine trigonometrische Funktion

Question 40

Welche Methode eignet sich nicht zur Approximation einer periodischen Funktion?

Accepted Answer

Lineare Regression

Answer

Spline-Interpolation

Answer

Chebyshev-Approximation

Answer

Trigonometrische Interpolation

Question 41

Welcher Vorteil ergibt sich aus der Verwendung einer Tschebyschow-Approximation?

Accepted Answer

Minimierung des maximalen Approximationsfehlers

Answer

Hohe Genauigkeit für polyharmonische Funktionen

Answer

Erzeugung einer stetigen Approximationsfunktion

Answer

Einfache Implementierung

Question 42

Welche Aussage über Taylor-Reihen ist korrekt?

Accepted Answer

Sie stellen eine Funktion durch eine unendliche Summe von Polynomen dar.

Answer

Sie konvergieren immer gegen die Funktion unter allen Bedingungen.

Answer

Sie sind nur für Funktionen mit stetigen Ableitungen gültig.

Question 43

Welchen Grad hat ein Interpolationspolynom, das n Datenpunkte interpoliert?

Accepted Answer

n - 1

Answer

n / 2

Answer

n + 1

Answer

n

Question 44

Welche der folgenden Funktionen kann nicht mittels Spline-Interpolation approximiert werden?

Accepted Answer

Singuläre Funktion

Answer

Differentialbare Funktion

Answer

Stetige Funktion

Answer

Periodische Funktion

Question 45

Welcher Vorteil zeichnet die Hermite-Interpolation aus?

Accepted Answer

Berücksichtigung von Ableitungswerten an den Datenpunkten

Answer

Einfache Implementierbarkeit

Answer

Konvergenz gegen die Funktion unter allen Bedingungen

Question 46

Welche Fehlerabschätzung wird bei der linearen Interpolation angewandt?

Accepted Answer

Runge-Regel

Answer

Euler-Maclaurin-Formel

Answer

Trapezregel

Answer

Simpson-Regel

Question 47

Was ist der Hauptzweck von Approximation?

Accepted Answer

Ersetzung einer komplexen Funktion durch eine einfachere Funktion

Answer

Vereinfachung der Lösung von Gleichungen

Answer

Reduzierung von Fehlern in Berechnungen

Question 48

Welcher Vorteil unterscheidet die Gauß-Quadratur von anderen numerischen Integrationsmethoden?

Accepted Answer

Höhere Genauigkeit bei gegebener Anzahl an Funktionsevaluationen

Answer

Einfachere Implementierung

Answer

Anwendbarkeit auf unstetige Funktionen

Question 49

Welche Aussage zur numerischen Differentiation ist korrekt?

Accepted Answer

Sie ist im Allgemeinen weniger genau als die numerische Integration.

Answer

Sie ist nur für glatte Funktionen anwendbar.

Answer

Sie erfordert immer die Berechnung von Ableitungen höherer Ordnung.

Question 50

Welche der folgenden Methoden ist KEINE Interpolationsmethode?

Accepted Answer

Lineare Regression

Answer

Newton-Interpolation

Answer

Lagrange-Interpolation

Question 51

Welche Eigenschaft muss ein Interpolationspolynom erfüllen?

Accepted Answer

Es muss durch alle gegebenen Datenpunkte verlaufen.

Answer

Es muss eine gerade Funktion sein.

Answer

Es muss differenzierbar sein.

Question 52

Was ist der Hauptunterschied zwischen Interpolation und Approximation?

Accepted Answer

Interpolation verwendet alle gegebenen Datenpunkte, während Approximation eine Funktion sucht, die die Datenpunkte so gut wie möglich annähert.

Answer

Interpolation ist genauer als Approximation.

Question 53

Welche Methode eignet sich zur Approximation einer Funktion mit vielen Datenpunkten?

Accepted Answer

Spline-Interpolation

Answer

Newton-Interpolation

Answer

Lagrange-Interpolation

Answer

Lineare Interpolation

Question 54

Wie wird die Güte einer Approximation gemessen?

Accepted Answer

Mit einem Fehlermaß, z. B. dem mittleren quadratischen Fehler.

Answer

Mit der Steigung der Approximationsfunktion.

Answer

Mit der Anzahl der verwendeten Datenpunkte.

Question 55

Welche der folgenden Aussagen zur linearen Interpolation ist korrekt?

Accepted Answer

Die Interpolation erfolgt durch eine Gerade.

Answer

Sie ist nur für gleichmäßig verteilte Datenpunkte geeignet.

Answer

Sie ist immer besser als andere Interpolationsmethoden.

Answer

Sie ist die genaueste Interpolationsmethode.

Question 56

Ein Spline-Interpolationspolynom ist...

Accepted Answer

ein stückweise definiertes Polynom.

Answer

nur für gleichmäßig verteilte Datenpunkte geeignet.

Answer

ein Polynom mit minimalem Grad

Answer

immer eine gerade Funktion.

Question 57

Welche der folgenden Anwendungen ist KEINE typische Anwendung der Interpolation und Approximation?

Accepted Answer

Die Analyse von Aktienkursen.

Answer

Die Berechnung von Werten einer Funktion zwischen gegebenen Datenpunkten.

Answer

Die Konstruktion von Kurven durch gegebene Punkte.

Answer

Die Approximation von Funktionen durch einfachere Funktionen.

Question 58

Welche der folgenden Methoden verwendet man, um eine Funktion durch eine Kurve zu approximieren, die durch gegebene Datenpunkte verläuft?

Accepted Answer

Interpolation

Answer

Integration

Answer

Differentiation

Answer

Extrapolation

Question 59

Welche der folgenden Methoden eignet sich am besten für die Approximation einer Funktion, die stark oszilliert?

Accepted Answer

Spline-Interpolation

Answer

Lagrange-Interpolation

Answer

Newton-Interpolation

Answer

Lineare Interpolation

Question 60

Was ist der Hauptunterschied zwischen Interpolation und Approximation?

Accepted Answer

Interpolation versucht, die Funktion genau durch die gegebenen Datenpunkte zu verlaufen, während Approximation nur versucht, die allgemeine Form der Funktion zu approximieren.

Answer

Interpolation ist eine genauere Methode als Approximation.

Question 61

Wie wird der Fehler einer Approximation gemessen?

Accepted Answer

Durch die Differenz zwischen der approximierten Funktion und der ursprünglichen Funktion.

Answer

Durch die Integral der approximierten Funktion.

Answer

Durch die Ableitung der approximierten Funktion.

Question 62

Welche der folgenden Aussagen über die Taylor-Approximation ist korrekt?

Accepted Answer

Die Taylor-Approximation ist eine lokale Approximation, die die Funktion nur in der Nähe des Entwicklungspunktes gut approximiert.

Answer

Die Taylor-Approximation ist eine globale Approximation, die die Funktion über den gesamten Definitionsbereich gut approximiert.

Question 63

Welches der folgenden Kriterien wird zur Auswahl der besten Approximation einer Funktion verwendet?

Accepted Answer

Minimierung des Approximationsfehlers

Answer

Maximierung der Anzahl der Ableitungen der Funktion

Answer

Minimierung des Grades des Approximationspolynoms

Answer

Maximierung der Anzahl der Datenpunkte

Question 64

Welche der folgenden Methoden verwendet man, um eine Funktion durch eine Folge von Polynomen zu approximieren, die auf verschiedenen Teilintervallen definiert sind?

Accepted Answer

Spline-Approximation

Answer

Taylor-Approximation

Answer

Fourier-Approximation

Answer

Chebyshev-Approximation