Zufallsvariablen in der Stochastik: Interaktive Übungen und Quizfragen

Question 1

Berechnen Sie den Erwartungswert der diskreten Zufallsvariablen X, die die Werte x1, x2, ..., xn mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten p1, p2, ..., pn annimmt.

Accepted Answer

Summe aus x1 * p1 + x2 * p2 + ... + xn * pn

Answer

Differenz aus x1 * p1 - x2 * p2 - ... - xn * pn

Answer

Produkt aus x1 * p1 * x2 * p2 * ... * xn * pn

Answer

Quotient aus x1 * p1 / x2 * p2 / ... / xn * pn

Question 2

Welche Methode wird zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit verwendet, dass eine stetige Zufallsvariable X einen Wert zwischen a und b annimmt?

Accepted Answer

Integration

Answer

Differentiation

Answer

Subtraktion

Answer

Division

Question 3

Berechne die Varianz der stetigen Zufallsvariablen X mit der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f(x).

Accepted Answer

Var(X) = ∫(x - E(X))² · f(x) dx

Answer

Var(X) = ∫f(x) dx

Answer

Var(X) = (E(X))²

Question 4

Eine Zufallsvariable X folgt einer Binomialverteilung mit Parametern n = 10 und p = 0,2. Wie lautet die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X **größer** als 3 ist?

Accepted Answer

0,7476

Answer

0,2524

Answer

0,9375

Answer

0,9844

Question 5

Welche Aussage über die Normalverteilung, eine wichtige stetige Zufallsverteilung, ist korrekt?

Accepted Answer

Alle oben genannten Aussagen

Answer

Sie hat eine glockenförmige Kurve

Answer

Sie ist symmetrisch um den Erwartungswert

Answer

Sie wird vollständig durch die Parameter μ und σ beschrieben

Question 6

Bei einer logarithmischen Normalverteilung:

Accepted Answer

sind die logarithmierten Werte normalverteilt.

Answer

sind die quadrierten Werte normalverteilt.

Answer

sind die Wurzeln der Werte normalverteilt.

Answer

sind die inversen Werte normalverteilt.

Question 7

Welche der folgenden Aussagen über den Zentralen Grenzwertsatz ist zutreffend?

Accepted Answer

Er besagt, dass die Summe einer großen Anzahl unabhängiger Zufallsvariablen einer Normalverteilung folgt.

Answer

Er gilt nur für diskrete Zufallsvariablen.

Answer

Er besagt, dass der Mittelwert einer Stichprobe gleich dem Erwartungswert der Grundgesamtheit ist.

Answer

Er gilt nur für stetige Zufallsvariablen.

Question 8

Berechnen Sie den Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen X mit Wahrscheinlichkeitsfunktion P(X = x) nach folgender Formel:

Accepted Answer

E(X) = Σ(x * P(X = x))

Answer

E(X) = ∫x * f(x) dx

Answer

E(X) = σ(P(X = x))

Answer

E(X) = √(Var(X))

Question 9

Eine Zufallsvariable X besitzt die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f(x) = 2x für den Bereich 0 ≤ x ≤ 1. Berechnen Sie P(X ≤ 0,5).

Accepted Answer

0,25

Answer

0,125

Answer

0,5

Answer

1

Question 10

Welche Aussage zum Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariablen X mit Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f(x) ist korrekt?

Accepted Answer

E(X) = ∫x * f(x) dx

Answer

E(X) = Σ(x * f(x))

Answer

E(X) = σ(f(x))

Answer

E(X) = √(Var(X))

Question 11

Welche der folgenden Aussagen trifft auf eine diskrete Zufallsvariable zu?

Accepted Answer

Kann nur bestimmte, getrennte Werte annehmen

Answer

Kann beliebige Werte annehmen

Answer

Kann nur ganzzahlige Werte annehmen

Answer

Kann nur negative Werte annehmen

Question 12

Die Berechnung der Varianz einer Zufallsvariable X erfolgt nach der Formel:

Accepted Answer

V(X) = E[(X - E(X))^2]

Answer

V(X) = E[(X + E(X))^2]

Answer

V(X) = p(x) * (1 - p(x))

Answer

V(X) = 1/p(x)

Question 13

Welche Aussage zum Gesetz der großen Zahlen ist richtig?

