Lineare Abbildungen: Online-Quiz für Klasse 13 Gymnasium

Question 1

Was impliziert in Bezug auf eine lineare Abbildung $f: mathbb{R}^2 ightarrow mathbb{R}^3$, dass sie surjektiv ist?

Accepted Answer

Der Bildraum von $f$ ist ganz $mathbb{R}^3$.

Answer

Der Rang von $f$ ist gleich 3.

Answer

Der Nullraum von $f$ ist trivial.

Answer

Die Determinante der Matrixdarstellung von $f$ ist ungleich 0.

Question 2

Welche der folgenden Matrizen repräsentiert die lineare Abbildung f(x, y) = (2x + 3y, -x + 2y)?

Accepted Answer

[[2, 3], [-1, 2]]

Answer

[[2, -1], [3, 2]]

Answer

[[2, 3], [1, -2]]

Answer

[[2, -1], [-3, 2]]

Question 3

Welcher der folgenden Vektoren ist ein Bildvektor der linearen Abbildung f(x, y) = (2x - y, 3x + 2y)?

Accepted Answer

(2, 8)

Answer

(1, 5)

Answer

(3, -1)

Answer

(5, 1)

Question 4

Welche der folgenden linearen Abbildungen ist invertierbar?

Accepted Answer

f(x) = ax + b (a ≠ 0)

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = 1/x

Question 5

Welche der folgenden Abbildungen ist linear?

Accepted Answer

$mathbb{R}^2 ightarrow mathbb{R}, (x,y) mapsto x+y$

Answer

$mathbb{R} ightarrow mathbb{R}, x mapsto x^2$

Answer

$mathbb{R} ightarrow mathbb{R}, x mapsto |x|$

Question 6

Welche der folgenden Aussagen über den Kern einer linearen Abbildung ist falsch?

Accepted Answer

Der Kern einer surjektiven Abbildung ist nicht trivial.

Answer

Der Kern ist ein Untervektorraum des Definitionsbereichs.

Answer

Der Kern einer injektiven Abbildung ist trivial.

Question 7

Bestimmen Sie das Bild der linearen Abbildung, die durch die Matrix $egin{bmatrix} 1 & 2 \ -1 & 3 end{bmatrix}$ gegeben ist.

Accepted Answer

${(x,y) | x+2y=0}$

Answer

${(x,y) | x-y=0}$

Answer

${(x,y) | x-3y=0}$

Question 8

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Definition linearer Abbildungen korrekt?

Accepted Answer

Sie bilden Geraden auf Geraden ab.

Answer

Sie sind nicht differenzierbar.

Answer

Sie haben stets einen eindeutigen Kern.

Answer

Sie sind stets injektiv.

Question 9

Welche Aussage zur Injektivität linearer Abbildungen ist korrekt?

Accepted Answer

Injektive Abbildungen haben stets einen trivialen Kern.

Answer

Surjektive Abbildungen sind stets injektiv.

Answer

Lineare Abbildungen sind stets injektiv.

Answer

Injektive Abbildungen haben stets einen eindimensionalen Kern.

Question 10

Welche Matrix repräsentiert die lineare Abbildung, die jeden Vektor um 90 Grad im Uhrzeigersinn rotiert?

Accepted Answer

[[0, -1], [1, 0]]

Answer

[[0, 1], [1, 0]]

Answer

[[1, 0], [0, -1]]

Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Question 11

Bestimmen Sie den Rang und die Nullität der folgenden linearen Abbildung: $f: mathbb{R}^4 ightarrow mathbb{R}^3$, $f(x, y, z, w) = (x + y - z, 2x - y + w, -x + 2y - w)$.

Accepted Answer

Rang 2, Nullität 2

Answer

Rang 3, Nullität 1

Answer

Rang 1, Nullität 3

Answer

Rang 4, Nullität 0

Question 12

Ein Eigenvektor zum Eigenwert λ = 1 der linearen Abbildung mit der Matrix A = [1, 2; 3, 4] ist:

Accepted Answer

[-1, 1]

Answer

[1, 0]

Answer

[0, 1]

Answer

[1, -1]

Question 13

Welche Abbildung ist eine lineare Isometrie?

