Vektorräume: Grundlagen und Anwendungen in der Wirtschaftsinformatik

Question 1

Sind die Vektoren v1=[1,2], v2=[3,4], v3=[5,6] linear unabhängig?

Accepted Answer

Ja, da keine Linearkombination der Vektoren den Nullvektor ergibt.

Answer

Nein, da die Vektoren kollinear sind.

Question 2

Welche der folgenden Matrizen repräsentiert eine lineare Abbildung von R^2 nach R^3?

Accepted Answer

[1, 2; 3, 4; 5, 6]

Answer

[1, 2, 3; 4, 5, 6]

Answer

[1, 2, 3]

Answer

[1, 2; 3]

Question 3

Welches der folgenden Mengen ist ein Untervektorraum des Vektorraums der reellen Zahlen?

Accepted Answer

Die Menge {0}

Answer

Die Menge aller geraden Zahlen

Answer

Die Menge aller positiven Zahlen

Question 4

Welche der folgenden Aussagen über Vektorräume ist korrekt?

Accepted Answer

Ein Vektorraum ist eine Menge von Vektoren mit einer Additionsoperation.

Answer

Ein Vektorraum hat eine Skalierungsoperation, aber keine Additionsoperation.

Answer

Ein Vektorraum muss endlich und zweidimensional sein.

Answer

Ein Vektorraum kann den Nullvektor nicht enthalten.

Question 5

Welche der folgenden Aussagen beschreibt lineare Unabhängigkeit korrekt?

Accepted Answer

Eine Menge von Vektoren ist linear unabhängig, wenn es keine Linearkombination der Vektoren gibt, die den Nullvektor ergibt.

Answer

Eine Menge von Vektoren ist linear abhängig, wenn sie ein Erzeugendensystem für den Vektorraum ist.

Answer

Eine Menge von Vektoren ist linear abhängig, wenn sie eine Basis für den Vektorraum ist.

Answer

Eine Menge von Vektoren ist linear unabhängig, wenn sie alle denselben Betrag haben.

Question 6

Welche der folgenden Aussagen über Basen ist korrekt?

Accepted Answer

Eine Basis für einen Vektorraum ist eine Menge von Vektoren, die sowohl linear unabhängig als auch ein Erzeugendensystem für den Vektorraum ist.

Answer

Eine Basis für einen Vektorraum ist eine Menge von Vektoren, die den Nullvektor enthält.

Answer

Eine Basis für einen Vektorraum kann unendlich viele Vektoren enthalten.

Answer

Eine Basis für einen Vektorraum ist eine Menge von Vektoren, die alle denselben Betrag haben.

Question 7

Welche der folgenden Aussagen über die Dimension eines Vektorraums ist korrekt?

Accepted Answer

Die Dimension eines Vektorraums ist die Anzahl der linear unabhängigen Vektoren in einer Basis des Vektorraums.

Answer

Die Dimension eines Vektorraums kann sich ändern, wenn man den Vektorraum umformt.

Answer

Die Dimension eines Vektorraums ist immer größer als die Anzahl seiner Vektoren.

Answer

Die Dimension eines Vektorraums kann Null sein.

Question 8

Welche der folgenden Aussagen über den Rang einer Matrix ist korrekt?

Accepted Answer

Der Rang einer Matrix ist die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen oder Spalten der Matrix.

Answer

Der Rang einer Matrix kann größer sein als die Anzahl ihrer Zeilen oder Spalten.

Answer

Der Rang einer Matrix ändert sich, wenn man die Matrix umformt.

Answer

Der Rang einer Matrix ist immer eine negative ganze Zahl.

Question 9

Welche der folgenden Aussagen über den Winkel zwischen zwei Vektoren ist korrekt?

Accepted Answer

Der Winkel zwischen zwei Vektoren ist gegeben durch den Arkussinus des Skalarprodukts der Vektoren dividiert durch das Produkt ihrer Beträge.

Answer

Der Winkel zwischen zwei Vektoren kann größer als 180 Grad sein.

