Trigonometrie lernen: Winkelmessung, Funktionen und Gleichungen

Question 1

Wie werden trigonometrische Funktionen in Bereichen wie Navigation und Vermessung eingesetzt?

Accepted Answer

Zur Standortbestimmung von Schiffen oder Flugzeugen anhand von Abstand und Winkel zu bekannten Punkten.

Accepted Answer

Zur indirekten Messung von Höhen und Entfernungen.

Answer

Trigonometrie wird in Navigation und Vermessung nicht verwendet.

Answer

Trigonometrische Funktionen sind nur in der Mathematik wichtig.

Question 2

Was ist die Tangensfunktion und für welche Winkelwerte ist sie nicht definiert?

Accepted Answer

tan(α) = sin(α) / cos(α), nicht definiert für α = 90° + k·180°

Answer

tan(α) = cos(α) / sin(α), nicht definiert für α = 0° + k·180°

Answer

tan(α) = sin(α) + cos(α), definiert für alle α

Answer

tan(α) = cos(α) - sin(α), definiert für alle α

Question 3

Was ist die Ableitung der Sinusfunktion f(x) = sin(x)?

Accepted Answer

cos(x)

Answer

sin(x)

Answer

-cos(x)

Question 4

Zeichne den Graphen der Kosinusfunktion.

Accepted Answer

![Graph der Kosinusfunktion]("<cosinus-graph>")

Answer

![Graph der Sinusfunktion]("<sinus-graph>")

Answer

![Bild eines Einheitskreises]("<einheitskreis-bild>")

Question 5

Berechne den Winkel x im Bogenmaß, wenn tan(x) = √3.

Accepted Answer

x = π/3

Answer

x = 60°

Answer

x = 45°

Answer

x = 120°

Question 6

Berechne den Sinus von 135 Grad mithilfe des Einheitskreises.

Accepted Answer

-1/√2

Answer

1/√2

Answer

0

Answer

-1

Question 7

Was ist der Einheitskreis und welche Eigenschaften hat er?

Accepted Answer

Kreis mit Mittelpunkt im Ursprung und Radius 1

Answer

Kreis mit Mittelpunkt auf der y-Achse und Radius 1

Answer

Kreis mit Mittelpunkt im Ursprung und Radius 2

Question 8

Welche Formel beschreibt die trigonometrische Halbierung des Sinus?

Accepted Answer

sin(α/2) = ±√((1 - cos(α)) / 2)

Answer

sin(α/2) = cos(α/2)

Answer

sin(α/2) = tan(α/2)

Answer

sin(α/2) = 1/2 * sin(α)

Question 9

Warum ist die Funktion f(x) = cot(x) = cos(x)/sin(x) eine ungerade Funktion?

Accepted Answer

Weil für alle x gilt: f(-x) = -f(x).

Answer

Weil für alle x gilt: f(-x) = f(x).

Answer

Weil f(0) = 0 ist.

Question 10

Wie lassen sich trigonometrische Funktionen mit komplexen Zahlen verknüpfen? Gib Beispiele für ihre Anwendungen an.

Accepted Answer

Trigonometrische Funktionen können als komplexe Zahlen dargestellt werden, z. B. der Kosinus als Realteil und der Sinus als Imaginärteil.

Accepted Answer

Komplexe Zahlen können zur Lösung trigonometrischer Gleichungen verwendet werden, indem man sie auf algebraische Gleichungen zurückführt.

Answer

Trigonometrische Funktionen sind nicht mit komplexen Zahlen verknüpft.

Question 11

Wie können die Winkeladditions- und -subtraktionsformeln verwendet werden, um trigonometrische Ausdrücke zu vereinfachen?

Accepted Answer

Durch Umwandlung von Ausdrücken mit Summen oder Differenzen von Winkeln in Ausdrücke mit einzelnen Winkeln.

Answer

Nur zur Lösung trigonometrischer Gleichungen.

Answer

Nur für Winkel im Bereich von 0 bis 2π.

Answer

Sie wurden von Pythagoras aufgestellt.

Question 12

Beschreibe die Beziehung zwischen dem Einheitskreis und den trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens.

Accepted Answer

Der Einheitskreis ist die geometrische Darstellung der trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens.

Answer

Sinus, Kosinus und Tangens sind die Längen der Seiten des Einheitskreises.

Answer

Die trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens können nur mit Hilfe des Einheitskreises berechnet werden.

Question 13

Welche trigonometrischen Funktionen werden verwendet, um sich wiederholende Schwingungen und Wellen zu beschreiben?

Accepted Answer

Sinus und Kosinus

Answer

Nur Sinus

Answer

Tangens und Kotangens

Answer

Alle trigonometrischen Funktionen

Question 14

Welcher Begriff bezeichnet das Verhältnis zwischen Gegenkathete und Hypotenuse?