Accepted Answer

f(x, y) = (x, -y)

Answer

f(x) = x + 1

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x, y) = (2x, 3y)

Question 14

Wann ist eine lineare Abbildung invertierbar?

Accepted Answer

Genau dann, wenn ihr Kern nur den Nullvektor enthält.

Answer

Genau dann, wenn ihr Kern ein eindimensionaler Unterraum ist.

Answer

Genau dann, wenn ihr Kern nicht nur den Nullvektor enthält.

Question 15

Welche der folgenden Aussagen beschreibt den Kern einer linearen Abbildung f: V → W?

Accepted Answer

Die Menge aller Vektoren in V, die auf den Nullvektor in W abgebildet werden

Answer

Die Menge aller Vektoren in W, die auf den Nullvektor in V abgebildet werden

Answer

Die Menge aller Vektoren in V, die auf sich selbst abgebildet werden

Answer

Die Menge aller Vektoren in W, die auf sich selbst abgebildet werden

Question 16

Welche der folgenden Aussagen ist eine wesentliche Eigenschaft linearer Abbildungen?

Accepted Answer

Sie sind additiv.

Answer

Sie sind bijektiv.

Answer

Sie sind surjektiv.

Question 17

Wie lautet die Umkehrabbildung der linearen Abbildung, die jeden Vektor (x, y) auf (2x - y, x + 2y) abbildet?

Accepted Answer

$egin{bmatrix} 1/2 & 1/2 \ -1/2 & 1/2 end{bmatrix}$

Answer

$egin{bmatrix} 1/2 & -1/2 \ 1/2 & 1/2 end{bmatrix}$

Answer

$egin{bmatrix} 2 & -1 \ 1 & 2 end{bmatrix}$

Question 18

Welche der folgenden Aussagen beschreibt treffend den geometrischen Effekt einer linearen Abbildung?

Accepted Answer

Sie kann Geraden auf Geraden abbilden.

Answer

Sie kann Geraden in Kurven abbilden.

Answer

Sie kann Punkte auf Kurven abbilden.

Question 19

Welche der folgenden linearen Abbildungen ist surjektiv?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 5

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = |x|

Question 20

Welche der folgenden linearen Abbildungen ist eine Dilatation?

Accepted Answer

f(x) = 2x

Answer

f(x) = x + 5

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = |x|

Question 21

Welche der folgenden Aussagen definiert eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

Eine Funktion, die die Summe und das Produkt zweier Vektoren erhält.

Answer

Eine Funktion, die Geraden auf Parabeln abbildet.

Answer

Eine Funktion, die jeden Vektor auf den Nullvektor abbildet.

Question 22

Welcher Vektor gehört zum Kern der linearen Abbildung, die durch die Matrix [2 -1] gegeben ist?

Accepted Answer

[1 0]

Answer

[0 1]

Answer

[2 1]

Answer

[-1 2]

Question 23

Welche der folgenden Funktionen ist eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

$f(x) = 2x+3$

Answer

$f(x) = x^2$

Answer

$f(x) = sin(x)$

Answer

$f(x) = |x|$

Question 24

Welche der folgenden Matrizen ist nicht invertierbar?

Accepted Answer

$egin{bmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 end{bmatrix}$

Answer

$egin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 end{bmatrix}$

Answer

$egin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 end{bmatrix}$

Answer

$egin{bmatrix} 2 & 1 \ -1 & 2 end{bmatrix}$

Question 25

Welche der folgenden Aussagen über den Kern einer linearen Abbildung ist korrekt?

Accepted Answer

Er ist immer ein Untervektorraum des Definitionsbereichs.

Answer

Er ist immer ein Obervektorraum des Bildbereichs.

Answer

Er ist immer eine Teilmenge des Bildbereichs.

Answer

Er ist immer gleich der Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems, das durch die lineare Abbildung definiert wird.

Question 26

Bestimmen Sie die Matrixdarstellung der linearen Abbildung f(x) = (2x - 1, x + 3) bezüglich der Standardbasen von R².

