Grenzwerte verstehen und berechnen - Mathe Klasse 12 Gesamtschule

Question 1

Welche der folgenden Aussagen beschreibt korrekt die Definition eines Grenzwertes?

Accepted Answer

Wenn sich die unabhängige Variable einer Stelle a annähert, nähern sich die Funktionswerte einem bestimmten Wert, dem Grenzwert.

Answer

Der Grenzwert ist der exakte Funktionswert an der betrachteten Stelle.

Answer

Der Grenzwert ist die Steigung der Tangente an der betrachteten Stelle.

Question 2

Bestimme den Grenzwert von f(x) = (x - 2)/(x^2 - 4), wenn x gegen 2 geht.

Accepted Answer

1/4

Answer

1/2

Answer

1

Question 3

Welche der folgenden Aussagen definiert den einseitigen Grenzwert von f(x) für x gegen c von links?

Accepted Answer

lim_(x->c-) f(x) = L bedeutet, dass es für jedes ε > 0 ein δ > 0 gibt, sodass für alle x mit 0 < c - x < δ gilt: f(x) < L + ε

Answer

lim_(x->c+) f(x) = L bedeutet, dass es für jedes ε > 0 ein δ > 0 gibt, sodass für alle x mit 0 < x - c < δ gilt: f(x) < L + ε

Answer

lim_(x->c) f(x) = L bedeutet, dass es für jedes ε > 0 ein δ > 0 gibt, sodass für alle x mit |x - c| < δ gilt: f(x) < L + ε

Answer

lim_(x->c) f(x) = L bedeutet, dass für jedes x gilt: f(x) = L

Question 4

Bestimme den Grenzwert von ln(x) / x für x gegen unendlich.

Accepted Answer

0

Answer

1

Answer

unendlich

Answer

minus unendlich

Question 5

Was versteht man unter dem Grenzwert einer Funktion f(x) für x gegen c?

Accepted Answer

Der Wert, dem sich die Funktionswerte beliebig stark nähern, wenn sich x dem Wert c beliebig stark annähert

Answer

Der Wert der Funktion an der Stelle c

Answer

Der größte Funktionswert im Intervall um c

Answer

Der kleinste Funktionswert im Intervall um c

Question 6

Welche Aussage über die Funktion f(x) = x^2 - 1 ist richtig?

Accepted Answer

Sie ist stetig in jedem Punkt

Answer

Sie ist nur in x = 0 stetig

Answer

Sie ist nur in x = 1 stetig

Answer

Sie ist nirgends stetig

Question 7

Welche Aussage über die Funktion f(x) = 1 / (x - 2) ist richtig?

Accepted Answer

Sie hat eine vertikale Asymptote bei x = 2

Answer

Sie hat eine horizontale Asymptote bei y = 0

Answer

Sie hat eine schiefe Asymptote

Answer

Sie hat keine Asymptoten

Question 8

Untersuche die Differenzierbarkeit der Funktion f(x) = |x| an der Stelle x = 0.

Accepted Answer

f(x) ist an der Stelle x = 0 nicht differenzierbar.

Answer

f(x) ist an der Stelle x = 0 differenzierbar.

Answer

f(x) ist an der Stelle x = 0 nur linksseitig differenzierbar.

Answer

f(x) ist an der Stelle x = 0 nur rechtsseitig differenzierbar.

Question 9

Welcher Grenzwertsatz besagt, dass die Summe zweier Funktionen gegen die Summe ihrer Grenzwerte konvergiert?

Accepted Answer

Summensatz

Answer

Differenzsatz

Answer

Produktregel

Answer

Quotientenregel

Question 10

Der Grenzwert von f(x) = (e^x - 1)/x für x gegen unendlich ist:

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

e

Answer

unendlich

Question 11

Welcher der folgenden Grenzwerte ist NICHT definiert?

Accepted Answer

$\lim_{x\to\1} \frac{1}{x-1}$

Answer

$\lim_{x\to\0} \frac{x^2}{x}$

Answer

$\lim_{x\to\2} \frac{x^2-4}{x-2}$

Answer

$\lim_{x\to\infty} \frac{e^x}{x^2}$

Question 12

Welcher Grenzwertsatz kann verwendet werden, um den Grenzwert von $f(x) = \frac{x^3-8}{x-2}$ für $x$ gegen 2 zu berechnen?

