Lineare Abbildungen: Online-Quizze und Übungen für Klasse 13

Question 1

Welche Aussage beschreibt die Eigenschaften linearer Abbildungen korrekt?

Accepted Answer

Lineare Abbildungen erhalten die Addition und Multiplikation von Vektoren.

Answer

Lineare Abbildungen sind immer bijektiv.

Answer

Lineare Abbildungen sind immer invertierbar.

Answer

Lineare Abbildungen sind immer surjektiv.

Question 2

Welche Matrix hat den Eigenwert λ = 2?

Accepted Answer

[[2, 0], [0, 2]]

Answer

[[1, 2], [3, 1]]

Answer

[[0, 1], [1, 0]]

Answer

[[2, -1], [1, 2]]

Question 3

Wie wird die Beziehung zwischen zwei linearen Abbildungen, die nacheinander angewendet werden, bezeichnet?

Accepted Answer

Komposition

Answer

Addition

Answer

Multiplikation

Answer

Subtraktion

Question 4

Welche der folgenden Aussagen über lineare Abbildungen ist **nicht** korrekt?

Accepted Answer

Sie sind stehts bijektiv (umkehrbar).

Answer

Sie erhalten die linearen Operationen (+, -).

Answer

Sie können durch Matrizen dargestellt werden.

Answer

Sie sind Isomorphismen (erhalten alle algebraischen Strukturen).

Question 5

Welche der folgenden Matrizen ist die Einheitsmatrix?

Accepted Answer

\begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}

Answer

\begin{pmatrix} 0 & 1 \ 1 & 0 \end{pmatrix}

Answer

\begin{pmatrix} 2 & 0 \ 0 & 2 \end{pmatrix}

Answer

\begin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix}

Question 6

Welche der folgenden Abbildungen ist eine lineare Transformation?

Accepted Answer

f(x, y) = (x + y, x - y)

Answer

f(x, y) = (x^2, y^2)

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = e^x

Question 7

Welche Aussage ist richtig für den Eigenwert \lambda einer Matrix A?

Accepted Answer

Er ist eine Lösung des charakteristischen Polynoms von A.

Answer

Er ist der größte Eintrag auf der Hauptdiagonale von A.

Answer

Er ist immer eine reelle Zahl.

Answer

Er ist immer eine positive Zahl.

Question 8

Welche Aussage über lineare Abbildungen ist richtig?

Accepted Answer

Sie erhalten die Addition und skalare Multiplikation.

Answer

Sie sind immer invertierbar.

Answer

Sie sind immer surjektiv.

Answer

Sie sind immer injektiv.

Question 9

Welche Aussage über den Kern einer linearen Abbildung ist richtig?

Accepted Answer

Er ist immer ein Untervektorraum des Definitionsbereichs.

Answer

Er ist immer der Nullvektorraum.

Answer

Er ist immer ein endlichdimensionaler Vektorraum.

Answer

Er ist immer der Definitionsbereich der inversen Abbildung.

Question 10

Welche Eigenschaft ist für lineare Abbildungen charakteristisch?

Accepted Answer

Sie bilden Geraden auf Geraden ab.

Answer

Sie sind immer stetig.

Answer

Sie erhalten Abstände.

Answer

Sie sind immer differenzierbar.

Question 11

Welche der folgenden Aussagen über Determinanten ist richtig?

Accepted Answer

Die Determinante einer Diagonalmatrix ist das Produkt der Diagonalelemente.

Answer

Die Determinante einer Dreiecksmatrix ist gleich der Summe ihrer Diagonalelemente.

Answer

Die Determinante einer Matrix ist gleich der Summe der Determinanten ihrer Zeilen.

Answer

Die Determinante einer Matrix ist gleich dem Quadrat ihrer Spur.

Question 12

Welche der folgenden Matrizen stellt eine Spiegelung an der x-Achse dar?

Accepted Answer

[[1, 0], [0, -1]]

Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[0, 1], [1, 0]]

Answer

[[0, -1], [1, 0]]

Question 13

Welche der folgenden Matrizen ist nicht orthogonal?