Accepted Answer

[2 1]

Answer

[2 -1]

Answer

[1 2]

Answer

[-1 3]

Question 27

Berechnen Sie das Bild der linearen Abbildung f(x) = Ax, wobei A = [1 2; 3 4] und x = (1, 2) ist.

Accepted Answer

(5, 14)

Answer

(1, 2)

Answer

(5, 10)

Answer

(10, 14)

Question 28

Berechnen Sie den Rang der linearen Abbildung f(x) = (2x, x - 1, 3x + 2).

Accepted Answer

3

Answer

1

Answer

2

Answer

4

Question 29

Eine lineare Abbildung ist eine Funktion, die:

Accepted Answer

Geraden auf Geraden abbildet

Answer

Parabeln auf Geraden abbildet

Answer

Kreise auf Ellipsen abbildet

Answer

Ebenen auf Ebenen abbildet

Question 30

Welche der folgenden Matrizen repräsentiert die lineare Abbildung f: R² → R², die jeden Punkt (x, y) auf (x - 2y, y + x) abbildet?

Accepted Answer

$egin{pmatrix} 1 & -2 \ 1 & 1 end{pmatrix}$

Answer

$egin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 end{pmatrix}$

Answer

$egin{pmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 end{pmatrix}$

Answer

$egin{pmatrix} 1 & 1 \ -2 & 1 end{pmatrix}$

Question 31

Welche Bedingung ist notwendig und hinreichend dafür, dass eine lineare Abbildung injektiv ist?

Accepted Answer

Der Kern der linearen Abbildung ist trivial.

Answer

Die Determinante der Matrixdarstellung ist ungleich null.

Answer

Die Zeilenvektoren der Matrixdarstellung sind linear unabhängig.

Answer

Das Bild der linearen Abbildung ist ganz R².

Question 32

Gegeben sei die lineare Abbildung f: R³ → R³ mit der Matrixdarstellung $$egin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \ 0 & 1 & 3 \ 0 & 0 & 1 end{pmatrix}$$. Berechne die Dimension des Kerns von f.

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

3

Answer

4

Question 33

Welche Transformation ist keine lineare Abbildung?

Accepted Answer

Drehung um den Ursprung

Answer

Verschiebung parallel zur x-Achse

Answer

Spiegelung an der y-Achse

Answer

Projektion auf die xy-Ebene

Question 34

Welche der folgenden Aussagen beschreibt eine lineare Abbildung korrekt?

Accepted Answer

Eine Abbildung, die Geraden auf Geraden abbildet unter Erhaltung der Operationen Addition und skalare Multiplikation

Answer

Eine Abbildung, die Kreise auf Ellipsen abbildet

Answer

Eine Abbildung, die die Richtung von Vektoren umkehrt

Answer

Eine Abbildung, die den Abstand zwischen Punkten erhält

Question 35

Welche der folgenden Eigenschaften ist charakteristisch für eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

Kommutativität mit der Addition, Assoziativität mit der skalaren Multiplikation und Distributivität

Answer

Surjektivität

Answer

Assoziativität mit der Multiplikation

Answer

Injektivität

Question 36

Welche der folgenden Funktionen ist eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

f(x, y) = 2x + 3y

Answer

f(x, y) = sin(x + y)

Answer

f(x, y) = x^2 + y^2

Answer

f(x, y) = |x - y|

Question 37

Welche der folgenden Abbildungen ist eine lineare Transformation des R^3?

Accepted Answer

f(x, y, z) = (x + y, z - x, 2y)

Answer

f(x, y, z) = (x/y, y/z, z/x)

Answer

f(x, y, z) = (x^2, y^3, z^4)

Answer

f(x, y, z) = (cos(x), sin(y), tan(z))

Question 38

Welche der folgenden Aussagen über orthogonale lineare Abbildungen ist korrekt?

Accepted Answer

Sie erhalten den Abstand zwischen Vektoren und sind diagonalisierbar mit reellen Eigenwerten

Answer

Sie sind immer diagonalisierbar

Answer

Sie sind immer surjektiv

Answer

Sie sind immer injektiv

Question 39

Welche der folgenden Matrizen repräsentiert eine orthogonale lineare Abbildung?

