Lineare Algebra und Analytische Geometrie: Online-Quizzes für die Fachoberschule

Question 1

Was bedeutet lineare Unabhängigkeit von Vektoren? Nenne ein Beispiel für linear unabhängige Vektoren im dreidimensionalen Raum R³.

Accepted Answer

Vektoren sind linear unabhängig, wenn sie nicht als Vielfache voneinander dargestellt werden können.

Answer

Vektoren sind linear abhängig, wenn ihre Summe den Nullvektor ergibt.

Answer

Vektoren in R³ sind immer linear unabhängig.

Answer

Vektoren sind linear abhängig, wenn sie orthogonal zueinander sind.

Question 2

Welche der folgenden Mengen ist **kein** linearer Unterraum des Vektorraums R³?

Accepted Answer

Menge aller Vektoren mit einer Länge von 1

Answer

Menge aller Vektoren mit der ersten Komponente 0

Answer

Menge aller Vektoren mit einer geraden dritten Komponente

Question 3

Welcher der folgenden Vektoren ist ein normierter Vektor?

Accepted Answer

v = (1/√2, 0)

Answer

v = (3, 4)

Answer

v = (0, 1)

Answer

v = (2, 3)

Question 4

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt eine Gerade in der Ebene?

Accepted Answer

y = mx + b

Answer

xy = c

Answer

x^2 + y^2 = r^2

Answer

y = mx^2 + b

Question 5

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt eine Ebene im Raum?

Accepted Answer

ax + by + cz + d = 0

Answer

ax + by + d = 0

Answer

x^2 + y^2 + z^2 = r^2

Answer

xy = c

Question 6

Welche der folgenden Matrizen ist eine Einheitsmatrix?

Accepted Answer

I = [[1, 0], [0, 1]]

Answer

A = [[2, 0], [0, 2]]

Answer

C = [[1, 2], [3, 4]]

Answer

B = [[0, 1], [1, 0]]

Question 7

Welche der folgenden Operationen ist nicht für Matrizen definiert?

Accepted Answer

Addition einer Matrix und eines Vektors

Answer

Transponierung einer Matrix

Answer

Multiplikation zweier Matrizen

Answer

Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl

Question 8

Welcher der folgenden Begriffe beschreibt die Anzahl der Zeilen und Spalten einer Matrix?

Accepted Answer

Dimension

Answer

Spur

Answer

Rang

Answer

Determinante

Question 9

Welcher der folgenden Vektoren ist ein normierter Einheitsvektor?

Accepted Answer

v = (1/√2, 1/√2)

Answer

v = (1, 0, 0)

Answer

v = (0, 1)

Answer

v = (2, 3)

Question 10

Wie lautet die Dimension des affinen Raumes ℝ³?

Accepted Answer

3

Answer

unendlich

Answer

4

Answer

2

Question 11

Was ist der Kern einer linearen Transformation T?

Accepted Answer

Die Menge aller Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden.

Answer

Die Menge aller Vektoren, die auf den Einheitsvektor abgebildet werden.

Answer

Die Menge aller Vektoren, die auf sich selbst abgebildet werden.

Question 12

Welche der folgenden Matrizen ist die Einheitsmatrix?

Accepted Answer

[1 0; 0 1]

Answer

[0 1; 1 0]

Answer

[0 0; 1 1]

Answer

[1 1; 0 0]

Question 13

Welche der folgenden Aussagen zur Determinante einer Matrix ist korrekt?

Accepted Answer

Die Determinante einer Dreiecksmatrix ist gleich dem Produkt ihrer Diagonalelemente.

Answer

Die Determinante einer Matrix ist immer positiv.

Answer

Die Determinante einer Matrix ändert sich nicht, wenn zwei Zeilen vertauscht werden.

Question 14

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt eine Parabel?

Accepted Answer

y = x²

Answer

y = x³

Answer

y = 1/x

Question 15

Welche der folgenden Abbildungen ist eine lineare Abbildung?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 1

Answer

f(x) = 1/x

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x³

Question 16

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt eine Ebene?

Accepted Answer

2x + y - z = 5

Answer

y = 1/x

Answer

y = x²

Answer

y = sin(x)

Question 17

Welche der folgenden Aussagen über den Vektorraum R² ist falsch?

Accepted Answer

R² besitzt nur eine Basis.

Answer

Jeder Untervektorraum von R² ist ein Vektorraum.

Answer

Die Dimension von R² ist 2.

Answer

Die Nullmenge ist ein Untervektorraum von R².

