Grenzwerte in der Mathematik: Interaktive Übungen und Quizze für Klasse 9

Question 1

Ermittle den Grenzwert von f(x) = |x - 2| für x gegen 2.

Accepted Answer

0

Answer

1

Answer

2

Answer

4

Question 2

Welche Funktion hat den Grenzwert 3 für x gegen unendlich?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 1

Answer

f(x) = 1/(x-2)

Answer

f(x) = (x^2-1)/(x-1)

Answer

f(x) = sin(x)

Question 3

Welche Aussage über den Grenzwert von f(x) = 1/x für x gegen 0 ist korrekt?

Accepted Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Answer

Der Grenzwert existiert und ist gleich 0.

Answer

Der Grenzwert existiert und ist gleich 1.

Answer

Der Grenzwert ist unendlich.

Question 4

Welche Funktion ist stetig in x = 2?

Accepted Answer

f(x) = (x-2)^2

Answer

f(x) = |x-2|

Answer

f(x) = 1/(x-2)

Answer

f(x) = sin(x)

Question 5

Welche Aussage über den Grenzwert von f(x) = x^2 - 4 für x gegen 2 ist korrekt?

Accepted Answer

Der Grenzwert existiert und ist gleich 4.

Answer

Der Grenzwert existiert und ist gleich 0.

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Answer

Der Grenzwert ist unendlich.

Question 6

Welche Funktion ist nicht stetig in x = 0?

Accepted Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = x

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = sin(x)

Question 7

Bestimme den Grenzwert von f(x) = (cos(x)-1)/x für x gegen 0.

Accepted Answer

0

Answer

1

Answer

unendlich

Answer

existiert nicht

Question 8

Was bedeutet es, wenn der Grenzwert einer Funktion für x gegen unendlich gleich unendlich ist?

Accepted Answer

Die Funktionswerte werden für sehr große x-Werte immer größer.

Answer

Die Funktionswerte werden für sehr große x-Werte immer kleiner.

Answer

Die Funktionswerte nähern sich für sehr große x-Werte einem endlichen Wert an.

Answer

Die Funktion hat für sehr große x-Werte keinen Grenzwert.

Question 9

Welcher der folgenden Grenzwerte ist gleich π?

Accepted Answer

lim_(x->0) sin(x) / x

Answer

lim_(x->∞) 1 / sin(x)

Answer

lim_(x->-∞) e^x

Answer

lim_(x->π/2) tan(x)

Question 10

Welcher Grenzwert existiert für die Funktion f(x) = (x-1)/(x^2-1) im Punkt x = 1?

Accepted Answer

0

Answer

1/2

Answer

1

Answer

unendlich

Question 11

Welche der folgenden Aussagen ist falsch?

Accepted Answer

Jeder Grenzwert einer Funktion muss endlich sein.

Answer

Jeder stetige Funktion hat einen Grenzwert.

Answer

Der Grenzwert einer Summe von Funktionen ist gleich der Summe der Grenzwerte der einzelnen Funktionen.

Answer

Der Grenzwert eines Produkts von Funktionen ist gleich dem Produkt der Grenzwerte der einzelnen Funktionen.

Question 12

Der Grenzwert von f(x) = x^2 + 1 für x gegen unendlich beträgt:

Accepted Answer

∞

Answer

0

Answer

1

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Question 13

Der Grenzwert von f(x) = sin(x) für x gegen 0 beträgt:

Accepted Answer

0

Answer

1

Answer

π/2

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Question 14

Welche Aussage beschreibt korrekt die Beziehung zwischen Grenzwerten und Stetigkeit?

Accepted Answer

Eine Funktion ist an einem Punkt stetig, wenn ihre einseitigen Grenzwerte an diesem Punkt existieren und gleich sind.

Answer

Eine Funktion ist an einem Punkt stetig, wenn ihr Grenzwert an diesem Punkt existiert.

Answer

Eine Funktion ist an einem Punkt stetig, wenn ihr Grenzwert an diesem Punkt gleich dem Funktionswert ist.

Answer

Eine Funktion ist an einem Punkt stetig, wenn ihr Graph an diesem Punkt keinen Sprung hat.

Question 15

Welche der folgenden Funktionen hat für alle reellen Zahlen den Grenzwert 1?

Accepted Answer

f(x) = 1/(x^2+1)

Answer

f(x) = (x+1)/(x-1)

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = |x-1|

Question 16

Bestimme den einseitigen Grenzwert der Funktion f(x) = x² - 1 für x gegen 2 von rechts.

Accepted Answer

3

Answer

2

Answer

1

Answer

0

Question 17

Welche Funktion weist im Ursprung eine Sprungstellen auf?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Question 18

Welcher Ausdruck entspricht dem einseitigen Grenzwert $lim_{x	o 2^-} f(x)$?

