Nichtlineare Gleichungen lösen: Online-Quiz für Wirtschaftsingenieure

Question 1

Was ist die Definition eines Fixpunktes einer Funktion f(x)?

Accepted Answer

Ein Wert x, für den f(x) = x gilt.

Answer

Ein Wert x, für den f(x) = 0 gilt.

Answer

Ein Wert x, für den f'(x) = 0 gilt.

Answer

Ein Wert x, für den f(x) = 1 gilt.

Question 2

Welcher Nachteil kann bei der Fixpunktiteration auftreten?

Accepted Answer

Sie kann langsam konvergieren.

Answer

Sie benötigt keine gute Anfangsschätzung.

Answer

Sie kann nicht für quadratische Gleichungen verwendet werden.

Answer

Sie konvergiert immer.

Question 3

Welche Methode ist am besten geeignet, um die Gleichung x^3 - 2 = 0 näherungsweise zu lösen?

Accepted Answer

Newton-Verfahren

Answer

Fixpunktiteration

Answer

Bisection

Answer

Regula Falsi

Question 4

Welche Konvergenzordnung hat das Newton-Verfahren?

Accepted Answer

Quadratisch

Answer

Linear

Answer

Kubisch

Answer

Exponentiell

Question 5

Welche der folgenden Gleichungen ist eine quadratische Gleichung?

Accepted Answer

x^2 - 4x + 3 = 0

Answer

e^x - 2x + 1 = 0

Answer

ln(x^2) = 3

Answer

x^3 - 2x + 5 = 0

Question 6

Was ist das Hauptziel des Newton-Verfahrens?

Accepted Answer

Eine Näherungslösung für eine nichtlineare Gleichung zu finden.

Answer

Eine exakte Lösung für eine nichtlineare Gleichung zu finden.

Answer

Eine obere und untere Grenze für die Lösung einer nichtlinearen Gleichung zu finden.

Answer

Eine asymptotische Darstellung einer nichtlinearen Funktion zu finden.

Question 7

Welcher geometrische Ansatz liegt dem Newton-Verfahren zugrunde?

Accepted Answer

Konstruktion von Tangenten an die Funktion bei iterativen Näherungen

Answer

Verwendung einer Fehlerakkumulation zur Lösungsfindung

Answer

Unterteilung des Intervalls in kleinere Abschnitte und Lösen der Gleichung für jeden Abschnitt

Answer

Approximation der Funktion durch eine Reihe von Polynomen

Question 8

Welche Methode eignet sich nicht zur Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme?

Accepted Answer

Pivot-Verfahren

Answer

Gauß-Seidel-Verfahren

Answer

Newton-Raphson-Methode

Answer

Sekantenverfahren

Question 9

Welche Konvergenzordnung besitzt das Newton-Verfahren?

Accepted Answer

quadratische Konvergenz

Answer

lineare Konvergenz

Answer

kubische Konvergenz

Answer

exponentielle Konvergenz

Question 10

Die Konvergenz des Newton-Verfahrens ist:

Accepted Answer

quadratisch

Answer

linear

Answer

kubisch

Answer

exponentiell

Question 11

Welche Bedingung muss erfüllt sein, damit das Newton-Verfahren für eine Funktion f(x) konvergiert?

Accepted Answer

f'(x) ≠ 0 im Konvergenzbereich

Answer

f''(x) > 0 im Konvergenzbereich

Answer

f(x) ist stetig im Konvergenzbereich

Answer

f(x) ist differenzierbar im Konvergenzbereich

Question 12

Welcher der folgenden Algorithmen ist ungeeignet zur Lösung der Gleichung f(x) = 0?

Accepted Answer

Gauss-Seidel-Verfahren

Answer

Sekantenverfahren

Answer

Bisection

Answer

Steffensen-Verfahren

Question 13

Das Verfahren der sukzessiven Substitution kann verwendet werden, um:

Accepted Answer

nichtlineare Gleichungen zu lösen

Answer

lineare Gleichungssysteme zu lösen

Answer

Differenzialgleichungen zu lösen

Answer

Integrale zu berechnen

Question 14

Die Wahl der Anfangsnäherung bei der Fixpunktiteration ist:

Accepted Answer

sehr wichtig für die Konvergenz

Answer

beliebig

Answer

nur für Gleichungen mit einer eindeutigen Lösung relevant

Answer

von der Konvergenzordnung unabhängig

Question 15

Welches Kriterium muss für die Konvergenz des Newton-Verfahrens erfüllt sein?

Accepted Answer

Die Ableitung der Funktion an der Lösungsstelle darf nicht Null sein.

Answer

Die Funktion muss konvex sein.

Answer

Die Funktion muss stetig sein.

Question 16

Welche der folgenden Gleichungen stellt die Fixpunktiteration für f(x) = x^3 - 2 dar?

