Differentialrechnung lernen: Online-Quizze und Übungen für Wirtschaftsingenieure

Question 1

Welche der folgenden Ableitungsregeln beschreibt die Ableitung des Produkts zweier Funktionen?

Accepted Answer

f'(x * y) = f'(x) * f'(y)

Answer

f'(x * y) = f'(x) + f'(y)

Answer

f'(x * y) = f'(x) * f(y)

Answer

f'(x * y) = f(x) * f'(y)

Question 2

Welchen geometrischen Sachverhalt beschreibt die Ableitung einer Funktion an einem bestimmten Punkt?

Accepted Answer

Die Steigung der Tangente an die Funktion an diesem Punkt

Answer

Die Geschwindigkeit der Funktion in Bezug auf die Zeit an diesem Punkt

Answer

Das Volumen des von der Funktion umschlossenen Körpers an diesem Punkt

Answer

Die Fläche unter der Funktion bis zu diesem Punkt

Question 3

Berechnen Sie das Minimum der Funktion f(x) = 2x^2 + 4x + 3.

Accepted Answer

x = -1

Answer

x = 0

Answer

x = 1

Answer

x = 2

Question 4

Welche Aussage über die zweite Ableitung einer Funktion ist korrekt?

Accepted Answer

Sie beschreibt die Krümmung der Funktion an einem bestimmten Punkt.

Answer

Sie beschreibt die Steigung der Tangente an die Funktion an einem bestimmten Punkt.

Answer

Sie beschreibt die Geschwindigkeit der Funktion in Bezug auf die Zeit an einem bestimmten Punkt.

Answer

Sie beschreibt das Volumen des von der Funktion umschlossenen Körpers an einem bestimmten Punkt.

Question 5

Welche Aussage über stetige und differenzierbare Funktionen ist korrekt?

Accepted Answer

Differentiable Funktionen sind überall stetig.

Answer

Stetige Funktionen sind überall differenzierbar.

Answer

Stetige Funktionen haben überall eine Tangente.

Answer

Differentiable Funktionen haben überall eine Extremstelle.

Question 6

Welche der folgenden Aussagen definiert die Ableitung einer Funktion f(x) an der Stelle x = a korrekt?

Accepted Answer

f'(a) ist der Grenzwert von [f(a + h) - f(a)] / h, wenn h gegen 0 geht.

Answer

f'(a) ist der Grenzwert von [f(x) - f(a)] / (x - a), wenn x gegen a geht.

Answer

f'(a) ist der Wert von (f(a + h) - f(a)) / h für ein beliebiges h ungleich Null.

Answer

f'(a) ist der Wert von (f(x) - f(a)) / (x - a) für ein beliebiges x ungleich a.

Question 7

Welche der folgenden Regeln gilt bei der Ableitung der Summe oder Differenz zweier Funktionen NICHT?

Accepted Answer

(f/g)'(x) = (g·f' - f·g') / g²

Answer

(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x)

Answer

(f - g)'(x) = f'(x) - g'(x)

Answer

(af)'(x) = a·f'(x) für jede konstante Zahl a

Question 8

Welche Ableitungsregel wird verwendet, um die Ableitung der Funktion f(x) = x³ zu berechnen?

Accepted Answer

Potenzregel

Answer

Produktregel

Answer

Quotientenregel

Answer

Kettenregel

Question 9

Welche der folgenden Funktionen hat an der Stelle x = 2 ein Extremwert?

Accepted Answer

f(x) = x³ - 3x

Answer

f(x) = x² + 1

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 10

Welche Anwendung der Differentialrechnung wird verwendet, um das Minimum einer Funktion zu finden?

Accepted Answer

Ableitung gleich Null setzen

Answer

Zweite Ableitung positiv

Answer

Erste Ableitung negativ

Answer

Integralgrenzen berechnen

Question 11

Welche der folgenden Aussagen über konkave Funktionen ist korrekt?

Accepted Answer

Ihre zweite Ableitung ist überall positiv.

Answer

Ihre zweite Ableitung ist überall negativ.

Answer

Ihre erste Ableitung ist überall positiv.

Answer

Ihre erste Ableitung ist überall negativ.

Question 12

Welche der folgenden Funktionen ist an der Stelle x = 0 NICHT differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x²

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = e^x

Question 13

Welche Methode wird verwendet, um die Ableitung einer Funktion zu schätzen, wenn die Funktion nur an diskreten Punkten bekannt ist?

Accepted Answer

Numerische Differentiation

Answer

Graphische Differentiation

Answer

Analytische Differentiation

Answer

Integration

Question 14

Welche Ableitungsregel wird verwendet, um die Ableitung der Funktion f(x) = ln(x) zu bestimmen?

