Differentialrechnung lernen: Ableitungen und Grenzwerte verstehen

Question 1

Welche Funktion ist an der Stelle x = 0 nicht differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 2

Was ist die geometrische Interpretation der Ableitung einer Funktion f(x)?

Accepted Answer

Die Steigung der Tangente an den Graphen von f(x) im Punkt (x, f(x)).

Answer

Die Steigung der Sekante zwischen zwei beliebigen Punkten auf dem Graphen von f(x).

Answer

Die Geschwindigkeit des Graphen von f(x) an der Stelle x.

Answer

Die Fläche unter dem Graphen von f(x) zwischen zwei beliebigen Punkten.

Question 3

Welche Aussage beschreibt die Ableitung einer Funktion f(x) am treffendsten?

Accepted Answer

Die Steigung der Tangente an den Graphen von f(x) an der Stelle x.

Answer

Die Fläche unter dem Graphen von f(x) zwischen zwei Punkten.

Answer

Die Änderungsrate der Funktion über ein Intervall.

Answer

Die Steigung der Sekante zwischen zwei beliebigen Punkten auf dem Graphen von f(x).

Question 4

Ermitteln Sie die Koordinaten des Wendepunkts des Graphen der Funktion f(x) = (x - 1)³ + 2.

Accepted Answer

Der Wendepunkt hat die Koordinaten (1, 1).

Answer

Der Graph hat keinen Wendepunkt.

Answer

Der Wendepunkt hat die Koordinaten (0, 2).

Answer

Der Wendepunkt hat die Koordinaten (-1, 2).

Question 5

Was ist der Hauptzweck der Ableitung einer Funktion f(x)?

Accepted Answer

Die Änderungsrate von f(x) an einem bestimmten Punkt x zu bestimmen

Answer

Die Zunahme von f(x) an einem bestimmten Punkt x zu ermitteln

Answer

Die Abnahme von f(x) an einem bestimmten Punkt x zu berechnen

Answer

Den exakten Wert von f(x) an einem bestimmten Punkt x zu finden

Question 6

Ermittle die Ableitung der Funktion f(x) = (x³ - 2x² + 5)².

Accepted Answer

2(x³ - 2x² + 5)(3x² - 4x)

Answer

6x³ - 4x² - 10x

Answer

2(x³ - 2x² + 5)³

Answer

(x³ - 2x² + 5)²

Question 7

Welche Asymptoten hat die rationale Funktion f(x) = (x² - 1) / (x - 2)?

Accepted Answer

Vertikale Asymptote bei x = 2, horizontale Asymptote bei y = 1

Answer

Vertikale Asymptote bei x = 1, horizontale Asymptote bei y = x

Answer

Vertikale Asymptote bei x = 0, horizontale Asymptote bei y = 1

Answer

Keine Asymptoten

Question 8

Ermittle die Ableitung der Funktion f(x) = e^(2x³+5x) mithilfe der Kettenregel.

Accepted Answer

f'(x) = e^(2x³+5x) * (6x² + 5)

Answer

f'(x) = (2x² + 5) * e^(2x³+5x)

Answer

f'(x) = 2x * e^(2x³+5x)

Answer

f'(x) = e^(u) * u'

Question 9

Kann eine reelle Funktion an einer bestimmten Stelle keinen Extrempunkt besitzen, obwohl ihre erste Ableitung an dieser Stelle Null ist? Begründe deine Antwort.

Accepted Answer

Ja, das ist möglich.

Answer

Nein, das ist nicht möglich.

Answer

Nur, wenn die Funktion an dieser Stelle differenzierbar ist.

Answer

Nur, wenn die Funktion an dieser Stelle stetig ist.

Question 10

Welches der folgenden Integrale entspricht der Stammfunktion von e^x?

Accepted Answer

e^x + C

Answer

e^x - C

Answer

x e^x + C

Answer

-x e^x + C

Question 11

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = tan(x).

Accepted Answer

f'(x) = sec²(x)

Answer

f'(x) = cos²(x)

Answer

f'(x) = sin²(x)

Answer

f'(x) = tan²(x)

Question 12

Welche Aussage zur Ableitungsfunktion ist korrekt?

Accepted Answer

Die Ableitungsfunktion gibt die Steigung der Tangente im betrachteten Punkt an.