Accepted Answer

[[1, 1], [1, -1]]

Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[0, 1], [-1, 0]]

Answer

[[cos(α), -sin(α)], [sin(α), cos(α)]]

Question 14

Welche Bedingung muss eine quadratische Matrix A erfüllen, um invertierbar zu sein?

Accepted Answer

Ihre Determinante ist ungleich 0.

Answer

Ihre Determinante ist gleich 0.

Question 15

Was ist die korrekte Definition des Nullraums einer linearen Abbildung?

Accepted Answer

Die Menge aller Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden.

Answer

Die Menge aller Vektoren, die auf einen beliebigen Vektor abgebildet werden.

Answer

Die Menge aller linear abhängigen Vektoren.

Answer

Die Menge aller Vektoren, die orthogonal zum Bildraum sind.

Question 16

Welche drei Anwendungsgebiete von linearen Abbildungen fallen dir ein? Beschreibe kurz, wie sie in diesen Bereichen eingesetzt werden.

Accepted Answer

Modellierung von Kräften in der Physik

Accepted Answer

Lösen von Gleichungssystemen in der Ingenieurwissenschaft

Accepted Answer

Komprimierung von Bildern in der Informatik

Question 17

Welche Aussage zur inversen Matrix einer linearen Abbildung ist korrekt?

Accepted Answer

Existiert nur für invertierbare Matrizen

Answer

Existiert immer

Answer

Ist eindeutig bestimmt

Answer

Existiert nur für lineare Gleichungssysteme

Question 18

Bestimme den Rang der Matrix [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9].

Accepted Answer

3

Answer

1

Answer

2

Answer

unbestimmt

Question 19

Welche Aussage zu Eigenwerten einer linearen Abbildung ist richtig?

Accepted Answer

Sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms

Answer

Sind immer reelle Zahlen

Answer

Sind die Determinanten der Matrix der linearen Abbildung

Answer

Sind niemals negativ

Question 20

Welche Aussage über den Rang einer Matrix ist korrekt?

Accepted Answer

Der Rang einer Matrix ist gleich der Anzahl ihrer linear unabhängigen Zeilenvektoren.

Answer

Der Rang einer Matrix ist gleich der Anzahl ihrer Zeilen.

Answer

Der Rang einer Matrix ist gleich der Summe ihrer größten und kleinsten Eigenwerte.

Answer

Der Rang einer Matrix ist immer größer als die Anzahl ihrer Spalten.

Question 21

Welche der folgenden Aussagen beschreibt eine lineare Abbildung korrekt?

Accepted Answer

Eine Abbildung, die die Summe zweier Vektoren auf die Summe ihrer Bilder abbildet

Answer

Eine Abbildung, die gerade Linien auf gekrümmte Linien abbildet

Answer

Eine Abbildung, die den Nullvektor auf einen von Null verschiedenen Vektor abbildet

Answer

Eine Abbildung, die Quadrate auf Kreise abbildet

Question 22

Welche Aussage über Eigenwerte und Eigenvektoren ist korrekt?

Accepted Answer

Alle diese Aussagen sind korrekt

Answer

Ein Eigenwert ist eine Lösung der charakteristischen Gleichung der Matrix

Answer

Ein Eigenvektor ist ein Vektor, der durch die lineare Transformation skaliert wird

Answer

Die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind immer linear unabhängig

Question 23

Welche der folgenden Aussagen über lineare Abbildungen trifft zu?

Accepted Answer

Sie erhalten die Operationen Addition und Multiplikation mit Skalaren.

Answer

Sie sind immer surjektiv.

Answer

Sie sind immer bijektiv.

Answer

Sie sind immer injektiv.

Question 24

Welche der folgenden Aussagen über Determinanten ist falsch?

Accepted Answer

Sie sind immer positiv.

Answer

Sie sind invariant unter Zeilenvertauschungen.

Answer

Sie können verwendet werden, um die Umkehrbarkeit einer Matrix zu überprüfen.

Answer

Sie messen das Volumen des von den Zeilenvektoren aufgespannten Parallelepipeds.