Accepted Answer

Kettenregel

Answer

Potenzregel

Answer

Produktregel

Answer

Quotientenregel

Question 15

Welche der folgenden Funktionen ist NICHT differenzierbar?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = ln(x)

Question 16

Was ist die Ableitung der Funktion f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 7?

Accepted Answer

f'(x) = 3x^2 - 4x + 5

Answer

f'(x) = x^3 - 4x^2 + 10x - 7

Answer

f'(x) = 3x^2 - 8x + 5

Answer

f'(x) = x^3 - 2x + 10x - 7

Question 17

Was ist die lineare Approximation der Funktion f(x) = sqrt(x) an der Stelle x = 1?

Accepted Answer

L(x) = 1 + (x - 1) / 2

Answer

L(x) = 1 + (x - 1) / 4

Answer

L(x) = 1 - (x - 1) / 2

Answer

L(x) = 1 - (x - 1) / 4

Question 18

Berechne die erste Ableitung von f(x) = 3x^2 - 2x + 5.

Accepted Answer

6x - 2

Answer

3x

Answer

2x - 2

Answer

5

Question 19

Welcher Graph stellt die Ableitung von f(x) = sin(x) dar?

Accepted Answer

cos(x)

Answer

-sin(x)

Answer

sin(x)

Answer

0

Question 20

Welche Ableitungsregel wird verwendet, um die Ableitung des Produkts f(x) * g(x) zu berechnen?

Accepted Answer

Produktregel

Answer

Kettenregel

Answer

Quotientenregel

Question 21

Welche Aussage beschreibt korrekt die Eigenschaften eines Wendepunkts eines Graphen?

Accepted Answer

Erste Ableitung ist Null, zweite Ableitung ändert ihr Vorzeichen.

Answer

Erste Ableitung ist maximal, zweite Ableitung ist Null.

Answer

Erste Ableitung ist Null, zweite Ableitung ist Null.

Question 22

Welche Anwendung der Differentialrechnung wird zur Maximierung des Gewinns einer Funktion verwendet?

Accepted Answer

Optimierung

Answer

Integration

Question 23

Wie kann man die Steigung eines Graphen an einem bestimmten Punkt bestimmen?

Accepted Answer

Ableitung berechnen

Answer

Zweite Ableitung berechnen

Answer

Integrale berechnen

Question 24

Welche Aussage beschreibt ein lokales Minimum eines Graphen?

Accepted Answer

Y-Wert ist kleiner als alle Y-Werte in einer Umgebung des X-Werts.

Answer

Y-Wert ist größer als alle Y-Werte in einer Umgebung des X-Werts.

Answer

Erste Ableitung ist Null und zweite Ableitung ist positiv.

Question 25

Welche Funktion hat einen Wendepunkt bei x = 0?

Accepted Answer

f(x) = x^3

Answer

f(x) = x^2

Answer

f(x) = e^x

Answer

f(x) = sin(x)

Question 26

Welche Aussage beschreibt den Zweck der Ableitung korrekt?

Accepted Answer

Berechnung der Änderungsrate einer Funktion an einem bestimmten Punkt

Answer

Ermittlung der Fläche unter einer Kurve

Answer

Bestimmung des Höchst- oder Tiefstwerts einer Funktion

Question 27

Welche Regel wird verwendet, um die Ableitung eines Polynoms zu berechnen?

Accepted Answer

Potenzregel

Answer

Kettenregel

Answer

Produktregel

Answer

Quotientenregel

Question 28

Welche der folgenden Funktionen ist an allen Stellen NICHT differenzierbar?

Accepted Answer

|x|

Answer

x^3

Answer

sin(x)

Answer

e^x

Question 29

Welche Anwendung der Differentialrechnung kommt in der Optimierung zum Einsatz?

Accepted Answer

Bestimmung von Extremwerten (Maxima und Minima)

Answer

Lösen von Differentialgleichungen

Answer

Approximation von Funktionen

Answer

Berechnung von Flächen

Question 30

Berechne die Ableitung der Funktion f(x) = x^3 + 2x^2:

Accepted Answer

f'(x) = 3x^2 + 4x

Answer

f'(x) = x^3 + 4x

Answer

f'(x) = x^2 + 4x

Answer

f'(x) = 3x^3 + 2x

Question 31

Welche Funktion besitzt eine konstante Ableitung?

Accepted Answer

x + 5

Answer

x^2

Answer

e^x

Answer

sin(x)

Question 32

Welches der folgenden ist die Ableitung von f(x) = x³?

Accepted Answer

3x²

Answer

2x

Answer

x²/3

Answer

(1/3) x²

Question 33

Welche der folgenden Aussagen über die Ableitung von g(x) = eˣ ist korrekt?