Answer

Die Ableitungsfunktion beschreibt die Änderung der Funktion an beliebigen Stellen.

Answer

Die Ableitungsfunktion hat immer einen positiven Wert.

Answer

Die Ableitungsfunktion ist eine Funktion dritten Grades.

Question 13

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = x³ + 2x² - 5x + 1.

Accepted Answer

f'(x) = 3x² + 4x - 5

Answer

f'(x) = x³ + 4x² - 10x + 1

Answer

f'(x) = 3x² + 2x - 5

Answer

f'(x) = x³ + 2x² - 10x + 1

Question 14

Eine Funktion hat eine Ableitung f'(x) = (x-2)²(x+3). An welchen Stellen hat die Funktion lokale Extrema?

Accepted Answer

x = 2, x = -3

Answer

x = -2, x = 3

Answer

x = 0, x = 3

Answer

x = 0, x = -3

Question 15

Welche der folgenden Funktionen hat eine negative zweite Ableitung?

Accepted Answer

f(x) = -x³

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sin(x)

Question 16

Welche der folgenden Anwendungen der Differentialrechnung ist in der Physik relevant?

Accepted Answer

Berechnung der Geschwindigkeit aus der Beschleunigung

Answer

Berechnung des Volumens einer Kugel

Answer

Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Question 17

Welche Aussage zur Ableitung einer Potenzfunktion ist korrekt?

Accepted Answer

Die Ableitung einer Potenzfunktion ist gleich dem Exponenten multipliziert mit der Basis und der Potenz mit reduziertem Exponenten.

Answer

Die Ableitung eines Quotienten ist gleich dem Quotienten der Ableitungen

Answer

Die Ableitung einer Summe ist gleich der Summe der Ableitungen

Question 18

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 1.

Accepted Answer

3x^2 - 4x + 5

Answer

x^3 - 2x - 1

Answer

x^3 - 4x^2 + 5

Answer

3x^2 + 4x + 5

Question 19

Welche Ableitung ist richtig für die Funktion f(x) = sin(x) + cos(x)?

Accepted Answer

cos(x) - sin(x)

Answer

-sin(x) - cos(x)

Answer

sin(x) + cos(x)

Question 20

Bestimme den Grenzwert des Ausdrucks (2x^2 - 5x + 3) / (x - 3) für x gegen 3.

Accepted Answer

13

Answer

unendlich

Answer

0

Question 21

Welche Ableitung ist korrekt für die Funktion f(x) = e^(2x)?

Accepted Answer

2e^(2x)

Answer

e^(2x) / 2

Answer

-e^(2x)

Answer

e^(-2x)

Question 22

Berechne den folgenden Grenzwert: lim (x -> 3) (x² - 9) / (x - 3)

Accepted Answer

6

Answer

unendlich

Answer

1

Answer

0

Question 23

Welche der folgenden Aussagen über den Zusammenhang zwischen Stetigkeit und Differenzierbarkeit ist korrekt?

Accepted Answer

Eine differenzierbare Funktion ist immer stetig, aber eine stetige Funktion ist nicht immer differenzierbar.

Answer

Eine stetige Funktion ist immer differenzierbar, aber eine differenzierbare Funktion ist nicht immer stetig.

Question 24

Welche der folgenden Aussagen über die Ableitung der Funktion f(x) = x³ ist korrekt?

Accepted Answer

f'(x) = 3x²

Answer

f'(x) = 3x

Answer

f'(x) = x²

Question 25

Berechne die Ableitung der Funktion g(x) = sin(2x).

Accepted Answer

g'(x) = 2cos(2x)

Answer

g'(x) = -sin(2x)

Answer

g'(x) = cos(2x)

Answer

g'(x) = 2sin(2x)

Question 26

Welche der folgenden Funktionen hat einen Wendepunkt?

Accepted Answer

f(x) = x³ - 3x² + 2x

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x⁴

Answer

f(x) = sin(x)

Question 27

Welche der folgenden Funktionen ist eine Stammfunktion der Ableitung f'(x) = sin(x) + cos(x)?

