Ableitungen verstehen und anwenden: Lerne die Grundlagen der Differenzierbarkeit

Question 1

Welche der folgenden Ableitungsregeln ist für die Ableitung der Summe von Funktionen f(x) und g(x) gültig?

Accepted Answer

(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x)

Answer

(f + g)'(x) = f'(x) - g'(x)

Answer

(f + g)'(x) = f(x)g'(x) + f'(x)g(x)

Answer

(f + g)'(x) = f(x)g(x)

Question 2

Welche Anwendung der Ableitung wird verwendet, um lokale Extreme zu finden?

Accepted Answer

Nullstellen der Ableitung

Answer

Ableitungszeichenwechsel

Answer

Definitheitsintervalle der zweiten Ableitung

Answer

Cauchy-Schwarz-Ungleichung

Question 3

Welche der folgenden Funktionen ist NICHT differenzierbar im Punkt x = 0?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = eˣ

Answer

f(x) = sin(x)

Question 4

Wie lautet die Ableitung der Funktion f(x) = ln(x² + 1)?

Accepted Answer

f'(x) = 2x/(x² + 1)

Answer

f'(x) = 1/(x² + 1)

Answer

f'(x) = 2x

Answer

f'(x) = 1

Question 5

Welches Kriterium kann verwendet werden, um festzustellen, ob eine Funktion f(x) differenzierbar ist?

Accepted Answer

Epsilon-Delta-Definition

Answer

Cauchy-Bedingung

Answer

Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Answer

Rollescher Satz

Question 6

Welche der folgenden Funktionen ist eine Stammfunktion von f(x) = cos(x)?

Accepted Answer

F(x) = sin(x)

Answer

F(x) = x sin(x)

Answer

F(x) = -sin(x)

Answer

F(x) = x cos(x)

Question 7

Welche der folgenden Funktionen ist nicht differenzierbar?

Accepted Answer

|x|

Answer

sin(x)

Answer

e^x

Answer

x^2 + 2x + 1

Question 8

Welche der folgenden Aussagen über die Stammfunktion ist richtig?

Accepted Answer

Sie kann durch Integration ermittelt werden.

Answer

Sie ist eindeutig bestimmt.

Answer

Sie ist eine Gerade.

Answer

Sie ist eine Parabel.

Question 9

Welche der folgenden Funktionen ist eine implizite Funktion?

Accepted Answer

x^2 + y^2 = 1

Answer

y = x^2 + 1

Answer

y = sin(x)

Answer

y = e^x

Question 10

Berechne die Ableitung von f(x) = x^3 - 2x + 1.

Accepted Answer

f'(x) = 3x^2 - 2

Answer

f'(x) = x^2 - 2

Answer

f'(x) = 3x - 2

Answer

f'(x) = x^3 - 2x + 1

Question 11

Welche der folgenden Ableitungsregeln ist falsch?

Accepted Answer

Produktregel: (f(x) * g(x))' = f'(x) * g'(x) + f(x) * g''(x)

Answer

Quotientenregel: (f(x) / g(x))' = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / g(x)^2

Answer

Kettenregel: (f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)

Answer

Potenzregel: (x^n)' = n * x^(n-1)

Question 12

Welche der folgenden Aussagen ist richtig?

Accepted Answer

Eine differenzierbare Funktion ist immer stetig.

Answer

Eine stetige Funktion ist immer differenzierbar.

Answer

Eine nicht-differenzierbare Funktion ist immer unstetig.

Answer

Eine unstetige Funktion ist immer nicht-differenzierbar.

Question 13

Bestimme den Wert von x, für den die Funktion f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1 einen lokalen Minimalwert annimmt.

Accepted Answer

2

Answer

1

Answer

3

Answer

4

Question 14

Welche der folgenden Funktionen ist nicht differenzierbar an der Stelle x = 0?

Accepted Answer

g(x) = |x - 1|

Answer

f(x) = x^2

Answer

h(x) = e^x

Answer

k(x) = sin(x) + cos(x)

Question 15

Welche Ableitungsregel gilt für die Funktion f(x) = x^n?