Accepted Answer

g'(x) = eˣ

Answer

g'(x) = xeˣ

Answer

g'(x) = 1/eˣ

Answer

g'(x) = eˣ²

Question 34

Welche der folgenden Ableitungsregeln wird angewendet, um die Ableitung von f(x) = (x² + 3) * (x - 1) zu berechnen?

Accepted Answer

Produktregel

Answer

Quotientenregel

Answer

Potenzregel

Answer

Kettenregel

Question 35

Gegeben ist die Funktion k(x) = x³ - 2x² + 5. An welcher Stelle hat k(x) ein Minimum?

Accepted Answer

x = 4/3

Answer

x = 2

Answer

x = 1

Answer

x = 0

Question 36

Welche der folgenden Aussagen über die zweite Ableitung ist korrekt?

Accepted Answer

Sie liefert Informationen über die Krümmung des Funktionsgraphen.

Answer

Sie ist immer positiv.

Answer

Sie gibt die Steigung des Funktionsgraphen an.

Question 37

Welche der folgenden Anwendungen der Differentialrechnung wird in der Physik verwendet?

Accepted Answer

Berechnung der Geschwindigkeit eines Objekts

Answer

Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses

Answer

Berechnung der Fläche einer Figur

Answer

Berechnung des Volumens eines Körpers

Question 38

Welche Aussage beschreibt den Zusammenhang zwischen der Ableitung einer Funktion und ihrer Steigung?

Accepted Answer

Die Ableitung an einem Punkt entspricht der Steigung der Tangente an den Funktionsgraphen an diesem Punkt.

Answer

Die Ableitung ist immer gleich der Steigung des Funktionsgraphen.

Question 39

Welche der folgenden Funktionen ist nicht differenzierbar an allen Punkten ihres Definitionsbereichs?

Accepted Answer

f(x) = |x|

Answer

f(x) = sin(x)

Answer

f(x) = x²

Question 40

Berechnen Sie die Ableitung der Funktion f(x) = (x + 1) / (x - 2).

Accepted Answer

(-3) / (x - 2)²

Answer

3 / (x - 2)²

Answer

(-2) / (x - 2)²

Question 41

Eine Funktion f(x) ist monoton steigend, wenn f '(x) ist:

Accepted Answer

positiv für alle x

Answer

negativ für alle x

Answer

unbestimmt für alle x

Answer

gleich null für alle x

Question 42

Welche der folgenden Aussagen über die Ableitung ist falsch?

Accepted Answer

Die Ableitung einer konstanten Funktion kann ungleich null sein.

Answer

Die Ableitung einer Summe ist gleich der Summe der Ableitungen.

Answer

Die Ableitung einer Potenzfunktion ist proportional zum Exponenten.

Question 43

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Ableitung einer Funktion f(x) zutreffend?

Accepted Answer

Die Ableitung f'(x) gibt die momentane Änderungsrate der Funktion an einem bestimmten Punkt x an.

Answer

Die Ableitung bestimmt den Krümmungsgrad der Funktion.

Answer

Die Ableitung gibt den größten Wert der Funktion an.

Question 44

Welche der folgenden Anwendungen der Differentialrechnung ist nützlich für Optimierungsprobleme?

Accepted Answer

Bestimmen von lokalen Extrema

Answer

Bestimmen von Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Answer

Berechnen von Integralen

Answer

Lösen linearer Gleichungen

Question 45

Ermittle den globalen Maximalwert der Funktion f(x) = -x² + 6x - 5.

Accepted Answer

x = 3

Answer

x = 5

Answer

x = 0

Answer

x = -3

Question 46

Welche der folgenden Aussagen über die Bedeutung der Differentialrechnung in Naturwissenschaften und Technik ist richtig?

Accepted Answer

Die Differentialrechnung ist ein unverzichtbares Werkzeug zur Modellierung und Problemlösung in verschiedenen Bereichen.

Answer

Die Differentialrechnung ist veraltet und hat keine praktische Bedeutung mehr.

Answer

Die Differentialrechnung wird nur in der reinen Mathematik verwendet.

Question 47

Welche der folgenden Aussagen beschreibt die Ableitung einer Funktion f(x) korrekt?

Accepted Answer

Die Ableitung von f(x) gibt an, wie schnell sich f(x) bezüglich x ändert.

Answer

Die Ableitung von f(x) ist der Wert von f(x) bei x = 0.

Answer

Die Ableitung von f(x) ist die Fläche unter der Kurve von f(x).

Question 48

Welche der folgenden Regeln beschreibt die Ableitung einer Summe zweier Funktionen f(x) und g(x) korrekt?

Accepted Answer

Die Ableitung von f(x) + g(x) ist gleich der Ableitung von f(x) plus der Ableitung von g(x).

