Lineare Algebra: Vektoren und Matrizen - Online-Quiz für die 13. Klasse der Fachoberschule

Question 1

Welche der folgenden Regeln gilt für die Multiplikation von Matrizen?

Accepted Answer

Die Multiplikation von Matrizen ist assoziativ ((A · B) · C = A · (B · C)).

Accepted Answer

Die Multiplikation von Matrizen ist distributiv über die Addition (A · (B + C) = A · B + A · C).

Answer

Die Multiplikation von Matrizen ist kommutativ (A · B = B · A).

Answer

Die Multiplikation von Matrizen ist multiplikativ invers (für jede Matrix A existiert eine Matrix B, sodass A · B = I).

Question 2

Beweisen Sie die Aussage: Die Determinante einer Matrix A ist gleich dem Produkt ihrer Eigenwerte.

Accepted Answer

Die Determinante ist gleich dem Produkt der Eigenwerte.

Answer

Die Determinante ist gleich der Summe der Eigenwerte.

Answer

Die Determinante ist gleich dem Produkt der Eigenvektoren.

Question 3

Beschreibe den geometrischen Zusammenhang zwischen dem Skalarprodukt zweier Vektoren und dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen.

Accepted Answer

Das Skalarprodukt ist gleich dem Produkt der Längen der Vektoren multipliziert mit dem Kosinus des Winkels.

Answer

Der Kosinus des Winkels ist gleich dem Quotienten aus Skalarprodukt und der Summe der Längen der Vektoren.

Answer

Das Skalarprodukt ist immer größer als das Produkt der Längen der Vektoren.

Question 4

Berechne das Volumen des Tetraeders mit den Eckpunkten A(1, 0, 1), B(2, 1, 0), C(0, 2, 1) und D(0, 0, 0) mithilfe der Determinante einer Matrix aus den Zeilenvektoren AB, AC und AD.

Accepted Answer

Die Determinante der Matrix mit den Zeilenvektoren AB, AC und AD ergibt das Volumen des Tetraeders.

Answer

Die Determinante der Matrix mit den Spaltenvektoren AB, AC und AD ergibt das Volumen des Tetraeders.

Answer

Die Determinante der Matrix mit den Zeilenvektoren DB, DC und DA ergibt das Volumen des Tetraeders.

Question 5

Was ist eine Basis für den Vektorraum (mathbb{R}^n)? Geben Sie eine Basis für (mathbb{R}^2) an.

Accepted Answer

Eine Basis ist eine Menge linear unabhängiger Vektoren, die jeden Vektor im Vektorraum erzeugen.

Answer

Eine Basis ist eine Menge linear abhängiger Vektoren, die jeden Vektor im Vektorraum erzeugen.

Answer

Eine Basis ist eine Menge linear unabhängiger Vektoren, die keinen Vektor im Vektorraum erzeugen.

Answer

Eine Basis ist eine Menge linear abhängiger Vektoren, die keinen Vektor im Vektorraum erzeugen.

Question 6

Welche Matrix wird als Einheitsmatrix bezeichnet?

Accepted Answer

Eine quadratische Matrix mit Einsen auf der Diagonalen und Nullen überall sonst

Answer

Eine Matrix mit Nullen auf der Diagonalen und Einsen überall sonst

Answer

Eine Matrix, die nur aus Einsen besteht

Answer

Eine Matrix, die nur aus Nullen besteht

Question 7

Wie berechnet man das Skalarprodukt zweier Vektoren?

Accepted Answer

Man multipliziert die Komponenten der Vektoren und addiert die Ergebnisse

Answer

Man addiert die Komponenten der Vektoren

Answer

Man subtrahiert die Komponenten der Vektoren

Answer

Man quadriert die Komponenten der Vektoren und addiert die Ergebnisse

Question 8

Was ist ein Eigenvektor einer Matrix?

Accepted Answer

Ein Vektor, der beim Multiplizieren mit der Matrix auf ein Vielfaches seiner selbst abgebildet wird

Answer

Ein Vektor, der beim Multiplizieren mit der Matrix auf einen anderen Vektor abgebildet wird

Answer

Ein Vektor, der beim Multiplizieren mit der Matrix auf einen Nullvektor abgebildet wird

Answer

Ein Vektor, der beim Multiplizieren mit der Matrix unverändert bleibt

Question 9

Welche der folgenden Matrizen ist eine Einheitsmatrix?

Accepted Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[0, 1], [1, 0]]

Answer

[[1, 2], [3, 4]]

Answer

[[0, 0], [0, 0]]

Question 10

Welcher der folgenden Ausdrücke stellt eine Determinante dar?