Accepted Answer

f'(x) = nx^(n-1)

Answer

f'(x) = 1/nx^(n-1)

Answer

f'(x) = nx^(n+1)

Answer

f'(x) = 1/nx^(n+1)

Question 16

Welche Funktion ist nicht differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sin(x)

Question 17

Welche Aussage beschreibt die Beziehung zwischen Differenzierbarkeit und Stetigkeit?

Accepted Answer

Eine differenzierbare Funktion ist immer stetig, während eine stetige Funktion nicht unbedingt differenzierbar ist.

Answer

Beide Aussagen sind wahr.

Answer

Beide Aussagen sind falsch.

Answer

Eine stetige Funktion ist immer differenzierbar, während eine differenzierbare Funktion nicht unbedingt stetig ist.

Question 18

Welche Anwendung der Ableitung hilft bei der Bestimmung der Extrema einer Funktion?

Accepted Answer

Extremwertberechnung

Answer

Nullstellensuche

Answer

Tangentenberechnung

Answer

Integration

Question 19

Welche Ableitungsregel beschreibt die Produktregel?

Accepted Answer

f(x) * g(x)' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)

Answer

f(x) * g(x)' = f'(x) - g'(x)

Answer

f(x) * g(x)' = f'(x) * g'(x)

Answer

f(x) * g(x)' = f(x) * g'(x) - f'(x) * g(x)

Question 20

Welche Ableitung hat die Funktion f(x) = ln(x)?

Accepted Answer

f'(x) = 1/x

Answer

f'(x) = x

Answer

f'(x) = e^x

Answer

f'(x) = ln(e)

Question 21

Was beschreibt die lokale Linearität einer differenzierbaren Funktion?

Accepted Answer

Die Funktion kann in der Umgebung eines Punktes durch eine lineare Funktion angenähert werden.

Answer

Die Funktion ist in der Umgebung eines Punktes konstant.

Answer

Die Funktion nimmt in der Umgebung eines Punktes ab.

Answer

Die Funktion hat in der Umgebung eines Punktes einen Wendepunkt.

Question 22

Welche Regel hilft bei der Ableitung einer zusammengesetzten Funktion?

Accepted Answer

Kettenregel

Answer

Summenregel

Answer

Produktregel

Answer

Quotientenregel

Question 23

Welche Ableitungsregel gilt für die Quotientenregel?

Accepted Answer

f(x) / g(x)' = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / g(x)^2

Answer

f(x) / g(x)' = f'(x) / g'(x)

Answer

f(x) / g(x)' = (f'(x) * g'(x) + f(x) * g'(x)) / g(x)^2

Answer

f(x) / g(x)' = f(x) / g(x)^2

Question 24

Zu welcher Funktion gehört die folgende Ableitung: f'(x) = 2x + 3?

Accepted Answer

f(x) = x² + 3x + C

Answer

f(x) = x² - 3x + C

Answer

f(x) = 2x² + 3x + C

Answer

f(x) = 2x² - 3x + C

Question 25

Wie lautet die Ableitung der Funktion f(x) = x^3?

Accepted Answer

f'(x) = 3x^2

Answer

f'(x) = x^2

Answer

f'(x) = 3

Answer

f'(x) = x

Question 26

Welche Aussage über die erste Ableitung von f(x) = sin(x) ist korrekt?

Accepted Answer

f'(x) = cos(x)

Answer

f'(x) = -sin(x)

Answer

f'(x) = tan(x)

Answer

f'(x) = 0

Question 27

Welche Anwendung der Ableitung wird verwendet, um die Steigung der Tangente an einen Graphen zu bestimmen?

Accepted Answer

Steigung der Tangente

Answer

Lokale Extreme

Answer

Konkavität

Answer

Wendeschnitte

Question 28

Welche Aussage über die Ableitung der Funktion f(x) = |x| ist korrekt?

Accepted Answer

Die Ableitung ist an x=0 nicht definiert.