Question 25

Welche der folgenden Abbildungen ist eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

$f(x, y) = x + y$

Answer

$f(x) = x^2$

Answer

$f(x) = |x|$

Answer

$f(x) = e^x$

Question 26

Welche der folgenden Matrizen ist nicht invertierbar?

Accepted Answer

$egin{bmatrix}1 & 0\0 & 0end{bmatrix}$

Answer

$egin{bmatrix}1 & 2\3 & 4end{bmatrix}$

Answer

$egin{bmatrix}2 & 1\1 & 2end{bmatrix}$

Answer

$egin{bmatrix}-1 & 3\2 & -6end{bmatrix}$

Question 27

Welches der folgenden linearen Gleichungssysteme hat keine Lösung?

Accepted Answer

$egin{bmatrix}1 & 0\0 & 0end{bmatrix}egin{bmatrix}x\yend{bmatrix}=egin{bmatrix}1\0end{bmatrix}$

Answer

$egin{bmatrix}1 & 2\3 & 4end{bmatrix}egin{bmatrix}x\yend{bmatrix}=egin{bmatrix}1\2end{bmatrix}$

Answer

$egin{bmatrix}2 & 1\1 & 2end{bmatrix}egin{bmatrix}x\yend{bmatrix}=egin{bmatrix}3\5end{bmatrix}$

Answer

$egin{bmatrix}-1 & 3\2 & -6end{bmatrix}egin{bmatrix}x\yend{bmatrix}=egin{bmatrix}0\2end{bmatrix}$

Question 28

Welche der folgenden Aussagen über lineare Abbildungen trifft NICHT zu?

Accepted Answer

Lineare Abbildungen sind stets bijektiv.

Answer

Lineare Abbildungen sind additiv.

Answer

Lineare Abbildungen sind multiplikativ.

Answer

Lineare Abbildungen sind homogen.

Question 29

Welche Bedingung ist notwendig, damit eine Matrix invertierbar ist?

Accepted Answer

Die Determinante ist ungleich Null.

Answer

Die Matrix ist quadratisch.

Answer

Die Matrix ist symmetrisch.

Answer

Die Matrix ist diagonalisierbar.

Question 30

Wann wird eine lineare Abbildung als diagonalisierbar bezeichnet?

Accepted Answer

Wenn sie eine Basis aus Eigenvektoren besitzt.

Answer

Wenn ihre Matrix eine Dreiecksmatrix ist.

Answer

Wenn ihre Determinante ungleich Null ist.

Answer

Wenn ihr Nullraum trivial ist.

Question 31

Welche Eigenschaft trifft auf den Kern einer linearen Abbildung zu?

Accepted Answer

Er ist ein Untervektorraum des Definitionsbereichs.

Answer

Er ist ein Untervektorraum des Zielbereichs.

Answer

Er ist gleich dem Bild der linearen Abbildung.

Answer

Er ist der Nullvektorraum.

Question 32

Welche Matrix hat den Rang 2?

Accepted Answer

$egin{bmatrix} 1 & 1 \ 1 & 2 end{bmatrix}$

Answer

$egin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 0 end{bmatrix}$

Answer

$egin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 6 end{bmatrix}$

Answer

$egin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \ 0 & 0 end{bmatrix}$

Question 33

Welche Aussage über die Eigenwerte einer Matrix ist korrekt?

Accepted Answer

Sie sind die Lösungen der charakteristischen Gleichung der Matrix.

Answer

Sie sind immer reell.

Answer

Sie sind immer positiv.

Answer

Sie sind immer ganzzahlig.

Question 34

Welche der folgenden Abbildungen ist **injektiv**?

Accepted Answer

f(x) = x + 1

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = sin(x)

Question 35

Welche der folgenden Abbildungen ist **linear** und **surjektiv**?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 1

Answer

f(x) = x^2 + 1

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = |x|

Question 36

Welche der folgenden Aussagen über lineare Abbildungen ist **falsch**?

Accepted Answer

Lineare Abbildungen sind stets bijektiv.

