Integrale verstehen: Online-Quiz für Klasse 10 Gesamtschule

Question 1

Eine Stammfunktion ist eine Funktion, deren Ableitung die gegebene Funktion ergibt. Welche der folgenden Aussagen ist daher korrekt?

Accepted Answer

Die Ableitung einer Stammfunktion ist die gegebene Funktion.

Answer

Die Stammfunktion einer Ableitung ist die gegebene Funktion.

Answer

Die Stammfunktion einer Funktion ist die gegebene Funktion.

Answer

Die Ableitung einer Funktion ist die Stammfunktion.

Question 2

Laut der Regel für Integrale von Summen wird das Integral einer Summe in zwei Teile zerlegt. Welche der folgenden Aussagen beschreibt diese Regel korrekt?

Accepted Answer

Das Integral einer Summe ist gleich der Summe der Integrale.

Answer

Das Integral einer Summe ist gleich dem Produkt der Integrale.

Answer

Das Integral einer Summe ist gleich dem Quotienten der Integrale.

Answer

Die Regel für Integrale von Summen ist nicht korrekt.

Question 3

Um die Fläche unter der Kurve y = x² zwischen den Grenzen x = 0 und x = 2 zu berechnen, wird ein Integral benötigt. Welches der folgenden Integrale ist korrekt?

Accepted Answer

∫0² x² dx

Answer

∫²² x² dx

Answer

∫0² 2x dx

Answer

∫²² 2x dx

Question 4

Uneigentliche Integrale können konvergieren oder divergieren. Welche der folgenden Aussagen beschreibt dieses Konzept korrekt?

Accepted Answer

Ein uneigentliches Integral kann einen endlichen oder unendlichen Grenzwert haben.

Answer

Ein uneigentliches Integral hat immer einen endlichen Grenzwert.

Answer

Ein uneigentliches Integral hat immer einen unendlichen Grenzwert.

Answer

Ein uneigentliches Integral ist immer gleich dem Wert des bestimmten Integrals.

Question 5

Welche Eigenschaft trifft immer auf die Stammfunktion F(x) einer Funktion f(x) zu?

Accepted Answer

F(x) ist immer stetig differenzierbar.

Answer

F(x) ist immer eine gerade Funktion.

Answer

F(x) ist immer eine positive Funktion.

Question 6

Berechne das Integral von ∫(2x + 3) dx:

Accepted Answer

x² + 3x + C

Answer

x² - 3x + C

Answer

2x² + 3x + C

Answer

2x² - 3x + C

Question 7

Welches der folgenden Integrale ergibt die Fläche unter der Kurve y = x³ von x = 0 bis x = 2?

Accepted Answer

∫₀² x³ dx

Answer

∫²₀ x³ dx

Answer

∫₀² 3x² dx

Answer

∫²₀ 3x² dx

Question 8

Welche Integrationsregel muss verwendet werden, um das Integral ∫sin(ax) dx zu lösen, wobei a eine Konstante ist?

Accepted Answer

1/a * cos(ax) + C

Answer

-1/a * cos(ax) + C

Answer

-1/a * sin(ax) + C

Answer

1/a * sin(ax) + C

Question 9

Welche Substitutionsregel kann verwendet werden, um das Integral ∫√(1 + x²) dx zu lösen?

Accepted Answer

u = √(1 + x²)

Answer

u = 1 + x²

Answer

u = x

Answer

u = 1

Question 10

Welcher ist der Hauptunterschied zwischen einem unbestimmten und einem bestimmten Integral?

Accepted Answer

Ein unbestimmtes Integral liefert eine Stammfunktion, während ein bestimmtes Integral den Flächeninhalt unter der Kurve zwischen zwei Punkten berechnet.

Answer

Ein bestimmtes Integral liefert eine Stammfunktion, während ein unbestimmtes Integral den Flächeninhalt unter der Kurve berechnet.

Answer

Beide Integrale liefern Stammfunktionen.

Answer

Beide Integrale liefern Zahlenwerte.

Question 11

Die Stammfunktion einer Funktion ist diejenige Funktion, deren Ableitung:

Accepted Answer

der ursprünglichen Funktion entspricht

Answer

der negativen ursprünglichen Funktion entspricht

Answer

der zweiten Ableitung der ursprünglichen Funktion entspricht

Answer

dem Integral der ursprünglichen Funktion entspricht

Question 12

Welche der folgenden Funktionen ist die Stammfunktion von f(x) = 3x^2 - 2x + 1?

