Ableitungen in der Mathematik: Verstehe die Grundlagen und meistere die Regeln

Question 1

Was kennzeichnet eine differenzierbare Funktion f(x) bei einer bestimmten Stelle?

Accepted Answer

Ihre Ableitung existiert dort.

Answer

Dort ist ihr Graph differenzierbar.

Answer

Die Steigung des Graphen ist dort definiert.

Answer

Der Funktionswert ist dort ungleich Null.

Question 2

Welche Aussage zur Funktion f(x) = e^x ist korrekt?

Accepted Answer

Ihr Graph ist an jeder Stelle konvex.

Answer

Ihr Graph ist an jeder Stelle konkav.

Answer

Ihr Graph ist weder konvex noch konkav.

Answer

Ihr Graph ist alternierend konvex und konkav.

Question 3

Wie lautet die Ableitung der Funktion f(x) = x^(1/3)?

Accepted Answer

(1/3)x^(-2/3)

Answer

(3/1)x^(-4/3)

Answer

(1/2)x^(-1/2)

Answer

(3/2)x^(-3/2)

Question 4

Welche Funktion ist die Ableitung von f(x) = sin²(x)?

Accepted Answer

2sin(x)cos(x)

Answer

sin(2x)

Answer

cos(2x)

Answer

2cos²(x)

Question 5

Bestimme die Ableitung von f(x) = sin(x).

Accepted Answer

f'(x) = cos(x)

Answer

f'(x) = -cos(x)

Answer

f'(x) = sin(x)

Answer

f'(x) = -sin(x)

Question 6

Berechne die Ableitung der Kehrwertfunktion f(x) = 1/x.

Accepted Answer

f'(x) = -1/x^2

Answer

f'(x) = 1/x^2

Answer

f'(x) = -x

Answer

f'(x) = x

Question 7

Welche Aussage zur Steigung einer Tangente an eine Funktion ist richtig?

Accepted Answer

Die Steigung einer Tangente an eine Funktion ist gleich der Ableitung der Funktion an diesem Punkt.

Answer

Die Steigung einer Tangente an eine Funktion ist gleich dem Grenzwert der Sekantensteigung, wenn sich der Punkt dem Tangentenpunkt nähert.

Answer

Die Steigung einer Tangente an eine Funktion ist gleich dem Winkel zwischen der Tangente und der x-Achse.

Answer

Die Steigung einer Tangente an eine Funktion ist gleich der Differenz der Funktionswerte an zwei benachbarten Punkten.

Question 8

Welche der folgenden Aussagen ist richtig?

Accepted Answer

Die Ableitung einer konstanten Funktion ist immer null.

Answer

Die Ableitung einer linearen Funktion ist immer eins.

Answer

Die Ableitung einer quadratischen Funktion ist immer 2x.

Answer

Die Ableitung einer kubischen Funktion ist immer 3x^2.

Question 9

Bestimme das lokale Minimum der Funktion f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1.

Accepted Answer

(1, 1)

Answer

(-1, -1)

Answer

(2, 3)

Answer

(3, 8)

Question 10

Welche der folgenden Funktionen ist die Ableitung der Funktion f(x) = x³ - 2x² + 5?

Accepted Answer

f'(x) = 3x² - 4x

Answer

f'(x) = 3x² - 2

Answer

f'(x) = x² - 2x + 5

Answer

f'(x) = 3x - 2

Question 11

Berechne die Ableitung der Funktion g(x) = (x² + 1)².

Accepted Answer

g'(x) = 4x(x² + 1)

Answer

g'(x) = 2(x² + 1)

Answer

g'(x) = (x² + 1)

Answer

g'(x) = 2x

Question 12

Welche Steigung hat die Tangente an den Graphen der Funktion h(x) = sin(x) im Punkt (π/2, 1)?

Accepted Answer

0

Answer

1

Answer

-1

Answer

unbestimmt

Question 13

Welche Aussage über die Funktion f(x) = ln(x) ist korrekt?

Accepted Answer

f'(x) = 1/x

Answer

f'(x) = x

Answer

f'(x) = e^(x)

Answer

f'(x) = -1/x

Question 14

Erläutern Sie, warum die Funktion f(x) = |x| an der Stelle x = 0 nicht differenzierbar ist.

Accepted Answer

Die Ableitung von f(x) = |x| existiert an der Stelle x = 0 nicht, da die Funktion dort einen Knick aufweist.

