Grenzwerte von Funktionen: Interaktive Übungen und Quizze

Question 1

Bei welcher Funktion ist die Ableitung an der Stelle x=0 nicht definiert?

Accepted Answer

g(x) = |x|

Answer

f(x) = x²

Answer

h(x) = sin(x)

Answer

k(x) = e^x

Question 2

Welcher Grenzwert ist gleichbedeutend mit lim_h->0 (f(x+h)-f(x))/h?

Accepted Answer

f'(x)

Answer

f'(x+h)

Answer

f''(x)

Answer

f''(x+h)

Question 3

Definiere den Grenzwert einer Funktion f(x) gegen L für x gegen c nach der Epsilon-Delta-Definition.

Accepted Answer

Für jedes beliebig kleine ε > 0 existiert ein δ > 0, sodass für alle x mit 0 < |x - c| < δ gilt |f(x) - L| < ε.

Answer

Es existiert ein δ > 0, sodass für jedes beliebig kleine ε > 0 gilt |f(x) - L| < ε für alle x mit |x - c| < δ.

Answer

Für jedes beliebige x existiert ein ε > 0, sodass |f(x) - L| < ε für alle δ > 0 gilt.

Question 4

Die Funktion f(x) = (x - 2)² ist an der Stelle x = 2

Accepted Answer

stetig und hat den Grenzwert 0

Answer

nicht stetig und hat den Grenzwert 4

Answer

nicht stetig und hat keinen Grenzwert

Answer

stetig und hat keinen Grenzwert

Question 5

Die Funktion f(x) = (x-1) / (x²-x-2) hat an der Stelle x = 2

Accepted Answer

eine hebbare Unstetigkeitsstelle

Answer

eine wesentliche Unstetigkeitsstelle

Answer

keine Unstetigkeitsstelle

Answer

einen Grenzwert von 0

Question 6

Überprüfe, ob die Funktion f(x) = x² an der Stelle x = 2 stetig ist.

Accepted Answer

Ja

Answer

Nein

Question 7

Überprüfe die Stetigkeit der Funktion f(x) = x / |x| an der Stelle x = 0.

Accepted Answer

Nein

Answer

Ja

Question 8

Welche der folgenden Aussagen über den Grenzwert einer Funktion f(x) für x gegen a ist korrekt?

Accepted Answer

Der Grenzwert ist der Wert, dem sich f(x) annähert, wenn x beliebig nahe an a herankommt, ohne a zu erreichen.

Answer

Der Grenzwert ist ein Funktionswert an der Stelle x = a.

Answer

Der Grenzwert muss immer existieren.

Answer

Der Grenzwert ist eine geometrische Eigenschaft von f(x).

Question 9

Untersuche die Stetigkeit der Funktion f(x) = 1 / (x - 2) an der Stelle x = 2.

Accepted Answer

unstetig

Answer

stetig

Answer

bedingt stetig

Answer

nicht untersucht

Question 10

Untersuche, ob die Funktion h(x) = √(x² - 1) an der Stelle x = 1 stetig ist.

Accepted Answer

ja

Answer

nein

Answer

bedingt stetig

Answer

nicht untersucht

Question 11

Welche der folgenden Funktionen hat einen Pol an der Stelle x = 0?

Accepted Answer

g(x) = 1 / x

Answer

f(x) = x / (x - 1)

Answer

h(x) = e^x

Answer

k(x) = sin(x)

Question 12

Bestimme den Grenzwert von k(x) = (x - 2)² / (x² - 4) für x gegen 2.

Accepted Answer

0

Answer

1

Answer

2

Answer

unendlich

Question 13

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 2 stetig?

Accepted Answer

f(x) = |x - 2|

Answer

f(x) = 1 / (x - 2)

Answer

f(x) = (x² - 4) / (x - 2)

Answer

f(x) = log₂(x - 2)

Question 14

Berechne den Grenzwert von lim (x gegen unendlich) ((1 + 1 / x)ˣ - e).

Accepted Answer

e

Answer

0

Answer

1

Answer

unendlich

Question 15

Welche der folgenden Aussagen über die Funktion f(x) = |x| ist falsch?

Accepted Answer

Sie ist an allen Stellen monoton steigend.

Answer

Sie ist an der Stelle x = 0 nicht differenzierbar.

Answer

Sie ist eine ungerade Funktion.