Question 18

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt eine Ebene im dreidimensionalen Raum R³?

Accepted Answer

x + 2y - 3z = 5

Answer

x² + y² + z² = 1

Answer

|x - y| = 2

Answer

y = x + 1

Question 19

Welcher der folgenden Begriffe beschreibt einen Vektorraum, der nur den Nullvektor als Element enthält?

Accepted Answer

Trivialraum

Answer

Zweidimensionaler Vektorraum

Answer

Unendlichdimensionaler Vektorraum

Answer

Eindimensionaler Vektorraum

Question 20

Welche der folgenden Matrizen ist die 3x3 Einheitsmatrix?

Accepted Answer

I3 = [[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]

Answer

C = [[1, 0, 1], [0, 1, 0], [1, 0, 1]]

Answer

B = [[0, 1, 2], [3, 4, 5], [6, 7, 8]]

Answer

A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]]

Question 21

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt die euklidische Norm eines Vektors x = (x₁, x₂, ..., xₙ)?

Accepted Answer

||x|| = √(x₁² + x₂² + ... + xₙ²)

Answer

||x|| = 1 / (|x₁| + |x₂| + ... + |xₙ|)

Answer

||x|| = |x₁| + |x₂| + ... + |xₙ|

Answer

||x|| = max{|x₁|, |x₂|, ... ,|xₙ|}

Question 22

Welcher der folgenden Begriffe beschreibt die Menge aller Vektoren, die orthogonal zu einem gegebenen Vektor v sind?

Accepted Answer

Orthogonalraum zu v

Answer

Untervektorraum

Answer

Kernraum

Answer

Bildraum

Question 23

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt eine Ebene im dreidimensionalen Raum?

Accepted Answer

ax + by + cz + d = 0

Answer

z = f(x, y)

Answer

y = mx + b

Answer

x² + y² = r²

Question 24

Gegeben sei der Vektor  **v** = (2, -1, 3).  Wie groß ist die Länge dieses Vektors?

Accepted Answer

√14

Answer

√6

Answer

√10

Answer

7

Question 25

Zwei Ebenen im Raum sind parallel, wenn ...

Accepted Answer

ihre Normalenvektoren Vielfache voneinander sind.

Answer

sie denselben Richtungsvektor haben.

Answer

ihre Normalenvektoren senkrecht zueinander stehen.

Answer

sie einen gemeinsamen Punkt haben.

Question 26

Wie lautet die Parameterdarstellung der Geraden durch den Punkt P = (1, 2, 3) mit Richtungsvektor  **v** = (2, 1, -1)?

Accepted Answer

x = 1 + 2t, y = 2 + t, z = 3 - t

Answer

x = 1 + 2t, y = 2 + t, z = 3 + t

Answer

x = 2t, y = t, z = -t

Answer

x = 2 + t, y = 1 + 2t, z = -1 + 3t

Question 27

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt eine Gerade im dreidimensionalen Raum?

Accepted Answer

x = a + bt, y = c + dt, z = e + ft

Answer

x² + y² + z² = r²

Answer

ax + by + cz + d = 0

Question 28

Welche der folgenden Operationen ist NICHT für Vektoren definiert?

Accepted Answer

Division

Answer

Addition

Answer

Multiplikation mit einem Skalar

Answer

Subtraktion

Question 29

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt eine Gerade im dreidimensionalen Raum?

Accepted Answer

x + 2y - 3z = 5

Answer

z = 5

Answer

x^2 + y^2 = 1

Answer

xy = 1

Question 30

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt eine Gerade im dreidimensionalen Raum?

Accepted Answer

x = 2 + t, y = 3 - 2t, z = 1 + t

Answer

x = y = z

Answer

x² + y² + z² = 1

Answer

x + y + z = 0

Question 31

Welche der folgenden Vektoren ist orthogonal zum Vektor a = (1, 2, 3)?

Accepted Answer

(-2, 1, 0)

Answer

(1, 2, 3)

Answer

(0, 0, 1)

Answer

(1, -2, 3)

Question 32

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt eine Ebene im Raum?

Accepted Answer

2x + 3y - z = 5

Answer

x² + y² + z² = 9

Answer

x + 2y = 3

Answer

x = 2, y = 3, z = 1

Question 33

Welche der folgenden Operationen ist nicht für Vektoren definiert?

Accepted Answer

Division

Answer

Addition

Answer

Subtraktion

Question 34

Welche der folgenden Aussagen über Vektoren ist falsch?