Answer

Die Ableitung von f(x) = |x| an der Stelle x = 0 ist gleich 0.

Answer

Die Ableitung von f(x) = |x| an der Stelle x = 0 ist gleich 1.

Answer

Die Ableitung von f(x) = |x| an der Stelle x = 0 ist gleich -1.

Question 15

Berechnen Sie die Ableitung der Funktion f(x) = (x² + 1) * sin(x) mit der Produktregel.

Accepted Answer

2x * sin(x) + (x² + 1) * cos(x)

Answer

(x² + 1) * sin(x) - 2x * cos(x)

Answer

x² * sin(x) + cos(x)

Answer

2x * cos(x) - (x² + 1) * sin(x)

Question 16

Bestimme die Ableitung der Funktion f(x) = x³. Welches Ergebnis erhältst du?

Accepted Answer

3x²

Answer

x

Answer

x³

Answer

3

Question 17

Welche Ableitung ergibt sich für die Funktion h(x) = e^x?

Accepted Answer

e^x

Answer

1 / e^x

Answer

-e^x

Answer

x * e^x

Question 18

Bestimme die Ableitung der Funktion m(x) = sqrt(x). Wie lautet deine Antwort?

Accepted Answer

1 / (2 * sqrt(x))

Answer

2 * sqrt(x)

Answer

x / (2 * sqrt(x))

Answer

1 / sqrt(x)

Question 19

Welche der folgenden Aussagen ist für die Ableitung der Funktion h(x) = e^x richtig?

Accepted Answer

h'(x) = e^x

Answer

h'(x) = e

Answer

h'(x) = x

Answer

h'(x) = 1/e^x

Question 20

Bestimme die Ableitung der Funktion f(x) = ln(x) + 2x.

Accepted Answer

f'(x) = 1/x + 2

Answer

f'(x) = ln(x) + 1

Answer

f'(x) = 1/x - 2

Answer

f'(x) = 2x - ln(x)

Question 21

Welche der folgenden Funktionen hat einen Wendepunkt bei x = 2?

Accepted Answer

f(x) = x³ - 6x² + 12x

Answer

f(x) = sin(x) + 2

Answer

f(x) = e^x - 3

Answer

f(x) = x² - 4x + 3

Question 22

Welche der folgenden Funktionen ist die Ableitung von f(x) = x³ + 2x² - 5x + 1?

Accepted Answer

3x² + 4x - 5

Answer

x² + 4x - 5

Answer

x³ + 4x² - 5x + 1

Answer

x³ + 4x² - 5x

Question 23

Welche Methode kann zur Bestimmung der Ableitung einer Funktion verwendet werden, wenn ihre Ableitungsfunktion nicht gegeben ist?

Accepted Answer

Differenzenquotient

Answer

Produktregel

Answer

Kettenregel

Question 24

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = x³ - 2x² + 5.

Accepted Answer

f'(x) = 3x² - 4x

Answer

f'(x) = 3x² + 4x

Answer

f'(x) = 4x³ - 2x

Answer

f'(x) = x³ - 4x + 5

Question 25

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = sin(x) + cos(x).

Accepted Answer

f'(x) = cos(x) - sin(x)

Answer

f'(x) = sin(x) + cos(x)

Answer

f'(x) = -cos(x) - sin(x)

Answer

f'(x) = 0

Question 26

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = e^x + ln(x).

Accepted Answer

f'(x) = e^x + 1/x

Answer

f'(x) = ln(x)

Answer

f'(x) = e^x - 1/x

Answer

f'(x) = e^x

Question 27

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = arctan(x).

Accepted Answer

f'(x) = 1/(1 + x²)

Answer

f'(x) = x

Answer

f'(x) = 1/x

Answer

f'(x) = arctan(x)

Question 28

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = 3x² - 2x + 1.

Accepted Answer

f'(x) = 6x - 2

Answer

f'(x) = x² - x + 1

Answer

f'(x) = 2x

Answer

f'(x) = 6x² - 2

Question 29

Welche der folgenden Funktionen ist **nicht** differenzierbar an der Stelle x = 0?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = √x

Question 30

Was ist die Ableitung der Funktion f(x) = e^(2x + 1)?

Accepted Answer

f'(x) = 2e^(2x + 1)

Answer

f'(x) = 2x * e^(2x + 1)

Answer

f'(x) = e^(2x + 1)

Answer

f'(x) = 1 / (2x + 1) * e^(2x + 1)

Question 31

Welche der folgenden Funktionen hat einen Graphen, der **konkav nach oben** ist?