Accepted Answer

f(x) = -cos(x) + sin(x) + C

Answer

f(x) = -cos(x) - sin(x) + C

Answer

f(x) = cos(x) + sin(x) + C

Answer

f(x) = cos(x) - sin(x) + C

Question 28

Bestimme die maximale Steigung der Funktion f(x) = x³ - 3x² + 2x + 1.

Accepted Answer

3

Answer

4

Answer

2

Answer

1

Question 29

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die geometrische Bedeutung der Ableitung einer Funktion?

Accepted Answer

Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt ist gleich der Steigung der Tangente an die Funktion an diesem Punkt.

Answer

Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt ist gleich dem Flächeninhalt unter der Funktion an diesem Punkt.

Question 30

Welche der folgenden Funktionen ist konkav nach oben?

Accepted Answer

f(x) = x³ + 2x

Answer

f(x) = x² - 4x + 3

Answer

f(x) = -x² + 2x + 1

Answer

f(x) = -x³ + 2x

Question 31

Welche der folgenden Anwendungen ist nicht mit der Differentialrechnung verbunden?

Accepted Answer

Vorhersage des Wetters

Answer

Analyse finanzieller Daten

Answer

Berechnung der Geschwindigkeit eines Objekts

Answer

Optimierung von Prozessen

Question 32

Bestimme die Ableitung der Funktion f(x) = 3x² - 4x + 2.

Accepted Answer

f'(x) = 6x - 4

Answer

f'(x) = 2x

Answer

f'(x) = 3x² - 4

Question 33

Die Position eines Objekts in Metern zur Zeit t in Sekunden wird durch die Funktion s(t) = t³ - 6t² + 9t beschrieben. Zu welchem Zeitpunkt kommt das Objekt zum Stillstand?

Accepted Answer

t = 1 Sekunde oder t = 3 Sekunden

Answer

t = 0 Sekunden

Answer

Das Objekt kommt nie zum Stillstand.

Answer

t = 2 Sekunden

Question 34

Was ist der Grenzwert von (x² - 1) / (x - 1) für x gegen 1?

Accepted Answer

2

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Answer

1

Answer

0

Question 35

Welche der folgenden Regeln ist die Produktregel der Differentiation?

Accepted Answer

(u(x)v(x))' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)

Answer

(u(x)v(x))' = u'(x)v'(x)

Answer

(u(x)v(x))' = u(x)v'(x) - u'(x)v(x)

Answer

(u(x)v(x))' = u'(x) + v'(x)

Question 36

Bestimme die Gleichung der Tangente an den Graphen von f(x) = x² - 2x im Punkt (3, 3).

Accepted Answer

y = 4x - 9

Answer

y = 2x - 3

Answer

y = 3x - 6

Answer

y = x

Question 37

Was ist der Grenzwert von sin(x) / x für x gegen 0?

Accepted Answer

1

Answer

∞

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Answer

0

Question 38

Die Funktion f(x) = |x| ist an der Stelle x = 0...

Accepted Answer

stetig, aber nicht differenzierbar.

Answer

differenzierbar, aber nicht stetig.

Answer

weder stetig noch differenzierbar.

Answer

sowohl stetig als auch differenzierbar.

Question 39

Welche der folgenden Aussagen über eine Funktion mit einer Ableitung von Null in einem Punkt ist immer wahr?

Accepted Answer

Die Funktion hat einen kritischen Punkt.

Answer

Die Funktion hat ein lokales Maximum.

Answer

Die Funktion hat ein lokales Minimum.

Answer

Die Funktion hat einen Wendepunkt.

Question 40

Die Ableitung der Funktion f(x) = 3x² - 2x + 1 an der Stelle x = 2 ist:

Accepted Answer

10

Answer

12

Answer

8

Answer

6

Question 41

Die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion f(x) = x³ + 2x - 1 im Punkt (1, 2) beträgt:

Accepted Answer

5

Answer

1

Answer

7

Answer

3

Question 42

Die Funktion f(x) = x² hat einen lokalen Minimum an der Stelle:

Accepted Answer

x = 0

Answer

x = -1

Answer

Die Funktion hat kein lokales Minimum.