Accepted Answer

x^3 - 2x^2 + x

Answer

x^3 - x^2 + x

Answer

x^3 + x^2 + x

Answer

x^3 - 3x^2 + x

Question 13

Welches der folgenden Integrale ist divergent?

Accepted Answer

∫(1/x^2) dx

Answer

∫(x^2 + 1) dx

Answer

∫(e^x) dx

Answer

∫(sin(x)) dx

Question 14

Berechne das Integral von ∫(x³ + 2) dx.

Accepted Answer

x⁴/4 + 2x + C

Answer

x³ + 2x + C

Answer

1/4 x⁴ + 2x + C

Answer

4x³ + 2x + C

Question 15

Welche Integrationsregel wurde bei der Lösung von ∫x sin(x) dx verwendet?

Accepted Answer

Integration durch Teile

Answer

Produktregel

Answer

Partielle Integration

Answer

Substitution

Question 16

Löse die Gleichung ∫f(x) dx = x³ - 2x + C.

Accepted Answer

f(x) = 3x² - 2

Answer

f(x) = x³ - 2x

Answer

f(x) = x² - 2

Answer

f(x) = 3x³ - 2x

Question 17

Welche der folgenden Funktionen ist eine Stammfunktion von f(x) = 1/x²?

Accepted Answer

1/x + C

Answer

-1/x

Answer

-1/x + C

Answer

1/x

Question 18

Welche Integrationsregel wird bei der Berechnung des Integrals von ∫sin(x) cos(x) dx angewandt?

Accepted Answer

Partielle Integration

Answer

Substitution

Answer

Summenregel

Answer

Produktregel

Question 19

Bestimme das Integral von ∫(x² + 1)/(x³ + x) dx.

Accepted Answer

ln(|x³ + x|) + C

Answer

arctan(x) + C

Answer

1/(x³ + x) + C

Answer

x + C

Question 20

Welche der folgenden Funktionen ist eine Stammfunktion der Funktion f(x) = 2x?

Accepted Answer

x² + C

Answer

x²

Answer

2x² + C

Answer

2x + C

Question 21

Welche Methode wird verwendet, um die Fläche zwischen zwei Kurven zu berechnen?

Accepted Answer

Integration

Answer

Differentiation

Answer

Ableitung

Answer

Substitution

Question 22

Berechne das bestimmte Integral von ∫[0,π/4] sin(x) dx.

Accepted Answer

π/8

Answer

1

Answer

-1

Answer

-π/8

Question 23

Welche Substitutionsregel wird verwendet, um das Integral von ∫√(1 + x²) dx zu lösen?

Accepted Answer

u = √(1 + x²)

Answer

u = 1 + x²

Answer

u = x + 1

Answer

u = x²

Question 24

Berechne das Integral von ∫(sin(x) * cos(x)) dx.

Accepted Answer

1/2 * sin(2x) + C

Answer

-1/2 * sin(2x) + C

Answer

1/2 * cos(2x) + C

Answer

-1/2 * cos(2x) + C

Question 25

Welche der folgenden Funktionen ist eine Stammfunktion von f(x) = 2x + 1?

Accepted Answer

x² + x

Answer

x² - x

Answer

x³ + x

Answer

x³ - x

Question 26

Welche der folgenden Integrationsregeln kann verwendet werden, um ∫(cos(x) sin(x)) dx zu lösen?

Accepted Answer

Partielle Integration

Answer

Produktregel

Answer

Quotientenregel

Answer

Substitution

Question 27

Bestimme die Stammfunktion der Funktion f(x) = 2x + 3.

Accepted Answer

x^2 + 3x + C

Answer

x^2 + 3x

Answer

x^2 + C

Answer

2x^2 + 3x + C

Question 28

Welche Aussage über uneigentliche Integrale ist **richtig**?

Accepted Answer

Sie existieren, wenn der Integrand an einem oder beiden Endpunkten unendlich wird.

Answer

Wenn der Integrand eine Polstelle hat, ist das uneigentliche Integral immer divergent.

Answer

Ein bestimmtes Integral ist immer auch ein uneigentliches Integral.

Answer

Uneigentliche Integrale können nur durch Grenzwertbildung berechnet werden.

Question 29

Welche der folgenden Funktionen ist die Stammfunktion von f(x) = x^2 ?

Accepted Answer

x^3/3 + C

Answer

x^3 + C

Answer

x^4/4 + C

Answer

x^5/5 + C

Question 30

Welche der folgenden Regeln kann verwendet werden, um das Integral von ∫sin(x) cos(x) dx zu berechnen?