Answer

Ihr Graph ist symmetrisch zur y-Achse.

Question 16

Was beschreibt der Grenzwert einer Funktion f an der Stelle x = a?

Accepted Answer

Den Wert, dem sich f(x) annähert, wenn x sich von links oder rechts an a annähert

Answer

Den Wert, den f(x) an der Stelle x = a annimmt

Answer

Den Wert, der entsteht, wenn f(x) durch (x - a) geteilt wird

Answer

Den Wert, bei dem die Funktion an der Stelle x = a ihre Richtung ändert

Question 17

Welche Aussage trifft auf eine stetige Funktion f an der Stelle x = a zu?

Accepted Answer

Der Grenzwert von f an der Stelle x = a existiert und ist gleich f(a).

Answer

Der Grenzwert von f an der Stelle x = a existiert, ist aber ungleich f(a).

Answer

Die Funktion f hat an der Stelle x = a eine Definitionslücke.

Answer

Die Funktion f hat an der Stelle x = a einen Sprung.

Question 18

Berechne den Grenzwert von f(x) = (x² - 1) / (x - 1) für x gegen 1.

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

2

Answer

unendlich

Question 19

Welche Regel gilt für Grenzwerte von Summen?

Accepted Answer

lim(f(x) + g(x)) = lim(f(x)) + lim(g(x))

Answer

lim(f(x) + g(x)) = lim(f(x)) - lim(g(x))

Answer

lim(f(x) + g(x)) = lim(f(x)) * lim(g(x))

Answer

lim(f(x) + g(x)) = lim(f(x)) / lim(g(x))

Question 20

Welche Aussage ist korrekt?

Accepted Answer

Ist f(x0) = lim_(x->x0) f(x), so ist f an der Stelle x0 stetig.

Answer

Existiert f(x0), so existiert auch lim_(x->x0) f(x).

Answer

Existiert lim_(x->x0) f(x), so existiert auch f(x0).

Question 21

Welche Funktion ist an der Stelle x = 2 nicht stetig?

Accepted Answer

f(x) = 1 / (x - 2)

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = |x - 2|

Answer

f(x) = e^x

Question 22

Welche Funktion ist an der Stelle x = 0 nicht differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x³

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sin(x)

Question 23

Definition des Grenzwertes: Was bedeutet der Grenzwert einer Funktion f(x) an der Stelle x = a?

Accepted Answer

Der Wert, dem sich f(x) für x sehr nahe an a annähert

Answer

Der Wert, den f(x) für x = a annimmt

Answer

Der Wert, den die Steigung der Tangente im Punkt (a, f(a)) darstellt

Answer

Der Wert, der durch die Ableitung von f(x) an der Stelle x = a berechnet wird

Question 24

Grenzwert für unendlich: Was geschieht mit dem Grenzwert von f(x) = x^2 + 2x - 3 für x gegen unendlich?

Accepted Answer

Der Grenzwert existiert und ist gleich unendlich

Answer

Der Grenzwert existiert und ist gleich -3

Answer

Der Grenzwert existiert nicht

Answer

Der Grenzwert ist abhängig von der Richtung, aus der sich x unendlich nähert

Question 25

Vertikale Asymptote: Welche der folgenden Funktionen hat eine vertikale Asymptote an der Stelle x = 2?

Accepted Answer

f(x) = 1 / (x - 2)

Answer

f(x) = (x - 2) / (x + 2)

Answer

f(x) = x^2 - 2x + 4

Answer

f(x) = e^(x - 2)

Question 26

Horizontale Asymptote: Welche der folgenden Funktionen hat eine horizontale Asymptote an der Stelle y = 3?

Accepted Answer

f(x) = 3 + 1 / x

Answer

f(x) = (3x + 1) / (x - 2)

Answer

f(x) = x^2 + 3x - 4

Answer

f(x) = e^(-x) + 3

Question 27

Berechnen Sie den Grenzwert von f(x) = (2x+1) / (x-1), wenn x gegen unendlich strebt.

Accepted Answer

2

Answer

0

Answer

unendlich

Question 28

Welche der folgenden Funktionen hat einen Sprung an der Stelle x = 0?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x

Answer

f(x) = sin(x)

Question 29

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = π stetig?

Accepted Answer

f(x) = cos(x)

Answer

f(x) = tan(x)

Answer

f(x) = 1 / sin(x)

Question 30

Berechnen Sie den Grenzwert von f(x) = (e^x-1) / x, wenn x gegen 0 strebt.