Answer

Der Winkel zwischen zwei Vektoren ist immer ein rationaler Wert.

Answer

Der Winkel zwischen zwei Vektoren ist unabhängig von der Länge der Vektoren.

Question 10

Welcher der folgenden Räume ist **unendlichdimensional**?

Accepted Answer

Der Raum der Funktionen von ℝ nach ℝ

Accepted Answer

Der Raum der Folgen von reellen Zahlen

Answer

Der Raum der Polynome über ℝ mit Grad kleiner oder gleich 2

Answer

Der Raum der Matrizen mit 2 Zeilen und 3 Spalten über ℝ

Question 11

Wie viele linear unabhängige Vektoren sind mindestens erforderlich, um einen Vektorraum der Dimension n zu erzeugen?

Accepted Answer

n

Answer

n + 1

Answer

n - 1

Question 12

Welche Aussage beschreibt korrekt einen Vektorraum V über einem Körper K?

Accepted Answer

V ist eine Menge von Vektoren, die unter Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist.

Answer

V ist eine Menge nicht-leerer Teilmengen von K.

Answer

V ist eine Menge linear unabhängiger Vektoren.

Answer

V ist eine Menge von Vektoren, die unter Multiplikation abgeschlossen ist.

Question 13

Welche Aussage über lineare Unabhängigkeit ist zutreffend?

Accepted Answer

Eine Menge von Vektoren ist linear unabhängig, wenn kein Vektor als Linearkombination der anderen Vektoren darstellbar ist.

Answer

Eine Menge von Vektoren ist linear abhängig, wenn jeder Vektor als Linearkombination der anderen Vektoren darstellbar ist.

Answer

Eine Menge von Vektoren ist linear abhängig, wenn die Summe aller Vektoren gleich dem Nullvektor ist.

Answer

Eine Menge von Vektoren ist linear abhängig, wenn das Skalarprodukt aller Vektoren gleich Null ist.

Question 14

Welche Aussage über die Dimension eines Vektorraums ist korrekt?

Accepted Answer

Die Dimension eines Vektorraums ist die Anzahl seiner linear unabhängigen Vektoren.

Answer

Die Dimension eines Vektorraums ist die Anzahl seiner Erzeugendensysteme.

Answer

Die Dimension eines Vektorraums ist die Anzahl seiner Basen.

Answer

Die Dimension eines Vektorraums ist immer gleich der Anzahl seiner Vektoren.

Question 15

Gegeben sei der Vektorraum V = R³ mit der Standardaddition und Skalarmultiplikation. Welche der folgenden Mengen ist eine Untergruppe von V?

Accepted Answer

{ (x,y,z) | x + y + z = 0 }

Answer

{ (x,y,z) | xy = 0 }

Answer

{ (x,y,z) | x² + y² = 1 }

Answer

{ (x,y,z) | x > 0, y > 0, z > 0 }

Question 16

Welche Aussage über orthogonale Vektoren ist korrekt?

Accepted Answer

Orthogonale Vektoren sind Vektoren, deren Skalarprodukt gleich Null ist.

Answer

Orthogonale Vektoren sind Vektoren, die die gleiche Richtung haben.

Answer

Orthogonale Vektoren sind Vektoren, die die gleiche Länge haben.

Answer

Orthogonale Vektoren sind Vektoren, die senkrecht zueinander stehen.

Question 17

Welche Matrix stellt die lineare Abbildung dar, die einen Vektor (x,y,z) in R³ auf (x+y, y-z, 2z) abbildet?

Accepted Answer

[[1,1,0],[1,-1,0],[0,0,2]]

Answer

[[1,0,0],[0,1,-1],[0,0,2]]

Answer

[[0,1,0],[1,0,-1],[0,0,2]]

Answer

[[0,0,1],[1,0,0],[0,2,0]]

Question 18

Betrachte die Menge S = {(1,1), (2,1), (3,1)} ⊂ R². Ist S eine Basis für R²?

Accepted Answer

Nein, S ist linear abhängig.