Accepted Answer

Produktregel

Answer

Summenregel

Answer

Quotientenregel

Answer

Kettenregel

Question 31

Welche der folgenden Funktionen ist eine Stammfunktion von f(x) = e^x?

Accepted Answer

e^x + C

Answer

e^x

Answer

x*e^x

Answer

x*e^x + C

Question 32

Welche der folgenden Funktionen ist eine Stammfunktion von f(x) = 1/(x^2+1)?

Accepted Answer

arctan(x) + C

Answer

-arctan(x) + C

Answer

tan(x) + C

Answer

-tan(x) + C

Question 33

Welche der folgenden Funktionen ist eine Stammfunktion von f(x) = x² ?

Accepted Answer

∫ x² dx = x³/3 + C

Answer

∫ x² dx = x⁴/4 + C

Answer

∫ x² dx = 2x + C

Answer

∫ x² dx = x² + C

Question 34

Welche der folgenden Aussagen zur Integration durch Substitution ist korrekt ?

Accepted Answer

Durch Substitution kann ein schwieriges Integral in ein einfacheres umgewandelt werden.

Answer

Substitution ist nur für trigonometrische Funktionen anwendbar.

Answer

Bei der Substitution muss die Ableitung der Substitutionsvariablen immer konstant sein.

Question 35

Berechne das Integral ∫ sin(x) cos(x) dx durch Substitution.

Accepted Answer

½ sin²(x) + C

Answer

½ cos²(x) + C

Answer

sin(x) + C

Answer

cos(x) + C

Question 36

Welche der folgenden Integrationsregeln wenden wir an, um das Integral von ∫(x³ + 2x²) dx zu berechnen?

Accepted Answer

Summenregel und Potenzregel

Answer

Produktregel und Kettenregel

Answer

Partielle Integration

Answer

Substitutionsregel

Question 37

Erläutere die numerische Integration.

Accepted Answer

Sie liefert eine Näherung des Integrals durch die Berechnung einer Summe von Flächen unter einer Kurve.

Answer

Sie ist immer genauer als die analytische Integration.

Question 38

Berechne das Integral von ∫(2x + 1) dx.

Accepted Answer

x² + x + C

Answer

x³ + C

Answer

2x + C

Answer

2x² + C

Question 39

Welche Substitution kann verwendet werden, um das Integral von ∫√(1 + x²) dx zu lösen?

Accepted Answer

u = 1 + x²

Answer

u = x

Answer

u = 1/x

Answer

u = x²

Question 40

Welche der folgenden Funktionen ist eine Stammfunktion von f(x) = e^x?

Accepted Answer

e^x + C

Answer

xe^x

Answer

e^(-x)

Answer

1/e^x

Question 41

Welche der folgenden Funktionen kann nicht integriert werden?

Accepted Answer

x^(1/2)

Answer

e^x

Answer

x³

Answer

sin(x)

Question 42

Was ist das Ergebnis der bestimmten Integration von f(x) = 2x von 0 bis 2?

Accepted Answer

4

Answer

1

Answer

2

Answer

8

Question 43

Warum ist die Funktion f(x) = 1/x im Intervall [0, 1] nicht integrierbar?

Accepted Answer

Die Funktion hat eine vertikale Asymptote bei x = 0.

Answer

Die Funktion ist nicht stetig im Intervall.

Answer

Die Funktion ist negativ im Intervall.

Question 44

Welche Aussage zur Stammfunktion einer Funktion ist korrekt?

Accepted Answer

Sie ist eindeutig bis auf eine additive Konstante.

Answer

Sie ist immer eindeutig.

Answer

Sie existiert immer.

Answer

Sie ist immer stetig.

Question 45

Welche Integrationstechnik löst das Integral von f(x) = x² * sin(x)?

Accepted Answer

Partielle Integration

Answer

Integration durch Partialbruchzerlegung

Answer

Substitution

Answer

Integration durch trigonometrische Substitution

Question 46

Berechne das Integral von ∫(x³ - 5x) dx:

Accepted Answer

¼x⁴ - 5/2 x² + C

Answer

x³ - 5x + C

Answer

¼x⁴ + 5/2 x² + C

Answer

x⁴ - 5x² + C

Question 47

Berechne den Flächeninhalt zwischen der Kurve y = x² und der x-Achse im Intervall [0, 2].

Accepted Answer

8/3

Answer

4/3

Answer

16/3

Answer

2/3

Question 48

Welche Funktion ist die Stammfunktion von f(x) = 1/(x-2)?