Accepted Answer

x = x^3 - 2

Answer

x = (x^3 - 2)^2

Answer

x = x^2 - 2

Question 17

Welche Bedingung muss für die Konvergenz der Fixpunktiteration erfüllt sein?

Accepted Answer

Der Fixpunktoperator muss eine Kontraktion sein.

Answer

Der Fixpunktoperator muss surjektiv sein.

Answer

Der Fixpunktoperator muss injektiv sein.

Answer

Der Fixpunktoperator muss eine Isometrie sein.

Question 18

Welche Methode kann zur Bestimmung der Anzahl der Wurzeln einer nichtlinearen Gleichung verwendet werden?

Accepted Answer

Sturmscher Vergleichssatz

Answer

Gauss-Seidel-Verfahren

Answer

Cauchy-Schwarzsche Ungleichung

Answer

Lagrangescher Multiplikator

Question 19

Welche Aussage über nichtlineare Gleichungen ist richtig?

Accepted Answer

Sie können numerisch mit iterativen Verfahren gelöst werden.

Answer

Sie haben immer eine analytische Lösung.

Answer

Sie sind im Allgemeinen leichter zu lösen als lineare Gleichungen.

Question 20

Welche der folgenden Aussagen über das Newton-Verfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungen ist **falsch**?

Accepted Answer

Das Newton-Verfahren konvergiert immer, wenn die Anfangsnäherung ausreichend nahe an der Lösung liegt.

Answer

Das Newton-Verfahren ist ein iteratives Verfahren, das eine Folge von Näherungslösungen generiert.

Question 21

Gegeben sei die Gleichung f(x) = x^3 - 2x - 5 = 0. Welchen Wert liefert die erste Iteration des Newton-Verfahrens mit der Anfangsnäherung x_0 = 2?

Accepted Answer

2.25

Answer

2.5

Answer

1.75

Question 22

Gegeben sei die Gleichung x = 1 + 0.5 * sin(x). Welche der folgenden Funktionen ist eine geeignete Fixpunktfunktion für die Lösung dieser Gleichung?

Accepted Answer

g(x) = 1 + 0.5 * sin(x)

Answer

g(x) = 2x - 1 - sin(x)

Answer

g(x) = x^2 - 1 - 0.5 * sin(x)

Answer

g(x) = x - 1 - 0.5 * sin(x)

Question 23

Welche der folgenden Aussagen beschreibt **den Vorteil** des Newton-Verfahrens gegenüber der Fixpunktiteration?

Accepted Answer

Das Newton-Verfahren konvergiert im Allgemeinen schneller, wenn die Anfangsnäherung nahe an der Lösung liegt.

Answer

Das Newton-Verfahren ist einfacher zu implementieren.

Question 24

Für welche Art von nichtlinearen Gleichungen ist das Newton-Verfahren **nicht** geeignet?

Accepted Answer

Gleichungen mit einer Ableitung, die nahe bei Null liegt.

Answer

Gleichungen mit mehreren Variablen.

Answer

Gleichungen mit einer stetigen Ableitung.

Question 25

Welche der folgenden Aussagen ist **richtig** bezüglich der Fixpunktiteration?

Accepted Answer

Die Fixpunktiteration kann zur Lösung von Gleichungen verwendet werden, die keine explizite Lösung haben.

Answer

Die Fixpunktiteration konvergiert immer, wenn die Anfangsnäherung nahe an der Lösung liegt.

Question 26

Welches der folgenden Konzepte ist **nicht** direkt mit dem Lösen von nichtlinearen Gleichungen verbunden?

Accepted Answer

Lineare Regression

Answer

Iteration

Answer

Kontraktionsbedingung

Answer

Konvergenz

Question 27

Welches der folgenden Verfahren wird zur Lösung nichtlinearer Gleichungen verwendet?

Accepted Answer

Newton-Verfahren

Answer

Runge-Kutta-Verfahren

Answer

Monte-Carlo-Methode

Answer

Euler-Verfahren

Question 28

Was ist der Kern des Newton-Verfahrens?

Accepted Answer

Iterative Annäherung an die Lösung durch lineare Tangentennäherung

Answer

Numerische Integration über das Intervall der Gleichung

Answer

Direkte Lösung durch Umformen der Gleichung

Question 29

In welchem Fall divergiert das Newton-Verfahren?

Accepted Answer

Wenn die Ableitung der Gleichung an der Startnäherung Null ist

Answer

Wenn die Startnäherung zu weit von der Lösung entfernt ist

Answer

Wenn die Gleichung mehrfach Wurzeln hat

Question 30

Welche der folgenden Aussagen zur Fixpunktiteration ist richtig?

Accepted Answer

Sie erfordert nur die Kenntnis der Funktion und eine Startnäherung

Answer

Sie funktioniert nur für lineare Gleichungen

Answer

Sie ist immer schneller als das Newton-Verfahren

Question 31

In welchen Fällen kann die Fixpunktiteration divergieren?