Answer

Ja, S ist eine Basis für R².

Answer

Nein, S ist kein Erzeugendensystem für R².

Answer

Nein, S hat nicht die richtige Anzahl von Vektoren.

Question 19

Welche Bedingungen müssen erfüllt sein, damit eine Teilmenge U eines Vektorraums V ein Untervektorraum von V ist?

Accepted Answer

U ist unter Vektoraddition und skalaren Multiplikation abgeschlossen.

Answer

U ist nur unter skalaren Multiplikation abgeschlossen.

Answer

U ist eine lineare Teilmenge von V.

Answer

U ist eine Untergruppe der additiven Gruppe von V.

Question 20

Welche Eigenschaft ist für eine lineare Abbildung zwischen zwei Vektorräumen zwingend erforderlich?

Accepted Answer

Linearität

Answer

Stetigkeit

Answer

Injektivität

Answer

Surjektivität

Question 21

Welche der folgenden Optionen stellt ein Erzeugendensystem für den Vektorraum R³ dar?

Accepted Answer

{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}

Answer

{(1, 0, 0), (0, 1, 0)}

Answer

{(1, 1, 0), (1, 0, 1)}

Answer

Keine der oben genannten Optionen ist zutreffend.

Question 22

Welche der folgenden Aussagen beschreibt zutreffend die lineare Unabhängigkeit von Vektoren?

Accepted Answer

Eine Menge von Vektoren ist linear unabhängig, wenn keiner der Vektoren als Linearkombination der anderen Vektoren dargestellt werden kann.

Answer

Eine Menge von Vektoren ist linear unabhängig, wenn mindestens einer der Vektoren der Nullvektor ist.

Answer

Eine Menge von Vektoren ist linear abhängig, wenn sie ein Erzeugendensystem bilden.

Answer

Keine der oben genannten Aussagen ist zutreffend.

Question 23

Welcher der folgenden Vektoren ist nicht linear unabhängig von {(1, 0), (0, 1)}?

Accepted Answer

(1, 1)

Answer

(2, 0)

Answer

(0, 2)

Answer

Keine der oben genannten Optionen ist zutreffend.

Question 24

Welche der folgenden Aussagen definiert die Dimension eines Vektorraums?

Accepted Answer

Die Anzahl der linear unabhängigen Vektoren in einer Basis des Vektorraums.

Answer

Die Anzahl der Vektoren in einer Basis des Vektorraums.

Answer

Die Anzahl der linear abhängigen Vektoren in einer Basis des Vektorraums.

Answer

Die Anzahl der Erzeugendensysteme des Vektorraums.

Question 25

Welche Aussage beschreibt zutreffend das direkte Produkt zweier Vektorräume?

Accepted Answer

Die Dimension des direkten Produkts zweier Vektorräume ist die Summe der Dimensionen der einzelnen Vektorräume.

Answer

Das direkte Produkt zweier Vektorräume ist immer ein Vektorraum.

Answer

Das direkte Produkt zweier Vektorräume ist nur dann ein Vektorraum, wenn die Vektorräume isomorph sind.

Answer

Keine der oben genannten Aussagen ist zutreffend.

Question 26

Welche der folgenden Anwendungen von Vektorräumen ist für die Wirtschaftsinformatik relevant?

Accepted Answer

Alle oben genannten Optionen sind zutreffend.

Answer

Modellierung von Datenstrukturen

Answer

Lösung linearer Gleichungssysteme

Answer

Optimierungsprobleme

Question 27

Wie lässt sich überprüfen, ob eine Teilmenge U eines Vektorraums V eine Basis von V ist?

Accepted Answer

Überprüfen, ob U linear unabhängig und ein Erzeugendensystem für V ist.

Answer

Überprüfen, ob U linear abhängig ist.

Answer

Überprüfen, ob U ein Erzeugendensystem für V ist.

Answer

Überprüfen, ob V endlich ist.

Question 28

In einem Vektorraum V mit Dimension n, wie viele Elemente enthält jede Basis von V?