Accepted Answer

Sinus

Answer

Wurzel

Answer

Quadrat

Answer

Potenz

Question 15

Bestimme den Sinus des Winkels von 60°:

Accepted Answer

√3/2

Answer

1/2

Answer

√2/2

Answer

1

Question 16

Welche der folgenden Gleichungen stellt eine trigonometrische Gleichung dar?

Accepted Answer

sin(x) = cos(x)

Answer

x² + y² = 1

Answer

2x + 5 = 10

Answer

x - y = 3

Question 17

Welches Diagramm stellt die Funktion f(x) = sin(x) dar?

Accepted Answer

Eine Sinuskurve

Answer

Eine Kosinuskurve

Answer

Eine Tangenskurve

Answer

Eine Parabel

Question 18

Welche der folgenden Aussagen definiert den Sinus eines Winkels korrekt?

Accepted Answer

Gegenkathete geteilt durch Hypotenuse

Answer

Gegenkathete geteilt durch Ankathete

Answer

Ankathete geteilt durch Gegenkathete

Answer

Hypotenuse geteilt durch Ankathete

Question 19

Berechne den Sinus des Winkels 45°.

Accepted Answer

0,5

Answer

0,75

Answer

1

Answer

1,5

Question 20

Berechne den Winkel α, wenn sin α = 0,5.

Accepted Answer

45°

Answer

30°

Answer

60°

Answer

75°

Question 21

Welcher Winkel hat die Tangente tan(α) = 1?

Accepted Answer

45°

Answer

30°

Answer

60°

Answer

90°

Question 22

Welche Gleichung beschreibt die Sinusfunktion?

Accepted Answer

y = A * sin(Bx + C)

Answer

y = A * cos(Bx + C)

Answer

y = A * tan(Bx + C)

Answer

y = A * cot(Bx + C)

Question 23

Was ist nach der Definition die Berechnung des Sinus eines Winkels α in einem rechtwinkligen Dreieck?

Accepted Answer

Länge der Gegenkathete / Länge der Hypothenuse

Answer

Länge der Hypothenuse / Länge der Ankathete

Answer

Länge der Ankathete / Länge der Gegenkathete

Answer

Länge der Gegenkathete / Länge der Ankathete

Question 24

Welchen Wert hat der Tangens des Winkels 45°?

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

√3

Answer

√2

Question 25

Welche der folgenden Gleichungen ist eine trigonometrische Gleichung?

Accepted Answer

2sin(x) - 1 = 0

Answer

y = mx + b

Answer

a² + b² = c²

Answer

x² + 3x - 2 = 0

Question 26

Welche Formel ist die Umkehrfunktion der Kosinusfunktion?

Accepted Answer

arccos(x)

Answer

sin⁻¹(x)

Answer

tan⁻¹(x)

Question 27

Welcher Winkel hat einen Cosinus von 0,5?

Accepted Answer

60°

Answer

30°

Answer

45°

Answer

90°

Question 28

Ein Baum wirft einen 12 Meter langen Schatten. Der Winkel zwischen dem Baum und dem Boden beträgt 35°. Wie hoch ist der Baum?

Accepted Answer

8,4 Meter

Answer

6,9 Meter

Answer

16,8 Meter

Answer

12 Meter

Question 29

Welche Gleichung beschreibt die Beziehung zwischen den Winkeln α, β und γ in einem Dreieck?

Accepted Answer

α + β + γ = 180°

Answer

α = β = γ

Answer

α + β = γ

Answer

α² + β² = γ²

Question 30

Welcher der folgenden Winkel ist ein spitzer Winkel?

Accepted Answer

45°

Answer

120°

Answer

90°

Answer

180°

Question 31

Was ist die Periode der Sinusfunktion?

Accepted Answer

360°

Answer

270°

Answer

180°

Answer

90°

Question 32

Welche der folgenden Gleichungen stellt die Tangensfunktion dar?

Accepted Answer

tan(α) = sin(α) / cos(α)

Answer

tan(α) = sin(α) * cos(α)

Answer

tan(α) = cos(α) / sin(α)

Answer

tan(α) = sin(α) + cos(α)

Question 33

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt die Umkehrung der Cosinusfunktion?

Accepted Answer

arccos(x)

Answer

cos⁻¹(x)

Answer

1/cos(x)

Question 34

Welche trigonometrische Funktion wird verwendet, um die Länge der gegenüberliegenden Seite eines rechtwinkligen Dreiecks zu einem gegebenen Winkel zu berechnen?

Accepted Answer

Sinus

Answer

Tangens

Answer

Cosinus

Question 35

Ein Schiff fährt 10 km nach Norden und dann 15 km nach Osten. Wie weit ist das Schiff von seinem Ausgangspunkt entfernt?

Accepted Answer

18 km

Answer

15√2 km

Answer

10√2 km

Answer

25 km