Accepted Answer

Zwei Vektoren sind gleich, wenn sie die gleiche Richtung und den gleichen Betrag haben.

Answer

Der Betrag eines Vektors ist immer nicht-negativ.

Answer

Die Addition von Vektoren ist kommutativ.

Question 35

Gegeben sind zwei Geraden mit den Richtungsvektoren a = (1, 2, 3) und b = (-2, 1, 0). Was ist der Winkel zwischen den Geraden?

Accepted Answer

cos⁻¹(1/√14)

Answer

cos⁻¹(1/√7)

Answer

cos⁻¹(√14)

Answer

cos⁻¹(1/2)

Question 36

Welches der folgenden Paare von Vektoren ist linear abhängig?

Accepted Answer

a = (1, 2, 3), b = (2, 4, 6)

Answer

a = (1, 0, 0), b = (0, 1, 0)

Answer

a = (1, 2, 3), b = (0, 1, 0)

Answer

a = (1, 0, 0), b = (0, 0, 1)

Question 37

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt einen Punkt im Raum?

Accepted Answer

x = 2, y = 3, z = 1

Answer

x + y + z = 1

Answer

x² + y² + z² = 1

Question 38

Welche der folgenden Aussagen über affin-lineare Abbildungen ist richtig?

Accepted Answer

Affine-lineare Abbildungen erhalten nicht unbedingt die Parallelität von Geraden.

Answer

Affine-lineare Abbildungen erhalten den Winkel zwischen zwei Geraden.

Answer

Affine-lineare Abbildungen sind immer bijektiv.

Question 39

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt die Schnittgerade zweier Ebenen im Raum?

Accepted Answer

Die Gleichungen der beiden Ebenen werden gleichzeitig gelöst.

Answer

Die Gleichungen der beiden Ebenen werden addiert.

Answer

Die Gleichungen der beiden Ebenen werden subtrahiert.

Question 40

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt eine Gerade im dreidimensionalen Raum?

Accepted Answer

r(t) = a + t * v, wobei a ein Punkt auf der Geraden und v ein Richtungsvektor ist.

Answer

x² + y² + z² = r², wobei r der Radius der Kugel ist.

Answer

ax + by + cz = d, wobei a, b, c und d Konstanten sind.

Question 41

Zwei Vektoren u und v sind linear unabhängig, wenn...

Accepted Answer

keine Linearkombination aus u und v den Nullvektor ergibt.

Answer

der Winkel zwischen u und v 90° beträgt.

Answer

u und v die gleiche Richtung haben.

Question 42

Welche der folgenden Punkte liegt auf der Ebene mit der Gleichung 2x - y + 3z = 6?

Accepted Answer

(1, 2, 1)

Answer

(3, 0, -1)

Answer

(2, 1, 0)

Answer

(0, 0, 0)

Question 43

Der Vektor a = (1, 2, 3) ist orthogonal zu...

Accepted Answer

dem Vektor b = (-2, 1, 0)

Answer

dem Vektor d = (3, 6, 9)

Answer

dem Vektor e = (0, 0, 1)

Answer

dem Vektor c = (1, 1, 1)

Question 44

Die Richtung der Geraden, die durch die Punkte A(1, 2, 3) und B(4, 5, 6) verläuft, wird durch den Vektor...

Accepted Answer

(3, 3, 3)

Answer

(1, 2, 3)

Answer

(4, 5, 6)

Answer

(5, 7, 9)

Question 45

Die Hesse-Normalform der Ebene mit der Gleichung 2x - y + 3z = 6 ist...

Accepted Answer

(2, -1, 3) * (x, y, z) - 6 = 0

Answer

(2, -1, 3) * (x, y, z) = 0

Answer

2x - y + 3z = 0

Answer

x + y + z = 6

Question 46

Der Abstand des Punktes P(1, 2, 3) zur Ebene 2x - y + 3z = 6 beträgt...

Accepted Answer

1

Answer

0

Answer

3

Answer

2

Question 47

Der Schnittpunkt der Geraden r(t) = (1, 2, 3) + t * (1, 0, 1) mit der Ebene x + y - z = 2 ist...

Accepted Answer

(2, 2, 4)

Answer

(1, 2, 3)

Answer

(0, 2, 2)

Question 48

Die Projektion des Vektors a = (1, 2, 3) auf den Vektor b = (2, 1, 0) ist...

Accepted Answer

(4/5, 2/5, 0)

Answer

(1, 2, 3)

Answer

(2, 1, 0)

Answer

(1/5, 2/5, 3/5)

Question 49

Welche der folgenden Aussagen über das Kreuzprodukt zweier Vektoren ist korrekt?