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

e

Question 31

Welche der folgenden Aussagen trifft auf die Funktion f(x) = log(x) zu, wenn x gegen 0 strebt?

Accepted Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Answer

Der Grenzwert ist 0.

Answer

Der Grenzwert ist unendlich.

Question 32

Eine Funktion f(x) ist an der Stelle x = a genau dann stetig, wenn:

Accepted Answer

der Grenzwert von f(x) für x gegen a gleich f(a) ist

Answer

der Grenzwert von f(x) für x gegen a existiert

Answer

f(a) existiert

Answer

f(x) ist an allen Stellen größer als 0

Question 33

Welcher der folgenden Grenzwerte existiert nicht?

Accepted Answer

limx→0 (1/x)

Answer

limx→∞ (x^2 + 1)

Answer

limx→π (sin(x))

Answer

limx→-1 (x^3 + 2x^2 - 1)

Question 34

Bestimmen Sie den Grenzwert von f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1) für x gegen 1.

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

2

Answer

unendlich

Question 35

Berechnen Sie den Grenzwert von f(x) = (1 + 1/x)^x für x gegen unendlich.

Accepted Answer

e

Answer

1

Answer

π

Answer

unendlich

Question 36

Bestimmen Sie den Grenzwert von f(x) = (sin(x) - x) / (x^3 - x) für x gegen 0.

Accepted Answer

0

Answer

1

Answer

-1

Answer

unendlich

Question 37

Berechne den Grenzwert der Folge aₙ = (2n + 1) / (n - 1) für n gegen unendlich.

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

2

Answer

unendlich

Question 38

Welche der folgenden Funktionen ist nicht differenzierbar an der Stelle x = 0?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 39

Bestimmen Sie den Grenzwert von **f(x) = (x² - 1) / (x - 1)** für **x gegen 1**. Kürzen Sie zunächst die Funktion.

Accepted Answer

2

Answer

unendlich

Answer

0

Answer

1

Question 40

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle **x = 2** stetig? Die Funktion darf keine Polstelle an dieser Stelle aufweisen.

Accepted Answer

f(x) = x³ - 4x

Answer

f(x) = |x - 2|

Answer

f(x) = (x² - 4) / (x - 2)

Answer

f(x) = 1 / (x - 2)

Question 41

Welche der folgenden Funktionen ist im Punkt **(0, 0)** differenzierbar? Die Funktion darf keine Unstetigkeitsstelle an dieser Stelle aufweisen.

Accepted Answer

f(x, y) = xy

Answer

f(x, y) = 1 / (x² + y²)

Answer

f(x, y) = |x - y|

Answer

f(x, y) = sin(x² + y²)

Question 42

Was ist der Grenzwert der Funktion f(x) = (x²-4)/(x-2) für x gegen 2?

Accepted Answer

4

Answer

2

Answer

-2

Answer

0

Question 43

Für welchen Wert von a ist die Funktion f(x) = {x²+2ax, wenn x≤1;  ax²+1, wenn x>1} an der Stelle x=1 stetig?

Accepted Answer

a=1

Answer

Für keinen Wert von a

Answer

a=0

Answer

a=2

Question 44

Welche Aussage über die Funktion f(x) = e^x ist richtig?

Accepted Answer

f(x) ist auf ihrem gesamten Definitionsbereich stetig.

Answer

f(x) ist nur für positive x-Werte stetig.

Answer

f(x) ist an keiner Stelle stetig.

Answer

f(x) hat einen Extrempunkt.

Question 45

Welchen Grenzwert hat die Funktion f(x) = {x² für rationales x; -x für irrationales x}, wenn x gegen 0 strebt?

Accepted Answer

0

Answer

1

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Answer

-1

Question 46

Für welchen Wert von a ist die Funktion f(x) = {x²+a, wenn x≤0;  x-a, wenn x>0} stetig?

Accepted Answer

a=0

Answer

a=1

Answer

Für jeden Wert von a

Answer

a=-1

Question 47

Welche Aussage über die Funktion f(x) = ln(x) ist richtig?

Accepted Answer

f(x) ist nur für x>0 stetig.

Answer

f(x) ist nur für x<0 stetig.

Answer

f(x) ist für alle reellen Zahlen x stetig.

Answer

f(x) ist an keiner Stelle stetig.