Answer

x = 1

Question 43

Die Grenzwert-Definition der Ableitung der Funktion f(x) an der Stelle x = a lautet:

Accepted Answer

lim_(h→0) (f(a+h) - f(a)) / h

Answer

lim_(x→a) (f(x) - f(a)) / (x - a)

Answer

lim_(x→0) (f(a+x) - f(a)) / x

Answer

lim_(h→a) (f(h) - f(a)) / h

Question 44

Die Ableitung der Funktion f(x) = sin(x) ist:

Accepted Answer

cos(x)

Answer

-sin(x)

Answer

sin(x)

Answer

-cos(x)

Question 45

Die Ableitung der Funktion f(x) = e^x ist:

Accepted Answer

e^x

Answer

x * e^x

Answer

1 / e^x

Answer

e^(x-1)

Question 46

Die zweite Ableitung der Funktion f(x) = x³ - 2x² + 5x - 1 ist:

Accepted Answer

6x - 4

Answer

3x² - 4x + 5

Answer

6x² - 4x

Answer

3x² - 4x

Question 47

Die Ableitung der Funktion f(x) = (x² + 1) / (x - 1) ist:

Accepted Answer

(x² - 2x - 1) / (x - 1)²

Answer

(2x + 1) / (x - 1)²

Answer

(x² + 2x - 1) / (x - 1)²

Answer

(2x - 1) / (x - 1)²

Question 48

Die Ableitung der Funktion f(x) = ln(x) ist:

Accepted Answer

1/x

Answer

-1/x

Answer

x

Answer

ln(x)

Question 49

Die Funktion f(x) = x^4 - 4x³ + 6x² - 4x + 1 hat einen Wendepunkt an der Stelle:

Accepted Answer

x = 1

Answer

Die Funktion hat keinen Wendepunkt.

Answer

x = -1

Answer

x = 0

Question 50

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Ableitung einer Funktion an einem Punkt korrekt?

Accepted Answer

Die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion an diesem Punkt.

Answer

Der Funktionswert an diesem Punkt.

Answer

Die durchschnittliche Änderungsrate der Funktion in der Nähe dieses Punktes.

Question 51

Die Ableitung der Funktion f(x) = 3x² + 2x - 1 ist:

Accepted Answer

f'(x) = 6x + 2

Answer

f'(x) = 9x + 2

Answer

f'(x) = 3x² + 2

Answer

f'(x) = 6x² + 2x - 1

Question 52

Die Ableitung der Funktion f(x) = sin(x) ist:

Accepted Answer

f'(x) = cos(x)

Answer

f'(x) = sin(x)

Answer

f'(x) = -cos(x)

Answer

f'(x) = -sin(x)

Question 53

Die Funktion f(x) = x³ hat einen Wendepunkt bei:

Accepted Answer

x = 0

Answer

Die Funktion hat keinen Wendepunkt.

Answer

x = 1

Answer

x = -1

Question 54

Die Grenzwertdefinition der Ableitung einer Funktion f(x) an der Stelle x ist:

Accepted Answer

lim (h->0) [f(x+h) - f(x)]/h

Answer

lim (x->0) [f(x+h) - f(x)]/h

Answer

lim (h->0) [f(x) - f(x+h)]/h

Answer

lim (x->0) [f(x) - f(x+h)]/h

Question 55

Welche der folgenden Funktionen hat eine negative Ableitung für alle x?

Accepted Answer

f(x) = -2x

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Question 56

Die Ableitung der Funktion f(x) = ln(x) ist:

Accepted Answer

f'(x) = 1/x

Answer

f'(x) = x

Answer

f'(x) = 1/x²

Answer

f'(x) = ln(x)

Question 57

Die Ableitung der Funktion f(x) = e^x ist:

Accepted Answer

f'(x) = e^x

Answer

f'(x) = x * e^(x-1)

Answer

f'(x) = ln(x)

Answer

f'(x) = 1/e^x

Question 58

Eine Funktion f(x) hat einen lokalen Maximalpunkt bei x = a, wenn:

Accepted Answer

f'(a) = 0 und f''(a) < 0

Answer

f'(a) = 0 und f''(a) > 0

Answer

f'(a) < 0 und f''(a) > 0

Answer

f'(a) > 0 und f''(a) < 0

Question 59

Die Ableitung der Funktion f(x) = x² - 2x + 1 an der Stelle x = 2 ist:

Accepted Answer

f'(2) = 2

Answer

f'(2) = 1

Answer

f'(2) = -1

Answer

f'(2) = 0