Vektorräume: Definition, Eigenschaften und Anwendungen

Question 1

Welche Eigenschaft ist charakteristisch für einen endlichdimensionalen Vektorraum?

Accepted Answer

Besitzt eine endliche Basis

Answer

Besitzt unendlich viele Basen

Answer

Ist immer ein Untervektorraum eines unendlichdimensionalen Vektorraums

Answer

Besitzt immer eine eindeutige Basis

Question 2

Welche der folgenden Aussagen über orthogonale Vektoren ist richtig?

Accepted Answer

Ihr Skalarprodukt ist immer 0

Answer

Sie sind immer linear abhängig

Answer

Sie bilden immer eine Basis des Vektorraums

Answer

Sie sind immer normiert

Question 3

Sei T: V → W eine lineare Abbildung zwischen zwei Vektorräumen. Welche Aussage ist äquivalent zu T injektiv?

Accepted Answer

Der Kern von T ist trivial

Answer

Das Bild von T ist ganz W

Answer

Die Matrixdarstellung von T ist invertierbar

Answer

Die Determinante der Matrixdarstellung von T ist ungleich null

Question 4

Welche der folgenden linearen Abbildungen ist ein Isomorphismus?

Accepted Answer

f: R² -> R², f(x, y) = (x + y, x - y)

Answer

g: R³ -> R², g(x, y, z) = (x + y, y + z)

Answer

h: R² -> R², h(x, y) = (x, 0)

Answer

i: R² -> R², i(x, y) = (x, x + y)

Question 5

Die geometrische Interpretation des Eigenvektors zu einem Eigenwert λ ist:

Accepted Answer

Eine Gerade, die durch den Ursprung verläuft

Answer

Eine Ebene, die durch den Ursprung verläuft

Answer

Ein Vektor, der in die Richtung des Eigenvektors zeigt

Answer

Ein Punkt, der auf dem Eigenvektor liegt

Question 6

Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum und u ein Unterraum von V. Welche Aussage über die Dimension von u trifft zu?

Accepted Answer

dim(u) ≤ dim(V)

Answer

dim(u) ≥ dim(V)

Answer

dim(u) = dim(V)

Answer

Keine Aussage trifft zu.

Question 7

Sei V ein Vektorraum und {} eine Teilmenge von V. Wie wird die lineare Hülle von {} definiert?

Accepted Answer

Die Menge aller Linearkombinationen von {}.

Answer

Der größte Unterraum von V, der {} enthält.

Answer

Der kleinste Unterraum von V, der {} enthält.

Answer

Die Menge aller Vektoren in V, die Vielfache von {} sind.

Question 8

In welchem der folgenden Fälle sind die Vektoren u und v in einem Vektorraum V linear unabhängig?

Accepted Answer

u = (2, 1) und v = (4, 2)

Answer

u = (1, 0) und v = (1, 1)

Answer

u = (3, 2) und v = (6, 4)

Answer

u = (0, 0) und v = (0, 1)

Question 9

Welche der folgenden Abbildungen ist eine lineare Transformation?

Accepted Answer

g(x, y) = (2x + y, x - y)

Answer

f(x, y) = x^2 + y^2

Answer

h(x, y) = e^x

Answer

Keine der gegebenen Abbildungen ist linear.

Question 10

Welche der folgenden Abbildungen ist linear?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 1

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = sin(x)

Question 11

Sei V ein euklidischer Vektorraum mit dem Skalarprodukt <, >. Welche der folgenden Paare von Vektoren ist orthogonal?

Accepted Answer

(1, 0), (0, 1)

Answer

(1, 3), (3, 1)

Answer

(1, 2), (2, 1)

Answer

(1, 1), (1, -1)

Question 12

Welche der folgenden Aussagen ist für eine lineare Hülle korrekt?

Accepted Answer

Die lineare Hülle einer Menge von Vektoren ist der kleinste Untervektorraum, der alle Vektoren enthält.

Answer

Die lineare Hülle einer Menge von Vektoren ist immer endlichdimensional.

Question 13

Was versteht man unter einem Vektorraum?

Accepted Answer

Eine Menge, in der Vektoren addiert und mit Skalaren multipliziert werden können, und die dabei bestimmte Axiome erfüllt.

Answer

Eine geordnete Menge von Zahlen.

Question 14

Welche der folgenden Aussagen über lineare Unabhängigkeit ist korrekt?

Accepted Answer

Ein System von Vektoren ist linear unabhängig, wenn kein Vektor des Systems aus den anderen Vektoren linear kombinierbar ist.

Answer

Ein System von Vektoren ist linear unabhängig, wenn alle Vektoren Einheitsvektoren sind.

Question 15

Was ist eine Basis eines Vektorraums?

Accepted Answer

Ein minimal erzeugendes und linear unabhängiges System von Vektoren.

Answer

Eine Linearkombination von Vektoren, die dem Nullvektor entspricht.

Answer

Eine Teilmenge des Vektorraums, die alle anderen Vektoren des Raums enthält.

Question 16

Wie viele linear unabhängige Vektoren enthält eine Basis eines n-dimensionalen Vektorraums?

Accepted Answer

n

Answer

n-1

Answer

Die Anzahl der linear unabhängigen Vektoren ist abhängig vom Vektorraum.