Accepted Answer

f(x) = x³ + 2x² - 1

Answer

f(x) = x³ - 2x² - 1

Answer

f(x) = -x³ - 2x² - 1

Answer

f(x) = -x³ + 2x² - 1

Question 32

Welche der folgenden Aussagen ist die korrekte Ableitung von f(x) = 3x² - 2x + 5?

Accepted Answer

f'(x) = 6x - 2

Answer

f'(x) = 3x - 2

Answer

f'(x) = 6x + 2

Answer

f'(x) = 9x² - 2

Question 33

Die Position eines Objekts wird durch die Funktion s(t) = t² + 2t - 1 beschrieben, wobei t die Zeit in Sekunden und s(t) die Position in Metern ist. Bestimme die **Geschwindigkeit** des Objekts zur Zeit t = 2.

Accepted Answer

6 m/s

Answer

9 m/s

Answer

4 m/s

Answer

2 m/s

Question 34

Bestimme die Ableitung der Funktion f(x) = (x² + 1)³.

Accepted Answer

f'(x) = 6x(x² + 1)²

Answer

f'(x) = 2x(x² + 1)²

Answer

f'(x) = 6x(x² + 1)

Answer

f'(x) = 3(x² + 1)²

Question 35

Die Funktion f(x) hat an der Stelle x = 2 einen lokalen Maximumpunkt. Was lässt sich über die zweite Ableitung f''(2) sagen?

Accepted Answer

f''(2) < 0

Answer

Die Aussage lässt sich nicht treffen.

Answer

f''(2) > 0

Answer

f''(2) = 0

Question 36

Bestimme die Gleichung der Tangente an die Funktion f(x) = e^x im Punkt (0|1).

Accepted Answer

y = x + 1

Answer

y = -x + 1

Answer

y = 2x + 1

Answer

y = x

Question 37

Die Kostenfunktion eines Unternehmens sei gegeben durch K(x) = 0,1x³ - 2x² + 20x + 100, wobei x die Produktionsmenge ist. Bestimme die Grenzkostenfunktion.

Accepted Answer

K'(x) = 0,3x² - 4x + 20

Answer

K'(x) = 0,3x³ - 4x² + 20x

Answer

K'(x) = 0,1x² - 4x + 20

Answer

K'(x) = 0,3x² - 2x + 20

Question 38

Bestimme die Ableitung der Funktion f(x) = ln(2x).

Accepted Answer

f'(x) = 1/x

Answer

f'(x) = 1/(2x)

Answer

f'(x) = ln(2)/x

Answer

f'(x) = 2/x

Question 39

Welche der folgenden Aussagen ist im Allgemeinen FALSCH?

Accepted Answer

(f(x) * g(x))' = f'(x) * g'(x)

Answer

(f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)

Answer

(f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)

Answer

(c * f(x))' = c * f'(x)

Question 40

Welche der folgenden Aussagen über die Ableitung einer Funktion ist **falsch**?

Accepted Answer

Die Ableitung einer konstanten Funktion ist immer 1.

Answer

Die Ableitung einer Funktion gibt die Steigung der Tangente an einem Punkt an.

Answer

Die Ableitung einer Funktion kann verwendet werden, um die Extrema der Funktion zu finden.

Question 41

Was ist die Ableitung der Funktion f(x) = 3x² - 4x + 2?

Accepted Answer

f'(x) = 6x - 4

Answer

f'(x) = 9x - 4

Answer

f'(x) = 6x - 2

Answer

f'(x) = 3x - 4

Question 42

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion g(x) = (2x + 1)^3.

Accepted Answer

g'(x) = 6(2x + 1)^2

Answer

g'(x) = 6(2x + 1)

Answer

g'(x) = 2(2x + 1)^2

Answer

g'(x) = 3(2x + 1)^2

Question 43

Die Position eines Objekts in Metern zur Zeit t in Sekunden wird durch die Funktion s(t) = t² - 4t + 3 beschrieben.  Wie hoch ist die Geschwindigkeit des Objekts zur Zeit t = 2 Sekunden?

Accepted Answer

0 m/s

Answer

-2 m/s

Answer

2 m/s

Answer

4 m/s

Question 44

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion h(x) = x² - 2x im Punkt P(1|-1).