Accepted Answer

Der Mittelwert einer großen Anzahl unabhängiger Zufallsvariablen nähert sich ihrem Erwartungswert an

Answer

Die Varianz einer großen Anzahl unabhängiger Zufallsvariablen nähert sich 0 an

Answer

Die Summe einer großen Anzahl unabhängiger Zufallsvariablen ist immer normalverteilt

Answer

Das Gesetz der großen Zahlen gilt nur für diskrete Zufallsvariablen.

Question 14

Welche der folgenden Aussagen beschreibt eine diskrete Zufallsvariable am besten?

Accepted Answer

Sie kann nur bestimmte, abgezählte Werte annehmen.

Answer

Sie kann jeden beliebigen Wert zwischen zwei Grenzen annehmen.

Question 15

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Binomialverteilung treffend?

Accepted Answer

Sie gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass in n unabhängigen Versuchen genau k Erfolge auftreten.

Answer

Sie ist eine stetige Zufallsvariable.

Question 16

Eine Zufallsvariable X nimmt die Werte -2, 0 und 2 mit den Wahrscheinlichkeiten 1/4, 1/2 und 1/4 an. Welches ist der Erwartungswert von X?

Accepted Answer

0

Answer

-1

Answer

1

Answer

2

Question 17

Wie lautet die Formel für die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion einer Normalverteilung mit Erwartungswert μ und Standardabweichung σ?

Accepted Answer

f(x) = (1 / (σ√(2π))) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))

Answer

f(x) = P(X = x)

Answer

f(x) = E(X)

Answer

f(x) = σ^2

Question 18

Was ist der Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen X mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion P(X = x)?

Accepted Answer

Summe aller möglichen Werte von X multipliziert mit ihren Wahrscheinlichkeiten

Answer

Maximum aller möglichen Werte von X multipliziert mit ihren Wahrscheinlichkeiten

Answer

Minimum aller möglichen Werte von X multipliziert mit ihren Wahrscheinlichkeiten

Answer

Mittelwert aller möglichen Werte von X

Question 19

Was ist die Varianz einer diskreten Zufallsvariablen X mit dem Erwartungswert μ und der Wahrscheinlichkeitsfunktion P(X = x)?

Accepted Answer

Summe der quadrierten Abweichungen vom Erwartungswert multipliziert mit ihren Wahrscheinlichkeiten

Answer

Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Wert von X

Answer

Durchschnitt der Abweichungen vom Erwartungswert

Answer

Mittelwert der quadrierten Werte von X

Question 20

Welche Zufallsvariable hat eine Binomialverteilung?

Accepted Answer

Anzahl der Erfolge in n unabhängigen Experimenten mit konstanter Erfolgswahrscheinlichkeit p

Answer

Wartezeit bis zum ersten Erfolg in n unabhängigen Experimenten mit konstanter Erfolgswahrscheinlichkeit p

Answer

Zeit bis zum Eintreffen eines Ereignisses mit konstanter Rate λ

Answer

Anzahl der Kunden, die pro Stunde in einem Geschäft eintreffen

Question 21

Die Standardabweichung misst:

Accepted Answer

Die Streuung der Wahrscheinlichkeitsverteilung

Answer

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable einen bestimmten Wert annimmt

Answer

Den Abstand zwischen dem Erwartungswert und dem Median

Answer

Die Anzahl der möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments

Question 22

Wie berechnet man den Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen X?

Accepted Answer

Durch Multiplikation der Wahrscheinlichkeiten mit den zugehörigen Werten und anschließende Summierung

Answer

Durch Division der Summe der Wahrscheinlichkeiten aller möglichen Werte durch die Anzahl der möglichen Werte

Answer

Durch Berechnung des Mittelwerts aller möglichen Werte

Answer

Durch Berechnung der Varianz der Zufallsvariablen

Question 23

Wie lautet die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Standardnormalverteilung?

Accepted Answer

f(x) = (1/√(2π)) * e^(-x²/2)

Answer

f(x) = (1/√(π)) * e^(-x²)

Answer

f(x) = (1/π) * e^(-x²)

Answer

f(x) = (1/√(2π)) * e^(-x)

Question 24

Welche der folgenden Datenreihen kann mit einer t-Verteilung modelliert werden?

Accepted Answer

Messwerte einer Normalverteilung mit unbekanntem Erwartungswert

Answer

Anzahl der Fehler in einem Computerprogramm

Answer

Alter der Studierenden in einem Seminar

Answer

Einkommen der Bevölkerung einer Stadt

Question 25

Welche Formel gibt die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Exponentialverteilung an?