Accepted Answer

Wenn die Ableitung der Funktion an der Startnäherung größer als 1 ist

Answer

Wenn die Startnäherung zu nahe an der Lösung liegt

Answer

Wenn die Funktion nicht differenzierbar ist

Question 32

Welche der folgenden Funktionen ist nichtlinear?

Accepted Answer

f(x) = 2x + 1

Answer

f(x) = x^2 - 4

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 33

Wie viele Lösungen hat die Gleichung x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = 0?

Accepted Answer

3

Answer

2

Answer

Unendlich viele

Answer

1

Question 34

Welche Genauigkeit kann beim Newton-Verfahren nach 5 Iterationen bei einer Startnäherung von 1 erwartet werden?

Accepted Answer

Ca. 10^-15

Answer

Ca. 10^-6

Answer

Ca. 10^-9

Answer

Ca. 10^-3

Question 35

Wofür wird die Fixpunktiteration häufig in der Praxis eingesetzt?

Accepted Answer

Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren

Answer

Optimierungsprobleme

Answer

Differenzengleichungen

Answer

Lösen von linearen Gleichungssystemen

Question 36

Welche der folgenden Aussagen zur Konvergenzgeschwindigkeit des Newton-Verfahrens ist richtig?

Accepted Answer

Quadratisch bei hinreichend guter Startnäherung

Answer

Unregelmäßig und abhängig von der Gleichung

Answer

Exponential bei konvexen Funktionen

Answer

Linear bei beliebiger Startnäherung

Question 37

Betrachten Sie die nichtlineare Gleichung f(x) = x^3 - 2. Welche Aussage über die Lösung dieser Gleichung ist richtig?

Accepted Answer

Sie hat genau eine reelle Lösung.

Answer

Sie hat genau zwei reelle Lösungen.

Answer

Sie hat keine reelle Lösung.

Answer

Sie hat unendlich viele reelle Lösungen.

Question 38

Welche iterative Methode wird verwendet, um eine Annäherung an die Lösung der Gleichung sin(x) = x zu finden?

Accepted Answer

Fixpunktiteration

Answer

Newton-Verfahren

Answer

Regula-Falsi-Verfahren

Answer

Sekantenverfahren

Question 39

Gegeben ist die Gleichung f(x) = x - e^x. Welcher Anfangswert x0 würde beim Newton-Verfahren wahrscheinlich zu einer Konvergenz führen?

Accepted Answer

x0 = 1

Answer

x0 = 2

Answer

x0 = 3

Answer

x0 = 0

Question 40

Welche Aussage über die Konvergenz des Newton-Verfahrens ist richtig?

Accepted Answer

Es konvergiert quadratisch, wenn es in der Nähe der Lösung gestartet wird.

Answer

Es konvergiert linear, wenn es in der Nähe der Lösung gestartet wird.

Answer

Es konvergiert immer, unabhängig vom Startwert.

Question 41

Betrachten Sie die Gleichung f(x) = x^2 - 4. Welcher Wert des Startwerts x0 würde beim Newton-Verfahren wahrscheinlich zu einer Divergenz führen?

Accepted Answer

x0 = 3

Answer

x0 = -2

Answer

x0 = 2

Answer

x0 = 0

Question 42

Welche der folgenden Aussagen über die Fixpunktiteration ist richtig?

Accepted Answer

Sie konvergiert linear, wenn die Kontraktionsbedingung erfüllt ist.

Answer

Sie garantiert keine Konvergenz.

Answer

Sie konvergiert quadratisch, wenn die Kontraktionsbedingung erfüllt ist.

Question 43

Gegeben ist die Gleichung f(x) = cos(x) - x. Welcher Wert des Startwerts x0 würde beim Fixpunktiterationsverfahren wahrscheinlich zu einer Konvergenz führen?

Accepted Answer

x0 = 0

Answer

x0 = 3

Answer

x0 = 2

Answer

x0 = 1

Question 44

Welche Aussage über die Konvergenz der Fixpunktiteration ist falsch?

Accepted Answer

Sie konvergiert immer, wenn die Kontraktionsbedingung erfüllt ist.

Answer

Sie konvergiert linear, wenn die Kontraktionsbedingung erfüllt ist.

Answer

Sie kann divergieren, auch wenn die Kontraktionsbedingung erfüllt ist.

Question 45

Welche der folgenden Gleichungen ist eine transzendente Gleichung?

Accepted Answer

sin(x) = x^2

Answer

x^2 - 2x + 1 = 0

Answer

e^x = 2x

Answer

(x - 1)(x + 2) = 0

Question 46

Welche Aussage über die Anzahl der Lösungen einer nichtlinearen Gleichung ist richtig?

Accepted Answer

Sie kann unendlich viele Lösungen haben.

Answer

Sie kann genau zwei Lösungen haben.

Answer

Sie hat immer eine eindeutige Lösung.

Answer

Sie kann höchstens eine Lösung haben.