Answer

n+1

Question 17

Welche der folgenden Abbildungen ist eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 5

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = sin(x)

Question 18

Was ist der Kern einer linearen Abbildung?

Accepted Answer

Die Menge aller Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden.

Answer

Die Menge aller Vektoren, die auf den Einheitsvektor abgebildet werden.

Answer

Die Menge aller Vektoren, die auf sich selbst abgebildet werden.

Question 19

Welche der folgenden Eigenschaften definiert einen Vektorraum V über einem Körper K?

Accepted Answer

V ist eine nichtleere Menge, in der zwei Verknüpfungen, die Addition und die skalare Multiplikation, definiert sind.

Answer

V ist ein Ring unter der Addition und der skalaren Multiplikation.

Answer

V ist eine Gruppe unter der Addition.

Answer

V ist ein Körper unter der Addition und der skalaren Multiplikation.

Question 20

Ist die Menge aller Polynome vom Grad kleiner oder gleich 2 ein Vektorraum über dem Körper der reellen Zahlen?

Accepted Answer

Ja, denn diese Menge ist abgeschlossen unter Addition und skalaren Multiplikation und enthält das Nullelement.

Answer

Nein, denn diese Menge enthält kein Inverses für die Addition.

Answer

Nein, denn diese Menge ist nicht abgeschlossen unter Addition.

Question 21

Ist die Menge {(1, 0), (0, 1), (1, 1)} linear unabhängig im zweidimensionalen Vektorraum R²?

Accepted Answer

Ja, denn keine Linearkombination dieser Vektoren mit reellen Koeffizienten ergibt den Nullvektor.

Answer

Nein, denn (0, 1) = (1, 0) - (1, 1).

Answer

Nein, denn (1, 1) = 2 * (1, 0).

Answer

Nein, denn (1, 1) = (1, 0) + (0, 1).

Question 22

Was ist die Definition einer Basis eines Vektorraumes?

Accepted Answer

Eine Basis ist eine Menge linear unabhängiger Vektoren, die den Vektorraum aufspannen.

Answer

Eine Basis ist eine Menge linear unabhängiger Vektoren, die den Vektorraum nicht aufspannen.

Answer

Eine Basis ist eine Menge linear abhängiger Vektoren, die den Vektorraum aufspannen.

Question 23

Ist die Menge {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} eine Basis des dreidimensionalen Vektorraums R³?

Accepted Answer

Ja, denn sie ist linear unabhängig und spannt R³ auf.

Answer

Nein, denn sie spannt R³ nicht auf.

Answer

Nein, denn sie ist nicht minimal.

Answer

Nein, denn sie ist nicht linear unabhängig.

Question 24

Welche Aussage über lineare Abbildungen ist korrekt?

Accepted Answer

Eine lineare Abbildung ist genau dann bijektiv, wenn sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist.

Answer

Eine lineare Abbildung ist surjektiv genau dann, wenn sie injektiv ist.

Answer

Eine lineare Abbildung ist injektiv genau dann, wenn sie surjektiv ist.

Question 25

Welche Aussage zu einem Untervektorraum stimmt?

Accepted Answer

Ein Untervektorraum ist eine nichtleere Teilmenge des übergeordneten Vektorraums, die selbst ein Vektorraum ist.

Answer

Ein Untervektorraum ist ein Vektorraum, der nicht im übergeordneten Vektorraum enthalten ist.

Answer

Ein Untervektorraum hat eine höhere Dimension als der übergeordnete Vektorraum.

Question 26

Welche Matrix repräsentiert einen linearen Operator auf dem Vektorraum R³?

Accepted Answer

[[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]

Answer

[[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]

Answer

[[1, 0, 0], [0, 1, 1], [0, 1, 1]]

Answer

[[1, 0, 0], [0, 1, 1], [0, 0, 1]]

Question 27

Was bedeutet lineare Abhängigkeit von Vektoren?

Accepted Answer

Es existieren Skalare, die nicht alle null sind, sodass die Summe der skalierten Vektoren den Nullvektor ergibt.

Answer

Die Vektoren bilden ein Parallelogramm.

Answer

Die Vektoren sind parallel zueinander.

Question 28

Wie viele verschiedene Basen kann ein n-dimensionaler Vektorraum haben?

Accepted Answer

Unendlich viele

Answer

Genau n²

Answer

Genau n

Question 29

Welche Operation ist nicht linear?

Accepted Answer

Potenzieren

Answer

Subtrahieren

Answer

Multiplizieren mit einer Konstanten

Answer

Addieren

Question 30

Welcher Vektorraum ist ein Untervektorraum von R⁴?

Accepted Answer

Die Menge aller Vektoren, deren zweite und vierte Komponente 0 sind.

Answer

Die Menge aller Vektoren, deren erste Komponente positiv ist.

Answer

Die Menge aller Vektoren, deren Betrag kleiner als 1 ist.

Question 31

Wie viele Elemente hat eine Basis des Vektorraumes aller Polynome vom Grad ≤ 3?

Accepted Answer

4

Answer

2

Answer

5

Question 32

Welche Menge ist ein Koordinatensystem des Vektorraums R²?

Accepted Answer

{(1,0), (0,1)}

Answer

{(1,2), (2,1), (0,0)}

Answer

{(1,1), (0,1)}

Answer

{(1,0), (1,1), (0,1)}