Accepted Answer

f(x) = λ * e^(-λx) für x ≥ 0

Answer

f(x) = λ * (1 - e^(-λx)) für x ≥ 0

Answer

f(x) = 1 / (λ * e^(-λx)) für x ≥ 0

Answer

f(x) = 1 - (λ * e^(-λx)) für x ≥ 0

Question 26

Welche Regel wird verwendet, um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu berechnen, das durch mehrere unabhängige Ereignisse definiert ist?

Accepted Answer

Multiplikationsregel

Answer

Additionsregel

Answer

Komplementärregel

Answer

Abhängigkeitsregel

Question 27

Was ist der Hauptunterschied zwischen einer empirischen und einer theoretischen Wahrscheinlichkeitsverteilung?

Accepted Answer

Empirische Verteilungen basieren auf beobachteten Daten, während theoretische Verteilungen auf Modellen beruhen.

Answer

Theoretische Verteilungen sind immer genauer als empirische Verteilungen.

Answer

Empirische Verteilungen können nur für diskrete Zufallsvariablen verwendet werden.

Answer

Theoretische Verteilungen können nur für stetige Zufallsvariablen verwendet werden.

Question 28

Welche Aussage über Zufallsvariablen ist korrekt? Definition einer Zufallsvariablen:

Accepted Answer

Eine Zufallsvariable ordnet jedem Element einer Stichprobe eine Zahl zu.

Answer

Eine Zufallsvariable ist eine Zahl, die den Ausgang eines Zufallsexperiments beschreibt.

Answer

Eine Zufallsvariable ist eine Funktion, die einem Element einer Stichprobe eine Wahrscheinlichkeit zuordnet.

Question 29

Welcher Zufallsvariablentyp beschreibt eine Variable, die nur bestimmte, voneinander getrennte Werte annehmen kann?

Accepted Answer

Diskrete Zufallsvariable

Answer

Kontinuierliche Zufallsvariable

Answer

Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

Answer

Stetige Zufallsvariable

Question 30

Wie lautet die Formel zur Berechnung des Erwartungswerts einer diskreten Zufallsvariable X?

Accepted Answer

E(X) = Σ (p(x) * x) über alle Werte von x

Answer

E(X) = Mittelwert aller möglichen Werte von X

Answer

E(X) = ∫ (f(x) * x) dx über alle Werte von x

Question 31

Ein Würfel wird geworfen. Welche Zufallsvariable beschreibt die Anzahl der Augen, die oben liegen?

Accepted Answer

X ~ Diskret(1:6)

Answer

X ~ Binomial(1:6)

Answer

X ~ Kontinuierlich(1:6)

Answer

X ~ Normal(1:6)

Question 32

Welche Aussage über die Zufallsvariable X trifft zu, wenn X ~ Exp(λ)?

Accepted Answer

X hat eine Exponentialverteilung.

Answer

X hat eine Poissonverteilung.

Answer

X hat eine Normalverteilung.

Answer

X hat eine Binomialverteilung.

Question 33

Welche Eigenschaft trifft auf eine diskrete Zufallsvariable zu?

Accepted Answer

Sie nimmt nur endlich viele oder abzählbar unendlich viele Werte an.

Answer

Sie nimmt nur kontinuierliche Werte an.

Answer

Sie kann sowohl kontinuierliche als auch diskrete Werte annehmen.

Question 34

Welche der folgenden Binomialverteilungen hat die größte Varianz?

Accepted Answer

X ~ Bin(10, 0,5)

Answer

X ~ Bin(5, 0,2)

Answer

X ~ Bin(10, 0,2)

Answer

X ~ Bin(5, 0,5)

Question 35

Eine diskrete Zufallsvariable X hat folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung:

| x | P(X=x) |
|---|---| 
| 0 | 0,3 |
| 1 | 0,4 |
| 2 | 0,3 |

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass X mindestens 1 ist?

Accepted Answer

0,7

Answer

0,3

Answer

0,6

Answer

0,4

Question 36

Welche Aussage beschreibt die Wahrscheinlichkeit, k Ereignisse in der Poisson-Verteilung zu beobachten?

Accepted Answer

Sie ist proportional zu e^(-λ) * λ^k / k!

Answer

Die Poisson-Verteilung ist eine diskrete Zufallsvariable.

Answer

Die Wahrscheinlichkeit, k Ereignisse zu beobachten, ist proportional zu λ^k * e^(-k).

Question 37

Welche der folgenden Zufallsvariablen ist typischerweise normalverteilt?