Accepted Answer

$f(2-)$

Answer

$f(2)$

Answer

$f(2+)$

Answer

$f(2) \cdot f(2)$

Question 19

Welche Aussage über den Grenzwert von $f(x) = e^x$ für $x 	o \infty$ ist korrekt?

Accepted Answer

Der Grenzwert ist $\infty$.

Answer

Der Grenzwert ist $0$.

Answer

Der Grenzwert ist $1$.

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Question 20

Welche Funktion besitzt für $x 	o \infty$ eine senkrechte Asymptote?

Accepted Answer

$f(x) = \frac{1}{x}$

Answer

$f(x) = \frac{x^2-1}{x-1}$

Answer

$f(x) = \frac{x^3+8}{x+2}$

Answer

$f(x) = \sqrt{x^2+1}$

Question 21

Welcher Grenzwert ist nicht definiert?

Accepted Answer

lim (x -> 0) (sin(x) / tan(x))

Answer

lim (x -> 0) (x²)

Answer

lim (x -> 2) (x - 2)

Answer

lim (x -> 1) (1 / (x - 1))

Question 22

Welche Aussage über die Funktion f(x) = (x³ - 1) / (x - 1) ist richtig?

Accepted Answer

Die Funktion hat an der Stelle x = 1 eine Definitionslücke.

Answer

Die Funktion ist an der Stelle x = 1 stetig differenzierbar.

Answer

Der Graph der Funktion hat an der Stelle x = 1 einen Wendepunkt.

Answer

Der Graph der Funktion hat an der Stelle x = 1 einen Tiefpunkt.

Question 23

Ermittle den Grenzwert von (f(x) = x^2 - 1) für (x gegen unendlich).

Accepted Answer

unendlich

Answer

0

Answer

1

Answer

minus unendlich

Question 24

Bestimme den Grenzwert von (f(x) = { x^2, falls x≥ 0; -x^2, falls x < 0 }) für (x gegen 0).

Accepted Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Answer

0

Answer

1

Answer

unendlich

Question 25

Welche Funktion hat keinen endlichen Grenzwert für (x gegen 0)?

Accepted Answer

(f(x) = 1/x)

Answer

(f(x) = x^2)

Answer

(f(x) = cos(x))

Answer

(f(x) = e^x)

Question 26

Welcher der folgenden Ausdrücke ist der Grenzwert der Funktion g(x) = sqrt(x) für x, das gegen unendlich geht?

Accepted Answer

unendlich

Answer

0

Answer

1

Answer

existiert nicht

Question 27

Welche der folgenden Aussagen über die Funktion h(x) = 1/(x-2) ist richtig?

Accepted Answer

Sie besitzt bei x=2 einen Pol

Answer

Sie besitzt bei x=2 einen Sprung

Answer

Sie besitzt bei x=2 eine Nullstelle

Answer

Sie ist bei x=2 stetig

Question 28

Welcher der folgenden Grenzwerte existiert nicht?

Accepted Answer

lim x gegen 0 (sin(1/x))

Answer

lim x gegen 2 (x^2 - 1)

Answer

lim x gegen unendlich (e^x)

Answer

lim x gegen 1 (1/x)

Question 29

Welche Eigenschaft ist für Grenzwerte charakteristisch?

Accepted Answer

Sie können unendlich sein.

Answer

Sie sind immer gleich dem Funktionswert an der Stelle.

Answer

Sie existieren nur für stetige Funktionen.

Answer

Sie sind immer rationale Zahlen.

Question 30

Welche Aussage definiert einen Grenzwert im Unendlichen?

Accepted Answer

Für alle ε > 0 existiert eine Zahl M > 0, sodass für alle x > M gilt: |f(x) - L| < ε

Answer

Für alle ε > 0 existiert eine Zahl M < 0, sodass für alle x < M gilt: |f(x) - L| < ε

Answer

Für alle ε > 0 existiert eine Zahl δ > 0, sodass für alle x gilt: |x - a| < δ -> |f(x) - L| < ε

Answer

Für alle ε > 0 existiert eine Zahl δ > 0, sodass für alle x gilt: |x - a| > δ -> |f(x) - L| < ε

Question 31

Welcher der folgenden Grenzwerte existiert nicht?

Accepted Answer

lim (x -> 0) 1 / sin(x)

Answer

lim (x -> 1) (x² + 2) / (x - 1)

Answer

lim (x -> ∞) e^(-x)

Answer

lim (x -> π/2) tan(x)

Question 32

Welches der folgenden Verfahren kann zur Berechnung des Grenzwertes von lim (x -> 0) (sin(x) / x) eingesetzt werden?