Answer

Die Ableitung ist für alle x definiert.

Answer

Die Ableitung ist nur für x>0 definiert.

Answer

Die Ableitung ist nur für x<0 definiert.

Question 29

Welche Funktion hat einen Wendepunkt bei x=1?

Accepted Answer

f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x

Answer

f(x) = x^2 - 2x + 1

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 30

Welche Aussage über eine differenzierbare Funktion f(x) ist korrekt?

Accepted Answer

Eine differenzierbare Funktion ist an jeder Stelle, an der sie definiert ist, stetig.

Answer

Eine differenzierbare Funktion ist an einer Stelle genau dann stetig, wenn ihre Ableitung an dieser Stelle null ist.

Answer

Eine differenzierbare Funktion ist an keiner Stelle stetig.

Answer

Die Ableitung einer differenzierbaren Funktion ist an jeder Stelle größer als null.

Question 31

Was ist die geometrische Bedeutung der Ableitung einer Funktion f(x) an der Stelle x = a?

Accepted Answer

Steigung der Tangente an den Graphen von f(x) im Punkt (a, f(a))

Answer

Fläche unter dem Graphen von f(x) zwischen den Punkten a und a+h

Answer

Höhe des Graphen von f(x) im Punkt x = a

Answer

x-Koordinate des Punktes, an dem der Graph von f(x) ein Minimum hat

Question 32

Ermittle die Ableitung von g(x) = sin(x² + 3x) mithilfe der Kettenregel.

Accepted Answer

g'(x) = cos(x² + 3x) * (2x + 3)

Answer

g'(x) = sin(x² + 3x) * 2x

Answer

g'(x) = cos(x² + 3x)

Answer

g'(x) = x² + 3x

Question 33

Welche der folgenden Aussagen zur Differenzierbarkeit von Funktionen ist korrekt?

Accepted Answer

Eine differenzierbare Funktion ist an allen Stellen stetig.

Answer

Eine stetige Funktion ist immer differenzierbar.

Answer

Eine Funktion ist nur differenzierbar, wenn sie stetig ist.

Answer

Eine Funktion ist differenzierbar, wenn sie an wenigstens einer Stelle stetig ist.

Question 34

Bestimme die Ableitung der Funktion g(x) = (x + 1)².

Accepted Answer

2(x + 1)

Answer

2x + 1

Answer

x + 1

Answer

x² + 2x + 1

Question 35

Welche der folgenden Funktionen ist nicht differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x³

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = eˣ

Question 36

Welche geometrische Bedeutung hat die Ableitung einer Funktion?

Accepted Answer

Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion

Answer

Fläche unter dem Graphen der Funktion

Answer

Volumen des Körpers, der durch Rotation des Graphen der Funktion entsteht

Answer

Länge des Graphen der Funktion

Question 37

Welche Aussage über die Ableitung einer Funktion ist NICHT korrekt?

Accepted Answer

Die Ableitung einer monoton wachsenden Funktion ist immer positiv.

Answer

Die Ableitung einer geraden Funktion ist eine gerade Funktion.

Answer

Die Ableitung einer ungeraden Funktion ist eine ungerade Funktion.

Answer

Die Ableitung einer monoton fallenden Funktion ist immer negativ.

Question 38

Bestimme die Ableitung der Funktion h(x) = ln(x).

Accepted Answer

1/x

Answer

ln(x)

Answer

-1/x

Answer

x

Question 39

Welche der folgenden Aussagen definiert die Ableitung einer Funktion f(x) an der Stelle x = a?

Accepted Answer

f'(a) = lim (h->0) (f(a+h) - f(a)) / h

Answer

f'(a) = lim (h->0) (f(a) - f(a+h)) / h

Answer

f'(a) = lim (h->a) (f(a+h) - f(a)) / (a+h-a)

Answer

f'(a) = lim (h->0) (f(a+h) - f(a)) / (a-h)

Question 40

Welche der folgenden Funktionen ist nicht differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 41

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = ln(x) + e^x.