Accepted Answer

X ~ N(μ, σ^2)

Answer

X ~ Pois(λ)

Answer

X ~ Bin(n, p)

Answer

X ~ U(a, b)

Question 38

Was ist der Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariable?

Accepted Answer

Er entspricht dem Schwerpunkt der Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Answer

Er ist immer eine positive Zahl.

Answer

Er ist der Mittelwert der Zufallsvariablen.

Question 39

Welche der folgenden Aussagen beschreibt eine diskrete Zufallsvariable?

Accepted Answer

Sie kann nur bestimmte, isolierte Werte annehmen.

Answer

Sie kann nur positive ganzzahlige Werte annehmen.

Answer

Sie kann kontinuierlich jeden Wert innerhalb eines Intervalls annehmen.

Question 40

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariable gibt an:

Accepted Answer

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen bestimmten Wert annimmt.

Answer

Den Erwartungswert der Zufallsvariable.

Answer

Die Varianz der Zufallsvariable.

Question 41

Welcher der folgenden Werte ist der Erwartungswert einer Zufallsvariable?

Accepted Answer

Mittelwert aller möglichen Werte, gewichtet mit ihren Wahrscheinlichkeiten

Answer

Median der Zufallsvariable

Answer

Modus der Zufallsvariable

Question 42

Welche der folgenden Eigenschaften beschreibt eine unvoreingenommene Schätzung des Erwartungswerts einer Zufallsvariable?

Accepted Answer

Ihr Mittelwert konvergiert gegen den wahren Erwartungswert.

Answer

Ihre Varianz ist minimal.

Answer

Sie ist immer größer als der wahre Erwartungswert.

Question 43

Welche der folgenden Aussagen über den Zusammenhang zwischen Erwartungswert und Varianz ist korrekt?

Accepted Answer

Der Erwartungswert ist unabhängig von der Varianz.

Answer

Die Varianz ist immer größer als der Erwartungswert.

Answer

Die Varianz ist immer kleiner als der Erwartungswert.

Answer

Der Erwartungswert ist immer gleich der Varianz.

Question 44

Welche der folgenden Formeln berechnet die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable einen Wert zwischen zwei gegebenen Werten annimmt?

Accepted Answer

P(a ≤ X ≤ b) = F(b) - F(a)

Answer

P(a ≤ X ≤ b) = F(a) / F(b)

Answer

P(a ≤ X ≤ b) = F(a) - F(b)

Answer

P(a ≤ X ≤ b) = F(b) / F(a)

Question 45

Welche der folgenden Aussagen über die Normalverteilung ist richtig?

Accepted Answer

Sie ist eine stetige Verteilung mit einer glockenförmigen Kurve.

Answer

Sie ist eine diskrete Verteilung mit einer rechteckigen Kurve.

Answer

Sie hat nur positive Werte.

Question 46

Welche der folgenden Aussagen über die Binomialverteilung ist richtig?

Accepted Answer

Sie beschreibt die Anzahl der Erfolge in einer Folge von unabhängigen Versuchen.

Answer

Sie beschreibt die Zeit bis zum ersten Erfolg in einer Folge von unabhängigen Versuchen.

Answer

Sie ist eine stetige Verteilung.

Question 47

Welche der folgenden Aussagen über die Poisson-Verteilung ist richtig?

Accepted Answer

Sie beschreibt die Anzahl von Ereignissen in einem bestimmten Intervall.

Answer

Sie ist eine stetige Verteilung.

Answer

Sie beschreibt die Zeit zwischen zwei Ereignissen.

Question 48

Welche der folgenden ist **keine** diskrete Zufallsvariable?

Accepted Answer

Die Körpergröße von Schülern in einer Klasse

Answer

Die Anzahl der Autos, die in einer Stunde an einer bestimmten Stelle vorbeifahren

Answer

Die Anzahl der Kopfseiten beim dreimaligen Werfen einer Münze

Answer

Die Anzahl der defekten Glühbirnen in einer Packung mit 10 Birnen

Question 49

Ein Würfel wird zweimal geworfen. Die Zufallsvariable X ist die Summe der Augenzahlen. Was ist der Erwartungswert von X?

Accepted Answer

7

Answer

6

Answer

3,5

Answer

12

Question 50

Eine Maschine produziert Schrauben. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Schraube fehlerhaft ist, beträgt 0,05.  100 Schrauben werden zufällig ausgewählt.  Welche Formel beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass genau 5 Schrauben fehlerhaft sind?