Accepted Answer

|1 2|

Answer

[[1, 2], [3, 4]]

Answer

1 + 2

Answer

x^2 + y^2

Question 11

Bestimme die Inverse der Matrix **A** = [[2, 1], [-1, 2]] falls möglich.

Accepted Answer

[[1/3, -1/3], [1/3, 2/3]]

Answer

[[2, -1], [-1, 2]]

Answer

[[1/2, -1/2], [-1/2, 1/2]]

Answer

Die Matrix **A** ist nicht invertierbar.

Question 12

Was ist die charakteristische Gleichung einer Matrix **C**?

Accepted Answer

det(**C** - λI) = 0

Answer

det(**C** + λI) = 0

Answer

λ(**C** - I) = 0

Answer

λ(**C** + I) = 0

Question 13

Welche der folgenden Matrizen ist eine Einheitsmatrix?

Accepted Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[1, 2], [3, 4]]

Answer

[[0, 1], [1, 0]]

Question 14

Welche der folgenden Operationen ist für Matrizen definiert?

Accepted Answer

Subtraktion

Answer

Quadratwurzel

Answer

Logarithmus

Question 15

Welche der folgenden Eigenschaften trifft auf eine symmetrische Matrix zu?

Accepted Answer

Sie ist gleich ihrer Transponierten.

Answer

Ihre Spur ist immer 0.

Answer

Sie ist immer invertierbar.

Question 16

Welcher der folgenden Vektoren ist parallel zum Vektor (2, 3)?

Accepted Answer

(4, 6)

Answer

(1, 2)

Answer

(3, 4)

Question 17

Welche der folgenden Aussagen über den Rang einer Matrix ist richtig?

Accepted Answer

Er ist gleich der Anzahl linear unabhängiger Zeilen oder Spalten.

Answer

Er ist gleich der Determinante der Matrix.

Question 18

Welche der folgenden Transformationen ist eine lineare Transformation?

Accepted Answer

x -> 2x + 1

Answer

x -> sin(x)

Answer

x -> |x|

Question 19

Welcher der folgenden Vektoren ist ein Einheitsvektor?

Accepted Answer

[2/√5, 1/√5]

Answer

[1, 2]

Answer

[0, 1]

Answer

[1/2, 1/2]

Question 20

Welche der folgenden Matrizen ist eine Einheitsmatrix?

Accepted Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[1, 2], [3, 4]]

Answer

[[0, 1], [1, 0]]

Answer

[[1, 0], [0, 0]]

Question 21

Welches der folgenden Produkte ist eine Matrix?

Accepted Answer

[[1, 2], [3, 4]] * [[5, 6], [7, 8]]

Answer

[1, 2] * [[3, 4]]

Answer

[1, 2] * [3, 4]

Answer

[[1, 2]] * [3, 4]

Question 22

Welche der folgenden Aussagen zur Determinante einer Matrix ist korrekt?

Accepted Answer

Die Determinante einer Matrix gibt das Volumen des von den Spaltenvektoren aufgespannten Parallelepipeds an.

Answer

Die Determinante einer Matrix ist immer positiv.

Question 23

Welches der folgenden Gleichungssysteme hat genau eine Lösung?

Accepted Answer

[[1, 2], [3, 4]] * [x, y] = [5, 6]

Answer

[[1, 2], [3, 4]] * [x, y] = [0, 6]

Answer

[[1, 2], [3, 4]] * [x, y] = [5, 0]

Answer

[[1, 2], [3, 4]] * [x, y] = [1, 2]

Question 24

Welche der folgenden Aussagen zum Rang einer Matrix ist korrekt?

Accepted Answer

Der Rang einer Matrix ist gleich der Anzahl ihrer linear unabhängigen Zeilen oder Spalten.

Answer

Der Rang einer Matrix ist gleich der Summe ihrer Eigenwerte.

Answer

Der Rang einer Matrix ist immer gleich ihrer Determinante.

Question 25

Welche der folgenden Aussagen zur Basis eines Vektorraums ist korrekt?

Accepted Answer

Eine Basis eines Vektorraums ist eine Menge linear unabhängiger Vektoren, die den Vektorraum aufspannen.

Answer

Eine Basis eines Vektorraums ist immer eine Teilmenge einer erzeugenden Menge.

Question 26

Welche der folgenden Transformationen ist linear?

Accepted Answer

f(x) = Ax + b

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = sin(x)

Question 27

Welche der folgenden Matrizen ist eine Einheitsmatrix?