Accepted Answer

L'Hôpitalsche Regel

Answer

Faktorisierung

Answer

Wurzelziehen

Answer

Ableitung

Question 33

Welche Aussage über die Grenzwerte von rationalen Funktionen ist korrekt?

Accepted Answer

Sie können sowohl rational als auch irrational sein.

Answer

Sie sind immer rational.

Answer

Sie sind immer irrational.

Answer

Sie existieren nur für Polynome.

Question 34

Bestimme den einseitigen Grenzwert der Funktion f(x) = (x-2)² für x gegen 2 von links.

Accepted Answer

0

Answer

2

Answer

4

Answer

unendlich

Question 35

Berechne den Grenzwert von f(x) = (x²+3x-4) / (x-1) für x gegen 1.

Accepted Answer

5

Answer

4

Answer

6

Answer

unbestimmt

Question 36

Welche der folgenden Funktionen hat keinen Grenzwert für x gegen 2?

Accepted Answer

f(x) = |x-2|

Answer

f(x) = x²+1

Answer

f(x) = (x-2)²

Answer

f(x) = sin(x-2)

Question 37

Welche der folgenden Funktionen hat einen Grenzwert von 0 für x gegen unendlich?

Accepted Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = x²+1

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sin(x)

Question 38

Welche der folgenden Aussagen über Grenzwerte ist falsch?

Accepted Answer

Der Grenzwert einer Funktion muss immer eine reelle Zahl sein.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion kann von links und rechts verschieden sein.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion muss nicht existieren.

Answer

Der Grenzwert einer Funktion ist unabhängig vom Weg, auf dem sich x dem Grenzwert nähert.

Question 39

Welcher der folgenden Grenzwerte ist nicht definiert, da die Funktion an dieser Stelle einen Sprung hat?

Accepted Answer

lim_(x->2) (x²-4)/(x-2)

Answer

lim_(x->0) (x+1)/(x-1)

Answer

lim_(x->∞) (2x+3)/(x+1)

Answer

lim_(x->-∞) (√(x²-1))/(x+2)

Question 40

Welche Aussage über den Grenzwert lim_(x->3) (f(x)-g(x)) ist richtig, wenn lim_(x->3) f(x)=4 und lim_(x->3) g(x)=2?

Accepted Answer

lim_(x->3) (f(x)-g(x))=6

Answer

lim_(x->3) (f(x)-g(x))=2

Answer

lim_(x->3) (f(x)-g(x))=4

Answer

Der Grenzwert existiert nicht

Question 41

Welche der folgenden Funktionen besitzt für x->0 keinen Grenzwert?

Accepted Answer

f(x)=1/x

Answer

f(x)=x

Answer

f(x)=x²

Answer

f(x)=√x

Question 42

Betrachte die Funktion f(x)=(x²+1)/(x-1). An welcher Stelle ist der Graph von f(x) nicht stetig?

Accepted Answer

x=1

Answer

x=0

Answer

x=2

Answer

x=3

Question 43

Welche Eigenschaft besitzt der Grenzwert lim_(x->∞) (f(x)+g(x)), wenn lim_(x->∞) f(x)=2 und lim_(x->∞) g(x)=3?

Accepted Answer

lim_(x->∞) (f(x)+g(x))=5

Answer

lim_(x->∞) (f(x)+g(x))=1

Answer

lim_(x->∞) (f(x)+g(x))=2

Answer

lim_(x->∞) (f(x)+g(x))=unendlich

Question 44

Betrachte die Funktion f(x)=⌊x⌋. Welchen Grenzwert besitzt f(x) für x->2?

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

2

Answer

3

Question 45

Bestimme den Grenzwert der Funktion f(x) = x² für x, das gegen unendlich strebt.

Accepted Answer

unendlich

Answer

0

Answer

1

Answer

-unendlich

Question 46

Berechne den einseitigen Grenzwert der Funktion f(x) = 1/(x-2) für x, das sich von links an 2 annähert.

Accepted Answer

-unendlich

Answer

unendlich

Answer

0

Answer

2

Question 47

Welche der folgenden Funktionen ist nicht stetig an der Stelle x = 0?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Question 48

Welche Aussage über die Funktion f(x) = eˣ ist korrekt?

Accepted Answer

Alle Aussagen sind richtig.

Answer

Der Grenzwert für x gegen unendlich existiert.

Answer

Der Grenzwert für x gegen minus unendlich existiert.

Answer

Die Funktion ist an jeder Stelle stetig.

Question 49

Welcher Grenzwert ergibt sich für die Funktion f(x) = x² für x gegen unendlich?

Accepted Answer

unendlich

Answer

0

Answer

-unendlich

Answer

Kein Grenzwert existiert

Question 50

Welche Funktion ist nicht stetig an der Stelle x = 2?