Accepted Answer

n

Answer

n+1

Answer

n-1

Answer

n/2

Question 29

Welche der folgenden Aussagen definiert einen Vektorraum korrekt?

Accepted Answer

Eine nichtleere Menge mit zwei Verknüpfungen (Addition und Skalarmultiplikation), die bestimmte Axiome erfüllen.

Answer

Eine Menge von Punkten in einem Koordinatensystem.

Answer

Eine Menge von Zahlen mit definierten Rechenoperationen.

Question 30

Was bedeutet lineare Unabhängigkeit von Vektoren?

Accepted Answer

Keine Linearkombination der Vektoren kann den Nullvektor ergeben.

Answer

Die Vektoren sind alle Einheitsvektoren.

Answer

Die Vektoren haben unterschiedliche Richtungen.

Question 31

Welche der folgenden Vektormengen in R³ ist linear abhängig?

Accepted Answer

{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1, 1, 1)}

Answer

{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}

Answer

{(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1)}

Question 32

Was beschreibt die Dimension eines Vektorraums?

Accepted Answer

Die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren in diesem Raum.

Answer

Die Anzahl aller Vektoren im Raum.

Answer

Die Anzahl der Dimensionen des Koordinatensystems, in dem der Vektorraum dargestellt wird.

Question 33

Was ist eine Basis für einen Vektorraum?

Accepted Answer

Ein minimal erzeugendes System linear unabhängiger Vektoren.

Answer

Ein System linear unabhängiger Vektoren, das nicht unbedingt ein erzeugendes System ist.

Answer

Ein erzeugendes System beliebiger Vektoren.

Question 34

Welche der folgenden Vektormengen ist eine Basis für R³?

Accepted Answer

{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}

Answer

{(1, 0, 0), (0, 1, 1), (0, 1, 0)}

Answer

{(1, 1, 1), (2, 2, 2), (3, 3, 3)}

Answer

{(1, 2, 3), (4, 5, 6)}

Question 35

Welche der folgenden Transformationen ist ein linearer Operator?

Accepted Answer

T(x) = 3x + 2

Answer

T(x) = x²

Answer

T(x) = |x|

Answer

T(x) = sin(x)

Question 36

Was ist der Kern eines linearen Operators T?

Accepted Answer

Die Menge aller Vektoren, die durch T auf den Nullvektor abgebildet werden.

Answer

Die Menge aller Vektoren, die durch T auf einen festen Vektor abgebildet werden.

Answer

Die Menge aller Vektoren, die durch T auf sich selbst abgebildet werden.

Question 37

Welches der folgenden Paare bildet einen Vektorraum über dem Körper der reellen Zahlen?

Accepted Answer

(ℝ³, +)

Answer

(ℤ, +)

Answer

(ℚ, ×)

Answer

(ℕ, +)

Question 38

Ist die Menge der Polynome vom Grad kleiner oder gleich 2 mit reellen Koeffizienten ein Vektorraum über ℝ?

Accepted Answer

Ja

Answer

Nein, da die Menge den Nullvektor nicht enthält.

Answer

Nein, da die Menge nicht unter Multiplikation mit Skalaren abgeschlossen ist.

Answer

Nein, da die Menge nicht unter Addition abgeschlossen ist.

Question 39

Ist die Menge aller stetigen Funktionen von ℝ nach ℝ ein Vektorraum?

Accepted Answer

Ja

Answer

Nein, da die Menge nicht den Nullvektor enthält.

Answer

Nein, da die Menge nicht unter Multiplikation mit Skalaren abgeschlossen ist.

Answer

Nein, da die Menge nicht unter Addition abgeschlossen ist.

Question 40

Bestimmen Sie die Dimension des Vektorraums, der von den Vektoren {(1, 2, 3), (4, 5, 6), (7, 8, 9)} aufgespannt wird.

Accepted Answer

3

Answer

2

Answer

4

Answer

1

Question 41

Ist die Menge aller symmetrischen Matrizen der Ordnung 2 ein Vektorraum über ℝ?