Accepted Answer

Faktorisieren und Kürzen

Answer

Quotientenregel

Answer

L'Hôpital'sche Regel

Answer

Satz von Stolz-Cesàro

Question 13

Der Graph einer Funktion hat an einer Stelle $a$ eine horizontale Tangente genau dann, wenn:

Accepted Answer

die Ableitung der Funktion an der Stelle $a$ gleich 0 ist

Answer

der Funktionswert an der Stelle $a$ existiert

Answer

der Grenzwert der Funktion für $x$ gegen $a$ existiert

Answer

der Graph der Funktion an der Stelle $a$ keinen Sprung aufweist

Question 14

Welche der folgenden Funktionen hat an der Stelle x = 0 eine vertikale Asymptote?

Accepted Answer

f(x) = x / (x² - 1)

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = (x + 1) / (x - 1)

Answer

f(x) = ln(x²)**

Question 15

Welcher Grenzwertsatz kann verwendet werden, um den Grenzwert von lim x->0+ (sin(x) / x) zu berechnen?

Accepted Answer

Satz von l'Hospital

Answer

Sandwich-Theorem

Answer

Cauchy-Riemann-Bedingungen

Answer

Squeeze-Theorem

Question 16

Welche Aussage ist über die Differenzierbarkeit der Funktion f(x) = x³ - 2x² + 1 in x = 0 richtig?

Accepted Answer

f(x) ist differenzierbar in x = 0.

Answer

f(x) ist nicht differenzierbar in x = 0.

Answer

f(x) ist nur linksseitig differenzierbar in x = 0.

Answer

f(x) ist nur rechtsseitig differenzierbar in x = 0.

Question 17

Welcher Grenzwertsatz kann verwendet werden, um den Grenzwert von f(x) = sin(x) / x für x → 0 zu berechnen?

Accepted Answer

Satz von l'Hôpital

Answer

Satz der Stetigkeit

Answer

Satz von der Dominanz der höchsten Potenz

Answer

Satz von Squeeze

Question 18

Welcher der folgenden Ausdrücke ist gleichbedeutend mit dem Grenzwert von f(x) für x → 0?

Accepted Answer

lim_(x→0) f(x) = L

Answer

f'(0) = L

Answer

f''(0) = L

Answer

f(0) = L

Question 19

Welche der folgenden Funktionen hat einen Grenzwert von 1 für x gegen unendlich?

Accepted Answer

f(x) = (2x + 1) / (x + 1)

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Question 20

Berechne den Grenzwert von sin(x) / x für x gegen 0.

Accepted Answer

1

Answer

unendlich

Answer

nicht vorhanden

Answer

0

Question 21

Berechne den Grenzwert von ln(x) / x für x gegen 0.

Accepted Answer

0

Answer

unendlich

Answer

nicht vorhanden

Answer

1

Question 22

Der Grenzwert der Folge (aₙ) mit aₙ = (n + 1) / (2n - 1) für n gegen unendlich ist:

Accepted Answer

1/2

Answer

0

Answer

-1

Answer

1

Question 23

Für den Grenzwert lim_(x→2) (x² - 4) / (x - 2) gilt:

Accepted Answer

Der Grenzwert existiert und ist gleich 4.

Answer

Der Grenzwert ist unendlich.

Answer

Der Grenzwert existiert nicht.

Answer

Der Grenzwert ist 0.

Question 24

Der Grenzwert lim_(x→0) (sin(x)) / x beträgt:

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

unendlich

Question 25

Die Funktion f(x) = |x| / x ist:

Accepted Answer

unseretig.

Answer

nicht definiert.

Answer

stetig.

Answer

differenzierbar.

Question 26

Welche Aussage zum Grenzwertsatz lim_(x→a) [f(x) + g(x)] = L + M ist falsch?

Accepted Answer

Der Satz gilt auch, falls L oder M unendlich sind.

Answer

Der Satz gilt für Summen von beliebig vielen Funktionen.

Answer

Der Satz kann verwendet werden, um den Grenzwert der Summe von zwei Funktionen zu berechnen.

Answer

Der Satz gilt, wenn die Grenzwerte von f(x) und g(x) für x gegen a existieren.

Question 27

Der Grenzwert lim_(x→∞) (3x² + 2x - 1) / (x² - 5x + 4) ist:

Accepted Answer

3

Answer

0

Answer

unendlich

Answer

-1/4

Question 28

Welche der folgenden Funktionen hat eine waagerechte Asymptote bei y = 2?

Accepted Answer

f(x) = (2x² + 1) / (x² - 1)

Answer

g(x) = x² + 2x - 1

Answer

k(x) = e^x + 2

Answer

h(x) = 2 / (x - 1)

Question 29

Sei f(x) = x² für x < 2 und f(x) = ax + b für x ≥ 2. Für welche Werte von a und b ist die Funktion f(x) stetig an der Stelle x = 2?

Accepted Answer

a = 4, b = 0

Answer

a = 2, b = 2

Answer

a = 0, b = 4

Answer

Für keine Werte von a und b