Accepted Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[1, 2], [3, 4]]

Answer

[[0, 1], [1, 0]]

Answer

[[2, 0], [0, 2]]

Question 28

Welche der folgenden Abbildungen ist linear?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 1

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = sin(x)

Question 29

Berechnen Sie die Eigenwerte der Matrix A = [[2, 1], [1, 2]]

Accepted Answer

3 und 1

Answer

1 und 4

Answer

3 und 2

Answer

2 und 3

Question 30

Welche der folgenden Matrizen ist eine Einheitsmatrix?

Accepted Answer

[1 0; 0 1]

Answer

[1 2; 3 4]

Answer

[0 1; 1 0]

Answer

[0 1; 2 0]

Question 31

Welche der folgenden Operationen **kann nicht** mit Matrizen durchgeführt werden?

Accepted Answer

Subtraktion von Vektoren

Answer

Addition von Matrizen

Answer

Multiplikation von Matrizen

Answer

Transponierung von Matrizen

Question 32

Welche der folgenden Aussagen über die Determinante einer Matrix ist **korrekt**?

Accepted Answer

Die Determinante einer Matrix ist eine Zahl, die die Fläche des vom Spaltenvektorraum der Matrix aufgespannten Parallelogramms darstellt.

Answer

Die Determinante einer Matrix ist immer positiv.

Question 33

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt eine Gerade im zweidimensionalen Raum?

Accepted Answer

y = mx + b

Answer

x + y = c

Answer

x^2 + y^2 = r^2

Answer

y = a*x^2 + b*x + c

Question 34

Welche der folgenden Matrizen ist invertierbar?

Accepted Answer

[2 1; -1 2]

Answer

[1 2; 2 4]

Answer

[0 1; 0 0]

Answer

[1 0; 0 1; 0 0]

Question 35

Welche der folgenden Aussagen über Eigenvektoren ist **korrekt**?

Accepted Answer

Eigenvektoren sind Vektoren, die bei einer linearen Transformation ein Vielfaches ihrer selbst bleiben und zu einem von Null verschiedenen Eigenwert gehören.

Answer

Eigenvektoren sind immer parallel zur Einheitsmatrix.

Question 36

Welche der folgenden Anwendungen von Linearer Algebra findet man **nicht** in der Informatik?

Accepted Answer

Biologie

Answer

Maschinelles Lernen

Answer

Datenanalyse

Answer

Computergrafik

Question 37

Berechne die Determinante der Matrix ⎝⎛​21​−12​⎠⎞​

Accepted Answer

5

Answer

-5

Answer

0

Answer

10

Question 38

Welche der folgenden Aussagen über Matrizen ist falsch?

Accepted Answer

Die Summe zweier Matrizen ist immer eine symmetrische Matrix.

Answer

Die Multiplikation zweier Matrizen ist nicht immer kommutativ.

Answer

Die Inverse einer Matrix ist eindeutig.

Question 39

Welche der folgenden Gleichungen stellt ein lineares Gleichungssystem dar?

Accepted Answer

2x + 3y = 5

Answer

sin(x) + cos(y) = 0

Answer

x² + y² = 1

Answer

e^x + ln(y) = 0

Question 40

Welche der folgenden Transformationen ist eine lineare Transformation?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 3

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = |x|

Question 41

Welche der folgenden Transformationen ist eine lineare Transformation?

Accepted Answer

f(x) = ax + b, a ≠ 0

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = e^x

Question 42

Welche der folgenden Matrizen ist eine symmetrische Matrix?

Accepted Answer

\begin{pmatrix}1 & 2\2 & 1\end{pmatrix}

Answer

\begin{pmatrix}1 & 0\2 & 1\end{pmatrix}

Answer

\begin{pmatrix}1 & 2\3 & 4\end{pmatrix}

Answer

\begin{pmatrix}1 & 0\0 & 1\end{pmatrix}

Question 43

Welche der folgenden Anwendungen von Vektoren und Matrizen findet sich in der Physik?

Accepted Answer

Berechnung von Kräften in statischen Systemen

Answer

Erstellung von Bildern in der Computergrafik

Answer

Optimierung von Produktionsabläufen in der Wirtschaft

Answer

Berechnung von Zinsen in der Finanzmathematik

Question 44

Welche der folgenden Transformationen ist eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 1

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = |x|

Question 45

Welche Aussage über Vektoren ist **unzutreffend**?

Accepted Answer

Die Summe zweier Vektoren ergibt immer einen Vektor mit derselben Richtung wie die Ausgangsvektoren.

Answer

Ein Vektor kann durch eine Länge und eine Richtung definiert werden.