Accepted Answer

A = [[1/sqrt(2), -1/sqrt(2)], [1/sqrt(2), 1/sqrt(2)]]

Answer

B = [[1, 2], [0, 1]]

Answer

C = [[0, 1], [1, 0]]

Question 40

Welche Aussage beschreibt eine lineare Abbildung treffend?

Accepted Answer

Sie bildet Geraden auf Geraden ab.

Answer

Sie ist nicht injektiv.

Answer

Sie ist nicht surjektiv.

Answer

Sie ist nicht bijektiv.

Question 41

Welche Eigenschaft ist charakteristisch für lineare Abbildungen?

Accepted Answer

f(x + y) = f(x) + f(y)

Answer

f(1) = 1

Answer

f(x) = f(x) + f(x)

Answer

f(ax) = a * f(x)

Question 42

Welche Aussage über lineare Abbildungen ist korrekt?

Accepted Answer

Sie sind stetig.

Answer

Sie sind differenzierbar.

Answer

Sie sind integrierbar.

Answer

Sie sind nur auf beschränkten Mengen definiert.

Question 43

Eigenschaften von linearen Abbildungen: Welche Eigenschaft ist zutreffend?

Accepted Answer

Lineare Abbildungen sind additiv und homogen.

Answer

Lineare Abbildungen sind stetig und differenzierbar.

Answer

Lineare Abbildungen sind injektiv und surjektiv.

Answer

Lineare Abbildungen sind konvex und kompakt.

Question 44

Matrixdarstellungen von linearen Abbildungen: Welche Matrix repräsentiert die Streckung um den Faktor 2?

Accepted Answer

([[2, 0], [0, 2]])

Answer

([[2, 0], [0, 1]])

Answer

([[1, 0], [2, 0]])

Answer

([[1, 2], [0, 2]])

Question 45

Rang einer linearen Abbildung: Welche Aussage ist korrekt?

Accepted Answer

Der Rang entspricht der Dimension des Bildes.

Answer

Der Rang entspricht der Anzahl der Zeilen der Matrix, die die Abbildung repräsentiert.

Answer

Der Rang entspricht der Anzahl der Spalten der Matrix, die die Abbildung repräsentiert.

Answer

Der Rang entspricht der Dimension des Kerns.

Question 46

Nicht-invertierbare lineare Abbildungen: Welche lineare Abbildung ist nicht invertierbar?

Accepted Answer

Die Abbildung, die jeden Vektor auf den Nullvektor abbildet.

Answer

Die Abbildung, die jeden Vektor um den Faktor 2 streckt.

Answer

Die Abbildung, die jeden Vektor auf die x-Achse projiziert.

Question 47

Welche der folgenden Aussagen über lineare Abbildungen ist **falsch**?

Accepted Answer

Lineare Abbildungen sind immer bijektiv.

Answer

Lineare Abbildungen sind additiv.

Answer

Lineare Abbildungen erfüllen das Assoziativgesetz.

Answer

Lineare Abbildungen können durch Matrizen dargestellt werden.

Question 48

Was ist eine wesentliche Eigenschaft des Bildes einer linearen Abbildung?

Accepted Answer

Es ist ein Untervektorraum des Zielraumes.

Answer

Es ist eine Teilmenge des Zielraumes.

Answer

Es ist eine Linearkombination der Koordinatenvektoren.

Answer

Es ist immer endlich.

Question 49

Welche Eigenschaft trifft auf jede lineare Abbildung zu?

Accepted Answer

Homogenität

Answer

Bijektivität

Answer

Injektivität

Answer

Surjektivität

Question 50

Welche Aussage über lineare Abbildungen ist falsch?

Accepted Answer

Sie sind immer injektiv.

Answer

Sie sind multiplikativ.

Answer

Sie sind additiv.

Answer

Sie sind homogen.

Question 51

Was ist der Kern einer linearen Abbildung?

Accepted Answer

Die Menge aller Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden.

Answer

Die Menge aller Vektoren, die auf sich selbst abgebildet werden.

Answer

Die Menge aller Vektoren, die auf einen von Null verschiedenen Vektor abgebildet werden.