Answer

Die Ableitung von f(x) + g(x) ist gleich dem Produkt der Ableitungen von f(x) und g(x).

Question 49

Welche der folgenden Regeln beschreibt die Ableitung eines Produkts zweier Funktionen f(x) und g(x) korrekt?

Accepted Answer

Die Ableitung von f(x) * g(x) ist gleich f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x).

Answer

Die Ableitung von f(x) * g(x) ist gleich dem Quotienten der Ableitungen von f(x) und g(x).

Question 50

Welche der folgenden Regeln beschreibt die Ableitung eines Quotienten zweier Funktionen f(x) und g(x) korrekt?

Accepted Answer

Die Ableitung von f(x) / g(x) ist gleich (g(x) * f'(x) - f(x) * g'(x)) / g(x)².

Answer

Die Ableitung von f(x) / g(x) ist gleich der Ableitung von f(x) dividiert durch die Ableitung von g(x).

Question 51

Welche der folgenden Anwendungen der Differentialrechnung beschreibt die Optimierung einer Funktion f(x) korrekt?

Accepted Answer

Die Optimierung einer Funktion f(x) beinhaltet die Bestimmung des Wertes von x, bei dem f(x) einen maximalen oder minimalen Wert annimmt.

Answer

Die Optimierung einer Funktion f(x) beinhaltet die Bestimmung der Stammfunktion von f(x).

Question 52

Welche der folgenden Aussagen beschreibt ein lokales Maximum einer Funktion f(x) korrekt?

Accepted Answer

Ein lokales Maximum ist ein Punkt, an dem der Wert von f(x) größer ist als die Werte von f(x) in einer Umgebung um diesen Punkt.

Answer

Ein lokales Maximum ist ein Punkt, an dem der Wert von f(x) gleich dem Wert von f(x) in seiner Umgebung ist.

Question 53

Welche der folgenden Aussagen beschreibt ein lokales Minimum einer Funktion f(x) korrekt?

Accepted Answer

Ein lokales Minimum ist ein Punkt, an dem der Wert von f(x) kleiner ist als die Werte von f(x) in einer Umgebung um diesen Punkt.

Answer

Ein lokales Minimum ist ein Punkt, an dem der Wert von f(x) gleich dem Wert von f(x) in seiner Umgebung ist.

Question 54

Welche der folgenden Ableitungsregeln beschreibt die Ableitung der Exponentialfunktion f(x) = e^x korrekt?

Accepted Answer

Die Ableitung von f(x) = e^x ist gleich e^x.

Answer

Die Ableitung von f(x) = e^x ist gleich x * e^x.

Answer

Die Ableitung von f(x) = e^x ist gleich 0.

Question 55

Ermitteln Sie die Ableitung der Funktion f(x) = e^x.

Accepted Answer

f'(x) = e^x

Answer

f'(x) = x * e^(x-1)

Answer

f'(x) = 1 / e^x

Answer

f'(x) = e^x - 1

Question 56

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f(x) = ln(x).

Accepted Answer

f'(x) = 1/x

Answer

f'(x) = ln(1/x)

Answer

f'(x) = 1/ln(x)

Answer

f'(x) = x

Question 57

Geben Sie den Wert von x an, bei dem die Funktion f(x) = x² - 4x + 3 ein lokales Minimum aufweist.

Accepted Answer

x = 2

Answer

x = 3

Answer

x = 0

Answer

x = 1

Question 58

Welche Aussage über die Ableitung einer Funktion ist NICHT korrekt?

Accepted Answer

Die Ableitung einer Funktion gibt die Steigung der Sekante an.

Answer

Die Ableitung einer Funktion kann zur Bestimmung von Extremstellen genutzt werden.

Answer

Die Ableitung einer Funktion gibt die momentane Änderungsrate an.

Question 59

Ermitteln Sie die Ableitung der Funktion f(x) = sin(x).

Accepted Answer

f'(x) = cos(x)

Answer

f'(x) = -cos(x)

Answer

f'(x) = -sin(x)

Answer

f'(x) = sin(x)

Question 60

Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f(x) = (x² + 1) / (x - 2).

Accepted Answer

f'(x) = (x² - 4x - 1) / (x - 2)²

Answer

f'(x) = (x² + 4x - 1) / (x - 2)²

Answer

f'(x) = (2x + 1) / (x - 2)

Answer

f'(x) = (2x - 1) / (x - 2)

Question 61

Ermitteln Sie die Ableitung der Funktion f(x) = (x³ + 2x)².

Accepted Answer

f'(x) = 2(x³ + 2x)(3x² + 2)

Answer

f'(x) = 6x² (x³ + 2x)

Answer

f'(x) = 3x² + 2

Answer

f'(x) = 2(x³ + 2x)(3x² + 2x)