Question 46

Welche der folgenden Matrizen ist eine Einheitsmatrix?

Accepted Answer

[[1, 0], [0, 1]]

Answer

[[2, 0], [0, 2]]

Answer

[[1, 1], [1, 1]]

Answer

[[0, 1], [1, 0]]

Question 47

Welche der folgenden Gleichungen repräsentiert eine lineare Transformation?

Accepted Answer

f(x, y) = (2x + y, x - 3y)

Answer

f(x, y) = (x^2 + y^2, xy)

Answer

f(x, y) = (sin(x), cos(y))

Answer

f(x, y) = (x + y, x * y)

Question 48

Welche Aussage ist **zutreffend**?

Accepted Answer

Die Inverse einer Matrix existiert nur, wenn ihre Determinante ungleich Null ist.

Answer

Die Inverse einer Matrix ist stets gleich ihrer transponierten Matrix.

Answer

Die Inverse einer Matrix ist immer eine symmetrische Matrix.

Question 49

Welche Operation ist **nicht** für Matrizen definiert?

Accepted Answer

Division

Answer

Addition

Answer

Subtraktion

Answer

Multiplikation

Question 50

Welche Aussage über Eigenwerte ist **unzutreffend**?

Accepted Answer

Eigenwerte einer Matrix sind immer positiv.

Answer

Eigenwerte können komplex sein.

Answer

Eigenwerte einer Matrix sind Lösungen der charakteristischen Gleichung.

Answer

Jeder Eigenvektor ist Eigenvektor des zugehörigen Eigenwerts.

Question 51

Ein lineares Gleichungssystem mit mehr Gleichungen als Variablen hat

Accepted Answer

entweder keine, eine eindeutige oder unendlich viele Lösungen.

Answer

immer eine eindeutige Lösung

Answer

immer unendlich viele Lösungen

Question 52

Welches geometrische Objekt wird durch die Gleichung x + 2y - 3z = 5 dargestellt?

Accepted Answer

Eine Ebene

Answer

Ein Punkt

Answer

Ein Kreis

Answer

Eine Gerade

Question 53

Welcher der folgenden Vektoren ist linear abhängig vom Vektor (2, 3, -1)?

Accepted Answer

(1, 1, -1)

Answer

(4, 6, -2)

Answer

(6, 9, -3)

Answer

(3, 2, 1)

Question 54

Berechnen Sie die Determinante der Matrix A = [[2, 3], [-1, 4]]

Accepted Answer

11

Answer

8

Answer

6

Answer

-11

Question 55

Welche der folgenden Aussagen über die Matrix B = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]] ist korrekt?

Accepted Answer

Die Matrix B ist regulär.

Answer

Die Matrix B ist positiv definit.

Answer

Die Matrix B ist diagonalisierbar.

Answer

Die Matrix B ist symmetrisch.

Question 56

Lösen Sie das folgende Gleichungssystem mit Matrizen:
      x + y - z = 2
      2x - y + 2z = 5
      -x + 2y - 3z = -1

Accepted Answer

[x = 1, y = 3, z = 0]

Answer

[x = 2, y = 1, z = 1]

Answer

[x = 0, y = 4, z = 2]

Answer

[x = 1, y = 2, z = 3]

Question 57

Berechnen Sie das Skalarprodukt der Vektoren a = (1, 2, 3) und b = (4, 5, -2).

Accepted Answer

13

Answer

0

Answer

26

Answer

-7

Question 58

Welche der folgenden Abbildungen ist eine lineare Transformation?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 1

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x^2

Question 59

Berechnen Sie die Rang der Matrix C = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

3

Question 60

Welche der folgenden Aussagen über die Eigenwerte einer Matrix ist korrekt?

Accepted Answer

Die Eigenwerte einer Matrix sind invariant gegenüber Ähnlichkeitstransformationen.

Answer

Die Eigenwerte einer Matrix sind immer positiv.

Answer

Die Eigenwerte einer Matrix sind immer reell.

Question 61

Lösen Sie die folgende Matrixgleichung für X:
      AX = B
      wobei A = [[1, 2], [3, 4]], X = [[x], [y]], B = [[5], [6]]

Accepted Answer

X = [[1], [2]]

Answer

X = [[2], [1]]

Answer

X = [[-1], [-2]]

Answer

X = [[0], [0]]

Question 62

Welche der folgenden Aussagen über Vektorräume ist korrekt?

Accepted Answer

Ein Vektorraum ist eine Menge von Vektoren, die unter Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist.

Answer

Ein Vektorraum ist eine Menge von Skalaren, die unter Addition und Multiplikation abgeschlossen ist.