Accepted Answer

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren ergibt einen Vektor, der orthogonal zu beiden Ausgangsvektoren ist.

Answer

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren ergibt einen Skalar.

Answer

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren ergibt einen Vektor, der parallel zu beiden Ausgangsvektoren ist.

Question 50

Welche der folgenden Aussagen über Vektorräume ist FALSCH?

Accepted Answer

Ein Vektorraum muss endlichdimensional sein.

Answer

Die skalare Multiplikation eines Vektors in einem Vektorraum mit einem Skalar ergibt einen Vektor im gleichen Vektorraum.

Answer

Jeder Vektorraum enthält den Nullvektor.

Answer

Die Summe von zwei Vektoren in einem Vektorraum liegt ebenfalls in diesem Vektorraum.

Question 51

Gegeben sind die Punkte A(1, 2, 3) und B(4, 5, 6). Bestimmen Sie den Vektor $\overrightarrow{AB}$.

Accepted Answer

$(3, 3, 3)$

Answer

$(-3, -3, -3)$

Answer

$(5, 7, 9)$

Question 52

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt eine Ebene im dreidimensionalen Raum?

Accepted Answer

2x - 3y + z = 5

Answer

z = x² - y²

Answer

x² + y² + z² = 1

Answer

y = 2x + 1

Question 53

Bestimmen Sie den Abstand zwischen dem Punkt P(1, 2, 3) und der Ebene mit der Gleichung 2x + 3y - z = 4.

Accepted Answer

$\frac{3}{\sqrt{14}}$

Answer

$\sqrt{14}$

Answer

3

Answer

$\frac{1}{\sqrt{14}}$

Question 54

Zwei Geraden im dreidimensionalen Raum sind...

Accepted Answer

parallel, identisch oder schneidend.

Answer

immer windschief.

Answer

immer schneidend.

Answer

nur parallel oder schneidend.

Question 55

Die Vektoren $(1, 2, 3)$ und $(-2, -4, -6)$ sind...

Accepted Answer

linear abhängig.

Answer

linear unabhängig.

Answer

orthogonal.

Question 56

Was ist das Skalarprodukt der Vektoren $(2, 1, 0)$ und $(1, -2, 3)$?

Accepted Answer

0

Answer

-1

Answer

7

Answer

5

Question 57

Eine lineare Abbildung ist eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen, die...

Accepted Answer

die Vektoraddition und die skalare Multiplikation erhält.

Answer

die Länge von Vektoren erhält.

Answer

jeden Vektor auf seinen Nullvektor abbildet.

Question 58

Die Determinante einer 2x2-Matrix $\begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix}$ ist...

Accepted Answer

ad - bc

Answer

ad + bc

Answer

ac - bd

Answer

ab - cd

Question 59

Ein Eigenvektor einer Matrix A ist ein Vektor v, der...

Accepted Answer

durch Multiplikation mit A nur um einen Faktor gestreckt wird.

Answer

orthogonal zu allen anderen Eigenvektoren von A ist.

Answer

durch Multiplikation mit A auf den Nullvektor abgebildet wird.

Question 60

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt eine Ebene im dreidimensionalen Raum?

Accepted Answer

ax + by + cz + d = 0

Answer

x² + y² = r²

Answer

ax + by = c

Answer

y = mx + b

Question 61

Welche Vektoren sind linear unabhängig?

Accepted Answer

[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]

Answer

[1, 0, 0], [1, 1, 0], [1, 1, 1]

Answer

[1, 1, 1], [2, 2, 2], [3, 3, 3]

Answer

[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]

Question 62

Was ist der Richtungsvektor der Geraden mit der Gleichung  x = 2 + 3t, y = 1 - t, z = 4 + 2t?

Accepted Answer

[3, -1, 2]

Answer

[2, 1, 4]

Answer

[3, 1, 2]

Question 63

Was ist die Normalenform der Ebene mit der Gleichung x - 2y + 3z = 5?

Accepted Answer

[1, -2, 3]

Answer

[1, 2, 3]

Answer

[-2, 1, 3]

Answer

[5, -2, 3]

Question 64

Welche Bedingung müssen zwei Vektoren erfüllen, um orthogonal zueinander zu sein?

Accepted Answer

Ihr Skalarprodukt ist null.

Answer

Ihre Länge ist gleich.

Answer

Sie liegen in derselben Ebene.

Answer

Sie sind linear unabhängig.