Question 52

Was ist das Bild einer linearen Abbildung?

Accepted Answer

Die Menge aller Vektoren, auf die abgebildet werden kann.

Answer

Die Menge aller Vektoren, die auf sich selbst abgebildet werden.

Answer

Die Menge aller Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden.

Question 53

Welche Eigenschaft ist für injektive lineare Abbildungen charakteristisch?

Accepted Answer

Jeder Vektor wird auf einen eindeutigen Vektor abgebildet.

Answer

Jeder Vektor wird auf einen von Null verschiedenen Vektor abgebildet.

Answer

Jeder Vektor wird auf den Nullvektor abgebildet.

Question 54

Welche Eigenschaft ist für surjektive lineare Abbildungen charakteristisch?

Accepted Answer

Jeder Vektor im Bildraum kann durch einen Vektor im Definitionsbereich abgebildet werden.

Answer

Jeder Vektor im Definitionsbereich wird auf einen Vektor im Bildraum abgebildet.

Answer

Jeder Vektor im Bildraum wird auf den Nullvektor abgebildet.

Question 55

Welche Aussage über lineare Abbildungen ist richtig?

Accepted Answer

Sie sind immer stetig.

Answer

Sie sind nur stetig für konstante Funktionen.

Answer

Sie sind niemals stetig.

Answer

Sie sind nur stetig für lineare Funktionen.

Question 56

Welche Abbildung ist eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 1

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = |x|

Question 57

Was ist der Rang einer linearen Abbildung?

Accepted Answer

Die Dimension des Bildraums.

Answer

Die Anzahl der Zeilen der Matrixdarstellung.

Answer

Die Dimension des Definitionsbereichs.

Answer

Die Anzahl der Spalten der Matrixdarstellung.

Question 58

Welche der folgenden Definitionen beschreibt lineare Abbildungen korrekt?

Accepted Answer

Funktionen, die Geraden auf Geraden abbilden und die Eigenschaften Additivität und Homogenität erfüllen.

Answer

Funktionen, die den Ursprung erhalten und surjektiv sind.

Answer

Funktionen, die den Abstand zwischen Punkten erhalten und stetig sind.

Answer

Funktionen, die die Nullstelle auf die Nullstelle abbilden und injektiv sind.

Question 59

Welche der folgenden Matrizen repräsentiert eine lineare Abbildung im R^3?

Accepted Answer

[[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]

Answer

[[1, 2, 3], [4, 5], [7, 8, 9]]

Answer

[[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8]]

Answer

[[1, 2, 3, 4], [5, 6, 7, 8], [9, 10, 11, 12]]

Question 60

Welche der folgenden Eigenschaften ist für alle linearen Abbildungen gültig?

Accepted Answer

Additivität und Homogenität

Answer

Injektivität und Surjektivität

Answer

Beschränktheit und Periodizität

Answer

Stetigkeit und Differenzierbarkeit

Question 61

Welche Aussage zu linearen Abbildungen ist korrekt?

Accepted Answer

Sie bilden Geraden auf Geraden ab.

Answer

Ihre Matrixdarstellung ist immer eine Diagonalmatrix.

Answer

Sie bilden Ebenen auf Ebenen ab.

Answer

Sie sind nichtlinear.

Question 62

Was ist die Definition des Kerns einer linearen Abbildung?

Accepted Answer

Menge der Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden.

Answer

Menge der Vektoren, die auf den Einheitsvektor abgebildet werden.

Answer

Menge der linear unabhängigen Vektoren.

Answer

Menge der Vektoren, die Vielfache des Bildvektors sind.

Question 63

Welche Aussage zur Summe zweier linearer Abbildungen ist richtig?

Accepted Answer

Sie ist eine lineare Abbildung.

Answer

Sie ist eine injektive Abbildung.

Answer

Sie ist eine affine Abbildung.

Answer

Sie ist eine nichtlineare Abbildung.

Question 64

Trifft die folgende Aussage zu: Die Komposition zweier linearer Abbildungen ist eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

Ja

Answer

Nein

Answer

Nur, wenn die erste Abbildung injektiv ist

Answer

Nur, wenn die zweite Abbildung surjektiv ist