Accepted Answer

P(X=5) = (100 über 5) * 0,05^5 * 0,95^95

Answer

P(X=5) = 0,05^5 * 0,95^95

Answer

P(X=5) = (100 über 5) * 0,05^5

Answer

P(X=5) = 100 * 0,05^5 * 0,95^95

Question 51

Welche der folgenden Aussagen über die Varianz einer Zufallsvariable ist **falsch**?

Accepted Answer

Die Varianz ist immer positiv.

Answer

Die Varianz kann Null sein.

Answer

Die Varianz ist ein Maß für die Streuung der Werte.

Answer

Die Varianz wird in der gleichen Einheit gemessen wie die Zufallsvariable.

Question 52

Die Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl der defekten Teile in einer Stichprobe von 100 Teilen. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teil defekt ist, beträgt 0,02.  Wie groß ist die Standardabweichung von X?

Accepted Answer

1,4

Answer

0,02

Answer

10

Answer

2

Question 53

Eine Zufallsvariable X ist Poisson-verteilt mit dem Parameter λ = 2. Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass X den Wert 0 annimmt?

Accepted Answer

e^-2

Answer

e^2

Answer

2 * e^-2

Answer

1 - e^-2

Question 54

Eine Maschine füllt Flaschen mit einer vorgegebenen Menge an Flüssigkeit. Die Füllmenge ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ = 500 ml und der Standardabweichung σ = 5 ml.  Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Flasche weniger als 495 ml Flüssigkeit enthält?

Accepted Answer

2,28%

Answer

34,13%

Answer

15,87%

Answer

50%

Question 55

Welche der folgenden Aussagen über den Erwartungswert einer Zufallsvariable ist **richtig**?

Accepted Answer

Der Erwartungswert ist der Mittelwert aller möglichen Werte der Zufallsvariable, gewichtet mit ihren jeweiligen Wahrscheinlichkeiten.

Answer

Der Erwartungswert ist immer der häufigste Wert der Zufallsvariable.

Question 56

Eine Zufallsvariable X ist normalverteilt mit μ = 10 und σ = 2. Wie lautet die Wahrscheinlichkeit, dass X zwischen 8 und 12 liegt?

Accepted Answer

0,6827

Answer

0,4265

Answer

0,3173

Answer

0,5735

Question 57

Eine Zufallsvariable Y hat die Wahrscheinlichkeitsverteilung P(Y = k) = k/10 für k = 1, 2, 3, 4 und 5. Wie lautet die Varianz von Y?

Accepted Answer

2,5

Answer

5

Answer

1,25

Answer

3,75

Question 58

Welche der folgenden Transformationen führt zu einer Zufallsvariablen mit der gleichen Verteilung?

Accepted Answer

X -> aX + b

Answer

X -> 1/X

Answer

X -> log(X)

Answer

X -> X^2

Question 59

Eine Zufallsvariable Z hat eine Exponentialverteilung mit dem Parameter λ = 0,5. Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass Z einen Wert größer als 2 annimmt?

Accepted Answer

0,2231

Answer

0,7769

Answer

0,3679

Answer

0,5

Question 60

Welche der folgenden Aussagen über die Eigenschaften eines Histrogramms ist falsch?

Accepted Answer

Die Fläche eines Histogramms ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Werte der Zufallsvariablen.

Answer

Die Höhe eines Histogramms an einem bestimmten Wert ist gleich der Wahrscheinlichkeit dieses Wertes.

Question 61

Eine Zufallsvariable W hat die folgende Dichtefunktion: f(w) = 1/2 für 0 ≤ w ≤ 2 und f(w) = 0 sonst. Wie lautet die Verteilungsfunktion von W?

Accepted Answer

F(w) = 0 für w < 0, F(w) = w/2 für 0 ≤ w ≤ 2 und F(w) = 1 für w > 2

Answer

F(w) = 0 für w < 0, F(w) = w für 0 ≤ w ≤ 2 und F(w) = 2 für w > 2

Answer

F(w) = 0 für w < 0, F(w) = 1/2 für 0 ≤ w ≤ 2 und F(w) = 1 für w > 2

Question 62

Eine Zufallsvariable X hat eine Erwartung von 3 und eine Varianz von 2. Welche der folgenden Zufallsvariablen hat eine Erwartung von 6 und eine Varianz von 8?

Accepted Answer

2X

Answer

-X

Answer

X + 3

Answer

X^2