Accepted Answer

y = -1

Answer

y = x - 2

Answer

y = 2x - 3

Answer

y = -x

Question 45

An welcher Stelle hat die Funktion f(x) = x³ - 3x² einen Wendepunkt?

Accepted Answer

x = 1

Answer

x = -1

Answer

x = 2

Answer

x = 0

Question 46

Welche Aussage über die Funktion f(x) = |x| ist an der Stelle x = 0 **richtig**?

Accepted Answer

f(x) ist stetig, aber nicht differenzierbar.

Answer

f(x) ist weder stetig noch differenzierbar.

Answer

f(x) ist sowohl stetig als auch differenzierbar.

Answer

f(x) ist differenzierbar, aber nicht stetig.

Question 47

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f(x) = e^(2x).

Accepted Answer

f'(x) = 2e^(2x)

Answer

f'(x) = e^(2x)

Answer

f'(x) = 2xe^(2x)

Answer

f'(x) = e^(x)

Question 48

Berechnen Sie die Ableitung der Funktion g(x) = ln(x² + 1).

Accepted Answer

g'(x) = (2x)/(x² + 1)

Answer

g'(x) = 2xln(x² + 1)

Answer

g'(x) = 1/(x² + 1)

Answer

g'(x) = 2x/(x² + 1)²

Question 49

Ein Unternehmen produziert x Einheiten eines Produkts. Die Kostenfunktion in Euro wird durch K(x) = 0.1x² + 10x + 500 beschrieben. Bestimmen Sie die Grenzkosten bei der Produktion von 100 Einheiten.

Accepted Answer

30 Euro/Einheit

Answer

40 Euro/Einheit

Answer

10 Euro/Einheit

Answer

20 Euro/Einheit

Question 50

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Ableitung einer Funktion f(x) an der Stelle x = a korrekt?

Accepted Answer

Die Steigung der Tangente an den Graphen von f(x) im Punkt (a, f(a)).

Answer

Der Funktionswert von f(x) an der Stelle x = a.

Answer

Die durchschnittliche Steigung von f(x) im Intervall [a, a+1].

Question 51

Was ist die Ableitung von f(x) = x²?

Accepted Answer

f'(x) = 2x

Answer

f'(x) = x

Answer

f'(x) = x³

Answer

f'(x) = 2

Question 52

Bestimme die Ableitung von g(x) = 3x - 5.

Accepted Answer

g'(x) = 3

Answer

g'(x) = -5

Answer

g'(x) = 0

Answer

g'(x) = 3x - 5

Question 53

Wie lautet die Ableitung von h(x) = sin(x)?

Accepted Answer

h'(x) = cos(x)

Answer

h'(x) = -sin(x)

Answer

h'(x) = tan(x)

Answer

h'(x) = -cos(x)

Question 54

Berechne die Ableitung von k(x) = e^x.

Accepted Answer

k'(x) = e^x

Answer

k'(x) = ln(x)

Answer

k'(x) = 1/x

Answer

k'(x) = x * e^(x-1)

Question 55

Die Position eines Objekts wird durch die Funktion s(t) = t² + 2t beschrieben. Berechne die Geschwindigkeit des Objekts zum Zeitpunkt t = 2.

Accepted Answer

6

Answer

8

Answer

10

Answer

4

Question 56

An welchem Punkt hat die Funktion f(x) = x³ - 3x eine waagerechte Tangente?

Accepted Answer

x = -1 und x = 1

Answer

x = 0

Answer

x = 3

Question 57

Bestimme die Gleichung der Tangente an den Graphen von f(x) = 2x² + 1 im Punkt (1, 3).

Accepted Answer

y = 4x - 1

Answer

y = 4x + 3

Answer

y = 2x + 1

Answer

y = x + 2

Question 58

Eine Funktion f(x) hat an der Stelle x = 2 ein lokales Maximum. Was lässt sich über f'(2) aussagen?

Accepted Answer

f'(2) = 0

Answer

f'(2) > 0

Answer

f'(2) existiert nicht.

Answer

f'(2) < 0

Question 59

Die Funktion f(x) ist gegeben durch f(x) = x³ - 6x² + 9x. In welchem Intervall ist die Funktion streng monoton fallend?

Accepted Answer

]1; 3[

Answer

]−∞; 1[ ∪ ]3; ∞[

Answer

]3; ∞[

Answer

]−∞; 1[