Accepted Answer

g(x) = |x - 2|

Answer

f(x) = x²

Answer

h(x) = (x + 2)²

Answer

k(x) = 1 / x

Question 51

Bestimme den Grenzwert der Funktion f(x) = (x - 3) / (x² - 9) für x gegen 3.

Accepted Answer

1/6

Answer

1/3

Answer

1/2

Answer

1

Question 52

Für welche Funktion existiert der Grenzwert lim (x->-∞) f(x) nicht?

Accepted Answer

h(x) = sin(x) / x

Answer

f(x) = x³

Answer

g(x) = (x² + 1) / x

Answer

k(x) = eˣ

Question 53

Welche Funktion hat eine vertikale Asymptote bei x = 2?

Accepted Answer

f(x) = 1 / (x - 2)

Answer

g(x) = (x - 2)²

Answer

h(x) = e^(x - 2)

Answer

k(x) = ln(x - 2)

Question 54

Bestimme den Grenzwert der Funktion f(x) = (x² - 1) / (x - 1) für x → 1.

Accepted Answer

2

Answer

-1

Answer

0

Answer

unendlich

Question 55

Bestimme den Grenzwert der Funktion f(x) = (e^x - 1) / x für x → 0.

Accepted Answer

1

Answer

unendlich

Answer

e

Answer

0

Question 56

Welche Bedingung muss die Funktion f(x) erfüllen, damit der Grenzwert für x → a existiert?

Accepted Answer

f(x) muss für alle x in einer Umgebung von a außer möglicherweise bei a definiert sein.

Answer

f(x) muss stetig in a sein.

Answer

f(x) muss an a differenzierbar sein.

Question 57

Welche Aussage trifft auf den Grenzwert von f(x) = (x³ - 27) / (x - 3) für x gegen 3 zu?

Accepted Answer

Der Grenzwert existiert und ist gleich 27.

Answer

Der Grenzwert ist gleich -27.

Answer

Der Grenzwert ist gleich 0.

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Question 58

Welche Aussage trifft auf den Grenzwert von f(x) = (x² - 9) / (x - 3) für x gegen 3 zu?

Accepted Answer

Der Grenzwert existiert und ist gleich 6.

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Answer

Der Grenzwert ist gleich -6.

Answer

Der Grenzwert ist gleich 0.

Question 59

Bestimme den Grenzwert von f(x) = (x³ - 27) / (x - 3) für x gegen 3.

Accepted Answer

27

Answer

0

Answer

3

Answer

-27

Question 60

Welche der folgenden Aussagen über den Grenzwert der Funktion f(x) = 1/(x-2) für x gegen 2 ist korrekt?

Accepted Answer

Der Grenzwert existiert nicht, da der Nenner null wird.

Answer

Der Grenzwert ist 0, weil der Zähler und der Nenner für x gegen 2 gegen 0 gehen.

Answer

Der Grenzwert ist 1, weil die Funktion für x gegen 2 gegen 1 geht.

Question 61

Welche der folgenden Funktionen ist nicht stetig an der Stelle x = 0?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x^2, da sie an allen Stellen stetig ist.

Answer

f(x) = x + 1, da sie an allen Stellen stetig ist.

Answer

f(x) = sin(x), da sie an allen Stellen stetig ist.

Question 62

Welche der folgenden Aussagen über den Grenzwert der Funktion f(x) = x / sin(x) für x gegen 0 ist richtig?

Accepted Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Answer

Der Grenzwert ist 1, weil x und der Sinus für x gegen 0 gegen 1 gehen.

Answer

Der Grenzwert ist 0, weil sowohl x als auch der Sinus für x gegen 0 gegen 0 gehen.

Answer

Der Grenzwert ist unendlich, weil der Sinus für x gegen 0 gegen 0 geht.

Question 63

Welche der folgenden Funktionen hat einen vertikalen Asymptoten bei x = 3?

Accepted Answer

f(x) = (x + 2) / (x - 3)

Answer

f(x) = sin(x), da sie keine Asymptoten hat.

Answer

f(x) = x^2 + 1, da sie keine Asymptoten hat.

Answer

f(x) = x / (x - 1), da ihre Asymptote bei x = 1 liegt.

Question 64

Welche der folgenden Grenzwerte ist gleich ∞?

Accepted Answer

lim (x -> -∞) (x^2 - 1) / (x + 1)

Answer

lim (x -> 0) sin(x) / x, da der Grenzwert 1 ist.

Answer

lim (x -> π) (cos(x) + 1) / (x - π), da der Grenzwert 0 ist.

Answer

lim (x -> 2) (x - 2) / (x^2 - 4), da der Grenzwert 1 ist.