Accepted Answer

Ja

Answer

Nein, da die Menge nicht unter Addition abgeschlossen ist.

Answer

Nein, da die Menge nicht abgeschlossen unter Multiplikation mit Skalaren ist.

Answer

Nein, da die Menge nicht den Nullvektor enthält.

Question 42

Welche der folgenden Transformationen ist eine lineare Abbildung von ℝ³ nach ℝ²?

Accepted Answer

f(x) = (x1 + x2, x2 + x3)

Answer

f(x) = (x1 * x2, x2 * x3)

Answer

f(x) = (x1, x2^2)

Answer

f(x) = (exp(x1), sin(x2))

Question 43

Welche der folgenden Aussagen ist richtig für den Kern einer linearen Abbildung f?

Accepted Answer

Der Kern ist ein Untervektorraum des Definitionsbereichs.

Answer

Der Kern ist immer ein Erzeugendensystem des Definitionsbereichs.

Answer

Der Kern ist immer der Nullvektor.

Question 44

Welche der folgenden Aussagen beschreibt eine lineare Abhängigkeit von Vektoren korrekt?

Accepted Answer

Mindestens ein Vektor kann als Linearkombination der anderen Vektoren dargestellt werden.

Answer

Die Vektoren spannen den gesamten Vektorraum auf.

Answer

Alle Vektoren sind Vielfache desselben Vektors.

Question 45

Welche der folgenden Aussagen definiert ein Erzeugendensystem für einen Vektorraum?

Accepted Answer

Eine Menge von Vektoren, die jeden Vektor im Vektorraum als Linearkombination erzeugen können.

Answer

Eine Menge von Vektoren, die linear unabhängig sind.

Answer

Eine Menge von Vektoren, die den Vektorraum aufspannt.

Question 46

Welche der folgenden Abbildungen ist ein linearer Operator zwischen zwei Vektorräumen V und W?

Accepted Answer

f: V → W, f(u + v) = f(u) + f(v) und f(αu) = αf(u) für alle u, v ∈ V und α ∈ K

Answer

f: V → W, f(u) = v für alle u ∈ V und ein festes v ∈ W

Answer

f: V → W, f(u + v) = f(u) - f(v) und f(αu) = αf(u) für alle u, v ∈ V und α ∈ K

Question 47

Welches der folgenden Tupel ist ein Vektor im Vektorraum R³?

Accepted Answer

(1, 2, 3)

Answer

(1, 2)

Answer

(1, 2, 3, 4)

Answer

∅

Question 48

Welche Aussage über Basen ist falsch?

Accepted Answer

Eine Basis eines Vektorraums ist ein minimales Erzeugendensystem.

Answer

Ein Vektorraum hat im Allgemeinen mehrere Basen.

Answer

Eine Basis eines Vektorraums ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.

Question 49

Welcher der folgenden Begriffe beschreibt eine lineare Transformation, die bijektiv ist?

Accepted Answer

Isomorphismus

Answer

Monomorphismus

Answer

Epimorphismus

Answer

Homomorphismus

Question 50

Welcher der folgenden Ringe ist ein Schiefkörper?

Accepted Answer

Quaternionen

Answer

Polynomring über den reellen Zahlen

Answer

Komplexe Zahlen

Answer

Reelle Zahlen

Question 51

Sei V ein Vektorraum. Welche der folgenden Mengen ist ein Erzeugendensystem für V?

Accepted Answer

Lineare Kombination aller Basisvektoren

Answer

Menge aller linear unabhängigen Vektoren

Answer

Menge aller Vektoren mit einer Norm kleiner als 1

Answer

Menge aller Vielfachen eines einzelnen Vektors

Question 52

Welche der folgenden Matrizen repräsentiert eine lineare Abbildung zwischen zwei Vektorräumen?

Accepted Answer

Matrix mit Spaltenvektoren, die linear unabhängig sind

Answer

Matrix mit Zeilenvektoren, die orthogonal sind

Answer

Matrix mit einer Determinante ungleich Null