Accepted Answer

ln(|x-2|) + C

Answer

arctan(x-2) + C

Answer

1/(x-2) + C

Answer

-(x-2) + C

Question 49

Welches Integral entspricht dem Flächeninhalt unter der Kurve y = x² im Intervall [0, 2]?

Accepted Answer

∫0² x² dx

Answer

∫0² 2x dx

Answer

∫²0 x² dx

Answer

∫0² -x² dx

Question 50

Welches Integral berechnet das Volumen des Körpers, der durch Rotation der Fläche zwischen der Kurve y = sin(x) und der x-Achse im Intervall [0, π] um die x-Achse entsteht?

Accepted Answer

π∫0π sin²(x) dx

Answer

∫0π sin²(x) dx

Answer

∫0π sin(x) dx

Answer

π∫0π sin(x) dx

Question 51

Welche Funktion ist die Stammfunktion von f(x) = x²?

Accepted Answer

1/3 x³ + C

Answer

x³ + C

Answer

x² + C

Answer

2x² + C

Question 52

Berechne das Integral von ∫(2x + 3) dx:

Accepted Answer

x² + 3x + C

Answer

x³ + 3x² + C

Answer

2x³ + 3x² + C

Answer

2x² + 3x + 2C

Question 53

Ein Rechteck hat eine Fläche von 12 cm². Seine Länge ist um 2 cm größer als seine Breite. Bestimme die Breite des Rechtecks.

Accepted Answer

4 cm

Answer

8 cm

Answer

6 cm

Answer

2 cm

Question 54

Welche der folgenden Aussagen zur Stammfunktion einer Funktion ist korrekt?

Accepted Answer

Jede Stammfunktion einer Funktion unterscheidet sich von einer anderen Stammfunktion derselben Funktion um eine Konstante.

Answer

Die Stammfunktion einer Funktion ist eindeutig bestimmt.

Question 55

Berechne das Integral von ∫(sin(x) + cos(x)) dx:

Accepted Answer

-cos(x) + sin(x) + C

Answer

cos(x) + sin(x) + C

Answer

sin(x) - cos(x) + C

Answer

-sin(x) + cos(x) + C

Question 56

Welche der folgenden Funktionen ist die Stammfunktion von f(x) = e^x?

Accepted Answer

e^x + C

Answer

e^(-x) + C

Answer

xe^x + C

Answer

1/e^x + C

Question 57

Berechne das Volumen des Körpers, der durch die Rotation des Graphen von f(x) = x² zwischen x = 0 und x = 2 um die x-Achse entsteht.

Accepted Answer

32π/5

Answer

16π/5

Answer

64π/5

Answer

128π/5

Question 58

Berechne das Integral von ∫(x/(x² + 1)) dx:

Accepted Answer

1/2 ln(x² + 1) + C

Answer

1/(x² + 1) + C

Answer

ln(x²) + C

Answer

x²/(x² + 1) + C

Question 59

Welche der folgenden Funktionen ist eine Stammfunktion von f(x) = 1/(x - 2)?

Accepted Answer

ln(x - 2) + C

Answer

x - 2 + C

Answer

-ln(x - 2) + C

Answer

1/x - 2 + C

Question 60

Welche der folgenden Funktionen ist die Stammfunktion von f(x) = 2x + 1?

Accepted Answer

F(x) = x² + x + C

Answer

F(x) = 2x² + x + C

Answer

F(x) = 2x + C

Answer

F(x) = x² + 2x + C

Question 61

Was ist die Ableitung der Funktion F(x) = x³ - 2x² + 5?

Accepted Answer

f(x) = 3x² - 4x

Answer

f(x) = x² - 2x

Answer

f(x) = 3x² - 4x + 5

Question 62

Welches Ergebnis erhält man beim Integrieren von ∫(3x² + 2x) dx?

Accepted Answer

x³ + x² + C

Answer

x³ + x + C

Answer

6x + 2 + C

Answer

3x³ + 2x² + C

Question 63

Welche Integrationsregel wird verwendet, um ∫(2x + 1)² dx zu lösen?

Accepted Answer

Substitution

Answer

Integration durch Teile

Answer

Partielle Integration

Question 64

Berechnen Sie die Fläche, die von der Funktion f(x) = x² und der x-Achse zwischen x = 0 und x = 2 eingeschlossen wird.

Accepted Answer

8/3

Answer

4

Answer

2

Answer

16/3