Answer

Lineare Abbildungen erhalten die Abhängigkeit.

Answer

Lineare Abbildungen erhalten die Addition.

Answer

Lineare Abbildungen erhalten die Multiplikation mit Skalaren.

Question 37

Welche der folgenden Matrizen ist die **Einheitsmatrix**?

Accepted Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[0, 1], [1, 0]]

Answer

[[1, 2], [3, 4]]

Answer

[[2, 1], [1, 2]]

Question 38

Welche der folgenden Abbildungen ist eine lineare Abbildung **vom R^3 in den R^2**?

Accepted Answer

f(x, y, z) = (x, y)

Answer

f(x, y, z) = (x^2, y^2)

Answer

f(x, y, z) = (x, y, x + y)

Answer

f(x, y, z) = (sin(x), cos(y), 0)

Question 39

Welche der folgenden Aussagen über lineare Abbildungen ist **unzutreffend**?

Accepted Answer

Lineare Abbildungen sind surjektiv.

Answer

Lineare Abbildungen sind stetig.

Answer

Lineare Abbildungen sind differenzierbar.

Answer

Lineare Abbildungen haben einen eindeutigen Kern.

Question 40

Ermitteln Sie die Determinante der Matrix $egin{pmatrix} 2 & -1 \ 3 & 2 end{pmatrix}$

Accepted Answer

7

Answer

1

Answer

4

Answer

-1

Question 41

Welches der folgenden linearen Gleichungssysteme hat genau eine Lösung?

Accepted Answer

$egin{align} x + 2y &= 3 \ 2x + 4y &= 6 end{align}$

Answer

$egin{align} x + y &= 2 \ 2x + 2y &= 4 end{align}$

Answer

$egin{align} x - y &= 1 \ 2x - 2y &= 2 end{align}$

Answer

$egin{align} x + 2y &= 3 \ 2x + 4y &= 8 end{align}$

Question 42

Charakterisieren Sie den Eigenraum einer Matrix.

Accepted Answer

Teilraum des zugrunde liegenden Vektorraums

Answer

Stets eindimensional

Answer

Nur für symmetrische Matrizen definiert

Answer

Identisch mit dem Nullraum der Matrix

Question 43

Welche der folgenden Aussagen über Diagonalisierbarkeit ist falsch?

Accepted Answer

Eine Matrix ist nur diagonalisierbar, wenn sie symmetrisch ist.

Answer

Eine diagonalisierbare Matrix ist invertierbar.

Answer

Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn sie zu einer Diagonalmatrix ähnlich ist.

Answer

Eine Diagonalmatrix ist stets diagonalisierbar.

Question 44

Welche der folgenden Aussagen definiert eine lineare Abbildung am prägnantesten?

Accepted Answer

Eine Abbildung zwischen Vektorräumen, die Vektoren linear abbildet und den Nullvektor auf den Nullvektor abbildet.

Answer

Eine abbildung, die Vektoren auf Vektoren abbildet.

Answer

Eine Abbildung, die die Länge von Vektoren erhält.

Question 45

Welche der folgenden Matrizen repräsentiert die lineare Abbildung, die einen Vektor [x, y] auf den Vektor [3x + y, 2x - y] abbildet?

Accepted Answer

[[3, 1], [2, -1]]

Answer

[[0, 1], [0, 0]]

Answer

[[1, 2], [3, 5]]

Answer

[[1, 2], [3, 4]]

Question 46

Der Kern einer linearen Abbildung ist definiert als:

Accepted Answer

Die Menge aller Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden.

Answer

Die Menge aller Vektoren, die auf sich selbst abgebildet werden.

Answer

Die Menge aller Vektoren, die auf einen anderen Vektor abgebildet werden.

Question 47

Die Determinante einer linearen Abbildung, die durch eine Matrix A repräsentiert wird, ist gleich:

Accepted Answer

Dem Produkt der Eigenwerte von A.

Answer

Der Summe der Eigenwerte von A.

Answer

Der Differenz der Eigenwerte von A.

Question 48

Welche der folgenden linearen Abbildungen ist invertierbar?