Accepted Answer

f'(x) = 1/x + e^x

Answer

f'(x) = 1/x - e^x

Answer

f'(x) = x + e^x

Answer

f'(x) = x - e^x

Question 42

Formuliere die Kettenregel für die Ableitung einer zusammengesetzten Funktion.

Accepted Answer

f'(g(x)) = g'(x) * f'(g(x))

Answer

f'(g(x)) = f(g'(x)) * g(x)

Answer

f'(g(x)) = g(f'(x)) * f(x)

Answer

f'(g(x)) = f(g(x)) * g'(x)

Question 43

Welche Funktion ist bei x = 0 nicht differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 44

Bestimme die Ableitung von f(x) = (x² + 1) / (x - 1):

Accepted Answer

f'(x) = (2x - 1) / (x - 1)²

Answer

f'(x) = -(2x - 1) / (x - 1)²

Answer

f'(x) = (x² + 1) / (x - 1)

Answer

f'(x) = -(x² + 1) / (x - 1)

Question 45

Welche Funktion ist im Intervall [-1, 1] nicht differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x³

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 46

Welche Aussage über die zweite Ableitung einer Funktion ist richtig?

Accepted Answer

Sie gibt Auskunft über die Konkavität des Graphen der Funktion.

Answer

Sie berechnet die Änderungsrate der ersten Ableitung.

Answer

Sie liefert die Fläche unter dem Funktionsgraphen.

Answer

Sie liefert den Funktionswert an einem bestimmten Punkt.

Question 47

Bestimme die Ableitung von f(x) = ln(x² + 1):

Accepted Answer

f'(x) = 2x / (x² + 1)

Answer

f'(x) = 1 / (x² + 1)

Answer

f'(x) = 2xln(x² + 1)

Answer

f'(x) = 1 / (2xln(x² + 1))

Question 48

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 0 nicht differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x³

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Question 49

Die Ableitung der Funktion f(x) = 3x² + 2x - 1 ist:

Accepted Answer

f'(x) = 6x + 2

Answer

f'(x) = 3x + 2

Answer

f'(x) = 6x - 1

Answer

f'(x) = 6x² + 2x

Question 50

Die Ableitung der Funktion f(x) = sin(x) ist:

Accepted Answer

f'(x) = cos(x)

Answer

f'(x) = -cos(x)

Answer

f'(x) = -sin(x)

Answer

f'(x) = sin(x)

Question 51

Die Ableitung der Funktion f(x) = e^x ist:

Accepted Answer

f'(x) = e^x

Answer

f'(x) = x * e^(x-1)

Answer

f'(x) = 1 / e^x

Answer

f'(x) = ln(x)

Question 52

Die Ableitung der Funktion f(x) = ln(x) ist:

Accepted Answer

f'(x) = 1 / x

Answer

f'(x) = x

Answer

f'(x) = ln(1/x)

Question 53

Die Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion f(x) = x³ - 2x + 1 an der Stelle x = 1 ist:

Accepted Answer

1

Answer

3

Answer

-1

Answer

0

Question 54

Eine Funktion f(x) hat ein lokales Maximum an der Stelle x = a, wenn:

Accepted Answer

f'(a) = 0 und f''(a) < 0

Answer

f'(a) < 0 und f''(a) > 0

Answer

f'(a) = 0 und f''(a) > 0

Answer

f'(a) > 0 und f''(a) < 0

Question 55

Die Funktion f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 ist:

Accepted Answer

konvex für x > 1

Answer

konvex für x < 1

Answer

konkav für x < 1

Answer

konkav für x > 1

Question 56

Die Ableitung der Funktion f(x) = (x^2 + 1) / (x - 1) ist:

Accepted Answer

f'(x) = (x^2 - 2x - 1) / (x - 1)^2

Answer

f'(x) = (2x + 1) / (x - 1)

Answer

f'(x) = (2x - 1) / (x - 1)^2

Answer

f'(x) = (2x + 1) / (x - 1)^2