Accepted Answer

Die Abbildung, die jeden Vektor auf das Doppelte seines Wertes abbildet.

Answer

Die Abbildung, die jeden Vektor auf den Nullvektor abbildet.

Answer

Die Abbildung, die jeden Vektor auf einen anderen festen Vektor abbildet.

Question 49

Die Eigenwerte einer linearen Abbildung sind:

Accepted Answer

Die Lösungen der charakteristischen Gleichung det(A - λI) = 0.

Answer

Die Elemente der Hauptdiagonale der Matrix, die die lineare Abbildung repräsentiert.

Answer

Die Lösungen der Gleichung |A| = 0.

Question 50

Welche Aussage beschreibt die geometrische Interpretation einer linearen Abbildung?

Accepted Answer

Eine Transformation des Vektorraums.

Answer

Eine Projektion des Vektorraums auf eine Gerade.

Answer

Eine Drehung des Vektorraums um einen Punkt.

Answer

Eine Spiegelung des Vektorraums an einer Ebene.

Question 51

Welche der folgenden Abbildungen ist linear?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 1

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = sin(x)

Question 52

Welche der folgenden Aussagen über lineare Abbildungen ist richtig?

Accepted Answer

Sie sind sowohl additiv als auch homogen.

Answer

Sie sind bijektiv.

Answer

Sie sind surjektiv.

Answer

Sie sind injektiv.

Question 53

Welche der folgenden Matrizen repräsentiert eine lineare Abbildung, die jeden Vektor auf das Dreifache seines ursprünglichen Wertes reflektiert?

Accepted Answer

3 * I

Answer

-I

Answer

-3 * I

Answer

I/3

Question 54

Welche der folgenden linearen Abbildungen ist injektiv?

Accepted Answer

f(x) = 2 * x

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x^2

Question 55

Welche der folgenden linearen Abbildungen ist surjektiv?

Accepted Answer

f(x) = x + 5

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x^2 + 1

Answer

f(x) = 2 * x - 1

Question 56

Welche der folgenden linearen Abbildungen ist invertierbar?

Accepted Answer

f(x) = 2 * x + 1

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = |x|

Question 57

Welche der folgenden Abbildungen ist linear?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 1

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = |x|

Question 58

Welche der folgenden Abbildungen ist bijektiv?

Accepted Answer

f(x) = x^3

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x^2

Question 59

Welche der folgenden Abbildungen ist invertierbar?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 1

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = sin(x)

Question 60

Welche der folgenden Anwendungen linearer Abbildungen findet sich in der Computergrafik?

Accepted Answer

Transformation von 3D-Objekten

Answer

Modellierung von physikalischen Prozessen

Answer

Berechnung von Wahrscheinlichkeiten

Answer

Lösen von Differentialgleichungen

Question 61

Die Kernmenge der linearen Abbildung f: R³ → R² mit f(x, y, z) = (x + 2y - z, 3x - y + 2z) ist:

Accepted Answer

{(x, y, z) | x + 2y = z, 3x = y + 2z}

Answer

{(x, y, z) | x = y = z}

Answer

{(x, y, z) | x = 0, y = 0, z = 0}

Answer

{(x, y, z) | x = -2y + z, y = 3x - 2z}

Question 62

Für die lineare Abbildung f: R² → R³ mit f(x, y) = (x, y, x + y) gilt:

Accepted Answer

f ist surjektiv, aber nicht injektiv.

Answer

f ist weder injektiv noch surjektiv.

Answer

f ist sowohl injektiv als auch surjektiv.

Answer

f ist injektiv, aber nicht surjektiv.

Question 63

Welche der folgenden Abbildungen ist eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 1

Answer

k(x) = sin(x)

Answer

g(x) = x²

Answer

h(x) = |x|

Question 64

Welche Aussage über die Determinante einer regulären Matrix ist richtig?

Accepted Answer

Sie ist ungleich Null.

Answer

Sie ist gleich der Summe der Elemente in der Hauptdiagonale.

Answer

Sie ist das Quadrat der Spur.

Answer

Sie ist immer positiv.